专题07 复数-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点冲刺（苏教版2019必修第二册）

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1．（2023春·江苏南通·高二海安高级中学校考阶段练习）设，则（ ）
A．1B．C．2D．
2．（2023·江苏·高一专题练习）复数满足，其中为虚数单位，则在复平面上复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）若复数z满足（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（ ）
A．z的实部是B．的虚部是
C．复数在复平面内对应的点在第四象限D．
4．（2023春·江苏苏州·高三统考开学考试）记是虚数单位，复数满足，则（ ）
A．－2或B．或C．或2D．或2
5．（2022秋·江苏南京·高三校考期末）设为实数，若存在实数，使得为实数（为虚数单位），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·江苏·高一专题练习）若是实系数一元二次方程的一个根，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7．（2023·江苏·高一专题练习）已知集合，则下列复数：①；②；③；④，其中属于集合M的为（ ）．
A．①②；B．①③；C．①④；D．①③④．
8．（2023·江苏·高一专题练习）下列命题一定成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则是纯虚数
D．若且，则且
9．（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）已知复数，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．3
10．（【全国百强校】广东省中山市第一中学2017-2018学年高二下学期第一次统测（4月段考）数学（文）试题）分别是复数在复平面内对应的点，是原点，若，则一定是
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
11．（2023·江苏·高一专题练习）已知下列命题：(1)“为实数”的充要条件是“”；(2)若，则；(3)；(4).在复数集中，上述命题正确的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
12．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．则（ ）
A．1B．C．D．i
二、多选题
13．（2022·江苏南京·模拟预测）已知R，复数，，则（ ）
A．，
B．若，时，
C．若，，，则
D．若，则
14．（2023·江苏·高一专题练习）下列关于复数的四个命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的共轭复数的虚部为1
C．若，则的最大值为3
D．若复数，满足，，，则
15．（2022秋·江苏泰州·高三统考期中）设复数z在复平面内对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则z的虚部为－2i
B．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i
C．若点Z坐标为（－1，3），且z是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的一个根，则p＋q＝12
D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
16．（2021春·江苏南京·高二统考期中）已知方程，则下列说法正确的是（ ）
A．若方程有一根为0，则且
B．方程可能有两个实数根
C．时，方程可能有纯虚数根
D．若方程存在实数根，则或
17．（2021春·江苏南京·高二南京市第二十九中学校考期中）“虚数”这个词是世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解.引进虚数概念以后，代数方程的求解问题才得以解决.设是方程的根，则（ ）
A．B．
C．是该方程的根D．是该方程的根
18．（福建省莆田市2022届高三3月第二次教学质量检测数学试题）意大利数学家卡尔达诺（Cardan.Girlam，1501-1576）发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤：
第一步，把方程中的用来替换，得到方程；
第二步，利用公式将因式分解；
第三步，求得，的一组值，得到方程的三个根：，，（其中，为虚数单位）；
第四步，写出方程的根：，，.
某同学利用上述方法解方程时，得到的一个值：，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
19．（江苏省常州市教育学会2021-2022学年高三上学期学业水平监测数学试题）是虚数单位，已知复数满足等式，则的模________．
20．（江苏省南通市海门区2021-2022学年高一下学期期末数学试题）设为虚数单位，复数，则的最大值为__________．
21．（2023·江苏·高一专题练习）设，，且，若，则________．
22．（沪教版（2020）一轮复习堂堂清第六单元综合练习）复数与在复平面上对应的向量分别为与，已知，，且，则复数______.
23．（【新东方】双师268高一下）已知复数z满足，则的最小值为_________．
24．（浙江省2020届高三下学期6月新高考进阶数学试题）在复变函数中，自变量可以写成，其中，是z的辐角．点绕原点逆时针旋转θ后的位置可利用复数推导，点绕原点逆时针旋转得_______；复变函数，，_______．
四、解答题
25．（2021·江苏·高一专题练习）计算下列各式，并作出几何解释：
（1）
（2）
（3）
（4）.
26．（2022·高一课时练习）已知复数
(1)当实数为何值时，为实数；
(2)当实数为何值时，为纯虚数.
27．（2021春·江苏连云港·高二江苏省新海高级中学校考阶段练习）已知是复数，与均为实数.
（1）求复数；
（2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
28．（2021春·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考阶段练习）（1）计算：．
（2）若复数满足方程：（为虚数单位），求复数．
29．（2023·江苏·高一专题练习）已知关于的一元二次方程的两根为、．
(1)若为虚数，求的取值范围；
(2)若，求的值．
30．（2021春·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考阶段练习）已知复数，其中是实数，
（1）若在复平面内表示复数的点位于第一象限，求的范围；
（2）若是纯虚数，是正实数，
①求，
②求；
31．（2021春·江苏宿迁·高一统考期末）已知复数满足，的虚部为2，在复平面内，所对应的点在第一象限．
（1）求复数；
（2）设向量表示复数对应的向量，的几何意义是将向量绕原点逆时针旋转后得到新的向量对应的复数．利用该几何意义，若是等边三角形，求向量对应的复数．
32．（2023春·江苏盐城·高一盐城中学校考阶段练习）已知虚数，，其中i为虚数单位，，、是实系数一元二次方程的两根．
(1)求实数m、n的值；
(2)若，求的取值范围．
33．（2021春·江苏南京·高一校联考期中）如图，在复平面中，平行四边形的顶点，.
（1）求点对应的复数；
（2）记点，，对应的复数分别为，，.
①若，求复数；
②若复数满足，求的最小值.
34．（上海市建平中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题）对于一组复数，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该复数组的“复数”.
（1）设，若是复数组，，的“复数”，求实数的取值范围；
（2）已知，，是否存在复数使得，，均是复数组，，的“复数”？若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；
（3）若，复数组，，，…，是否存在“复数”？给出你的结论并说明理由．