备战2024年高考数学二轮专题考前演练之全称量词与存在量词 (解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮专题考前演练之全称量词与存在量词 (解析)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．命题p：∀x∈R，2x+x2−x+1>0，则¬p为（ ）
A．∀x∈R，2x+x2−x+1≤0B．∀x∈R，2x+x2−x+1<0
C．∃x0∈R，2x0+x02−x0+1<0D．∃x0∈R，2x0+x02−x0+1≤0
【答案】D
【解析】【解答】因为对全称量词的否定用特称量词，
所以命题p：∀x∈R，2x+x2−x+1>0的否定为：∃x0∈R，2x0+x02−x0+1≤0.
故答案为：D
【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出¬p.
2．已知函数P(C)=35，其导函数为y=f′(x)，有以下两个命题：
①若y=f′(x)为偶函数，则y=f(x)为奇函数；
②若y=f′(x)为周期函数，则y=f(x)也为周期函数．
那么（ ）．
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题D．①、②都是假命题
【答案】D
【解析】【解答】对①，取非奇函数f(x)=sinx+1，则f′(x)=csx为偶函数，故①为假命题；
对②，取函数f(x)=x+sinx，则函数不是周期函数，但f′(x)=1+csx是周期函数，故②为假命题.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合偶函数和奇函数的定义，再结合周期函数的定义，进而判断出 ①、②都是假命题 。
3．命题“∀x∈Q，x2−5≠0”的否定为（ ）
A．∃x∉Q，x2−5=0B．∀x∈Q，x2−5=0
C．∀x∉Q，x2−5=0D．∃x∈Q，x2−5=0
【答案】D
【解析】【解答】原命题为全称量词命题，该命题的否定为“∃x∈Q，x2−5=0”.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合全称命题与特称命题互为否定的关系，进而写出命题“∀x∈Q，x2−5≠0”的否定。
4．下列命题正确的是（ ）
A．“∃x∈R，lg12(x2+1)>0”的否定为假命题
B．若“∀x∈R，ax2+4x+1>0”为真命题，则a≤4
C．若a>0，b>0，且a+3b+ab=9，则a+3b≥6
D．a+b=0的必要不充分条件是ab=−1
【答案】C
【解析】【解答】对于A：x2+1≥1，∴lg12(x2+1)≤0恒成立，则x∈R，lg12(x2+1)>0为假命题，A不符合题意；
对于B：当a=0时，4x+1>0不恒成立，B不符合题意；
对于C：∵3ab≤(a+3b2)2，∴ab≤13⋅(a+3b2)2，∴9−(a+3b)≤13⋅(a+3b)24，解得a+3b≥6，C符合题意；
对于D：当a=b=0时，得不到ab=−1，但当ab=−1时，必有a+b=0，所以ab=−1是a+b=0的充分不必要条件，D不符合题意．
故答案为：C
【分析】对于A，根据命题否定可判断；对于B：当a=0时，4x+1>0不恒成立；对于C：由基本不等式判断即可；对于D：由充分条件、必要条件的定义即可判断.
5．下列说法不正确的是（ ）
A．命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2−3x+2≠0”
B．p∧q为假命题，则p，q均为假命题
C．若“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件
D．若命题p：“∃x0∈R，使得x02+x0+1<0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”
【答案】B
【解析】【解答】对于A，由逆否命题定义知原命题的逆否命题为：若x≠1，则x2−3x+2≠0，知A正确，不符合题意；
对于B，若p∧q为假命题，则p，q一真一假或均为假命题，B错误，符合题意；
对于C，x>1⇒|x|>1，充分性成立；|x|>1⇒x>1或x<−1⇏x>1，必要性不成立，∴“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件，C正确，不符合题意；
对于D，由特称命题的否定知¬p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，D正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合原命题与逆否命题的关系、复合命题真假性判断方法、充分条件和必要条件的判断方法、全称命题与特称命题互为否定的关系，进而找出说法不正确的选项。
6．已知命题p：∀x≥0，ln(1+x)≥x−x22，则命题p的否定为（ ）
A．∀x≥0，ln(1+x)C．∀x<0，ln(1+x)【答案】B
【解析】【解答】根据含有全称量词命题的否定可知，
命题p：∀x≥0，ln(1+x)≥x−x22，则命题p的否定为：
∃x≥0，ln(1+x)故答案为：B
【分析】由含全称量词命题的否定直接求解即可.
7．下列说法正确的是（ ）
A．“a≥b”是“am2≥bm2”的充要条件
B．“x=kπ4，k∈Z”是“tanx=1”的必要不充分条件
C．命题“∃x0∈R，x0+1x0≥2”的否定形式是“∀x∈R，x+1x>2”
D．“xy=1”是“lgx+lgy=0”的充分不必要条件
【答案】B
【解析】【解答】对A，若am2≥bm2中，m=0时a对B，当x=34π时，tanx=−1，故tanx≠1，
若tanx=1，则x=(4k+1)π4，B对；
对C，存在量词命题的否定是∀x∈R，x+1x<2，C不符合题意；
对D，若xy=1，x，y均为负数，则lgx，lgy无意义，D不符合题意.
【分析】对A，根据不等式的基本性质即可判断；
对B，当x=34π时，tanx=−1，若tanx=1，则x=(4k+1)π4，即可判断；
对C，存在量词命题的否定判断即可；
对D，若xy=1，x，y均为负数，则lgx，lgy无意义，即可判断.
8．下列说法正确的是（ ）
A．“∀x>0，ex>x+1”的否定形式是“∃x≤0，ex≤x+1”
B．若函数f(x)为奇函数，则f(0)=0.
C．两个非零向量a，b，a//b是a=b的充分不必要条件
D．若xy≥0(x∈R，y∈R)，则|x+y|+|x|+|y|≥2|x−y|
【答案】D
【解析】【解答】对于A：“∀x>0，ex>x+1”的否定形式是“∃x>0，ex≤x+1”，A不符合题意；
对于B：若x=0无定义，则f(0)无意义，B不符合题意；
对于C：对两个非零向量a，b，a//b不能推出a=b，但是“a=b”能推出a//b，所以a//b是a=b的必要不充分条件，C不符合题意；
对于D：若xy≥0(x∈R，y∈R)，则|x+y|+|x|+|y|=2(|x|+|y|).
由绝对值的三角形不等式可得|x−y|≤|x|+|y|，
所以2|x−y|≤2(|x|+|y|)=|x+y|+|x|+|y|.D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据全称量词的否定是存在量词可知A错误；若x=0无定义，则B错误；根据平面向量知识和必要不充分条件的定义可知C错误；根据绝对值三角不等式可知D正确.
9．已知命题“存在x∈{x|1A．[83，+∞)B．(−∞，0)∪[83，+∞)
C．(−∞，0]D．(−∞，0]∪[83，+∞)
【答案】D
【解析】【解答】由x2−mx−1=0得m=x−1x，函数在(1，3)上为增函数，
∴0故当命题“存在x∈{x|1故答案为：D.
【分析】 根据条件进行转化，由x2−mx−1=0得m=x−1x在x∈{x|110．已知命题p：∀x∈R，x2+1≥a，若¬p为真命题，则a的取值范围是（ ）．
A．(−∞，1)B．(−∞，1]C．(1，+∞)D．[1，+∞)
【答案】C
【解析】【解答】¬p：∃x∈R，x2+11.
故答案为：C.
【分析】根据全称命题的否定得到¬p，然后将存在问题转化为最值问题，求出(x2+1)min即可.
11．若命题“∀x∈R，m≥sinx+csx”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥2B．m≥2C．m≤−2D．m≤−2
【答案】A
【解析】【解答】sinx+csx=2sin(x+π4)，函数的最大值是2，
根据命题是真命题可知，m≥(sinx+csx)max，即m≥2.
故答案为：A
【分析】根据三角恒等变形可得sinx+csx=2sin(x+π4)，利用正弦函数的性质可求出函数的最大值，再根据命题是真命题可得m≥(sinx+csx)max，求解可得实数m的取值范围.
12．已知0bx，②∀x∈(0，1)，lgax>lgbx，③∃x∈(0，1)，xa>xb，④∃x∈(0，b)，ax>lgax．
其中是真命题的有（ ）
A．①③B．②④C．①②D．③④
【答案】C
【解析】【解答】对于①，由01，∀x∈(0，+∞)，axbx=(ab)x>(ab)0=1，则ax>bx，①正确；
对于②，∀x∈(0，1)，lgxa−lgxb=lgxablgbx，②正确；
对于③，函数y=mx(0对于④，当x∈(0，b)时，ax<1，lgax>lgab>lgaa=1，即ax所以所给命题中，真命题的是①②．
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合全称命题和特称命题的真假性判断方法，进而找出真命题的选项。
二、填空题
13．命题“ax2−2ax−3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是 ．
【答案】[-3，0]
【解析】【解答】由题意可得：ax2−2ax−3≤0恒成立，
当a=0时，则−3≤0恒成立，即a=0符合题意；
当a≠0时，则a<0∆=4a2+12a≤0，解得−3≤a<0；
综上所述： 实数a的取值范围是 [-3，0].
故答案为：[-3，0].
【分析】根据题意可得ax2−2ax−3≤0恒成立，分a=0和a≠0两种情况，结合二次函数运算求解.
14．命题“∃x∈R，ax2+x+1<0”为假命题，则实数a的取值范围为 .
【答案】a≥14
【解析】【解答】由题意可知，命题“∀x∈R，ax2+x+1≥0”为真命题.
当a=0时，由x+1≥0可得x≥−1，不合乎题意；
当a≠0时，由题意可得a>0Δ=1−4a≤0，解得a≥14.
因此，实数a的取值范围是a≥14.
故答案为：a≥14.
【分析】利用已知条件结合全称命题与特称命题的真假性相反的关系，再结合分类讨论的方法和不等式恒成立问题求解方法以及二次函数的开口方向和判别式法，进而结合并集的运算法则得出实数a的取值范围。
15．命题 p ： ∀x≥0 ， x2−2x+e2≤3 ，则 ¬p 为 .
【答案】∃x0≥0 ， x02−2x0+e2>3
【解析】【解答】命题 p ： ∀x≥0 ， x2−2x+e2≤3 . 则 ¬p 为： ∃x0≥0 ， x02−2x0+e2>3
故答案为： ∃x0≥0 ， x02−2x0+e2>3
【分析】根据全称命题的否定为特称命题，可得出答案.
16．命题“∃x∈R，(a2−4)x2+(a+2)x−1≥0”为假命题，则实数a的取值范围为 .
【答案】{a|−2≤a<65}
【解析】【解答】由题意可知，命题“∀x∈R，(a2−4)x2+(a+2)x−1<0”为真命题.
①当a2−4=0时，可得a=±2.
若a=−2，则有−1<0，合乎题意；
若a=2，则有4x−1<0，解得x<14，不合乎题意；
②若a2−4≠0，则a2−4<0Δ=(a+2)2+4(a2−4)<0，解得−2综上所述，实数a的取值范围是{a|−2≤a<65}.
故答案为：{a|−2≤a<65}.
【分析】分析可知命题“∀x∈R，(a2−4)x2+(a+2)x−1<0”为真命题，分a2−4=0、a2−4≠0两种情况讨论，结合已知条件可得出关于a的不等式（组），综合可求得实数a的取值范围.
三、解答题
17．已知 p：∀x∈R ， m(4x2+1)>x ； q：∃x∈[2，8] ， mlg2x+1⩾0 .
（1）若 p 为真命题，求实数 m 的取值范围；
（2）若 p 与 q 的真假性相同，求实数 m 的取值范围.
【答案】（1）解：∵∀x∈R，m(4x2+1)>x ，∴m>0 且 1−16m2<0 ，
解得 m>14 .所以当 p 为真命题时，实数 m 的取值范围是 (14，+∞) .
（2）解： ∃x∈[2，8] ， mlg2x+1⩾0⇒∃x∈[2，8]，m⩾−1lg2x .
又∵当 x∈[2，8] 时， −1lg2x∈[−1，−13] ，∴m≥−1 .
∵p 与 q 的真假性相同.
当 p 假 q 假时，有 m⩽14m<−1 ，解得 m<−1 ；
当 p 真 q 真时，有 m>14m⩾−1 ，解得 m>14 .
∴当 p 与 q 的真假性相同时，可得 m<−1 或 m>14 .
【解析】【分析】（1）即求 m(4x2+1)>x 解集为 R 时， m 的取值范围，对 m 分类讨论，结合根的判别式，即可求解；（2）先求出 q 为真时 m 的范围，转化为求 ∃x∈[2，8]，m⩾−1lg2x ，再由命题的真假，求出结论.
18．已知函数 f(x)=|x+1|−|x+a| .
（1）若 a=−1 ，求不等式 f(x)⩾−1 的解集；
（2）若“ ∀x∈R ， f(x)<|2a+1| ”为假命题，求 a 的取值范围.
【答案】（1）解：当 a=−1 时， f(x)=|x+1|−|x−1|=−2,x≤−1,2x,−1由 f(x)⩾−1 ，得 x⩾−12 .
故不等式 f(x)⩾−1 的解集为 [−12,+∞)
（2）解：因为“ ∀x∈R ， f(x)<|2a+1| ”为假命题，
所以“ ∃x∈R ， f(x)⩾|2a+1| ”为真命题，
所以 f(x)max⩾|2a+1| .
因为 f(x)=|x+1|−|x+a|⩽|(x+1)−(x+a)|=|a−1| ，
所以 f(x)max=|a−1| ，则 |a−1|⩾|2a+1| ，所以 (a−1)2⩾(2a+1)2 ，
即 a2+2a≤0 ，解得 −2⩽a⩽0 ，即 a 的取值范围为 [−2,0]
【解析】【分析】（1）当 a=−1 时，将函数 f(x) 写成分段函数，即可求得不等式的解集.（2）根据原命题是假命题，这命题的否定为真命题，即“ ∃x∈R ， f(x)⩾|2a+1| ”为真命题，只需满足 f(x)max⩾|2a+1| 即可.
19．已知 p： 对 ∀x∈[−2，2] 函数 f(x)=lg(3a−ax−x2) 总有意义， q： 函数 f(x)=13x3−ax2+4x+3 在 [1，+∞) 上是增函数；若命题“ p∨q ”为真，“ p∧q ”为假，求 a 的取值范围.
【答案】解：当 p 为真时， {3a+2a−4>03a−2a−4>0 ，解得 a>4 ，
当 q 为真时， f′(x)=x2−2ax+4≥0 在 [1，+∞) 上恒成立，
即 x+4x≥2a 对 x∈[1，+∞) 恒成立，所以 a≤2 ，
当 p 真 q 假 {a>4a>2⇒a>4 ：当 q 假 p 真： {a≤4a≤2⇒a≤2 ，
综上， a>4 或 a≤2
【解析】【分析】分别由对数型函数的定义域的导数研究函数的单调性求出命题p，q为真时，a的范围，命题“ p ∨ q ”为真，“ p ∧ q ”为假等价于p，q一真一假，得到关于a的不等式组，求出a的范围.