专题4-1 等差数列性质技巧11题型归类（讲+练）-高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

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知识梳理与二级结论
一、等差数列的有关概念
1.等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．
2.等差中项的概念
若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．
注意：在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
二、等差数列有关公式：
通项公式：an＝a1＋(n－1)d；
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d＝eq \f(na1＋an,2).
等差数列的常用性质
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和
．
1.通项公式的推广：．在等差数列中，对任意，，，；
2.在等差数列中，当时，．
,特殊地， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时，则 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 的等差中项.
3.在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……；
，…仍是等差数列，公差为．
4.，…也成等差数列，公差为．
等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 成等差数列
5.若，是等差数列，则也是等差数列．
即：两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列．
若数列是等差数列,则仍为等差数列．
设数列是等差数列，且公差为，
若项数为偶数，设共有项，则①； ② ；
若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②.
7.等差数列中，,则,.
8.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．
9.若与为等差数列，且前项和分别为与，则.
10.等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前n项和有最小值．时为递减数列，且当时前n项和有最大值．
四、等差数列的前n项和公式与函数的关系
．数列是等差数列⇔（为常数）．
五、等差数列的前n项和的最值
1.公差为递增等差数列，有最小值；
公差为递减等差数列，有最大值；
公差为常数列．
2.在等差数列中
（1）若，则满足的项数使得取得最大值；
（2）若，则满足的项数使得取得最小值．
即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；
若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．
热点考题归纳
【题型一】等差数列定义判定
【典例分析】
1.（2023春·河南郑州·高二河南省实验中学校考期中）数列中，，（为正整数），则（ ）
A．B．C．D．
2.（2022秋·广西·高三校联考阶段练习）已知数列满足：，当时，，则数列的通项公式是（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023秋·安徽阜阳·高二阜阳市第三中学校考阶段练习）在数列中，，且，若数列单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．（2，）B．（2，3）C．（，4）D．（2，4）
2.（2022·广东广州·校联考三模）已知数列满足，，则数列的前2022项和为（ ）
A．B．C．D．
3.（2022春·河南郑州·高二校联考阶段练习）数列满足，，，若，则k=（ ）
A．3B．4C．5D．6
【题型二】等差中项
【典例分析】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的首项与公差d均为正数，且，，成等差数列，则，，的公差为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）设各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数，使,成等比数列，则公差的所有可能取值的个数为（ ）
A．1B．3C．4D．5
提分秘籍】
【变式演练】
1.（2021·广西柳州·统考三模）已知数列的前n项和为．且，是公差为的等差数列，则 ．
2.（2019秋·河南漯河·高二校考阶段练习）已知数列的通项公式，若是数列中的项，则所有m的取值集合为 .
3.（2023·全国·高三专题练习）已知是公差为3的等差数列，其前项的和为，设甲：的首项为零；乙：是和的等比中项，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【题型三】等差数列的“高斯技巧”
【典例分析】
1.．（2023春·黑龙江双鸭山·高二校考阶段练习）若数列是等差数列，且，则（ ）
A．1B．-1C．D．
2.（2017·全国·校联考一模）已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有，则的值是 ．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023秋·江西南昌·高三校考阶段练习）已知数列满足，数列满足，且，则 ．
2.（2023秋·重庆·高三校联考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，则 ．
3.（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知，则该数列前2023项的和 .
【题型四】高斯技巧：函数型求和
【典例分析】
1.（2018春·湖北随州·高一随州二高阶段练习）已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，函数，则的值为
A．B．C．D．与有关
2.（2022·高二课时练习）已知数列{an}为等差数列，,=1，若，则＝
A．22019B．22020C．22017D．22018
【变式演练】
1.（2017·云南红河·高三阶段练习）已知数列满足，且，若函数，记，则数列的前项和为（ ）
A．2017B．﹣2017C．0D．1
2.（2019秋·江苏南通·高三江苏省南通中学校考期中）设函数数列是公差为的等差数列，且满足则 .
3.（2020·上海·高三专题练习）已知函数，等差数列的公差为，若，则 .
【题型五】双等差数列an与sn比值型
【典例分析】
1.（2023春·黑龙江大庆·高三校考）等差数列和的前项和分别为和，如果，的值是（ ）
A．B．C．D．
2.（2023春·河北唐山·高三模拟）已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023秋·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ）
A．B．C．D．
2.（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐八一中学校考期末）设等差数列的前项和分别为，若对任意的，都有，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3.（2023·全国·高三专题练习）设和都是等差数列，前项和分别为和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【题型六】正负型
【典例分析】
1.（2021·江西赣州·高三统考阶段练习）设等差数列的前n项和为，已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2.（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．
C．当取得最大值时，D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·河南·统考模拟预测）设数列为正项等差数列，且其前项和为，若，则下列判断错误的是（ ）
A．B．C．D．
2.．（2023·高二课时练习）等差数列的前项和为，若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论是（ ）
A．②③B．①③C．①④D．②④
3.（2022·高二单元测试）已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．若，，则，B．若，，则，
C．若，，则，D．若，，则，
【题型七】sn最值型
【典例分析】
1.（2019秋·河北石家庄·高三辛集中学校考阶段练习）在等差数列中，，且，为其前项和，则使的最大正整数为（ ）
A．B．C．D．
2.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为有最小值，且，则使成立的正整数n的最小值为（ ）
A．9B．10C．17D．18
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023春·上海·高二期中）已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么当时，的最大值为（ ）
A．10B．11C．20D．21
2.（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则中，最大的项为（ ）．
A．B．C．D．
3.（2023秋·山西吕梁·高三联考）公差为d的等差数列的前n项和为，若，则下列选项正确的是（ ）
A．B．时，n的最大值为2022
C．有最大值D．时，n的最大值为4044

【题型八】奇数项和与偶数项和型
【典例分析】
1.（2023春·高三课时练习）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（ ）．
A．30B．29C．28D．27
2.（2022秋·高三单元测试）设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（ ）
A．B．C．D．
2.（2021·高三课时练习）已知等差数列中，前项（为偶数）和为126，其中偶数项之和为69，且，则数列公差为（ ）
A．B．4C．6D．
3.（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知首项为2的等差数列，的前30项中奇数项的和为A，偶数项的和为B，且，则（ ）
A．B．C．D．
【题型九】等差数列的单调性
【典例分析】
1.（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，记，则数列（ ）
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
2.（2023春·高三课时练习）已知等差数列的前项和为，若，，则，，…，中最大的是（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023秋·江苏苏州·高二常熟中学校考阶段练习）已知是首项为，公差为的等差数列，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是
2.（2023春·高三课时练习）已知等差数列是递增数列，且，，则的取值范围为 .
（2024·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，（），且，.若恒成立，则实数的取值范围为 .
【题型十】等差数列与三角函数
【典例分析】
1.已知数列满足，且，则数列前36项和为（ ）
A．174B．672C．1494D．5904
2.已知等差数列的公差，且，当时，数列的前项和取得最小值，则首项的取值范围是
A．B．
C．D．
【变式演练】
1.已知数列满足，，，且，记为数列的前项和，则__________．
2.等差数列满足：，,且公差，若当且仅当时，数列前项和取得最大值，则的取值范围是____________．

3.列满足，则数列的前100项和为__________．

【题型十一】等差数列应用题
【典例分析】
1.《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国，秦，汉时期的数学成就.其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱？”.则第4人所得钱数为（ ）
A．钱B．钱C．钱D．1钱

2.如图，一个粒子从原点出发，在第一象限和两坐标轴正半轴上运动，在第一秒时它从原点运动到点，接着它按图所示在轴､轴的垂直方向上来回运动，且每秒移动一个单位长度，那么，在2022秒时，这个粒子所处的位置在点___________.

【变式演练】
1.《九章算术类比大全》是中国古代数学名著，其中许多数学问题是以诗歌的形式呈现的.某老师根据其中的“宝塔装灯”编写了一道数学题目：一座塔共有层，从第层起，每层悬挂的灯数都比前一层少盏，已知塔上总共悬挂盏灯，则第层悬挂的灯数为（ ）
A．B．C．D．

2.随着我国新冠疫情防控形势的逐渐好转，某企业开始复工复产．经统计，年月份到月份的月产量（单位：吨）逐月增加，且各月的产量成等差数列，其中月份的产量为吨，月份的产量为吨，则月到月这四个月的产量之和为（ ）
A．吨B．吨C．吨D．吨

3.某运输卡车从材料工地运送电线杆到500 m以外的公路，沿公路一侧每隔50 m埋一根电线杆，又知每次最多只能运3根，要完成运载20根电线杆的任务，最佳方案是使运输卡车运行( )
A．11 700 mB．14 600 m
C．14 500 mD．14 000 m
高考真题对点练
1．（2023·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25B．22C．20D．15
2．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
3．（2023·全国·统考高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4．（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
5．（2022·北京·统考高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2021·北京·统考高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
7．（2020·浙江·统考高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．
8．（湖北·高考真题）已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是
A．2B．3C．5D．4
9．（2020·海南·高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为 ．
最新模考真题
1.（2022秋·福建漳州·高三校考阶段练习）已知数列满足，，则=（ ）
A．80B．100C．120D．143
2.（2023·全国·高三专题练习）已知两个等差数列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ）
A．1460B．1472
C．1666D．1678
3.（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考）已知是同一直线上三个不同的点，为直线外一点，且在等差数列中，，则数列的前4044项和 .
4.（2021秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知函数，项数为的等差数列满足，且公差，若，则当 时，．
5.（2023春·河南南阳·高三校考阶段练习）两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
6.（2022春·安徽芜湖·高三芜湖一中校考）设等差数列的前n项和为，且满足，对任意正整数n，都有，则k的值为（ ）
A．1006B．1007C．1008D．1009
7.．（2022秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）设等差数列的前n项和为．若，则数列的最小项是（ ）
A．第1011项B．第1012项C．第2022项D．第2023项
8.（2023春·陕西宝鸡·高三校考阶段练习）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（ ）
A．B．C．D．
9.（2023·全国·高三专题练习）已知非常数等差数列的各项为正数，且数列的前n项和为，则数列的最大项的值是
10.北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创隙积术，是研究某种物品按一定规律堆积起来求其总数问题.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，发展了隙积术的成果，对高阶等差数列求和问题提出了一些新的垛积公式.高阶等差数列的前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23…则该数列的第41项为（ ）
A．782B．822C．780D．820

11.已知{an}是公差为d（d＞0）的等差数列，若存在实数x1，x2，x3，⋯，x9满足方程组，则d的最小值为（ ）
A．B．C．D．
一、知识梳理与二级结论
二、热考题型归纳
【题型一】 等差数列定义判定
【题型二】 等差中项
【题型三】 等差数列的“高斯计巧”
【题型四】 高斯计巧：函数型求和
【题型五】 双等差数列an与sn比值型
【题型六】 正负型
【题型七】 sn最值型
【题型八】 奇数项与偶数项和型
【题型九】 等差数列单调性
【题型十】 等差数列与三角函数
【题型十一】 等差数列应用题

三、高考真题对点练
四、最新模考题组练
方法
解读
适合题型
定义法
为同一常数 ⇔是等差数列
解答题中的证明问题
等差中项法
成立⇔是等差数列
通项公式法
为常数）对任意的正整数都成立
⇔是等差数列
选择、填空题中的判定问题
前项和公式法
验证为常数）对任意的正整数都成立⇔是等差数列
等差数列的判定与证明的方法
.等差中项的概念
若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．
等差数列“高斯计巧”
若{an}为等差数列，且m+n=p+q,则
，…仍是等差数列，公差为．
4.，…也成等差数列，公差为．
若与为等差数列，且前项和分别为与，则.
在处理等差数列的前项和的最值时，往往转化为判定的符号变化：
①若，当时，则当且仅当最大；
②若，当时，则当且仅当最小；
③若最大，则.
在等差数列中
（1）若，则满足的项数使得取得最大值；
（2）若，则满足的项数使得取得最小值．
即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；
若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．
设数列是等差数列，且公差为，
1.若项数为偶数，设共有项，则
①；
② ；
2.若项数为奇数，设共有项，则
①(中间项)；
②.
等差数列的增减性：
时为递增数列，且当时前n项和有最小值．
时为递减数列，且当时前n项和有最大值．