专题26.10反比例函数与几何压轴大题专练-九年级数学下册尖子生培优必刷题

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班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
1．（2023下·江苏淮安·八年级统考期末）如图1，正方形ABCD的顶点A1,1，点C3,3，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点D．

(1)试说明反比例函数y=kx的图象也经过点B；
(2)如图2，正方形ABCD向下平移得到正方形MNPQ，边MN在x轴上，反比例函数y=kx的图象分别交正方形MNPQ的边PQ、PN于点E、F．
①求△MEF的面积；
②在x轴上是否存在一点G，使得△GEF是等腰三角形，若存在，直接写出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①74；②存在，(32,0)或(54,0)
【分析】（1）将点D的坐标代入反比例函数表达式求得k值，再验证点B即可；
（2）①S△MEF=S正方形MNPQ−S△QME−S△PEF−S△MNF，即可求解；
②分EF=EG、EF=GF、EG=GF三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：（1）∵点A1,1，点C3,3，四边形ABCD是正方形，
∴点D1,3，B3,1，
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：k=3，
∴反比例函数表达式为：y=3x，
当x=3时，得y=1，
∴反比例函数y=kx的图象也经过点B；
（2）解：2①平移后点M、N、P、Q的坐标分别为：1,0、3,0，3,2、1,2，
则平移后点F横坐标为3，则点F3,1，
同理点E32,2，
∴S△MEF=S正方形MNPQ−S△QME−S△PEF−S△MNF=2×2−12×2×12−12×2×1−12×32×1=74；

②点F、E的坐标分别为：3,1、32,2，
设点Gm,0，
则EF2=(3−32)2+(2−1)2=134，FG2=(m−3)2+1，GE2=(m−32)2+4，
当EF=EG时，即134=(m−3)2+1，
解得：m=92或32，
当m=92时，点E、F、G三点共线，故舍去，
∴m=32，
当EF=GE时，同理可得：方程无实数根，舍去，
当EG=GF时，同理可得：m=54，
故点G的坐标为：32,0或54,0，使得△GEF是等腰三角形．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到勾股定理的运用、等腰三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏．
2．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）已知：如图是反比例函数y=k−4x图象的一支，

(1)求k的取值范围；
(2)若该函数图象上有两点M2,a，N6,b，则a______b（填“>”“4
(2)>；a=3b
(3)①m=3，k=16；②存在，点P的坐标为8,32
【分析】（1）根据反比例函数图象在第一象限，可得反比例函数的系数大于零，由此即可求解；
（2）将点M2,a，N6,b代入反比例函数进行计算即可求解；
（3）①将点A4,m代入一次函数可求出m的值，即点A的坐标，再代入反比例函数即可求出k的值；②根据题意可算出点B的坐标，设△POB的高为ℎ，根据S△POB=12S△AOB即可求解；
【详解】（1）解：∵反比例函数图象在第一象限，
∴k−4>0，
∴k>4．
（2）解：∵M2,a，N6,b在反比例函数y=k−4x的图象上，
∴a=k−42，b=k−46，
∴k−4=2a=6b，
∴a=3b，
∴a>b，
故答案为：>．
（3）解：①∵A4,m在函数y=12x+1的图象上
∴m=12×4+1=3，则A4,3，
∵A4,3在函数y=k−4x的图象上，
∴3=k−44，
∴k=16，则反比例函数解析式为y=16−4x=12x，
∴m=3，k=16；
②当y=0时，0=12x+1，
∴x=−2，
∴B−2,0， 则OB=2，且A4,3，
∴SΔAOB=12×2×3=3，
∵S△POB=12S△AOB，设△POB的高为ℎ，
∴12×2×ℎ=12×3，
∴ℎ=32，
∴P点的纵坐标为32，
将y=32代入反比例函数得32=12x，
∴x=8，
∴存在点P8,32．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数，几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法是解题的关键．
3．（2022·广东佛山·统考模拟预测）如图（1），正方形ABCD顶点A、B在函数y＝kx（k＞0）的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．
(1)若点A的坐标为(4,7)，求正方形ABCD的面积；
(2)如图（2），当k＝8时，求BD的长；
(3)当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，求k的取值范围．
【答案】(1)32
(2)4
(3)89≤x≤72
【分析】（1）过点A作AE⊥y轴于点E，则∠AED=90°．利用正方形的性质得AD=DC，∠ADC=90°，再根据等角的余角相等得到∠EDA=∠OCD，则利用“AAS”可判断△AED≌△DOC，从而得到OD=EA=4，于是确定点D的纵坐标为4，即可求出答案；
（2）作A′M⊥y轴于M，B′N⊥x轴于点N，设OD′=a，OC′=b，同理可得△B′C′N≌△C′D′O≌△D′A′M，利用全等的性质得C′N=OD′=A′M=a，B′N=C′O=D′M=b，则A′a,a+b，B′a+b,b，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到a(a+b)=8，b(a+b)=8，解方程组求出a、b，从而得到D′、B′两点的坐标，即可求出答案；
（3）先利用待定系数法求出直线A′B′解析式为y=−x+6，直线C′D′解析式为y=−x+2，设点A的坐标为(m,2m)，则点D坐标为(0,m)，若当A点在直线C′D′上时，则2m=−m+2，解得m=23，可确定此时点A的坐标，从而得到此时k的值；当点D在直线A′B′上时，则m=6，同样可确定此时点A的坐标和k的值，所以可确定当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时k的取值范围．
【详解】（1）解：如图（1），过点A作AE⊥y轴于点E，则∠AED=90°，

∵点A的坐标为(4,8)，
∴AE=4，OE=8，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，
∴∠ODC+∠EDA=90°．
∵∠ODC+∠OCD=90°，
∴∠EDA=∠OCD，
在△AED和△DOC中，
∠AED=∠DOC∠EDA=∠OCDAD=DC，
∴△AED≌△DOCAAS，
∴DE=OC，OD=AE=4，
∴OC=DE=OE−OD=4，
根据勾股定理得，CD2=OC2+OD2=32，
∴正方形ABCD的面积为32；
（2）解：如图（2），过点A′作A′M⊥y轴于M，过点B′作B′N⊥x轴于点N，

设OD′=a，OC′=b，则D′(0,a)，
同（1）的方法得，△B′C′N≌△C′D′O≌△D′A′M AAS，
∴C′N=OD′=A′M=a，B′N=C′O=D′M=b，
∴A′a,a+b，B′a+b,b，
∵点A′、B′在反比例函数y=8x的图象上，
∴a(a+b)=b(a+b)=8，
∴a=b=2或a=b=−2（舍去），
∴B′的坐标为(4,2)，D′0,2，
∴B′D′=(4−0)2+(2−2)2=4，
即B′D′的长为4；
（3）解：设直线A′B′的解析式为y=mx+n，
把A′2,4，B′4,2代入得
2m+n=44m+n=2，
解得m=−1n=6，
∴直线A′B′解析式为y=−x+6，
同样可求得直线C′D′解析式为y=−x+2，
由（2）可知△OCD是等腰直角三角形，
设点A的坐标为(m,2m)，点D坐标为(0,m)，
当A点在直线C′D′上时，则2m=−m+2，解得m=23，
此时点A的坐标为(23,43)，
∴k=23×43=89；
当点D在直线A′B′上时，有m=6，此时点A的坐标为(6,12)，
∴k=6×12=72；
综上可知：当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围为89≤k≤72．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图象与性质，正方形的性质，全等三角形的性质，利用待定系数法求一次函数解析式等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
4．（2023上·广东深圳·九年级深圳中学校考期中）如图，一次函数y1=k1x+2的图象与反比例函数y2=k2x的图象相交于点A3,−1和点B，直线AB与y轴交于点C．

(1)求反比例函数y2的解析式和点B的坐标；
(2)①直接写出当y2>y1时，x的取值范围；
②连接OA和OB，求△AOB的面积；
(3)点P为线段AC（不含端点）上一动点，过点P作PQ⊥x轴交反比例函数于点Q，点D为线段QP的中点，点E为x轴上一点，点F为平面内一点，当C，D，E，F四点构成的四边形为正方形时，写出点P的坐标．
【答案】(1)y2=−3x,B−1,3
(2)①−1y1时，−10，
∴m=−1+23，
∴P23−3,5−23，
综上，P点的坐标为2,0，1,1或23−3,5−23．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数图象交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论．
5．（2023·广东湛江·统考三模）如图，直线AD：y=3x+3与坐标轴交于A、D两点，以AD为边在AD右侧作正方形ABCD，过C作CG⊥y轴于G点．过点C的反比例函数y=kxk≠0与直线AD交于E、F两点．
(1)求证：△AOD≌△DGC；
(2)求E、F两点坐标；
(3)填空：不等式3x+3>kx的取值范围是______．
【答案】(1)见解析
(2)E1，6，F−2，−3
(3)−2kx的取值范围是−2kx的取值范围是−2mx的解集为：______．
(3)C为线段AB上一点，且横坐标为正，作CD∥y轴与反比例函数y=mx交于点D，当△OCD的面积最大时，求C点的坐标．
【答案】(1)一次函数表达式为：y=x−2，反比例函数表达式为y=3x，B−1，−3；
(2)1m3时，−10)，则D（x,3x），
∴CD= 3x−x+2
∴=12x·(3x −x+2)=−12 x−12+2，
∴当x=1时，△OCD的面积最大，此时，C的坐标为(1，−1)．
故答案为：(1，−1)．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
，
8．（2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考阶段练习）Rt△ABC在平面坐标系中摆放如图，顶点A在x轴上，∠ACB=90°，CB∥x轴，双曲线y=kxk≠0经过C点及AB的中点D，S△BCD=4，求k的值．

【答案】−8
【分析】OA=a，AE=b，则C点坐标(a,ka)，B点坐标(b，ka )，根据S△BCD=S△ACD=4，得出S△ACB=10=12AC⋅BC=12⋅(−ka)b得出bk=−20a①，先求得D的坐标，根据点D在双曲线上，得出(12b+a)(12⋅ka)=k，则b=2a②，结合①②，即可求得k的值．
【详解】解：设OA=a，AE=b，则C点坐标(a,ka)，B点坐标(a+b，ka )，
∵AD=BD，
∴S△BCD=S△ACD=4，
∴S△ACB=8=12AC⋅BC=12⋅(−ka)⋅b，
得bk=−16a，
∵B点坐标(a+b，ka )，
∴点D在抛物线上，D点坐标(12b+a，12⋅ka)，
则(12b+a)(12⋅ka)=k，
则b=2a，
解bk=−16ab=2a，
得k=−8．

【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，掌握在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12k是解题的关键．
9．（2023下·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，已知点Aa,0，B0,b，且a、b满足a+1+a+b+32=0，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y=kx经过C、D两点．

(1)a=______，b=______；
(2)求反比例函数表达式；
(3)动点Px,0在x轴的正半轴上运动，当线段PD与线段PC之差达到最大时，求点P的坐标；
(4)如图，过C作CH⊥x轴于H点，H1，H2，H3，…，Hn，…是x轴上的点，且HH1=H1H2=H2H3=⋅⋅⋅=Hn−1Hn⋅⋅⋅=1，分别过点H1，H2，H3，…，Hn，…作x轴的垂线交反比例函数y=kx（x>0）的图象于点C1，C2，C3，…，Cn，…，过点C1作C1Q⊥CH于点Q，过点C2作C2Q1⊥C1H1于点Q1，过点C3作C3Q2⊥C2H2于点Q2…，记△CC1Q的面积为S1，△C1C2Q1的面积为S2…，△CnCn+1Qn的面积为Sn+1，求S1+S2+S3+⋅⋅⋅+Sn+1．

【答案】(1)−1；−2
(2)y=4x
(3)P3,0
(4)n+1n+3
【分析】（1）由非负计算式相加等于0，得出各式值均为0，计算即可；
（2）由点A和点B坐标，及中点E得到点D横坐标，再利用平行四边形对边平行且相等得到点D和点C坐标关系，最后代入解析式计算即可；
（3）由两边之差小于第三边得到差值最大时三点共线，再利用直线解析式求出点P即可；
（4）由三角形面积算法得到各三角形面积表达式，再加减相消计算即可．
【详解】（1）∵ a+1+a+b+32=0
又∵a+1≥0，a+b+32≥0，
∴a+1=0，a+b+32=0，
∴a=−1，b=−2．
（2）∵点E为AD中点，A(−1,0)，且点E在y轴上，
∴xD=1，
∵▱ABCD，
∴AB∥DC 且AB=DC，
又B(0,−2)，
∴C(xD+1,yD−2)即∴C(2,yD−2)，
将点C、D代入反比例函数y=kx中得k=yD=2(yD−2)，
解得k=yD=4，
∴反比例函数表达式为y=4x．
（3）∵PD−PC≤CD，
当点C、D、P三点共线时取等号，此时PD与PC的差值最大，
设经过点C、D的直线解析式为y=mx+n，
代入点C(2,2)、D(1,4)得2=2m+n4=m+n，
解得m=−2n=6，
∴CD直线解析式为y=−2x+6，
代入点Px,0得x=3，
∴P3,0．
（4）S1=12(CQ×HH1)=12(yC−yC1)，S2=12(C1Q1×H1H2)=12(yC1−yC2)，同理计算得Sn+1=12(CnQn×HnHn+1)=12(yCn−yCn+1)，
∵点Hn+1(n+3,0)，Cn+1(n+3,4n+3)，
∴ S1+S2+S3+⋅⋅⋅+Sn+1
=12(yC−yC1)+12(yC1−yC2)+...+12(yCn−yCn+1)
=12(yC−yCn+1)
=12(2−4n+3)
=n+1n+3．
【点睛】本题考查反比例函数综合计算，在计算中采用设坐标代入解析式，再列方程求解的方法．规律计算时采用迭代法，可快速得到第n个图形的计算式，并且验算可以提供准确率．
10．（2023下·吉林长春·八年级校考期中）如图，一次函数y=kx+bk≠0与反比例函数y=mxm≠0的图象相交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，已知点A的坐标是(2,3)，BC=2．

(1)求反比例函数与一次函数的关系式．
(2)根据图象，直接写出不符式kx+b>mx的解集．
(3)点P为反比例函数y=mx在第一象限图象上的一点，若S△POC=2S△ABC，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)y=6x，y=x+1
(2)−30的图象交于点P2,a，Q8,1，与坐标轴交于A、B两点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)观察图象，当x>0时，直接写出不等式kx+b0) 与此正方形的边有交点，则a的取值范围为3≤a≤3+1．
【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形，利用数形结合思想正确得到点B、C的坐标表示是解答的关键．
23．（2022下·陕西汉中·八年级统考期末）如图，一次函数y=k1x+bk1≠0与反比例函数y=k2xk2≠0的图象交于点A2,3，Ba,−1，设直线AB交x轴于点C．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)若点P是反比例函数图象上的一点，且△POC是以OC为底边的等腰三角形，求P点的坐标．
【答案】(1)y=6x，y=12x+2
(2)P−2,−3
【分析】（1）根据点A、B都在反比例函数图象上，可得点B的坐标，再将A、B代入一次函数解析式，解方程即可；
（2）首先求出点C的坐标，由PC=PO，可知点P在OC的垂直平分线上，从而解决问题．
【详解】（1）解：将点A(2,3)代入y=k2x(k2≠0)得，k2=2×3=6，
∴y=6x，
将点B(a,−1)代入y=6x得，a=−6，
∴B(−6,−1)，
将点A(2,3)，B(−6,−1)代入y=k1x+b得，
2k1+b=3−6k1+b=−1，
解得k1=12b=2，
∴一次函数的解析式为y=12x+2；
（2）解：当y=0时，12x+2=0，
∴x=−4，
∴C(−4,0)，
∵PC=PO，
∴点P在OC的垂直平分线上，
∴点P的横坐标为−2，
∴P(−2,−3)．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与不等式的关系，等腰三角形的性质等知识，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
24．（2021下·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以BC为边向上作正方形ABCD，顶点A在直线y=2x上，双曲线y=kx经过点A，且与边CD交于点E.

(1)若BC=4，求k的值和点E的坐标；
(2)连接AE、OE.
①若△AOE的面积为24，求k的值；
②是否存在某一位置使得AE⊥OA，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)k=8,E6,43
(2)①18；②不存在，理由见解析
【分析】(1)根据AB=BC=4，设At,4，代入解析式y=2x确定A的坐标，确定反比例函数解析式，根据OC=OB+BC=t+4，代入反比例函数解析式计算即可.
(2)①设Am,2m，则k=xy=2m2，C3m,0,E3m,23m，根据题意，得S△AOE=S梯形ABCE，列出等式计算即可.
②假设AE⊥OA，证明△EAD≌△OABASA，利用反比例函数解析式建立等式证明即可.
【详解】（1）∵正方形ABCD，BC=4，y=kx,
∴AB=BC=4，∠ABC=∠BCD=90°，
设At,4，则Ct+4,0,Et+4,kt+4，
At,4代入y=2x，得4=2t，
解得t=2，
故A2,4，
∴k=2×4=8，
∴E2+4,86即E6,43.
（2）①∵点A在直线y=2x上，
∴设Am,2m，
∵正方形ABCD，y=kx,
∴AB=BC=2m，∠ABC=∠BCD=90°，k=xy=2m2，
∴C3m,0,E3m,23m，
根据题意，得S△AOE=S梯形ABCE，
∴122m+23m×2m=24，
解得m=3,m=−3（舍去），故A3,6，
故k=xy=2m2=18；
②∵AE⊥OA，
∴ ∠OAB=90°−∠EAB，
∵正方形ABCD，
∴ AB=AD ∴∠EAD=90°−∠EAB，
∴∠EAD=∠OAB，
∵∠EAD=∠OABAD=AB∠EDA=∠OBA，
∴△EAD≌△OABASA，
∴OB=DE，
∵点A在直线y=2x上，
∴设Am,2m，
则OB=DE=m,AB=CD=2m，
∴OC=OB+BC=3m,EC=m，
∴设E3m,m，
∴设k=m×2m=3m×m，
∵ B、C两点在x轴的正半轴上，
∴m≠0，∴2=3，
这是不可能的，故不存在某一位置使得AE⊥OA.
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数解析式，三角形全等的判定和性质，三角形面积的分割法计算，熟练掌握正方形的性质，反比例函数解析式，三角形全等的判定和性质，是解题的关键.
25．（2023下·河南南阳·八年级统考期末）如图，A、B两点的坐标分别为(−2,0)，(0,3)，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥OB，垂足为D，反比例函数y=kx的图象经过点C．

(1)直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式；
(2)点P在反比例函数y=kx的图象上，当△PCD的面积为9时，求点P的坐标．
【答案】(1)C(3,1)，y=3x；
(2)(7,37)或(−5,−35)．
【分析】（1）根据图形旋转的性质可证明△ABO≅△BCD(ASA)，进而可推算出点C的坐标，再根据待定系数法即可求出反比例函数解析式；
（2）设点P的坐标为(m,3m)，利用S△PCD=12×CD×m−1=9，建立关于m的方程解出m值即可．
【详解】（1）解：根据线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC可知：AB=BC，∠ABO+∠CBD=∠ABC=90°，
又∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴ ∠ABO=∠OBC
又∵CD⊥OB
∴∠CDB=∠AOB=90°
∴ △ABO≅△BCD(ASA)，
∴CD=OB=3，BD=AO=2，
∴OD=OB−BD=1，
∴C(3,1)．
∵C(3,1)在y=kx上，k=3，
∴反比例函数解析式为：y=3x．
（2）设点P的坐标为(m,3m)，
∵S△PCD=12×CD×m−1=9，
∴ 32×m−1=9，即：m−1=6，
m1=7，m2=−5，
∴这样的P点坐标为(7,37)或(−5,−35)．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，利用面积求符合条件的点的坐标．
26．（2022上·上海青浦·八年级校考期中）如图，A为反比例函数y=kxk