特训06 期中解答题（江苏精选归纳56道，第9-12章）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点冲刺（苏教版2019必修第二册）

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1．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考阶段练习）（1）已知，求的值；
（2）已知，，则．
2．（2023·江苏·高一专题练习）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
3．（2021春·江苏南京·高一校考阶段练习）已知，，，，求：
(1)的值；
(2)的值.
4．（2023·江苏·高一专题练习）已知的三个内角A，B，C满足：，，求的值.
5．（2023春·江苏宿迁·高一校考阶段练习）已知为斜三角形．
(1)证明：；
(2)若为锐角三角形，，求的最小值．
6．（2023春·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）在锐角三角形中，若.
(1)求的值；
(2)的最小值.
7．（2022·江苏·高一开学考试）已知函数．
(1)，为锐角，，，求及的值；
(2)已知，，，求及的值．
8．（2023春·江苏·高一校联考阶段练习）如图，在扇形中，圆心角，A是扇形弧上的动点．
(1)若平分时，求的值；
(2)若，矩形内接于扇形，求矩形面积的最大值．
9．（2020·高一课时练习）已知函数.
(1)求的最小正周期，并求的最小值及取得最小值时的集合；
(2)令，若存在使得成立，求实数的取值范围.
10．（2023春·江苏镇江·高一江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）设函数
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)当时，求函数的最大值和最小值并求出对应的.
11．（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）已知函数，，若，的最小值为
(1)求在区间上的值域；
(2)若，，求的值．
12．（2023春·江苏常州·高一校联考阶段练习）（1）已知α，β均为锐角，，求α－β的值；
（2）已知函数，若，求．
13．（2023春·江苏南京·高一南京市中华中学校考阶段练习）已知
(1)将表示成的形式．
(2)求在上的最大值．
(3)求对称中心．
14．（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考阶段练习）设，，，，
(1)，求证：．
(2)已知，，且，满足，求的最大值．
15．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）定义在区间上的函数且为奇函数．
(1)求实数的值，并且根据定义研究函数的单调性：
(2)不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
16．（2023·江苏·高一专题练习）已知函数满足，且在上单调递减．
(1)求的单调递增区间；
(2)已知负数满足恒成立，求的最大值．
17．（2023秋·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末）已知函数.
(1)求在上的单调递增区间；
(2)求函数在上的所有零点之和.
18．（2022秋·江苏常州·高一校考期末）已知函数.
(1)当时，
①求函数的图像的对称轴方程和对称中心的坐标；
②求函数在上的最值；
(2)若当，的最大值为2，求的值.
19．（2022秋·江苏常州·高一校考期末）已知函数.
(1)求函数的最大值，及取得最大值时对应所有自变量的值（用集合表示）；
(2)若函数在内恰有两个零点，求实数的取值范围.
20．（2022秋·江苏宿迁·高一泗阳县实验高级中学校考期末）已知函数.
(1)求函数在区间上的最大值和最小值；
(2)若，，求的值.
21．（2023·高一课时练习）已知函数．
(1)若存在，，使得成立，则求的取值范围；
(2)将函数的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，求函数在区间，内的所有零点之和．
22．（2022春·江苏南通·高一统考期末）由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式．
(1)试用表示
(2)求的值
(3)已知方程在上有三个根，记为，，，求证：．
23．（2022春·江苏苏州·高一统考期中）若已知向量，，设函数.
(1)若且，求的值；
(2)若函数在上的最大值为2，求实数a的值.
24．（2021春·江苏徐州·高一统考阶段练习）已知，，与的夹角为．
(1)求；
(2)当为何值时，？
25．（2023春·江苏扬州·高一扬州中学校考阶段练习）设两个向量满足，
(1)求方向的单位向量；
(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
26．（2023春·江苏盐城·高一校考阶段练习）如图所示，在中，是边的中点，在边上，与交于点．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
27．（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）等边三角形，边长为2，为的中点，动点在边上，关于的对称点为．
(1)若为的中点，求．
(2)求的取值范围．
28．（2023春·江苏镇江·高一江苏省镇江中学校考阶段练习）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E.且交AC于点F，
(1)求的值
(2)求的最小值.
29．（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考阶段练习）已知边长为6的正六边形，P，Q分别是线段AB，AF上的点，且，，AD与PQ交于点O．
(1)若，，求的值；
(2)若，，且，求x的值．
30．（2023春·江苏南京·高一南京市中华中学校考阶段练习）在锐角中，，点为的外心．
(1)若，求的最大值；
(2)若．
①求证：；
②求的取值范围．
31．（2023春·江苏连云港·高一校考阶段练习）如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设，．
(1)用，表示，；
(2)如果，，且，求BC．
32．（2023春·江苏·高一校联考阶段练习）如图所示，分别是单位圆与轴、轴正半轴的交点，点在单位圆上，，C点坐标为(－2，0)，平行四边形的面积为S.
(1)求·＋S的最大值；
(2)若，求的值．
33．（2023·江苏·高一专题练习）如图，在矩形中，点在边上，且，是线段上一动点．
(1)若是线段的中点，，求的值；
(2)若，，求解.
34．（2023春·江苏镇江·高一江苏省镇江中学校考阶段练习）已知D为等边所在平面内的一点，，且线段BC上存在点E，使得．
(1)试确定点E的位置，并说明理由；
(2)求的值．
35．（2023·江苏·高一专题练习）如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为．
(1)当多大时，船能垂直到达对岸？
(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？
36．（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）已知是不共线的两个向量，且.
(1)若且三点共线，求的值；
(2)若
①求证：.
②是否存在不等于0的实数和，使得向量，且？如果存在，试确定和的关系；如果不存在，请说明理由.
37．（2023春·江苏·高一校联考阶段练习）如图，在平面四边形中，，，，，、分别是，的中点，为线段上一点，且.设，.
(1)若，以，为基底表示向量与；
(2)若，求的取值范围.
38．（2023春·江苏徐州·高一校考阶段练习）如图，已知是边长为2的正三角形，点P在边BC上，且，点Q为线段AP上一点.
(1)若，求实数的值；
(2)求·的最小值.
39．（2022·江苏扬州·高一仪征中学校考开学考试）在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点．
(1)若，求的值；
(2)求的取值范围．
40．（2021春·江苏镇江·高一校考阶段练习）在中，，点在边上且，，
(1)若，求的长；
(2)若，求的值.
41．（2023春·江苏徐州·高一校考阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量．
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若，求的取值范围．
42．（2022春·江苏南京·高一校联考期中）在直角梯形ABCD中，已知，，，点F是BC边上的中点，点E是CD边上一个动点.
(1)若，求的值；
(2)求的取值范围.
43．（2022春·江苏苏州·高一江苏省沙溪高级中学校考期中）在锐角中，，点为的外心.
(1)若，求的最大值；
(2)若，
（i）求证：；
（ii）求的取值范围.
44．（2023春·江苏南京·高一南京市中华中学校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，，点M满足，点P在线段BC上运动（包括端点），如图所示．
(1)求与共线的单位向量的坐标；
(2)求∠OCM的余弦值；
(3)是否存在实数λ，使若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
45．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考阶段练习）在中，角所对的边分别为且
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为求的周长.
46．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)若，D为边的中点，，求a；
(2)若，求面积的最大值．
47．（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考阶段练习）解答下列问题：
(1)中，角所对的边分别为若，判断的形状；
(2)在中，角的平分线求的长.
48．（2023春·江苏镇江·高一江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）在△中，角所对的边分别为，.
(1)若，求的值；
(2)若，求的面积.
49．（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角C；
(2)求的取值范围．
50．（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考阶段练习）如图，某公园要在一个矩形景点的区域，水平铺设观光通道直角，其中H是直角，EF越长，观光效果越好．设计要求H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知米，米，设．
(1)试将EF表示为关于的函数，并写出定义域.
(2)问当取何值时，EF最长？并求出此时EF的长度.
51．（2023春·江苏·高一校联考阶段练习）在①，②，③的面积为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
在中，角所对的边分别为，且__________.
(1)求角；
(2)若，的内切圆半径为，求的面积.
52．（2023·高一单元测试）已知中，a，b，c是角A，B，C所对的边，，且.
(1)求角B；
(2)若，在的边AB，AC上分别取D，E两点，使沿线段DE折叠到平面BCE后，顶点A正好落在边BC（设为点P）上，求AD的最小值.
53．（2021春·江苏·高一校联考期中）如图，直角中，点M，N在斜边BC上（M，N异于B，C，且N在M，C之间）.
（1）若AM是角A的平分线，，且，求三角形ABC的面积；
（2）已知，，，设.
①若，求MN的长；
②求面积的最小值.
54．（2023·高一单元测试）已知向量，，函数
(1)求函数的解析式和对称轴方程；
(2)若a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，，试判断这个三角形解的个数，并说明理由；
(3)若时，关于x的方程恰有三个不同的实根，，，求实数的取值范围及的值.
55．（2023·江苏·高一专题练习）已知复数，，其中为非零实数．
(1)若是实数，求的值；
(2)若，复数为纯虚数，求实数的值；
56．（2023春·江苏盐城·高一盐城中学校考阶段练习）已知虚数，，其中i为虚数单位，，、是实系数一元二次方程的两根．
(1)求实数m、n的值；
(2)若，求的取值范围．