2024年四川省中考数学二轮备考之真题演练无理数与实数、代数式

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一、选择题
1．（2023·凉山）下列各数中，为有理数的是（ ）
A．38B．3.232232223⋅⋅⋅
C．π3D．2
【答案】A
【解析】【解答】解：
A、38=2，为有理数，A符合题意；
BCD、3.232232223⋅⋅⋅、π3、2、为无理数，BCD不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据立方根，运用无理数的定义即可求解。
2．（2023·自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA=OB，则点B表示的数是（ ）
A．2023B．−2023C．12023D．−12023
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得数轴上点A表示的数是2023，OA=OB，
∴点B表示的数是-2023，
故答案为：B
【分析】根据数轴的概念即可求解。
3．（2023·遂宁）已知算式5□(−5)的值为0，则“□”内应填入的运算符号为（ ）
A．＋B．－C．×D．÷
【答案】A
【解析】【解答】解：∵算式5□(−5)的值为0，
∴“□”内应填入的运算符号为+，
故答案为：A
【分析】根据相反数相加为0即可求解。
4．（2023·达州）如图，四边形ABCD是边长为12的正方形，曲线DA1B1C1D1A2⋯是由多段90°的圆心角的圆心为C，半径为CB1；C1D1的圆心为D，半径为DC1⋯，DA1、A1B1、B1C1、C1D1⋯的圆心依次为A、B、C、D循环，则A2023B2023⏜的长是（ ）
A．4045π2B．2023πC．2023π4D．2022π
【答案】A
【解析】【解答】解：∵曲线DA1B1C1D1A2⋯是由多段90°的圆心角的圆心为C，
∴每一次的弧的半径比前一次的多12，
∴AD=AA1=12，B1B=BA1=1，B1C=CC1=32，D1C=DD1=，
∴ADn−1=AAn=4×n−12+12，BAn=BBn=4×n−12+1，
∴A2023B2023=4×2023−12+1=4045，
∴A2023B2023⏜=4045π×90180=4045π2，
故答案为：A
【分析】先根据曲线DA1B1C1D1A2⋯是由多段90°的圆心角的圆心为C，每一次的弧的半径比前一次的多12，进而即可得到ADn−1=AAn=4×n−12+12，BAn=BBn=4×n−12+1，再结合弧长的公式进行计算即可求解。
5．（2023·内江）对于正数x，规定f(x)=2xx+1，例如：f(2)=2×22+1=43，f(12)=2×1212+1=23，f(3)=2×33+1=32，f(13)=2×1313+1=12，计算：f(1101)+f(1100)+f(199)+⋯+f(13)+f(12)+f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(99)+f(100)+f(101)=（ ）
A．199B．200C．201D．202
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得f(1)=21+1=1，
f(2)=2×22+1=43，f(12)=2×1212+1=23，f(2)+f(12)=2，
f(3)=2×33+1=32，f(13)=2×1313+1=12，f(3)+f(13)=2，

f(100)+f(1100)=2，
∴f(1101)+f(1100)+f(199)+⋯+f(13)+f(12)+f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(99)+f(100)+f(101)=2×100+1=201，
故答案为：C
【分析】根据题意找到数与式的规律，进而即可求解。
二、填空题
6．（2023·广安）定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，a※b=xa+yb．若2※(−2)=1，则(−3)※3的值是 ．
【答案】−23
【解析】【解答】解：由题意得2※(−2)=x2+y−2=1，
∴x-y=2，
∴(−3)※3=x−3+y3=−23，
故答案为：−23
【分析】先根据新定义运算即可求出x-y=2，再根据题意即可求解。
7．（2023·凉山）已知x2−2x−1=0，则3x3−10x2+5x+2027的值等于 ．
【答案】2023
【解析】【解答】解：
∵x2−2x−1=0，
∴x2−2x=1，x2=2x+1，
∴3x3−10x2+5x+2027=3x2x+1−10x2+5x+2027=6x2+3x−10x2+5x+2027=−4x2−2x+2027=2023，
故答案为：2023
【分析】先根据题意得到x2−2x=1，x2=2x+1，带代入即可求解。
8．（2023·凉山）计算(π−3.14)0+(2−1)2= ．
【答案】2
【解析】【解答】解：由题意得(π−3.14)0+(2−1)2=1+2−1=2，
故答案为：2
【分析】根据0指数幂、二次根式的性质进行运算即可求解。
9．（2023·自贡）请写出一个比23小的整数 ．
【答案】4（答案不唯一）
【解析】【解答】解：由题意得4=16＜23，
故答案为：4（答案不唯一）
【分析】根据估算无理数的大小结合算术平方根即可求解。
10．（2023·遂宁）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为 ．
【答案】C12H26
【解析】【解答】解：由题意得甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8，
∴n烷的化学式为CnH2n+2，
∴十二烷的化学式为C12H26，
故答案为：C12H26
【分析】先根据题意列出甲烷、乙烷、丙烷的化学式，进而即可找出规律求解。
11．（2023·广元）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为 ．
【答案】21
【解析】【解答】解：观察可知：第四行第三项的系数为3=1+2，
第五行第三项的系数为6=1+2+3，
第六行第三项的系数为10=1+2+3+4，
∴第七行第三项的系数为15=1+2+3+4+5，
第八行第三项的系数为21=1+2+3+4+5+6，
故答案为：21.
【分析】观察已知图形，分别求出第四、第五、第六行第三项的系数的规律，依次写出第七、第八行第三项的系数即可.
12．（2023·广安）在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3、A4⋯在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3⋯在直线y=33x(x≥0)上，若点A1的坐标为(2，0)，且△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4⋯均为等边三角形．则点B2023的纵坐标为 ．
【答案】220223
【解析】【解答】解：过点A1作A1M⊥x轴交直线y=33x(x≥0)于点M，过点B1作B1C⊥x轴于点C，如图所示：
∵点A1的坐标为(2，0)，
∴A1O=2，
当x=2时，y=233，
∴M（2，233），
∴A1M=233，
∴tan∠A1OM=33，
∴∠A1OM=30°，
∵△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4⋯均为等边三角形，
∴∠B1A1A2=60°，A2A1=A1B1，
∴B1A1=OA1=2，
∴B1C=3，
同理可得点B2的纵坐标为22×32，
点B3的纵坐标为23×32，
点B4的纵坐标为24×32，
∴点Bn的纵坐标为2n×32，
∴点B2023的纵坐标为220223，
故答案为：220223
【分析】过点A1作A1M⊥x轴交直线y=33x(x≥0)于点M，过点B1作B1C⊥x轴于点C，进而得到∠A1OM=30°，再根据等边三角形的性质即可得到∠B1A1A2=60°，A2A1=A1B1，B1A1=OA1=2，进而即可得到B1C=3，得到点B1的纵坐标，同理即可求出B2的纵坐标、B3的纵坐标、B4的纵坐标、进而即可得到规律，再结合题意即可求解。
13．（2023·成都）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m−n>1，则称这个正整数为“智慧优数”.例如，16=52−32，16就是一个智慧优数，可以利用m2−n2=(m+n)(m−n)进行研究.若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 .
【答案】15；57
【解析】【解答】解：由题意可得：
当m=3，n=1时，第1个智慧优数为：32-12=8，
当m=4，n=2时，第2个智慧优数为：42-22=12，
当m=4，n=1时，第3个智慧优数为：42-12=15，
当m=5，n=3时，第3个智慧优数为：52-32=16，
当m=5，n=2时，第3个智慧优数为：52-22=21，
当m=5，n=1时，第3个智慧优数为：52-12=24，
……
当m=6时，有4个智慧优数，
当m=7时，有5个智慧优数，
当m=8时，有6个智慧优数，
1+2+3+4+5+6=21.
又∵两数之间的差越小，平方越小，
∴后面也有智慧优数比较小的，
∴第22个智慧优数，当m=9，n=5时，第22个智慧优数为：92-52=81-25=56，
第23个智慧优数，当m=11，n=8时，第23个智慧优数为：112-82=121-64=57，
故答案为：15，57.
【分析】根据题意找出规律，结合智慧优数的定义求解即可。
三、计算题
14．（2023·泸州）计算：3−1+(2−1)0+2sin30°−(−23)．
【答案】解：3−1+(2−1)0+2sin30°−(−23)
=13+1+2×12+23
=13+23+1+1
=3．
【解析】【分析】利用负整数指数幂，零指数幂，特殊角的锐角三角函数值等计算求解即可。
15．（2023·广元）计算：183+|2−2|+20230−(−1)1．
【答案】解：183+|2−2|+20230−(−1)1
=323+2−2+1+1
=2+2−2+1+1
=4.
【解析】【分析】利用二次根式的性质、绝对值、零指数幂及有理数的乘方分别计算，再计算加减即可.
16．（2023·成都）
（1）计算：4+2sin45°−(π−3)0+|2−2|；
（2）解不等式组：2(x+2)−x≤5， ①4x+13>x−1. ②
【答案】（1）3
（2）−4x−1. ② ，
由①得：x≤1，
由②得：x＞-4，
∴不等式组的解集为：-4＜x≤1.
【分析】（1）利用算术平方根，特殊角的锐角三角函数值，零指数幂，绝对值计算求解即可；
（2）利用不等式的性质求解集即可。
四、综合题
17．（2023·遂宁）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a，b]∗[c，d]=ac−bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3，2]∗[5，1]=3×5−2×1=13．
（1）求[−4，3]∗[2，−6]的值；
（2）已知关于x的方程[x，2x−1]∗[mx+1，m]=0有两个实数根，求m的取值范围．
【答案】（1）解：∵[a，b]∗[c，d]=ac−bd，
∴[−4，3]∗[2，−6]=−4×2−3×(−6)=−8+18=10；
（2）解：∵[x，2x−1]∗[mx+1，m]=0，
∴x⋅(mx+1)−(2x−1)⋅m=0，
整理得mx2+(1−2m)x+m=0，
∵关于x的方程[x，2x−1]∗[mx+1，m]=0有两个实数根，
∴Δ=b2−4ac=(1−2m)2−4m2≥0，且m≠0，
解得m≤14且m≠0．
【解析】【分析】（1）根据题目规定的运算即可求解；
（2）先根据题目规定的运算即可得到mx2+(1−2m)x+m=0，再结合题意根据一元二次方程根的个数与判别式的关系即可求解。