备战2024年高考数学二轮专题考前演练之二次函数与幂函数 (解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮专题考前演练之二次函数与幂函数 (解析)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设函数f(x)=(12)x2−2mx在区间(1，2)上单调递增，则m的取值范围为（ ）
A．(−∞，−2]B．[−2，−1]C．[1，2]D．[2，+∞)
【答案】D
【解析】【解答】令t=x2-2mx，则二次函数t=x2-2mx的图象开口向上，对称轴为直线x=m，
由外层函数y=12t在R上为减函数，函数f(x)=(12)x2−2mx在区间(1，2)上单调递增
则内层函数t=x2-2mx在(1， 2)上为减函数，故m≥2.
故选：D.
【分析】令t=x2-2mx，根据复合函数的单调性可得内层函数t=x2-2mx在(1， 2)上为减函数，结合二次函数的单调性可求出实数m的取值范围.
2．已知函数f(x)=lg12(x2−ax+3a)在[2，+∞)上单调递减，则a的取值范围（ ）
A．(−∞，4]B．(−4，4]C．[−4，4]D．(−4，+∞)
【答案】B
【解析】【解答】解：因为函数f(x)=lg12(x2−ax+3a)在[2，+∞)上单调递减 ，则函数y=x2−ax+3a在[2，+∞)上单调递增且y>0恒成立.
即a2≤222−2a+3a>0解得−4故答案为：B
【分析】先利用复合函数的单调性判断出y=x2−ax+3a在[2，+∞)上单调递增且y>0恒成立，根据二次函数的性质列出不等关系组即可求解.
3．已知关于x的不等式mx2−6x+3m<0在(0，2]上有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．(−∞，3)B．(−∞，127)C．(3，+∞)D．(127，+∞)
【答案】A
【解析】【解答】原不等式变形得m<6xx2+3
问题转化为m<6xx2+3在（0，2]上有解.
设g(x)=6xx2+3=6x+3x，x∈(0，2]
由于x+3x≥23，当且仅当x=3时取得等号.
则g(x)max=623=3
故m<3， 选择A
【分析】通过参变量分离，将问题转化为m<6xx2+3在（0，2]上有解，通过基本不等式求出右边式子得最大值3，因此m<3.
4．已知函数f(x)=x2−(a+4)x+5，x<2(2a−3)x，x≥2在R上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．(0，32)B．[0，32)C．(0，76]D．[0，76]
【答案】D
【解析】【解答】由f(x)在R上单调递减，结合二次函数和一次函数解析式知：
a+42≥22a−3<04−2(a+4)+5≥(2a−3)×2，解得0≤a≤76.
故答案为：D
【分析】 由f(x)在R上单调递减可知f(x)在每一段上单调递减，结合二次函数的一次函数的性质列出不等式组，求出a的取值范围.
5．函数f(x)=lg1e(−x2+2x+15)的单调递减区间是（ ）
A．(−∞，1)B．(−3，1)C．(1，5)D．(5，+∞)
【答案】B
【解析】【解答】解：对于函数f(x)=lg1e(−x2+2x+15)，令−x2+2x+15>0，即(x+3)(x−5)<0，
解得−3又y=−x2+2x+15=−(x−1)2+16在(−3，1)上单调递增，在(1，5)上单调递减，
又y=lg1ex在定义域上单调递减，
所以f(x)=lg1e(−x2+2x+15)的单调递减区间为(−3，1).
故答案为：B
【分析】 先求函数f (x)的定义域，由图象求二次函数y=−x2+2x+15在区间(−3，5)上的单调区间，再根据复合函数单调性的原则：同增异减，求原函数的单调递减区间.
6．已知幂函数f(x)=(m2−2m−2)xm−2的图象经过原点，则m=（ ）
A．－1B．1C．3D．2
【答案】C
【解析】【解答】解：令m2−2m−2=1，解得m=−1或m=3.
当m=−1时，f(x)=x−3的图象不经过原点.
当m=3时，f(x)=x的图象经过原点.
故答案为：C
【分析】由题意得m2−2m−2=1，解得m=−1或m=3，验证图象经过原点，即可得解.
7．已知f(x)=(12)x2−2ax在[1，3]上是减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．(−∞，1]B．[1，2]C．[2，3]D．[3，+∞)
【答案】A
【解析】【解答】令t=x2−2ax，则ℎ(t)=(12)t，
因为f(x)在[1，3]上是减函数，由复合函数的单调性知，
函数t=x2−2ax与ℎ(t)=(12)t的单调性相反；
又因为ℎ(t)单调递减，
所以t=x2−2ax需在[1，3]上单调递增.
函数t=x2−2ax的对称轴为x=a，所以只需要a≤1，
故答案为：A.
【分析】 由已知结合二次函数的性质及复合函数的单调性，即可求解出实数a的取值范围 .
8．已知函数f(x)=x2+2kx−5在[−2，4]上具有单调性，则实数k的取值范围为（ ）．
A．k≤−4B．k≥2
C．k≤−4或k≥2D．k<−4或k>2
【答案】C
【解析】【解答】函数f(x)=x2+2kx−5的对称轴为x=−k，
因为函数f(x)=x2+2kx−5在[−2，4]上具有单调性，
所以−k≥4或−k≤−2，即k≤−4或k≥2.
故答案为：C
【分析】 先求出f (x)的对称轴，再结合二次函数的单调性，即可求解出实数k的取值范围.
9．已知图象开口向上的二次函数f(x)，对任意x∈R，都满足f(32−x)=f(x+32)，若f(x)在区间(a，2a−1)上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A．(−∞，54]B．(1，54]C．[−32，+∞)D．(−∞，2]
【答案】B
【解析】【解答】由f(32−x)=f(x+32)，得函数f(x)图象的对称轴是直线x=32，
又二次函数f(x)图象开口向上，若f(x)在区间(a，2a−1)上单调递减，
则2a−1≤32a<2a−1，解得1故答案为：B.
【分析】求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到关于a的不等式，求解可得实数a的取值范围 .
10．已知幂函数f(x)=(m2−m−1)x1−m在(0，+∞)上单调递减，则m=（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
【答案】D
【解析】【解答】由题意，幂函数f(x)=(m2−m−1)x1−m，可得m2−m−1=1，
即m2−m−2=0，解得m=2或m=−1，
当m=2时，函数f(x)=x−1，可得函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，符合题意；
当m=−1时，函数f(x)=x2，可得函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，不符合题意.
故答案为：D
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值.
11．已知幂函数y=f(x)的图象经过点(3，33)，则lg13f(3)的值是（ ）
A．−13B．1C．13D．-1
【答案】A
【解析】【解答】f(x)=xa，则由题意和f(3)=3a=33=313，a=13，
∴lg13f(3)=lg13313=13lg133=−13．
故答案为：A．
【分析】设f(x)=xa，f(3)=313，求出a的值，进而求出 lg13f(3)的值 .
12．函数y=(12)x2−3x+2的单调递减区间是（ ）
A．(−∞，1]B．[1，2]C．[32，+∞)D．(−∞，32]
【答案】C
【解析】【解答】内层函数u=x2−3x+2在区间(−∞，32]单调递减 ，在[32，+∞)单调递增，
外层函数y=(12)u为减函数，
所以函数y=(12)x2−3x+2的单调递减区间是[32，+∞)，
故答案为：C
【分析】先求函数的定义域，再求内层函数的单调区间，由于外层函数在R上为减函数，故内层函数的单调增区间就是函数的单调减区间.
13．已知幂函数f(x)的图像过点(2，8)，则f(x)（ ）
A．是奇函数，在(0，+∞)上是减函数
B．是偶函数，在(0，+∞)上是减函数
C．是奇函数，在(−∞，0)上是增函数
D．是偶函数，在(−∞，0)上是减函数
【答案】C
【解析】【解答】解：设幂函数解析式为f(x)=xα，
因为幂函数f(x)的图像过点(2，8)，
∴f(2)=2α=8，解得α=3，
则f(x)=x3，
∴f(x)是奇函数，在R上单调递增，
故答案为：C.
【分析】由幂函数f(x)的图像过点(2，8)，求出α=3，从而根据幂函数的性质即可选出正确选项.
14．设a∈R，若关于x的不等式x2−ax+1≥0在1≤x≤2上有解，则（ ）
A．a≤2B．a≥2C．a≤52D．a≥52
【答案】C
【解析】【解答】由x2−ax+1≥0在1≤x≤2上有解，得x2+1x≥a在1≤x≤2上有解，
则a≤(x2+1x)max，由于x2+1x=x+1x，而x+1x在1≤x≤2单调递增，
故当x=2时，x+1x取最大值为52，故a≤52，
故答案为：C
【分析】由已知不等式转化为x2+1x≥a在1≤x≤2上有解，只需a≤(x2+1x)max，然后根据对勾函数的性质求出最大值，即可得答案.
15．图中C1，C2，C3分别为幂函数y=xα1，y=xα2，y=xα3在第一象限内的图象，则α1，α2，α3依次可以是（ ）
A．12，3，−1B．−1，3，12C．12，−1，3D．−1，12，3
【答案】D
【解析】【解答】由题图知：α1<0，0<α2<1，α3>1，
所以α1，α2，α3依次可以是−1，12，3．
故答案为：D
【分析】根据幂函数y=xα在第一象限内的图象性质，结合选项即可得出指数α的可能取值.
16．幂函数y=xa，y=xb，y=xc，y=xd在第一象限的图像如图所示，则a，b，c，d的大小关系是 （ ）
A．a>b>c>dB．d>b>c>aC．d>c>b>aD．b>c>d>a
【答案】D
【解析】【解答】根据幂函数的性质，
在第一象限内，x=1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，
所以由图像得：b>c>d>a，
故答案为：D
【分析】根据幂函数的性质，在第一象限内x=1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断.
17．已知方程x2−2ax+6a+7=0在[2，+∞)上有实数解，则实数a的取值范围为（ ）
A．[7，+∞)B．(−∞，−1]∪[7，+∞)
C．(−∞，−7]∪[1，+∞)D．(−∞，−112]∪[7，+∞)
【答案】D
【解析】【解答】令f(x)=x2−2ax+6a+7，则对称轴为x=−−2a2=a，
当a<2时，f(x)在[2，+∞)上为增函数，
因为方程x2−2ax+6a+7=0在[2，+∞)上有实数解，
所以f(2)≤0，即22−4a+6a+7≤0，解得a≤−112，
当a≥2时，因为方程x2−2ax+6a+7=0在[2，+∞)上有实数解，
所以Δ=4a2−4(6a+7)≥0，解得a≥7或a≤−1（舍去），
综上a≤−112或a≥7，
故答案为：D
【分析】令f(x)=x2−2ax+6a+7，则对称轴为x=a，然后分a<2和a≥2两种情况讨论即可.
二、填空题
18．已知函数f(x)=(m2−2m−2)xm2+m+3是幂函数，且在(0，+∞)上单调递增，则实数m= .
【答案】-1或3
【解析】【解答】函数f(x)=(m2−2m−2)xm2+m+3是幂函数，且在(0，+∞)上单调递增，
则有m2−2m−2=1m2+m+3>0，解得m=3或m=−1.
故答案为：-1或3
【分析】利用已知条件结合幂函数的定义和幂函数的单调性，进而得出实数m的值。
19．若幂函数f(x)=(m2−5m+1)xm+1为奇函数，则该函数的表达式f(x)=
【答案】x
【解析】【解答】解：由 f(x)=(m2−5m+1)xm+1为幂函数，得 m2−5m+1=1为 ，解得m=5或m=0，
当m=5时，f(x)=x6 ，函数f(x)是偶函数，不符合题意，
当m=0时，f(x)=x ，函数f(x)是奇函数，符合题意，
所以f(x)=x，
故答案为：f(x)=x .
【分析】根据给定的条件，利用幂函数与奇函数的定义，结合性质求解作答.
20．若不等式ax2>x2−x−1对x∈(−∞，0)恒成立，则a的取值范围是 ．
【答案】a>54
【解析】【解答】由不等式ax2>x2−x−1对x∈(−∞，0)恒成立，
可转化为a>x2−x−1x2对x∈(−∞，0)恒成立，即a>(x2−x−1x2)max，
而x2−x−1x2=−1x2−1x+1=−(1x+12)2+54，
当x=−2时，−(1x+12)2+54有最大值54，所以a>54，
故答案为：a>54．
【分析】由已知可转化为a>x2−x−1x2对x∈(−∞，0)恒成立，即a>(x2−x−1x2)max，再利用二次函数的性质，可求出a的取值范围.
21．若函数f(x)=x2−6x+2+a在区间(1，4)内有零点，则实数a的取值范围是 .
【答案】(3，7]
【解析】【解答】由题意得：f(x)=x2−6x+2+a=(x−3)2+a−7为连续函数，
且在(1，3)上单调递减，在(3，4)上单调递增，
故f(3)=a−7，f(1)=1−6+2+a=a−3，f(4)=16−24+2+a=a−6，
所以只需f(1)>0f(3)≤0或f(4)>0f(3)≤0，
解得：3故实数a的取值范围是(3，7].
故答案为：(3，7]
【分析】根据二次函数的性质列出不等式组，求解可得实数a的取值范围.
三、解答题
22．已知函数f(x)=x2−ax+a，x∈[2，4]的最小值为φ(a).
（1）求φ(a)的解析式；
（2）若φ(m+1)>φ(2m−3)，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：函数f(x)=x2−ax+a，对称轴为x=a2，
当a2≤2即a≤4时，函数f(x)在[2，4]上单调递增，
所以f(x)min=f(2)=4−a，即φ(a)=4−a；
当2所以f(x)min=f(a2)=−a24+a，即φ(a)=−a24+a；
当a2≥4即a≥8时，函数f(x)在[2，4]上单调递减，
所以f(x)min=f(4)=−3a+16，即φ(a)=−3a+16，
故φ(a)=−a+4，a≤4−a24+a，4（2）解：由（1）知，当a≤4时，φ(a)=4−a，函数φ(a)单调递减，
当4当a≥8时，φ(a)=−3a+16，函数φ(a)单调递减，
注意到φ(a)是连续函数，所以函数φ(a)在R上单调递减.
由φ(m+1)>φ(2m−3)，得m+1<2m−3，解得m>4，
故实数m的取值范围为(4，+∞).
【解析】【分析】（1）根据题意可知二次函数f(x)对称轴为x=a2，分类讨论当a2≤2、2 （2）由（1），结合一次函数、二次函数的性质可知函数φ(a)在R上单调递减，利用函数的单调性解不等式即可求解.
23．已知函数f(x)=ax2+bx+c(a，b，c∈R)的最小值为−9，方程f(x)=7有两个实根−2和6.
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）求关于x的不等式f(x)≤mx−4m−5(m∈R)的解集.
【答案】（1）解：因为方程f(x)=7有两个实根−2和6，
所以，方程ax2+bx+c−7=0有两个实根−2和6，
所以，a≠0，−2+6=−ba①，c−7a=−12②
因为函数f(x)=ax2+bx+c(a，b，c∈R)的最小值为−9，
所以a>0，4ac−b24a=−9③，
所以，由①②得b=−4a，c=7−12a，代入③解得a=1，
所以a=1，b=−4，c=−5，
所以，f(x)=x2−4x−5；
（2）解：因为f(x)≤mx−4m−5(m∈R)，即为x2−4x−5≤mx−4m−5(m∈R)
所以，x2−(4+m)x+4m≤0(m∈R)，即(x−4)(x−m)≤0(m∈R)，
所以，当m<4时，不等式的解集为[m，4]；
当m=4时，不等式的解集为{4}；
当m>4时，不等式的解集为[4，m]；
综上，当m<4时，不等式的解集为[m，4]；当m=4时，不等式的解集为{4}；当m>4时，不等式的解集为[4，m].
【解析】【分析】（1） 由题意得到方程ax2+bx+c−7=0有两个实根−2和6，得到−ba=4和c−7a=−12，再由函数f(x)的最小值为−9，得到4ac−b24a=−9，进而求得a，b，c的值，得出函数的解析式；
（2） 把不等式转化为(x−4)(x−m)≤0，分m<4、m=4和m>4，三种情况讨论，即可求解.