备战2024年高考数学二轮专题考前演练之函数的周期性与对称性 (解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮专题考前演练之函数的周期性与对称性 (解析)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)=2−f(x).若f(x)的图象关于直线x=3对称，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．f(−3)=1B．f(0)=0C．f(3)=2D．f(5)=−1
【答案】A
【解析】【解答】函数f(x)的图象关于直线x=3对称，则必有f(3−x)=f(x+3)，所以，f(0)=f(6)，
f(1)=f(5)，f(2)=f(4)，又因为f(x)满足f(2−x)=2−f(x)，取x=1，所以，f(1)=2−f(1)，f(1)=1，则f(1)=f(5)=1，取x=5，则f(−3)=2−f(5)=1，A对；
故答案为：A
【分析】根据题意，利用对称性，得到f(3−x)=f(x+3)，再利用f(2−x)=2−f(x)，对x进行赋值，然后可求解.
2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2+x)+f(2−x)=0，f(x+1)为偶函数且f(1)=1，则f(2023)=（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】A
【解析】【解答】因为f(x+1)为偶函数，所以f(1+x)=f(1−x)，所以f(x)=f(2−x)．
又f(2+x)+f(2−x)=0，所以f(x+2)=−f(x)，
所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，所以函数f(x)的一个周期为4，
所以f(2023)=f(506×4−1)=f(−1)=−f(1)=−1．
故答案为：A．
【分析】根据f(x+1)为偶函数，得到f(1+x)=f(1−x)，再结合f(2+x)+f(2−x)=0得到f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，故函数f (x)的一个周期为4，故可求解出答案.
3．已知f(x)与g(x)都是定义在R上的函数，f(x+1)是奇函数，g(3−x2)是偶函数，且f(x)，g(x)都不是常数函数，现有下列三个结论：①f(1)=0；②g(x)的图象关于直线x=3对称；③f(x)与g(x)在(3，+∞)上的单调性可能相同. 其中正确结论的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】【解答】对于①：由f(x+1)是奇函数，即f(x+1)=−f(−x+1)，取x=0得f(1)=−f(1)，则f(1)=0，正确；
对于②：由g(3−x2)是偶函数，得g(3−x2)=g(3+x2)，则g(x)的图象关于直线x=3对称，正确；
对于③：取f(x)=(x−1)3，g(x)=3(x−3)2，则f(x)与g(x)在(3，+∞)上都单调递增，正确.
故答案为：D.
【分析】 根据奇函数的性质及赋值法得到f(1)=−f(1)，从而判断①；根据偶函数的性质得到g(3−x2)=g(3+x2)从而判断②；取f(x)=(x−1)3，g(x)=3(x−3)2判断两者的单调性，从而判断③，可得答案.
4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(−x)−f(2+x)=0，当x∈(0，1]时，f(x)=lg2x，则f(40392)+f(94)=（ ）
A．−3B．−1C．2D．3
【答案】D
【解析】【解答】因为f(−x)−f(2+x)=0，即 f(2+x)=f−x，
又因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(2+x)=f−x=−fx，
可得f(x+4)=−fx+2=−−fx=fx，
所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(40392)=f2020−12=f−12=−f12=−lg212=1，
f(94)=f(2+14)=−f14=−lg214=2，
所以f(40392)+f(94)=1+2=3.
故答案为：D.
【分析】根据题意分析可得f(2+x)=−fx，进而可得函数f(x)是以4为周期的周期函数，结合对数的定义运算求解.
5．定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，且f(x+2)−1为奇函数，则k=12023f(k)（ ）
A．-2023B．-2022C．2022D．2023
【答案】D
【解析】【解答】∵f(2−x)=f(x)，∴f(x)关于x=1对称，
∵f(x+2)−1为奇函数，∴由平移可得f(x)关于(2，1)对称，且f(2)=1，
∴f(x+2)−1=−f(−x+2)+1，即
f(x+2)+f(2−x)=2
∵f(2−x)=f(x)
∴f(x+2)+f(x)=2
∴f(x+4)+f(x+2)=2
上两式比较可得
f(x)=f(x+4)
∴函数f(x)是以4为周期的周期函数.f(1)+f(3)=2f(2)=2，f(4)=f(2)=1，
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4， ∴k=12023f(k)=4×20244−f(4)=2023.
故答案为：D.
【分析】利用抽象函数的轴对称与中心对称性的性质，得出函数f (x)的对称轴和中心对称点及周期，利用相关性质得出具体函数值，即可得出答案.
6．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=−f(2−x)，f(x+3)=f(3−x)，则下列说法正确的是（ ）
A．f(x)的周期为2B．f(x+2)为偶函数
C．f(0)=0D．f(1)=0
【答案】C
【解析】【解答】由f(x+2)=−f(2−x)，得f(x+4)=−f(−x)，由f(x+3)=f(3−x)，得f(x+6)=f(−x)，
所以f(x+6)=−f(x+4)=f(x+2)，即f(x)的周期为4，A选项错误；
由f(x+2)=−f(2−x)可知f(x)的图象关于点(2，0)对称，所以f(0)=−f(2)=0，C选项正确，
由f(x+3)=f(3−x)知f(x)的图象关于直线x=3对称，所以f(x+2)的图象关于直线x=1对称，
进一步可知f(x)图象的对称轴方程为x=m（m为奇数），所以f(x+2)不是偶函数，B选项错误；
f(x)的对称中心为点(n，0)（n为偶数），无法得到f(1)=0，D选项错误，
故答案为：C.
【分析】 可得f(x)的周期为4 ， f (x)的图象关于点(2， 0)对称，逐项进行判断，可得答案.
7．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)，y=f(x+3)为偶函数，若f(x)在(0，3)内单调递增.记a=f(2021)，b=f(e−1)，c=f(ln2)，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b