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备战2024年高考数学二轮专题考前演练之函数的奇偶性 (解析)

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这是一份备战2024年高考数学二轮专题考前演练之函数的奇偶性 (解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知f(x)=ax+a−x，且f(3)>f(1)，则下列各式一定成立的是（）
A．f(3)>f(−2)B．f(0)>f(3)
C．f(−1)>f(−3)D．f(0)>f(−1)
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ f(−x)=a−x+ax=f(x)，∴fx为偶函数，
令t=ax，则t>0，又y=t+1t，在01单调递增，
∴当0 当a>1时，y=ax是增函数，在x∈0，+∞上，有ax>1，∴fx在x∈0，+∞单调递增，
∴fx在x∈[0，+∞）上单调递增，
A、 f(3)>f(2)=f(−2) ，A正确；
B、 f(0) C、 f(1)=f(−1) D、 f(0)故答案为：A.
【分析】先判断fx的奇偶性，再根据 f(3)>f(1) 判断fx的单调性，进而判断选项.
2．已知函数f(x)=4x1+|x|，则不等式−3A．(−1，2)B．(−2，1)
C．(−∞，−1)∪(2，+∞)D．(−∞，−2)∪(1，+∞)
【答案】B
【解析】【解答】因为f(x)=4x1+|x|的定义域为R，
且f(−x)=4−x1+|−x|=−4x1+x=−fx，所以函数f(x)为定义在R上的奇函数，
当x>0时，则fx=4x1+x=41x+1，
因为y=1x+1在0，+∞上单调递减，则fx=41x+1在0，+∞上单调增，
可得fx在−∞，0上单调减，且函数f(x)为定义在R上连续不断，
所以f(x)为定义在R上的增函数，且f3=3，f−3=−3，
则−3可得−3<2x+1<3，解得−2所以不等式−3故答案为：B.
【分析】根据题意分析可得f(x)为定义在R上的增函数，且为奇函数，进而根据函数性质解不等式.
3．已知f(x)=xexeax−1是偶函数，则a=（）
A．−2B．−1C．1D．2
【答案】D
【解析】【解答】∵fx=xexeax−1是偶函数，
∴fx−f−x=xexeax−1−−xe−xe−ax−1=xex−ea−1xeax−1=0恒成立，
∵x不恒为0，
∴ex−ea−1x=0，解得a=2.
当a=2时定义域为x≠0关于原点对称，又满足fx−f−x=0，∴fx为偶函数。
故选：D
【分析】根据偶函数定义进行计算，再验证。
4．若f(x)=(x+a)ln2x−12x+1为偶函数，则a=（）
A．-1B．0C．12D．-1
【答案】B
【解析】【解答】根据题意易得函数定义域为2x−12x+1>0，即x∈−∞，−12∪12，+∞关于原点对称
∵fx为偶函数，
∴则有f1=f−1，即a+1ln13=a−1ln3，解得a=0。
检验：当a=0时，有f−x=−xln−2x−1−2x+1=xln2x−12x+1=fx，
∴a=0时fx为偶函数。
故选：B
【分析】根据偶函数性质在定义域范畴内代值f1=f−1即得答案。
5．已知函数f(x)=e2x+e−2x+2，则（）
A．f(x+1)为奇函数B．f(x+12)为偶函数
C．f(x−1)为奇函数D．f(x−12)为偶函数
【答案】B
【解析】【解答】方法一：因为f(x)=e2x+e−2x+2，所以f(1−x)=e2−2x+e2x=f(x)，
所以函数f(x)关于x=12对称，将f(x)的函数图象向左平移12个单位，关于y轴对称，
即f(x+12)为偶函数.
方法二：因为f(x+12)=e2x+1+e−2x+1=e(e2x+e−2x)，x∈R，
则f(−x+12)=e(e2x+e−2x)=f(x+12)，所以f(x+12)为偶函数；
又f(x+1)=e2x+2+e−2x，故f(−1+1)=e0+e2=1+e2，f(1+1)=e4+e−2=e4+1e2，
所以f(−1+1)≠f(1+1)，f(−1+1)≠−f(1+1)，故f(x+1)为非奇非偶函数；
又f(x−1)=e2x−2+e−2x+4，故f(−1−1)=e−4+e6=1e4+e6，f(1−1)=e0+e2=1+e2，
所以f(−1−1)≠f(1−1)，f(−1−1)≠−f(1−1)，故f(x−1)为非奇非偶函数；
又f(x−12)=e2x−1+e−2x+3，故f(−1−12)=e−3+e5=1e3+e5，f(1−12)=e+e=2e，
所以f(−1−12)≠f(1−12)，f(−1−12)≠−f(1−12)，故f(x−12)为非奇非偶函数.
故答案为：B
【分析】方法一：由式子结构推出函数对称，根据图象平移结合奇偶性的性质进行判断；方法二：根据函数的奇偶性的定义逐项进行判断，可得答案.
6．设函数f(x)在定义域R上满足f(−x)+f(x)=0，若f(x)在(−∞，0)上是减函数，且f(−1)=0，则不等式f(ex)<0的解集为（）
A．(0，+∞)B．(−1，0)∪(1，+∞)
C．(−1，0)D．(1e，1)
【答案】A
【解析】【解答】∵f(−x)+f(x)=0，即f(x)=−f(−x)，
故函数f(x)在定义域R上奇函数，
若f(x)在(−∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，+∞)上是减函数，
∵ex>0，且f(1)=−f(−1)=0，
若f(ex)<0，则ex>1，解得x>0，
故不等式f(ex)<0的解集为(0，+∞).
故答案为：A.
【分析】根据题意可得函数f(x)在定义域R上奇函数，进而可得f(x)在(−∞，0) 上是减函数，根据题意结合单调性解不等式即可.
7．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，+∞)上单调递增，f(1)=0，则不等式xf(x−1)<0的解集为（）
A．(−∞，0)∪[2，+∞)B．(0，1)
C．(−∞，0)∪(2，+∞)D．(1，2)
【答案】D
【解析】【解答】因为函数f(x)是奇函数，且在(0，+∞)上单调递增，所以函数f(x)在(−∞，0)上也单调递增，
又因为f(1)=0，所以f(−1)=0，不等式xf(x−1)<0等价于x>0f(x−1)<0或x<0f(x−1)>0，
即x>00故答案为：D．
【分析】由已知利用函数的单调性及奇偶性，即可求解出答案.
8．在下列函数中，为偶函数的是（）
A．f(x)=x−csxB．f(x)=xcsxC．f(x)=ln|x|D．f(x)=x
【答案】C
【解析】【解答】对于A，函数f(x)=x−csx的定义域为R，且f(−x)=−x−csx，所以f(−x)≠f(x)，故函数不为偶函数；
对于B，函数f(x)=xcsx的定义域为R，且f(−x)=−xcsx，所以f(−x)≠f(x)，故函数不为偶函数；
对于C，函数f(x)=ln|x|的定义域为(−∞，0)∪(0，+∞)，且f(−x)=ln|x|，所以f(−x)=f(x)，故函数为偶函数；
对于D，函数f(x)=x的定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以函数不为偶函数.
故答案为：C.
【分析】由函数奇偶性的性质，结合函数奇偶性的判断，逐项进行判断，可得答案.
9．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（）
A．y=0B．y=1xC．y=x2D．y=2x
【答案】D
【解析】【解答】A. 定义域为R，且f(−x)=0=f(x)，则f(x)为偶函数，故错误；
B. {x|x≠0} f(−x)=−1x=−f(x)则f(x)为奇函数，故错误；
C. 定义域为R，且f(−x)=(−x)2=−x2=f(x)，则f(x)为偶函数，故错误；
D. 定义域为R，且f(−x)=2−xf(−x)≠−f(x)，f(−x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，故正确；
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合奇函数和偶函数的定义，从而判断出既不是奇函数，也不是偶函数的函数。
10．下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（）
A．f(x)=tanxB．f(x)=−1x
C．f(x)=x−csxD．f(x)=ex−e−x
【答案】D
【解析】【解答】对于A，f(x)=tanx 为奇函数，是周期函数，在定义域内不单调，不正确，不符合题意；
对于B，f(x)=−1x，定义域为(−∞，0)∪(0，+∞)，f(−x)=−f(x) ，所以f(x)为奇函数，但在定义域内不单调，不符合题意；
对于C，f(x)=x−csx，f(−x)=−x−cs(−x)=−x−csx≠−f(x)，
故函数f(x)=x−csx不是奇函数，不符合题意；
对于D，f'(x)=ex+e−x>0 ，是增函数，f(−x)=e−x−ex=−f(x) ，是奇函数，满足题意；
故答案为：D.
【分析】求导，根据单调性和奇偶性的定义逐项分析.
11．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=lg3(2x+1)，则f(−1)=（）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】A
【解析】【解答】因为函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=lg3(2x+1)，
所以f(−1)=−f(1)=−lg3(2+1)=−1.
故答案为：A.
【分析】利用奇函数性质代入数据计算得到答案.
12．已知函数f(x−1)为偶函数，且函数f(x)在[−1，+∞)上单调递增，则关于x的不等式f(1−2x)A．(−∞，3)B．(3，+∞)C．(−∞，2)D．(2，+∞)
【答案】A
【解析】【解答】因为f(x−1)为偶函数，所以f(x−1)的图像关于y轴对称，则f(x)的图像关于直线x=−1对称．
因为f(x)在[−1，+∞)上单调递增，所以f(x)在(−∞，−1]上单调递减．
因为f(1−2x)故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义和函数的单调性，进而得出关于x的不等式f(1−2x)二、填空题
13．若偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递减，且f(1)=0，则不等式f(x2−3x+3)≥0的解集是。
【答案】[1，2]
【解析】【解答】解：由已知条件f（1）=0可得f(x2−3x+3)≥f1，因为偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递减，所以x2−3x+3≤1，
解得1≤x≤2
故答案为：[1，2]
【分析】利用函数的单调性和奇偶性转化成x2−3x+3≤1，，解不等式即可求解.
14．若函数 y=f(x) 为偶函数，且当 x<0 时， f(x)=2x−1 ，则 f(1)= .
【答案】−12
【解析】【解答】当 x<0 时， f(x)=2x−1 ，所以f−1=2−1−1=−12 ，
又因为f(x)为偶函数，所以f1=f−1=−12 ．
故答案为： −12 .
【分析】利用偶函数的定义即可求解.
15．若f(x)=(x−1)2+ax+sin(x+π2)为偶函数，则a= ．
【答案】2
【解析】【解答】∵fx=x−12+ax+sinx+π2=x2+1+a−2x+csx，
∵y=csx为偶函数
为使fx为偶函数，只需∵y=x2+1+(a−2)x为偶函数，
∴a−2=0，即a=2
故答案为：2
【分析】先利用诱导公式化简sinx+π2，由三角函数部分为偶函数，故只需二次函数部分为偶函数，从而得出a的值。
16．已知函数g(x)=a5x−1+6为奇函数，则实数a= .
【答案】12
【解析】【解答】由函数g(x)=a5x−1+6为奇函数得 9(-1)+9(1)=0，即a5−1−1+6+a51−1+6=0
解得a=12，经检验符合题意，
故答案为： 12.
【分析】利用奇函数的性质列方程，求解可得实数a的值.
三、解答题
17．已知函数f(x)=m(x+1x)−2，x>02(x+1x)+n，x<0是奇函数.
（1）求实数m，n的值；
（2）若对任意实数x，都有f(e2x)+λf(ex)≥0成立.求实数λ的取值范围.
【答案】（1）解：当x>0时，f(−x)=2[(−x)+1(−x)]+n，
因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)，
所以f(−x)=2(x+1x)−n，
又x>0时，f(−x)=m(x+1x)−2
所以m=2n=2，
又当x<0时，同理可得m=2n=2，
综上m=2n=2.
（2）解：因为e2x>0，ex>0，
原不等式化为2(e2x+1e2x)−2+2λ(ex+1ex)−2λ≥0，
令t=ex+1ex，则t≥2，
原不等式进一步化为t2+λt-λ-3≥0在t≥2上恒成立，
记g(t)=t2+λt-λ-3，t∈[2，+∞)，
①当−λ2≤2时，即λ≥-4时，
g(t)min=g(2)=λ+1≥0，
所以λ≥-1，符合题意；
②当−λ2>2时，即λ<-4时，
g(t)min=g(−λ2)=−λ24−λ−3≥0，显然矛盾.
综上，实数λ的取值范围为{λ|λ≥-1}.
【解析】【分析】(1)根据函数是奇函数，利用奇函数的定义即可求出m，n.
(2)利用换元法转化成二次函数在在t≥2上恒成立问题，对λ分类讨论①当−λ2≤2时②当−λ2>2时分别求出λ 即可求解.
18．已知函数f(x)=lga2−x2+x（a>0且a≠1）.
（1）求函数f(x)的奇偶性；
（2）若关于x的方程f(x)=lga(x−m)有实数解，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：对于函数f(x)，有2−x2+x>0，则x−2x+2<0，解得−2所以函数f(x)的定义域为(−2，2)，
f(−x)=lga2+x2−x=−lga2−x2+x=−f(x)，故函数f(x)为奇函数.
（2）解：由f(x)=lga(x−m)可得x−m=2−x2+x，
则m=x+x−2x+2=x+x+2−4x+2=x+1−4x+2，
令g(x)=x+1−4x+2，其中−2因为函数y=x+1、y=−4x+2在(−2，2)上为增函数，故函数g(x)在(−2，2)上为增函数，
当−2因此，实数m的取值范围是(−∞，2).
【解析】【分析】(1)先求出函数f(x)的定义域，观察是否关于原点对称，再利用奇偶函数的定义验证即可.
(2)先根据方程f(x)=lga(x−m)由实数根，解得m=x+1−4x+2，再构造函数g(x)=x+1−4x+2（−219．函数f(x)=x2+(3a+1)x+cx+a(a，c∈R)
（1）当a=0是，是否存在实数c，使得f(x)为奇函数；
（2）函数f(x)的图像过点(1，3)，且f(x)的图像与x轴负半轴有两个交点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）当a=0时，此时 f(x)=x2+x+cx，
∴f(x)的定义域为x≠0，
∴f(−x)=x2−x+c−x=−x2+x−cx，
若此时f(x)为奇函数，则f(x)+f(−x)=2xx=2≠0，
即f(x)≠−f(−x)，故不存在实数c使得f(x)为奇函数.
（2）由函数f(x)的图像过点(1，3)，∴3=1+(3a+1)+c1+a，解得c=1，
令f(x)=0，则 x2+(3a+1)x+1x+a=0，则x2+(3a+1)x+1=0(x≠−a)
∵f(x)的图像与x轴负半轴有两个交点
∴方程x2+(3a+1)x+1=0在x轴负半轴有两个解.
∴∆=(3a+1)2−4>0x1+x2=−3a−1<0x1·x2=1>0，解得a>13
又∵x≠−a，此时a2−(3a+1)a+1≠0，解得a≠12，a≠−1
综上所述：a的取值范围为13，12∪12，+∞
【解析】【分析】(1)由奇函数定义先得出定义域，计算f(x)+f(−x)是否为0即可判断；
(2)有函数交点分析转化成方程根的分析问题，即分析分子二次函数部分的根分布情况及考虑分母不为0情况即得答案.
20．设f(x)=lg131−axx−1为奇函数，a为常数．
（1）求a的值；
（2）若∀x∈[2，4]，不等式f(x)+x>(13)x+m恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：因为f(x)=lg131−axx−1为奇函数，
则f(−x)+f(x)=lg131+ax−x−1+lg131−axx−1=lg13[(1+ax−x−1)(1−axx−1)]=lg131−(ax)21−x2=0．
则1−(ax)21−x2=1，所以a2=1即a=±1，
当a=1时，f(x)=lg131−xx−1=lg13(−1)，不合题意；
当a=−1时，f(x)=lg131+xx−1，由1+xx−1>0可得x>1或x<−1，满足题意；
故a=−1；
（2）解：由f(x)+x>(13)x+m可得lg131+xx−1+x>(13)x+m，
则m令g(x)=lg131+xx−1+x−(13)x，x∈[2，4]，
因为函数y=1+xx−1=1+2x−1在[2，4]上单调递减，
所以函数y=lg131+xx−1在[2，4]上单调递增，
所以g(x)在[2，4]上单调递增，所以g(x)min=g(2)=lg133+2−19=89，
所以m<89．
【解析】【分析】 (1)由奇函数的性质可得f(-x)+f(x)=0，代入运算后可得a=±1，代入验证即可求解出 a的值；
(2) 不等式f(x)+x>(13)x+m恒成立转化为m21．已知函数f(x)=lg2(4x+a)−x是偶函数.
（1）求实数a的值；
（2）求方程f(x)−x=1的实根的个数；
（3）若函数g(x)=2f(x)与ℎ(x)=(n−1)2x−n的图象有且只有一个公共点，求实数n的取值范围.
【答案】（1）解：因为函数f(x)=lg2(4x+a)−x是偶函数，
所以f(x)=f(−x)，即lg2(4x+a)−x=lg2(4−x+a)+x，
也即lg2(4x+a)−x=lg2(a⋅4x+1)−lg24x+x，
lg2(4x+a)=lg2(a⋅4x+1)，
4x+a=a⋅4x+1，(1−a)(4x−1)=0.
因为对定义域内的任意x上式恒成立，所以a=1.
（2）解：由（1）可知f(x)的解析式为f(x)=lg2(4x+1)−x=lg2(2x+12x).
所以f(x)−x=lg2(2x+12x)−x=lg2(1+14x).
因为函数y=lg2(1+14x)在R上单调递减，
又14x>0，所以函数y=lg2(1+14x)在R上的值域为(0，+∞).
所以方程f(x)−x=1的实根的个数为1.
（3）解：由题可知g(x)=2x+12x.
由ℎ(x)=g(x)，可得(n−1)2x−n=2x+12x.
令t=2x，则t∈(0，+∞).
所以(n−1)2x−n=2x+12x可化为(n−2)t2−nt−1=0.
令函数s(t)=(n−2)t2−nt−1.
当n−2=0，即n=2时，−2t−1=0，t=−12，舍去.
当n−2>0，即n>2时，s(t)的图象开口向上，
因为s(0)=−1<0，所以s(t)一定存在唯一的正根，符合题意.
当n−2<0，即n<2时，s(t)的图象开口向下，
因为s(0)=−1<0，
令Δ=n2+4(n−2)=0，解得n=−2±23.
又t>0，所以对称轴t=n2(n−2)>0，所以n>2（舍去）或n<0.
所以n=−2−23.
综上，实数n的取值范围是{n∣n>2}∪{−2−23}.
【解析】【分析】（1）由函数f(x)=lg2(4x+a)−x是偶函数得f(x)=f(−x) 列方程整理可得 lg2(4x+a)=lg2(a⋅4x+1)，求解可得实数a的值；
（2）由（1）可得函数f(x)−x=lg2(1+14x). 分析函数f(x)−x单调性与值域范围得出方程f(x)−x=1的实根的个数；
（3）由(1)得g(x)=2x+12x，联立两函数建立方程，令t=2x，则t∈(0，+∞)，可得 (n−2)t2−nt−1=0，构造函数s(t)=(n−2)t2−nt−1，分 n−2=0 ， n−2>0 ， n−2<0 三种情况结合二次函数的性质可求出实数n的取值范围.
22．已知函数f(x)=2x+mx2+1，x∈R是奇函数.
（1）求实数m的值；
（2）讨论函数f(x)在[2，3]上的单调性，并求函数f(x)在[2，3]上的最大值和最小值.
【答案】（1）解：∵f(x)=2x+mx2+1，x∈R是奇函数，所以f(0)=m=0，
检验知，m=0时，f(x)=2xx2+1，x∈R是奇函数，所以m=0；
（2）解：∀x1，x2∈[2，3]，且x1f(x1)−f(x2)=2x1x12+1−2x2x22+1=2x1(x22+1)−2x2(x12+1)(x12+1)(x22+1)=2(x1−x2)(1−x1x2)(x12+1)(x22+1)，
∵2≤x11，即1−x1x2<0，
又(x12+1)(x22+1)>0，所以f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)=2xx2+1在[2，3]上单调递减，
所以当x=2时，f(x)取得最大值45；当x=3时，f(x)取得最小值35.
【解析】【分析】(1)由已知结合奇函数的性质f(0)=0可求出实数m的值；
(2))先设 ∀x1，x2∈[2，3]，且x1