备战2024年中考数学二轮专题复习真题演练之二次函数（2）

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一、选择题
1．（2023·河南）二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=x+b的图象一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】【解答】解：∵二次函数图象的开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a0，
∴b>0，
∴一次函数y=x+b的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据二次函数图象的开口向下，对称轴在y轴右侧可得a0，据此可得b的符号，然后根据一次函数的图象与系数的关系进行解答.
2．（2023·广东）如图，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（ ）
A．−1B．−2C．−3D．−4
【答案】B
【解析】【解答】解：连接AC，交y轴于点D，
∵正方形ABCO，
∴AC⊥BO，AD=OD=12OB，
当x=0时y=c，
∴点B（0，c），
∴AD=OD=12c，
∴点Ac2，c2，
∴ac24+c=c2，
∵c≠0，
解之：ac=-2.
故答案为：B
【分析】连接AC，交y轴于点D，利用正方形的性质可知AC⊥BO，AD=OD=12OB，利用函数解析式求出点B的坐标，可得到点A的坐标，再将点A的坐标代入函数解析式，可求出ac的值.
3．（2023·齐齐哈尔）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(3，0)，对称轴为直线x=1，结合图象给出下列结论：
①abc>0；②b=2a；③3a+c=0；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2=0(a≠0)有两个不相等的实数根；
⑤若点(m，y1)，(−m+2，y2)均在该二次函数图象上，则y1=y2.其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：①∵二次函数图象开口向上，
∴a>0，
∵对称轴为直线x=1，
∴x=−b2a=1，
∴b=−2a0；②若点(−4，y1)，(3，y2)均在二次函数图象上，则y1>y2；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1有两个相等的实数根；④满足ax2+bx+c>2的x的取值范围为−22，
∴−2−2，则y1>y2；④若y1=y2，则x1+x2=−2其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：
①抛物线的对称轴是直线x=−4a2a=−2，①正确；
②当x=0时，y=3，
∴点(0，3)在抛物线上，②正确；
③当a＜0时，y1＜y2，
当a＞0时，y1＞y2，③错误；
④由题意得x1+x22=−2，
∴x1+x2=−4，④错误；
故答案为：B
【分析】根据二次函数的对称轴公式即可判断①；将x=0代入求出y即可判断②；根据二次函数系数与开口关系结合题意即可判断③；根据二次函数图象的对称性即可判断④。
7．（2023·株洲）如图所示，直线l为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的对称轴，则下列说法正确的是（ ）
A．b恒大于0B．a，b同号
C．a，b异号D．以上说法都不对
【答案】C
【解析】【解答】解：∵直线l为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的对称轴，
∴−b2a＞0，
∴ba＜0，
∴a，b异号，
故答案为：C
【分析】根据二次函数的对称轴结合图像即可得到ba＜0，进而即可求解。
8．（2023·潜江）拋物线y=ax2+bx+c(a5，
∴b的取值范围为b≥4613．
【解析】【分析】（1）先根据题意设抛物线的解析式为y=ax2+k，进而结合题意得到点C和点A的坐标，然后将点C和点A的坐标代入即可求解；
（2）先根据二次函数的性质即可得到点B的坐标，进而作点B关于y轴的对称点B′，则B′(−1，8)，B′P=BP，从而得到PA+PB=PA+PB′≥AB′，当B′，B，A共线时，拉杆PA，PB长度之和最短，再运用待定系数法求出直线AB'的解析式，进而即可得到点P的坐标；
（3）根据二次函数的性质结合x的取值范围进行分类讨论，进而即可得到b的取值范围。
14．（2023·赤峰）乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：
（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点(x，y)，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
（2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 cm；
②求满足条件的抛物线解析式；
（3）技术分析：如果只上下调整击球高度OA，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长OB为274cm，球网高CD为15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度OA的值约为1.27cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：①49；230．
②设抛物线解析式为y=a(x−90)2+49，将(230，0)代入得，
0=a(230−90)2+49，
解得：a=−0.0025，
∴抛物线解析式为y=−0.0025(x−90)2+49；
（3）解：∵当OA=28.75时，抛物线的解析式为y=−0.0025(x−90)2+49，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为ℎ，则平移距离为ℎ−28.75(cm)，
∴平移后的抛物线的解析式为y=−0.0025(x−90)2+49+ℎ−28.75，
依题意，当x=274时，y=0，
即−0.0025(274−90)2+49+ℎ−28.75=0，
解得：ℎ=64.39．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度OA的值为64.39cm．
【解析】【解答】解：(2)①观察表格数据，可知当x=50和x=130时，函数值相等，则对称轴为直线x=90，顶点坐标为(90，49)，
又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是49cm，
当y=0时，x=230，
∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是230cm；
故答案为：49；230．
【分析】(1)先将列表中的有序数对表示在坐标系中，再用光滑的曲线连接.
(2)①观察图象，根据表格所给信息可得到函数的对称轴，进而得到所需结果；
②先将点坐标代入解析式，再利用待定系数法求出解析式.
(3)先表示出新的函数表达式，再将点B坐标代入表达式求解即可.
15．（2023·黑龙江）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(−3，0)，B(1，0)两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）拋物线上是否存在一点P，使得S△PBC=12S△ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点A（-3，0）及点B（1，0）分别代入y=ax2+bx+3，
得9a−3b+3=0a+b+3=0
解得a=−1b=−2，
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；
（2）解：存在，理由如下：
令y=-x2-2x+3中的x=0可得y=3，
∴C（0，3），OC=3，
∵A（-3，0）、B（1，0），∴AB=4，
∴S△ABC=12AB·OC=12×4×3=6，
∴S△PBC=12S△ABC=3，
作PE∥x轴交BC于点E，如图，
设直线BC的解析式为y=kx+m，
将点B（1，0）及点C（0，3）分别代入得
k+m=0m=3，
解得k=−3m=3，
∴BC的解析式为：y=-3x+3；
设点P的坐标为P（t，-t2-2t+3），则点E的纵坐标为-t2-2t+3，
代入直线BC可得x=t2+2t3，
∴E（t2+2t3，-t2-2t+3），
∴PE=t2+2t3-t=t2−t3，
∴S△PBC=12×t2−t3×3=3，
解得t1=-2，t2=3，
∴点P（-2，3）或（3，-12）.
【解析】【分析】（1）将点A（-3，0）及点B（1，0）分别代入y=ax2+bx+3，可得关于字母a、b的二元一次方程组，求解可得a、b的值，从而求出抛物线的解析式；
（2）令抛物线解析式中的x=0算出对应的函数y的值，可得点C的坐标，利用三角形面积计算公式算出三角形ABC的面积，利用待定系数法求出直线BC的解析式；作PE∥x轴交BC于点E，设点P的坐标为P（t，-t2-2t+3），则点E的纵坐标为-t2-2t+3，将点E的纵坐标代入直线BC的解析式算出对应的x的值，可用t的式子表示出点E的坐标，进而可表示出PE的长，然后根据三角形面积计算公式建立方程，可求出t的值，从而得到点P的坐标.
16．（2023·河南）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m，CA=2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y=−0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y=a(x−1)2+3.2．
（1）求点P的坐标和a的值．
（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
【答案】（1）解：在y=−0.4x+2.8中，x=0时，y=2.8
∴点P坐标为(0，2.8)
把点P坐标代入抛物线解析式得：a+3.2=2.8，解得a=−0.4
∴点P坐标为(0，2.8)，a的值为-0.4
（2）解：令y=−0.4x+2.8=0中，解得：x=7
令y=−0.4(x−1)2+3.2=0，解得：x1=1−22(含)，x2=1+22
由题意得点C坐标为(5，0)
选择吊球时，落点到C的距离为5−(1+22)=4−22
选择扣球时，落点到C的距离为7−5=2，
∵4−22−2=2−22