专题3-6 抽象函数性质综合16种题型归类（讲+练）-高一数学热点题型归纳与培优练（人教A版必修第一册）

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专题 3.6抽象函数性质综合大题 热点考题归纳【题型一】类“对数”函数型 单调性【典例分析】.定义在上的函数，满足，，当时，，（1）求的值；（2）判断函数的单调性；（3）解关于的不等式． 【提分秘籍】【变式演练】已知定义在上的函数，满足，而且当时，有．（1）求证：在上是增函数；（2）判断与的大小，并说明理由．四川省自贡市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【题型二】类“对数”函数型 奇偶性【典例分析】函数的定义域为，且满足对于任意，，有．(1)判断的奇偶性并证明你的结论；(2)如果，，且在上是增函数，求的取值范围． 【提分秘籍】【变式演练】已知定义域为的函数满足对任意，都有．（1）求证：是偶函数；（2）设时，①求证：在上是减函数；②求不等式的解集． 【题型三】类“指数”函数型单调性（保积函数） 【典例分析】 （2021秋·河南信阳·高一校考阶段练习）已知定义在上的函数，满足，对于任意正实数、都有，当时，，且.(1)求证：；(2)证明：在上为减函数；(3)若，求实数的值.【提分秘籍】【变式演练】（2018秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市中实学校校考期中）已知函数对于一切正实数，都有且时，，.（1）求证：；（2）求证：在上为单调减函数；（3）若，试求的值．【题型四】 类“指数”函数型奇偶性（保积函数）【典例分析】（2023秋·全国·高一随堂练习）已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且.(1)判断的奇偶性；(2)判断在上的单调性，并证明；(3)若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围.【提分秘籍】【变式演练】（2021·高一课时练习）若函数对任意实数x，y都有，则称其为“保积函数”．(1)若“保积函数”满足，判断其奇偶性并证明；(2)对于（1）中的“保积函数”，若时，，且，试求不等式的解集．【题型五】类“线性”保型函数单调性（保和函数） 【典例分析】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数对任意实数恒有成立，且当时，.(1)求的值;(2)判断的单调性，并证明;(3)解关于的不等式:.【提分秘籍】【变式演练】（2022·全国·高一专题练习）已知函数对任意，都有，且当时，．(1)求证：在上是增函数；(2)若关于a的方程的一个实根是1，求的值；(3)在（2）的条件下，已知，解关于x的不等式．【题型六】类“线性”保型函数奇偶性（保和函数） 【典例分析】（2023秋·全国·高一专题练习）是定义在上的函数，对都有，当时，，且．(1)求，的值；(2)猜测为奇函数还是偶函数并证明；(3)求在上的单调性并证明．【提分秘籍】【变式演练】（2022秋·河南商丘·高一校考阶段练习）定义在上的函数满足对任意，，恒有，且时，有．(1)证明：为奇函数；(2)试判断的单调性，并加以证明；(3)若，不等式恒成立，求实数的取值范围．【题型七】“线性”下移型单调性 【典例分析】已知函数满足对一切实数，都有成立，且在上为单调递减函数.（1）求，；（2）解不等式；（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【提分秘籍】【变式演练】函数f(x)对任意的m，n∈R都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0时，恒有f(x)