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特训09 期末选填题汇编66道（题型归纳）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点冲刺（苏教版2019必修第二册）
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这是一份特训09 期末选填题汇编66道（题型归纳）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点冲刺（苏教版2019必修第二册），文件包含特训09期末选填题汇编66道题型归纳原卷版docx、特训09期末选填题汇编66道题型归纳解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共74页， 欢迎下载使用。
1．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的运算和共轭复数的定义即可.
【解析】，
.
.
故选：B.
2．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由结合平方差公式以及复数的运算求解即可.
【解析】，即.
所以.
所以
.
故选：B
3．复数，将复数z的对应向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为（ ）
A．B．C．1D．i
【答案】A
【分析】求出复数z的对应向量的终点所在角终边，按逆时针方向旋转后对应点所对角终边，再求出对应点的坐标作答.
【解析】复数的对应向量的终点在坐标轴的第四象限的角平分线上，
将此角平分线按逆时针方向旋转后，得x轴的非负半轴，令点对应的点为，
由得：，即，点所对复数为，
所以将复数z的对应向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为.
故选：A
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换，将问题由弦化切计算即可.
【解析】，分子分母同时除以可得：
=5，
故选：A.
5．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】运用和角、差角公式（辅助角公式）、二倍角公式、诱导公式及三角函数的单调性可比较大小.
【解析】因为，
，
，
因为，
所以．
故选：B.
6．已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正切的倍角公式和和角公式计算即可.
【解析】由已知可得，
所以.
故选：B
7．已知函数，则函数在区间上的最小值和最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换整理得，结合正弦函数求最值.
【解析】由题意可得：，
∵，则，
当，即，取到最小值；
当，即，取到最大值；
故选：B.
8．已知函数，若函数在有且仅有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由三角恒等变换化简函数解析式为，由可计算出的取值范围，再根据已知条件可得出关于的不等式，解之即可.
【解析】因为
，
当时，，
因为函数函数在有且仅有两个零点，则，解得.
故选：D.
9．在中，，，边上的高为，则（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】D
【分析】设边上的高为，解三角形求，再由余弦定理求.
【解析】作，垂足为，
由已知可得，，，
所以，故，
由余弦定理可得，
又，，，
所以，
所以，
故选：D.
10．在中，角的对边分别为，若，则一定是( )
A．正三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰三角形
【答案】D
【分析】根据正弦定理化边为角，结合边的关系进行判断.
【解析】因为，所以由正弦定理可得，
因为，所以，
即，所以.
故选：D.
11．如图，某公园有一个半径为2公里的半圆形湖面，其圆心为O，现规划在半圆弧岸边取点C、D、E，且，在扇形区域内种植芦苇，在扇形区域内修建水上项目，在四边形区域内种植荷花，并在湖面修建栈道和作为观光线路.当最大时，游客有更美好的观赏感受，则的最大值为（ ）
A．B．4C．D．6
【答案】C
【分析】设，利用三角恒等变换、余弦定理求得的表达式，结合二次函数的性质求得正确答案.
【解析】设，则，
，则、为正数.
在三角形中，连接，由余弦定理得：，
在三角形中，由余弦定理得：
，
所以,
由于，所以当时，取得最大值，
也即时，取得最大值为.
故选：C
12．我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261）提出“三斜求积”求三角形面积的公式．以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上．余四约之，为实．一为从隅开方得积．如果把以上这段文字写成公式，就是：．在中，已知角A、B、C所对边长分别为，其中为方程的两根，，则的面积为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】由根与系数关系及三角形面积公式求的面积即可.
【解析】由题意，则.
故选：C
13．已知的内角的对边分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，求得，得到，求得，再由，求得的值，由求得的值，结合，即可求解.
【解析】因为，
由正弦定理得，
因为，可得，
又因为，可得，
代入上式，可得，
因为，可得，所以，
又因，所以，
因为，所以，所以，
由，可得，则，
所以.
又由.
故选：B.
14．下列向量中不是单位向量的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据单位向量的定义，一一判断各选项中的向量，即得答案.
【解析】由于，故，即为单位向量；
，则，故不是单位向量；
，则， 为单位向量；
根据单位向量的定义可知为单位向量，
故选：B
15．已知是边长为2的等边三角形，，，分别是边，，的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量加法、减法、数乘向量的几何意义，结合等边三角形的性质以及图象，即可判断A、B、C项；根据几何关系得出，，根据数量积的定义，即可得出D项.
【解析】
对于A项，因为是边的中点，所以，故A项错误；
对于B项，因为是边的中点，所以，
所以，故B项错误；
对于C项，因为，分别是边，的中点，所以，且.
又因为反向，所以，故C项错误；
对于D项，因为，，分别是边，，的中点，
所以，且,，且，
所以，，.
因为，，所以，
所以，
所以，故D项正确.
故选：D.
16．下列四个命题中真命题的个数是（ ）
①己知非零向量，，，若，，则
②已知，是两个互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则k的取值范围是
已知向量，，则向量在向量上的投影向量为
④已知，，，可以作为平面向量的一组基底
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据平面向量的共线定理和所成的角，以及投影向量的定义、基底的定义，对选项中的命题判断真假性即可.
【解析】对于①，非零向量，，，若，，则，，，
所以，，所以，命题①正确；
对于②，，是两个互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，
则，且与不共线，
所以且，所的取值范围是，命题②错误；
对于③，向量，，
则向量在向量上的投影向量为，命题③错误；
对于④：，，则，
所以，共线，不能作为平面向量的一组基底，故④错误.
所以真命题只有1个，序号为①.
故选：A.
17．已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当与方向相同时，
C．与角为钝角时，则t的取值范围为
D．当时，在上的投影向量为
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积、平行、垂直及投影向量的坐标表示依次判断选项即可得到答案.
【解析】对选项A，当，有，解得，所以A错误；
对选项B，当时，，解得，
当时，，，即，与方向相反，故B错误.
对选项C，当时，与方向相反，
当，解得，
所以与角为钝角，则，且，故C错误；
对选项D，有时，，
所以在上的投影向量为，
故D正确.
故选：D.
18．如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用向量线性运算可得，将问题转化为二次函数最值的求解，由此可得结果.
【解析】设，则，
是的中点，
，
当时，取得最小值.
故选：B.
19．设有两条不同的直线m、n和两个不同的平面、，下列命题中错误的命题是（ ）
A．若，，则
B．若，，，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】ABC
【分析】根据直线与直线的位置关系可判断A；根据面面平行的判定定理可判断B；根据线面的位置关系判断C；根据面面平行的性质定理判断D.
【解析】对于A，若，，则可能平行、异面或相交，A错误；
对于B，若，，，，不一定为相交直线，
只有当为相交直线时，才可得到，故B错误；
对于C，当，时，可能是，推不出一定是，C错误；
对于D，若，，根据面面平行的性质可知，D正确，
故选：ABC
20．已知一个装满水的圆台容器的上底面半径为5，下底面半径为1，高为，若将一个铁球放入该容器中，使得铁球完全没入水中，则可放入铁球的表面积的最大值为（ ）
A．32πB．36πC．48πD．50π
【答案】D
【分析】确定表面积最大时铁球的特性，作出圆台及球的轴截面，借助圆的切线性质及直角三角形求出球半径作答.
【解析】依题意，铁球的表面积最大时，该球与圆台上底面和侧面相切，显然铁球球心在圆台的轴线上，
过圆台的轴作平面截面圆台得等腰梯形，截球得球的大圆，圆与都相切，如图，
令的中点为，过点的圆的直径另一端点为，过作圆的切线交分别于，
则，即圆是等腰梯形的内切圆，过作的垂线，垂足分别为，
令圆切于，于是,，令圆的半径为，，
显然，又，则有，而，
因此，又，即，
中，，于是，解得，
所以可放入铁球的表面积的最大值.
故选：D
21．如图，正方体的棱长为1，动点在直线上，，分别是，的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A．∥B．平面
C．D．存在点，使得平面∥平面
【答案】D
【分析】对于A，可证FM∥AC与∥AC，即可得出结果；对于B，，，可得，再结合线面垂直的定义与判定定理分析判定；对于C多次利用线面垂直的判定与性质即可判断；对于D，可证与相交，则平面BEF与平面CC1D1D相交．
【解析】对A，连接AC，∵F，M分别是AD，CD的中点，则FM∥AC
又∵∥，，则为平行四边形，即∥AC
∴FM∥，A正确；
对B，连接，∵，，即
∴，即
又∵⊥平面ABCD，平面ABCD，则，
因为，平面，
∴BM⊥平面，B正确；
对C，分别连接，，，
平面，平面，
，，，且平面，
平面，平面，，
平面，平面，，
，平面，
平面，平面，，
平面，
平面，平面，，故C正确；
对D，∵F是AD的中点，则∥，=，则为梯形
∴与相交，则平面BEF与平面相交，故D不正确；
故选：D．
22．有一组样本数据如下：
56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98
则其25%分位数、中位数与75%分位数分别为（ ）
A．65，76，82B．66，74，82C．66，76，79D．66，76，82
【答案】D
【分析】由百分位数和中位数的定义求解即可.
【解析】因为，所以样本数据的25%分位数为第六个数据即66；
中位数为：，
因为，所以样本数据的75%分位数为第十七个数据即82.
故选：D.
23．某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表：
如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是（ ）
A．平均数B．众数
C．中位数D．极差
【答案】B
【分析】根据众数、平均数、中位数、方差的意义进行选择.
【解析】鞋店经理最关心的是哪个鞋号的鞋销量最大，由表可知，鞋号为37的鞋销量最大，共销售了16双，所以这组数据最重要的是众数．
故选：B.
24．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平均数以及方差的计算公式，比较数据的变化，即可求得答案.
【解析】甲少记30分，乙多记30分，则总分不变，由此知平均分不发生变化.
设其余46名学生的成绩分别为，
则原方差，
更正后方差
，
故选：B.
25．已知数据是某市普通职工个人的年收入，设这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，那么关于这个数据的说法正确的是（ ）
A．平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B．平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
【答案】B
【分析】根据极端值对平均数、中位数和方差的影响直接判断即可.
【解析】插入的时大的极端值，则平均数增加，中位数可能不发生变化，方差因为数据更加分散而变大，ACD错误，B正确.
故选：B.
26．已知事件A与事件B是互斥事件，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据互斥事件、对立事件、必然事件的概念可得答案.
【解析】因为事件A与事件B是互斥事件，则不一定是互斥事件，所以不一定为0，故选项A错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，所以，则，而不一定为0，故选项B错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是对立事件，故选项C错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，是必然事件， 所以，故选项D正确.
故选：D.
27．如图，随机事件A，B互斥，记分别为事件A，B的对立事件，那么（ ）
A．A∪B是必然事件
B．∪是必然事件
C．与一定互斥
D．与一定不互斥
【答案】B
【分析】用集合的思想看事件的Venn图即可的解.
【解析】由Venn图可知A，B互斥，即为不可能事件，∪是必然事件，
故选：B.
28．出租车司机老王从饭店到火车站途中经过六个交通岗，已知各交通岗信号灯相互独立.假设老王在各交通岗遇到红灯的概率都是，则他遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.
【解析】因为司机老王在第一、二个交通岗未遇到红灯，
在第三个交通岗遇到红灯之间是相互独立的，且遇到红灯的概率都是，
所以未遇到红灯的概率都是，
所以遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为.
故选：B
29．小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a，a，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，并利用D，E，F构造相应的事件，根据概率加法公式与乘法公式求解相应事件的概率.
【解析】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，
且.
恰好能答对两道题为事件，且两两互斥，
所以
，
整理得，他三道题都答错为事件，
故.
故选：C.
30．从高一（男、女生人数相同,人数很多）抽三名学生参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是（ ）
A．B．
C．事件A与事件B互斥D．事件A与事件C对立
【答案】B
【分析】由独立乘法公式求，根据事件的描述，结合互斥、对立事件的概念判断B、C、D即可.
【解析】由所抽学生为女生的概率均为，则，A正确；
两事件不可能同时发生，为互斥事件，C正确；
事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，
其对立事件为，D正确；
事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，
与事件含义相同，故，B错误；
故选：B.
二、多选题
31．下列有关复数的叙述正确的是（ ）
A．若，则B．若，则的虚部为
C．若，则不可能为纯虚数D．若复数z满足，则
【答案】ACD
【分析】根据复数的运算、复数的概念判断各选项即可．
【解析】对A，，所以，A正确；
对B，，虚部是，B错误；
对C，，若，则是实数，若，则是虚数，不是纯虚数，C正确；
对于D，设，因为，
由得，则，所以D正确.
故选：ACD．
32．已知复数满足，，x，，，所对应的向量分别为，，其中O为坐标原点，则（ ）
A．的共辄复数为B．当时，为纯虚数
C．若，则D．若，则
【答案】CD
【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而根据共轭复数以及虚部的定义可判断A，B,根据复数的几何意义以及向量的垂直平行坐标满足的关系，即可判断C，结合复数模长公式即可判断D.
【解析】A选项：由于，所以的共轭复数为，故选项A错误，
,B选项：当当时，，若，则为为实数，故选项B错误；
C选项：易知，，又，则，即，故选项C正确;
D选项：由于，则，
，
，
故，选项D正确．
故选：CD.
33．下列计算结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则
【答案】ABD
【分析】利用和差公式和同角三角函数关系计算得到ABD正确，计算得到，C错误，得到答案.
【解析】对选项A：，正确；
对选项B：
，正确；
对选项C：，错误；
对选项D：，则，
故，故，正确.
故选：ABD
34．关于函数，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的最大值为2
B．是函数的图象的一条对称轴
C．点是函数的图象的一个对称中心
D．在区间上单调递增
【答案】AC
【分析】由题可得，然后根据余弦函数的性质逐项分析即得.
【解析】因为，
对A，由可得函数的最大值为2，故A对；
对B，，故B错；
对C，，故C对；
对D，，在上单调递减，故在区间上单调递减，错.
故选：AC.
35．设函数，则（ ）
A．的一个周期为B．在上单调递增
C．在上有最大值D．图象的一条对称轴为直线
【答案】BD
【分析】利用诱导公式化简可得，可判断选项A；利用换元法和函数的单调性，可判断选项B和C；利用诱导公式化简可得，可判断选项D．
【解析】对A：，故不是的周期，A错误；
对B：令，则，
则，
∵，则，
∴在上单调递增，且，
又∵在上单调递增，故在上单调递增，B正确；
对C：∵，则，
∴，则，
又∵在上单调递增，且，
∴在上最大值为，
即在上有最大值，C错误；
对D：，故图象的一条对称轴为直线，D正确.
故选：BD.
【点睛】结论点睛：
若，则关于直线对称，特别地，则关于直线对称；
若，则关于点对称，特别地，则关于点对称.
36．若函数，则（ ）
A．函数的一条对称轴为
B．函数的一个对称中心为
C．函数的最小正周期为
D．若函数，则的最大值为2
【答案】ACD
【分析】根据三角函数的同角关系和二倍角的正、余弦公式化简可得，结合余弦函数的性质依次判断选项即可.
【解析】由题意得，
.
A：当时，，又，
所以是函数的一条对称轴，故A正确；
B：由选项A分析可知，所以点不是函数的对称点，故B错误；
C：由，知函数的最小正周期为，故C正确；
D：，所以，故D正确.
故选：ACD．
37．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则△ABC是钝角三角形
C．若，，则△ABC面积的最大值是
D．若，则△ABC为直角三角形
【答案】ABC
【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【解析】A选项，当时，由正弦定理得，
在三角形中，大角对大边，所以，所以A选项正确.
B选项，当时，由正弦定理得，
所以，所以为钝角，故三角形是钝角三角形，B选项正确.
C选项，由余弦定理得，
当且仅当时等号成立，所以，
所以三角形面积的最大值是，C选项正确.
D选项，若，则，
，所以D选项错误.
故选：ABC
38．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若为斜三角形，则
C．若，则是锐角三角形
D．若，则一定是等边三角形
【答案】ABD
【分析】由正弦定理和比例性质可以判断A，D选项，根据诱导公式及两角和公式判断B选项，由平面向量的数量积判断三角形形状判断C选项，
【解析】对于A，由正弦定理和比例性质得，故A正确；
对于B，由题意，，则，
所以，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，
所以C为钝角，是钝角三角形，故C错误；
对于D，因为，所以，所以，且A，B，，所以，所以为等边三角形，故D正确．
故选:ABD．
39．下列说法中正确的是（ ）
A．非零向量和满足，则与的夹角为
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若，则在方向上的投影向量的模为
D．若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
【答案】BC
【分析】利用数量积的运算律可得，再求出，最后根据夹角公式计算即可判断A，由即可判断B，根据投影的定义判断C，根据且与不能同向，即可得到不等式组，解得即可判断D.
【解析】对于A：由，，
所以，即，
所以，
所以，所以与的夹角为，故A错误；
对于B：由，，所以，则与共线，不能作为平面向量的基底，故B正确；
对于C：，则或，则在方向上的投影向量的模为，故C正确；
对于D：由，，则，
若与的夹角为锐角，则且与不能同向，
即，解得且，故D正确；
故选：BC．
40．在中，，，，点为线段上靠近端的三等分点，为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．与的夹角的余弦值为
C．D．的面积为
【答案】AC
【分析】根据向量线性运算直接判断即可知A正确；以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量夹角的坐标运算可求得B错误；由向量数量积坐标运算可求得C正确；由可知D错误.
【解析】对于A，为中点，，A正确；
对于B，以为坐标原点，正方向为轴可建立平面直角坐标系，
则，，，，，，，
，
即与夹角的余弦值为，B错误；
对于C，，，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：AC.
41．如图，在中，，，直线AM交BN于点Q，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据共线向量的性质，结合三点共线定理逐一判断即可.
【解析】对于A，因为，所以，则，故A错误；
对于B和C，因为A，M，Q三点共线，由共线定理可知，存在实数，
使得，设，
所以，所以
解得，
，
显然成立，
因为，所以，
故B，C正确；
对于D，因为，所以是的中点，因此，
由上可知，
，故D错误．
故选：BC
42．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点在线段上
B．若，则点是的重心
C．若，则点的轨迹必过的内心
D．若，且，则的面积是面积的
【答案】BCD
【分析】利用平面向量的线性运算可判断A选项；利用平面向量的线性运算以及三角形重心的定义可判断B选项；利用三角形内心的性质以及平面向量的线性运算可判断C选项；利用平面向量的线性运算以及三角形面积的关系可判断D选项.
【解析】对于A选项，因为，则，可得，
所以， 点在射线上，且点为线段的中点，A错；
对于B选项，设点为线段的中点，
则，
因为，
此时点为重心，B对；
对于C选项，因为，
则，
因为、分别是与、方向相同的单位向量，
记住，，以、为邻边作平行四边形，
则四边形为菱形，则平分，且，
即，
此时，点的轨迹必过的内心，C对；
对于D选项，因为，且，
所以，且，
设，则，
即，即，所以，、、三点共线，
又因为，所以为的中点，如图所示：
所以，故D正确.
故选：BCD.
43．已知空间中的平面，直线，，以及点，，，，则以下四个命题中，不正确的命题是（ ）
A．在空间中，四边形满足，则四边形是菱形.
B．若，，则.
C．若，，，，，，则.
D．若和是异面直线，和是平行直线，则和是异面直线.
【答案】ABD
【分析】举特例即可说明A、D错误；根据直线与平面的位置关系可判断B；由已知结合基本事实2，即可得出C.
【解析】对于A项，正四面体的各个棱长均相等，但显然不是菱形，故A项错误；
对于B项，若，则或与相交，故B项错误；
对于C项，由已知可得，，，即直线上有两个点在平面内，
根据基本事实2可知，故C项正确；
对于D项，如图正方体中，和异面，，但是，故D项错误.
故选：ABD.
44．如图所示，一个平面图形的直观图为，其中，则下列说法中正确的是（ ）
A．该平面图形是一个平行四边形但不是正方形
B．该平面图形的面积是8
C．该平面图形绕着直线旋转半周形成的几何体的体积是
D．以该平面图形为底，高为3的直棱柱的体对角线长为
【答案】BC
【分析】对于AB选项，由直观图得出平面图形，即可判定；对于CD根据几何体的体积公式和对角线计算即可.
【解析】如图所示将直观图还原为平面图形，由题意可得，AC=4=BD，故该平面图形为正方形.即A错误；面积，即B正确；
将平面图形绕直线AC旋转半周得几何体为两个圆锥，底面半径均为2，
故体积，即C正确；
以该平面图形为底，高为3的直棱柱其实为长方体，体对角线长为，即D错误.
故选：BC
45．如图，已知正方体的棱长为，则下列选项中正确的有（ ）
A．异面直线与的夹角的正弦为
B．二面角的平面角的正切值为
C．正方体的外接球体积为
D．三棱锥与三棱锥体积相等
【答案】ACD
【分析】由知就是异面直线所成的角，求解即可判断A；连接交于点O，由题意得BD⊥平面，为二面角的平面角，求解可B；正方体外接球的半径，求出外接球体积可判断C；由，及三棱锥的高与三棱锥的高相等，底面积，可判断D.
【解析】对于A，∵，中，就是异面直线所成的角，
，则，A正确；
对于B，连接交于点O，连接，
∵平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD，
又BD⊥AO，，平面，∴BD⊥平面
∵平面，∴BD⊥，∴为二面角的平面角，
在中，，B不正确；
对于C，∵正方体外接球的半径，
∴正方体的外接球体积为，C正确；
对于D，∵，
三棱锥的高与三棱锥的高相等，底面积，
故三棱锥与三棱锥体积相等，D正确.
故选：ACD.
46．如图，正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为，.若将正三棱锥绕旋转，使得点分别旋转至点处，且四点共面，点分别位于两侧，则（ ）
A．
B．平面
C．二面角的平面角的余弦值为
D．多面体的外接球的体积为
【答案】BCD
【分析】根据题干数据可知正棱锥侧棱两两垂直，于是可以放进正方体，利用正方体的性质分析每个选项.
【解析】正三棱锥A-PBC和正三棱锥D-PBC的侧棱长均为，BC 2，
则正三棱锥A-PBC中侧棱两两互相垂直，正三棱锥D-PBC中侧棱两两互相垂直，
则正三棱锥可以放到正方体中，
当点分别旋转至点处，且四点共面，点分别位于两侧时，
如图所示，
连接，，如图所示
A选项，正方体中且，四边形为平行四边形，则有
为等边三角形，则与夹角为，，有与夹角为，选项A错误；
B选项，，平面BDC ，平面BDC ，平面，选项B正确；
C选项，根据旋转过程可知，二面角的平面角是下图二面角平面角的补角.
取中点，连接，根据三线合一，，，
于是二面角的平面角为.
根据正棱锥的性质，连线经过的外心，
根据正棱锥边长数据可得，，，
即，由余弦定理，，
即二面角平面角的余弦值为，故二面角的平面角的余弦值为，C选项正确；
D选项，多面体的外接球即棱长为的正方体的外接球，外接球的半径为，体积为，选项D正确；
故选：BCD
47．（多选）对下面三个事件最适宜采用的抽样方法判断正确的有（ ）
①从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验；
②一次数学竞赛中，某班有10人的成绩在110分以上，40人的成绩在90～110分，10人的成绩低于90分，现在从中抽取12人的成绩了解有关情况；
③运动会服务人员为参加400m决赛的6名同学安排跑道．
A．①②适宜采用分层抽样B．②③适宜采用分层抽样
C．②适宜采用分层抽样D．③适宜采用简单随机抽样
【答案】CD
【分析】根据简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的特征进行判断.
【解析】对于①，从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验，不满足分层抽样的条件，且样本容量比较大，适合采用等距抽样；
对于②，总体由差异明显且互不重叠的几部分组成，若要从中抽取12人的成绩了解有关情况，适合采用分层抽样的方法；
对于③，运动会服务人员为参加决赛的6名同学安排跑道，具有随机性，且样本容量小，适合用简单随机抽样．故A，B错误.
故选：CD.
48．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．若从第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，则下列结论正确的是（ ）
A．应从第3，4，5组中分别抽取3人、2人、1人
B．第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为
C．第5组志愿者被抽中的概率为
D．第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为
【答案】ABC
【分析】根据分层抽样得定义即可判断A；利用列举法结合古典概型计算即可判断ABC.
【解析】第3组的人数有人，
第4组的人数有人，
第5组的人数有人，故A正确；
设第3组的人分别为，第4组的人分别为，第5组的人分别为，
则6人中随机抽取2人有，
共15种抽法，
其中第4组志愿者恰有一人被抽中有8种，
则其概率为，故B正确；
第5组志愿者被抽中有5种，
其概率为，故C正确；
第3组志愿者至少有一人被抽中有12种，
其概率为，故D错误.
故选：ABC.
49．下列说法中正确的是（ ）
A．数据2，4，6，8的中位数是4，6
B．数据1，2，3，4，4的众数是4
C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据
D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是
【答案】BCD
【分析】根据中位数，平均数，众数的定义和计算方法，逐项判定，即可求解.
【解析】对于A中，数据2，4，6，8的中位数为 ，所以A是错误的，
对于B中，数据1，2，3，4，4，根据众数的定义，可得数据的众数是4，所以B正确；
对于C中，例如：数据2，2，2，2，2中的平均数、众数、中位数都是2，所以C正确；
对于D中，根据平均数的定义，可得这11个数的平均数为，所以D正确.
故选：BCD.
50．如图是某电视台主办的歌手大赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0~9中的一个），则下列结论不正确的是（ ）
A．甲选手的平均分有可能和乙选手的平均分相等
B．甲选手的平均分有可能比乙选手的平均分高
C．甲选手得分的中位数比乙选手得分的中位数低
D．甲选手得分的众数比乙选手得分的众数高
【答案】ABC
【分析】通过茎叶图，逐一对各项进行计算判断，从而得到结果.
【解析】对于选项A和B，甲、乙两位选手得分的茎叶图中，每个茎上的叶的数目相同，
乙的所有叶上的数字之和是37，甲的所有叶上的数字之和是20+m<30，
所以甲选手的平均分一定比乙选手的平均分低，所以选项A中的结论与选项B中的结论均不正确；
对于选项C和D，甲选手得分的中位数和众数均为85，乙选手得分的中位数和众数均为84，
所以C中结论不正确，D中结论正确.
故选：ABC.
51．甲、乙两人进行篮球比赛，若甲投中的概率为0.8，乙投不中的概率为0.1，且两人投篮互不影响，若两人各投篮一次，则下列结论中正确的是（ ）
A．两人都投中的概率为0.72
B．至少一人投中的概率为0.88
C．至多一人投中的概率为0.26
D．恰好有一人投中的概率为0.26
【答案】AD
【分析】按照独立事件的概率计算公式和对立事件的概率计算公式及互斥事件和的概率，逐项分析求解即可.
【解析】设事件A为：“甲投中”，设事件B为：“乙投中”，这两个事件相互独立，
A选项：都投中的概率为，故A项对；
B选项：至少一人投中，其对立事件为：两人都未投中，
故至少一人投中的概率为，故B项不对；
C选项：至多一人投中的对立事件为：两人都投中，
至多一人投中的概率为，故C错；
D选项：恰好有一人投中的概率为，故D对.
故选：AD
52．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现3点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为10”，则下列说法正确的有（ ）
A．A与B不互斥且相互独立B．A与D互斥且不相互独立
C．B与C不互斥且相互独立D．B与D互斥且不相互独立
【答案】ABC
【分析】根据给定条件，求出事件A，B，C，D的概率，再利用互斥事件、相互独立事件的定义判断作答.
【解析】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次的试验结果有：，
，
，
，共36个不同结果，
事件A所含的结果有：，共6个，
事件B所含的结果有24个，事件C所含的结果有18个，事件D所含的结果有：，共3个，
因此，
对于A，事件A与B都含有，共4个结果，即事件A与B可以同时发生，
而，A与B不互斥且相互独立，A正确；
对于B，事件A与D不能同时发生，，A与D互斥且不相互独立，B正确；
对于C，事件B与C都含有，共12个结果，
即事件B与C可以同时发生，，B与C不互斥且相互独立，C正确；
对于D，事件B与D都含有，即B与D可以同时发生，，
因此B与D不互斥且不相互独立，D错误.
故选：ABC
三、填空题
53．已知复数满足，则的最大值为__________．
【答案】5
【分析】确定表示复数几何意义，再结合的几何意义求解作答.
【解析】由，得复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，
表示复数对应的点到的距离，
点到点的距离为，
所以的最大值为.
故答案为：5
54．若，，则________
【答案】
【分析】先根据商数关系化弦为切求出，再根据利用两角和的正切公式即可得解.
【解析】，解得，
则.
故答案为：.
55．方程在区间上的解集为______.
【答案】
【分析】利用二倍角公式化简并解方程即可求解.
【解析】由得，
即，解得或，
因为，所以或，
所以方程在区间上的解集为,
故答案为：.
56．已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则______.
【答案】/
【分析】利用向量共线求出，再利用二倍角的正弦公式结合齐次式法求值作答.
【解析】依题意，由与共线，得，而，，
于是，即，又，不共线，
因此，解得，
所以.
故答案为：
57．关于函数，给出下列四个结论：
①函数的最小正周期为；
②函数的最小值是1；
③函数的最大值是；
④函数在区间上单调递增.
其中全部正确结论的序号是__________.
【答案】①②③
【分析】首先把三角函数变形成的形式，进而逐一分析三个结论的真假，可得答案.
【解析】函数，
则，
且，
函数图象如下所示：
所以函数的最小正周期为，故①正确；
故当时，函数的最小值为，故②正确；
当时，函数取最大值，故③正确；
当时，，因为在上不单调，故函数在区间上不单调，故④错误；
故答案为：①②③
58．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则△ABC的周长为_____________.
【答案】
【分析】用余弦定理求得后可得周长．
【解析】已知，，，
由余弦定理得，
所以，即
，则，
三角形周长为．
故答案为：．
59．在△ABC中，边a，b，c满足，，则边c的最小值为__________.
【答案】
【分析】利用基本不等式和结合余弦定理即可求解的最小值．
【解析】由余弦定理可得
当且仅当时，即取等号，所以.
故答案为：.
60．在中，已知，，设，以下说法正确的是______
①若有两解，；②若有唯一解，
③若无解，；④当，外接圆半径为6
【答案】①③④
【分析】由题设可得到上的高为，根据各项三角形解的个数及三角形性质判断的范围，应用正弦定理求外接圆半径.
【解析】
由，即到上的距离为，
若有两解，则，即，①对；
若有唯一解，则或，即，②错；
若无解，则，即，③对；
当时，△ABC外接圆半径，④对.
故答案为：①③④
61．在中，是的中点，点在上，满足，设，则______________（用 表示）．
【答案】
【分析】根据向量对应线段的位置及数量关系用表示出，即可得结果.
【解析】如下图示，.
故答案为：
62．已知，，若对，恒有，且点满足，为的中点，则________．
【答案】
【分析】根据数量积的运算律得到对恒成立，即可得到对恒成立，根据求出，再根据及数量积的运算律计算可得.
【解析】因为
，
，
因为对，恒有，
所以对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
所以，
即，所以，
又，
所以
.
故答案为：
63．若一个圆锥的侧面展开图是中心角为且面积为的扇形面，则该圆锥的底面半径为________.
【答案】/0.5
【分析】根据扇形的面积计算出扇形的半径，即圆锥的母线长，由此可计算出扇形的弧长，即为圆锥的底面圆周长，进而可计算出该圆锥的底面半径.
【解析】设扇形的半径，即圆锥的母线长为，圆锥的底面半径为，
由圆锥的侧面展开图是中心角为且面积为的扇形面，得，则，
从而扇形的半径为2，即圆锥的母线长为2.
扇形的弧长，即圆锥的底面周长为，即，解得，
所以该圆锥的底面半径为.
故答案为：.
64．如图，在边长为2的正方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连结, ，在翻折到的过程中，下列说法正确的是_________．（将正确说法的序号都写上）
①四棱锥的体积的最大值为；
②当面平面时，二面角的正切值为；
③存在某一翻折位置，使得；
④棱的中点为，则的长为定值．
【答案】①②④
【分析】当面平面时，四棱锥的高取得最大值,此时体积达到最大值，经计算可知①正确；作出二面角的平面角，经计算可知②正确；利用反证法可知③不正确；取的中点，连，，，可得，经计算可知④正确.
【解析】在翻折到的过程中，因为四棱锥的底面积为定值，定值为，所以当四棱锥的高取得最大值时，其体积达到最大，
当面平面时，四棱锥的高取得最大值,其最大值为直角三角形的斜边上的高，其值为，
所以四棱锥的体积的最大值为，故①正确；
当面平面时，过作，垂足为，则平面，所以，
过作，垂足为，连，因为，所以平面，所以，所以为二面角的平面角，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
因为，所以，
在直角三角形中，，
所以，
所以，所以二面角的正切值为，故②正确；
连接，如图：
假设，因为，，所以平面，
所以，
所以，又，二者相矛盾，故假设不成立，故与不垂直，故③不正确；
取的中点，连，，，如图：
因为，，，，
所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，
在直角三角形中，，所以，即CN的长为定值，故④正确.
故答案为：①②④.
65．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300，现在按的比例分配分层随机抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为________．
【答案】8
【分析】设出高一年级的人数，根据三个年级人数之间的关系，写出高二和高三的人数，根据学校共有的人数，得到关于高一人数的方程，解得高一人数，用人数乘以抽取的比例，得到结果．
【解析】若设高一学生人数为x，则高二学生人数为x＋300，高三学生人数为2x，所以有x＋x＋300＋2x＝3500，解得x＝800.故高一学生人数为800，因此应抽取高一学生人数为800×＝8.
故答案为：8
66．在公元前100年左右，我国古代数学著作《周髀算经》中有这样的表述：“髀者股也，正晷者勾也.”并且指出：“若求斜至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得斜至日”，这就是我们熟知的勾股定理，勾股数组是指满足的正整数组.现将一枚质地均匀的骰子抛掷三次，则三次向上的点数恰好组成勾股数组的概率是_____________.
【答案】
【分析】利用古典概型的概率求解.
【解析】解：将一枚质地均匀的骰子抛掷三次，基本事件总数为，
三次向上的点数恰好组成勾股数组包含的基本事件为：，
所以三次向上的点数恰好组成勾股数组的概率是，
故答案为：
鞋号
34
35
36
37
38
39
40
41
日销量/双
2
5
9
16
9
5
3
2
1．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的运算和共轭复数的定义即可.
【解析】，
.
.
故选：B.
2．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由结合平方差公式以及复数的运算求解即可.
【解析】，即.
所以.
所以
.
故选：B
3．复数，将复数z的对应向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为（ ）
A．B．C．1D．i
【答案】A
【分析】求出复数z的对应向量的终点所在角终边，按逆时针方向旋转后对应点所对角终边，再求出对应点的坐标作答.
【解析】复数的对应向量的终点在坐标轴的第四象限的角平分线上，
将此角平分线按逆时针方向旋转后，得x轴的非负半轴，令点对应的点为，
由得：，即，点所对复数为，
所以将复数z的对应向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为.
故选：A
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换，将问题由弦化切计算即可.
【解析】，分子分母同时除以可得：
=5，
故选：A.
5．设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】运用和角、差角公式（辅助角公式）、二倍角公式、诱导公式及三角函数的单调性可比较大小.
【解析】因为，
，
，
因为，
所以．
故选：B.
6．已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正切的倍角公式和和角公式计算即可.
【解析】由已知可得，
所以.
故选：B
7．已知函数，则函数在区间上的最小值和最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换整理得，结合正弦函数求最值.
【解析】由题意可得：，
∵，则，
当，即，取到最小值；
当，即，取到最大值；
故选：B.
8．已知函数，若函数在有且仅有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由三角恒等变换化简函数解析式为，由可计算出的取值范围，再根据已知条件可得出关于的不等式，解之即可.
【解析】因为
，
当时，，
因为函数函数在有且仅有两个零点，则，解得.
故选：D.
9．在中，，，边上的高为，则（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】D
【分析】设边上的高为，解三角形求，再由余弦定理求.
【解析】作，垂足为，
由已知可得，，，
所以，故，
由余弦定理可得，
又，，，
所以，
所以，
故选：D.
10．在中，角的对边分别为，若，则一定是( )
A．正三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰三角形
【答案】D
【分析】根据正弦定理化边为角，结合边的关系进行判断.
【解析】因为，所以由正弦定理可得，
因为，所以，
即，所以.
故选：D.
11．如图，某公园有一个半径为2公里的半圆形湖面，其圆心为O，现规划在半圆弧岸边取点C、D、E，且，在扇形区域内种植芦苇，在扇形区域内修建水上项目，在四边形区域内种植荷花，并在湖面修建栈道和作为观光线路.当最大时，游客有更美好的观赏感受，则的最大值为（ ）
A．B．4C．D．6
【答案】C
【分析】设，利用三角恒等变换、余弦定理求得的表达式，结合二次函数的性质求得正确答案.
【解析】设，则，
，则、为正数.
在三角形中，连接，由余弦定理得：，
在三角形中，由余弦定理得：
，
所以,
由于，所以当时，取得最大值，
也即时，取得最大值为.
故选：C
12．我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—1261）提出“三斜求积”求三角形面积的公式．以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上．余四约之，为实．一为从隅开方得积．如果把以上这段文字写成公式，就是：．在中，已知角A、B、C所对边长分别为，其中为方程的两根，，则的面积为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】由根与系数关系及三角形面积公式求的面积即可.
【解析】由题意，则.
故选：C
13．已知的内角的对边分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，求得，得到，求得，再由，求得的值，由求得的值，结合，即可求解.
【解析】因为，
由正弦定理得，
因为，可得，
又因为，可得，
代入上式，可得，
因为，可得，所以，
又因，所以，
因为，所以，所以，
由，可得，则，
所以.
又由.
故选：B.
14．下列向量中不是单位向量的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据单位向量的定义，一一判断各选项中的向量，即得答案.
【解析】由于，故，即为单位向量；
，则，故不是单位向量；
，则， 为单位向量；
根据单位向量的定义可知为单位向量，
故选：B
15．已知是边长为2的等边三角形，，，分别是边，，的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量加法、减法、数乘向量的几何意义，结合等边三角形的性质以及图象，即可判断A、B、C项；根据几何关系得出，，根据数量积的定义，即可得出D项.
【解析】
对于A项，因为是边的中点，所以，故A项错误；
对于B项，因为是边的中点，所以，
所以，故B项错误；
对于C项，因为，分别是边，的中点，所以，且.
又因为反向，所以，故C项错误；
对于D项，因为，，分别是边，，的中点，
所以，且,，且，
所以，，.
因为，，所以，
所以，
所以，故D项正确.
故选：D.
16．下列四个命题中真命题的个数是（ ）
①己知非零向量，，，若，，则
②已知，是两个互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则k的取值范围是
已知向量，，则向量在向量上的投影向量为
④已知，，，可以作为平面向量的一组基底
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据平面向量的共线定理和所成的角，以及投影向量的定义、基底的定义，对选项中的命题判断真假性即可.
【解析】对于①，非零向量，，，若，，则，，，
所以，，所以，命题①正确；
对于②，，是两个互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，
则，且与不共线，
所以且，所的取值范围是，命题②错误；
对于③，向量，，
则向量在向量上的投影向量为，命题③错误；
对于④：，，则，
所以，共线，不能作为平面向量的一组基底，故④错误.
所以真命题只有1个，序号为①.
故选：A.
17．已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当与方向相同时，
C．与角为钝角时，则t的取值范围为
D．当时，在上的投影向量为
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积、平行、垂直及投影向量的坐标表示依次判断选项即可得到答案.
【解析】对选项A，当，有，解得，所以A错误；
对选项B，当时，，解得，
当时，，，即，与方向相反，故B错误.
对选项C，当时，与方向相反，
当，解得，
所以与角为钝角，则，且，故C错误；
对选项D，有时，，
所以在上的投影向量为，
故D正确.
故选：D.
18．如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用向量线性运算可得，将问题转化为二次函数最值的求解，由此可得结果.
【解析】设，则，
是的中点，
，
当时，取得最小值.
故选：B.
19．设有两条不同的直线m、n和两个不同的平面、，下列命题中错误的命题是（ ）
A．若，，则
B．若，，，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】ABC
【分析】根据直线与直线的位置关系可判断A；根据面面平行的判定定理可判断B；根据线面的位置关系判断C；根据面面平行的性质定理判断D.
【解析】对于A，若，，则可能平行、异面或相交，A错误；
对于B，若，，，，不一定为相交直线，
只有当为相交直线时，才可得到，故B错误；
对于C，当，时，可能是，推不出一定是，C错误；
对于D，若，，根据面面平行的性质可知，D正确，
故选：ABC
20．已知一个装满水的圆台容器的上底面半径为5，下底面半径为1，高为，若将一个铁球放入该容器中，使得铁球完全没入水中，则可放入铁球的表面积的最大值为（ ）
A．32πB．36πC．48πD．50π
【答案】D
【分析】确定表面积最大时铁球的特性，作出圆台及球的轴截面，借助圆的切线性质及直角三角形求出球半径作答.
【解析】依题意，铁球的表面积最大时，该球与圆台上底面和侧面相切，显然铁球球心在圆台的轴线上，
过圆台的轴作平面截面圆台得等腰梯形，截球得球的大圆，圆与都相切，如图，
令的中点为，过点的圆的直径另一端点为，过作圆的切线交分别于，
则，即圆是等腰梯形的内切圆，过作的垂线，垂足分别为，
令圆切于，于是,，令圆的半径为，，
显然，又，则有，而，
因此，又，即，
中，，于是，解得，
所以可放入铁球的表面积的最大值.
故选：D
21．如图，正方体的棱长为1，动点在直线上，，分别是，的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A．∥B．平面
C．D．存在点，使得平面∥平面
【答案】D
【分析】对于A，可证FM∥AC与∥AC，即可得出结果；对于B，，，可得，再结合线面垂直的定义与判定定理分析判定；对于C多次利用线面垂直的判定与性质即可判断；对于D，可证与相交，则平面BEF与平面CC1D1D相交．
【解析】对A，连接AC，∵F，M分别是AD，CD的中点，则FM∥AC
又∵∥，，则为平行四边形，即∥AC
∴FM∥，A正确；
对B，连接，∵，，即
∴，即
又∵⊥平面ABCD，平面ABCD，则，
因为，平面，
∴BM⊥平面，B正确；
对C，分别连接，，，
平面，平面，
，，，且平面，
平面，平面，，
平面，平面，，
，平面，
平面，平面，，
平面，
平面，平面，，故C正确；
对D，∵F是AD的中点，则∥，=，则为梯形
∴与相交，则平面BEF与平面相交，故D不正确；
故选：D．
22．有一组样本数据如下：
56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98
则其25%分位数、中位数与75%分位数分别为（ ）
A．65，76，82B．66，74，82C．66，76，79D．66，76，82
【答案】D
【分析】由百分位数和中位数的定义求解即可.
【解析】因为，所以样本数据的25%分位数为第六个数据即66；
中位数为：，
因为，所以样本数据的75%分位数为第十七个数据即82.
故选：D.
23．某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表：
如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是（ ）
A．平均数B．众数
C．中位数D．极差
【答案】B
【分析】根据众数、平均数、中位数、方差的意义进行选择.
【解析】鞋店经理最关心的是哪个鞋号的鞋销量最大，由表可知，鞋号为37的鞋销量最大，共销售了16双，所以这组数据最重要的是众数．
故选：B.
24．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平均数以及方差的计算公式，比较数据的变化，即可求得答案.
【解析】甲少记30分，乙多记30分，则总分不变，由此知平均分不发生变化.
设其余46名学生的成绩分别为，
则原方差，
更正后方差
，
故选：B.
25．已知数据是某市普通职工个人的年收入，设这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，那么关于这个数据的说法正确的是（ ）
A．平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B．平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
【答案】B
【分析】根据极端值对平均数、中位数和方差的影响直接判断即可.
【解析】插入的时大的极端值，则平均数增加，中位数可能不发生变化，方差因为数据更加分散而变大，ACD错误，B正确.
故选：B.
26．已知事件A与事件B是互斥事件，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据互斥事件、对立事件、必然事件的概念可得答案.
【解析】因为事件A与事件B是互斥事件，则不一定是互斥事件，所以不一定为0，故选项A错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，所以，则，而不一定为0，故选项B错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是对立事件，故选项C错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，是必然事件， 所以，故选项D正确.
故选：D.
27．如图，随机事件A，B互斥，记分别为事件A，B的对立事件，那么（ ）
A．A∪B是必然事件
B．∪是必然事件
C．与一定互斥
D．与一定不互斥
【答案】B
【分析】用集合的思想看事件的Venn图即可的解.
【解析】由Venn图可知A，B互斥，即为不可能事件，∪是必然事件，
故选：B.
28．出租车司机老王从饭店到火车站途中经过六个交通岗，已知各交通岗信号灯相互独立.假设老王在各交通岗遇到红灯的概率都是，则他遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案.
【解析】因为司机老王在第一、二个交通岗未遇到红灯，
在第三个交通岗遇到红灯之间是相互独立的，且遇到红灯的概率都是，
所以未遇到红灯的概率都是，
所以遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为.
故选：B
29．小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a，a，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，并利用D，E，F构造相应的事件，根据概率加法公式与乘法公式求解相应事件的概率.
【解析】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，
且.
恰好能答对两道题为事件，且两两互斥，
所以
，
整理得，他三道题都答错为事件，
故.
故选：C.
30．从高一（男、女生人数相同,人数很多）抽三名学生参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是（ ）
A．B．
C．事件A与事件B互斥D．事件A与事件C对立
【答案】B
【分析】由独立乘法公式求，根据事件的描述，结合互斥、对立事件的概念判断B、C、D即可.
【解析】由所抽学生为女生的概率均为，则，A正确；
两事件不可能同时发生，为互斥事件，C正确；
事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，
其对立事件为，D正确；
事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，
与事件含义相同，故，B错误；
故选：B.
二、多选题
31．下列有关复数的叙述正确的是（ ）
A．若，则B．若，则的虚部为
C．若，则不可能为纯虚数D．若复数z满足，则
【答案】ACD
【分析】根据复数的运算、复数的概念判断各选项即可．
【解析】对A，，所以，A正确；
对B，，虚部是，B错误；
对C，，若，则是实数，若，则是虚数，不是纯虚数，C正确；
对于D，设，因为，
由得，则，所以D正确.
故选：ACD．
32．已知复数满足，，x，，，所对应的向量分别为，，其中O为坐标原点，则（ ）
A．的共辄复数为B．当时，为纯虚数
C．若，则D．若，则
【答案】CD
【分析】根据复数的除法运算化简复数，进而根据共轭复数以及虚部的定义可判断A，B,根据复数的几何意义以及向量的垂直平行坐标满足的关系，即可判断C，结合复数模长公式即可判断D.
【解析】A选项：由于，所以的共轭复数为，故选项A错误，
,B选项：当当时，，若，则为为实数，故选项B错误；
C选项：易知，，又，则，即，故选项C正确;
D选项：由于，则，
，
，
故，选项D正确．
故选：CD.
33．下列计算结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则
【答案】ABD
【分析】利用和差公式和同角三角函数关系计算得到ABD正确，计算得到，C错误，得到答案.
【解析】对选项A：，正确；
对选项B：
，正确；
对选项C：，错误；
对选项D：，则，
故，故，正确.
故选：ABD
34．关于函数，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的最大值为2
B．是函数的图象的一条对称轴
C．点是函数的图象的一个对称中心
D．在区间上单调递增
【答案】AC
【分析】由题可得，然后根据余弦函数的性质逐项分析即得.
【解析】因为，
对A，由可得函数的最大值为2，故A对；
对B，，故B错；
对C，，故C对；
对D，，在上单调递减，故在区间上单调递减，错.
故选：AC.
35．设函数，则（ ）
A．的一个周期为B．在上单调递增
C．在上有最大值D．图象的一条对称轴为直线
【答案】BD
【分析】利用诱导公式化简可得，可判断选项A；利用换元法和函数的单调性，可判断选项B和C；利用诱导公式化简可得，可判断选项D．
【解析】对A：，故不是的周期，A错误；
对B：令，则，
则，
∵，则，
∴在上单调递增，且，
又∵在上单调递增，故在上单调递增，B正确；
对C：∵，则，
∴，则，
又∵在上单调递增，且，
∴在上最大值为，
即在上有最大值，C错误；
对D：，故图象的一条对称轴为直线，D正确.
故选：BD.
【点睛】结论点睛：
若，则关于直线对称，特别地，则关于直线对称；
若，则关于点对称，特别地，则关于点对称.
36．若函数，则（ ）
A．函数的一条对称轴为
B．函数的一个对称中心为
C．函数的最小正周期为
D．若函数，则的最大值为2
【答案】ACD
【分析】根据三角函数的同角关系和二倍角的正、余弦公式化简可得，结合余弦函数的性质依次判断选项即可.
【解析】由题意得，
.
A：当时，，又，
所以是函数的一条对称轴，故A正确；
B：由选项A分析可知，所以点不是函数的对称点，故B错误；
C：由，知函数的最小正周期为，故C正确；
D：，所以，故D正确.
故选：ACD．
37．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则△ABC是钝角三角形
C．若，，则△ABC面积的最大值是
D．若，则△ABC为直角三角形
【答案】ABC
【分析】根据正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【解析】A选项，当时，由正弦定理得，
在三角形中，大角对大边，所以，所以A选项正确.
B选项，当时，由正弦定理得，
所以，所以为钝角，故三角形是钝角三角形，B选项正确.
C选项，由余弦定理得，
当且仅当时等号成立，所以，
所以三角形面积的最大值是，C选项正确.
D选项，若，则，
，所以D选项错误.
故选：ABC
38．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若为斜三角形，则
C．若，则是锐角三角形
D．若，则一定是等边三角形
【答案】ABD
【分析】由正弦定理和比例性质可以判断A，D选项，根据诱导公式及两角和公式判断B选项，由平面向量的数量积判断三角形形状判断C选项，
【解析】对于A，由正弦定理和比例性质得，故A正确；
对于B，由题意，，则，
所以，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，
所以C为钝角，是钝角三角形，故C错误；
对于D，因为，所以，所以，且A，B，，所以，所以为等边三角形，故D正确．
故选:ABD．
39．下列说法中正确的是（ ）
A．非零向量和满足，则与的夹角为
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．若，则在方向上的投影向量的模为
D．若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
【答案】BC
【分析】利用数量积的运算律可得，再求出，最后根据夹角公式计算即可判断A，由即可判断B，根据投影的定义判断C，根据且与不能同向，即可得到不等式组，解得即可判断D.
【解析】对于A：由，，
所以，即，
所以，
所以，所以与的夹角为，故A错误；
对于B：由，，所以，则与共线，不能作为平面向量的基底，故B正确；
对于C：，则或，则在方向上的投影向量的模为，故C正确；
对于D：由，，则，
若与的夹角为锐角，则且与不能同向，
即，解得且，故D正确；
故选：BC．
40．在中，，，，点为线段上靠近端的三等分点，为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．与的夹角的余弦值为
C．D．的面积为
【答案】AC
【分析】根据向量线性运算直接判断即可知A正确；以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量夹角的坐标运算可求得B错误；由向量数量积坐标运算可求得C正确；由可知D错误.
【解析】对于A，为中点，，A正确；
对于B，以为坐标原点，正方向为轴可建立平面直角坐标系，
则，，，，，，，
，
即与夹角的余弦值为，B错误；
对于C，，，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：AC.
41．如图，在中，，，直线AM交BN于点Q，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据共线向量的性质，结合三点共线定理逐一判断即可.
【解析】对于A，因为，所以，则，故A错误；
对于B和C，因为A，M，Q三点共线，由共线定理可知，存在实数，
使得，设，
所以，所以
解得，
，
显然成立，
因为，所以，
故B，C正确；
对于D，因为，所以是的中点，因此，
由上可知，
，故D错误．
故选：BC
42．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点在线段上
B．若，则点是的重心
C．若，则点的轨迹必过的内心
D．若，且，则的面积是面积的
【答案】BCD
【分析】利用平面向量的线性运算可判断A选项；利用平面向量的线性运算以及三角形重心的定义可判断B选项；利用三角形内心的性质以及平面向量的线性运算可判断C选项；利用平面向量的线性运算以及三角形面积的关系可判断D选项.
【解析】对于A选项，因为，则，可得，
所以， 点在射线上，且点为线段的中点，A错；
对于B选项，设点为线段的中点，
则，
因为，
此时点为重心，B对；
对于C选项，因为，
则，
因为、分别是与、方向相同的单位向量，
记住，，以、为邻边作平行四边形，
则四边形为菱形，则平分，且，
即，
此时，点的轨迹必过的内心，C对；
对于D选项，因为，且，
所以，且，
设，则，
即，即，所以，、、三点共线，
又因为，所以为的中点，如图所示：
所以，故D正确.
故选：BCD.
43．已知空间中的平面，直线，，以及点，，，，则以下四个命题中，不正确的命题是（ ）
A．在空间中，四边形满足，则四边形是菱形.
B．若，，则.
C．若，，，，，，则.
D．若和是异面直线，和是平行直线，则和是异面直线.
【答案】ABD
【分析】举特例即可说明A、D错误；根据直线与平面的位置关系可判断B；由已知结合基本事实2，即可得出C.
【解析】对于A项，正四面体的各个棱长均相等，但显然不是菱形，故A项错误；
对于B项，若，则或与相交，故B项错误；
对于C项，由已知可得，，，即直线上有两个点在平面内，
根据基本事实2可知，故C项正确；
对于D项，如图正方体中，和异面，，但是，故D项错误.
故选：ABD.
44．如图所示，一个平面图形的直观图为，其中，则下列说法中正确的是（ ）
A．该平面图形是一个平行四边形但不是正方形
B．该平面图形的面积是8
C．该平面图形绕着直线旋转半周形成的几何体的体积是
D．以该平面图形为底，高为3的直棱柱的体对角线长为
【答案】BC
【分析】对于AB选项，由直观图得出平面图形，即可判定；对于CD根据几何体的体积公式和对角线计算即可.
【解析】如图所示将直观图还原为平面图形，由题意可得，AC=4=BD，故该平面图形为正方形.即A错误；面积，即B正确；
将平面图形绕直线AC旋转半周得几何体为两个圆锥，底面半径均为2，
故体积，即C正确；
以该平面图形为底，高为3的直棱柱其实为长方体，体对角线长为，即D错误.
故选：BC
45．如图，已知正方体的棱长为，则下列选项中正确的有（ ）
A．异面直线与的夹角的正弦为
B．二面角的平面角的正切值为
C．正方体的外接球体积为
D．三棱锥与三棱锥体积相等
【答案】ACD
【分析】由知就是异面直线所成的角，求解即可判断A；连接交于点O，由题意得BD⊥平面，为二面角的平面角，求解可B；正方体外接球的半径，求出外接球体积可判断C；由，及三棱锥的高与三棱锥的高相等，底面积，可判断D.
【解析】对于A，∵，中，就是异面直线所成的角，
，则，A正确；
对于B，连接交于点O，连接，
∵平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD，
又BD⊥AO，，平面，∴BD⊥平面
∵平面，∴BD⊥，∴为二面角的平面角，
在中，，B不正确；
对于C，∵正方体外接球的半径，
∴正方体的外接球体积为，C正确；
对于D，∵，
三棱锥的高与三棱锥的高相等，底面积，
故三棱锥与三棱锥体积相等，D正确.
故选：ACD.
46．如图，正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为，.若将正三棱锥绕旋转，使得点分别旋转至点处，且四点共面，点分别位于两侧，则（ ）
A．
B．平面
C．二面角的平面角的余弦值为
D．多面体的外接球的体积为
【答案】BCD
【分析】根据题干数据可知正棱锥侧棱两两垂直，于是可以放进正方体，利用正方体的性质分析每个选项.
【解析】正三棱锥A-PBC和正三棱锥D-PBC的侧棱长均为，BC 2，
则正三棱锥A-PBC中侧棱两两互相垂直，正三棱锥D-PBC中侧棱两两互相垂直，
则正三棱锥可以放到正方体中，
当点分别旋转至点处，且四点共面，点分别位于两侧时，
如图所示，
连接，，如图所示
A选项，正方体中且，四边形为平行四边形，则有
为等边三角形，则与夹角为，，有与夹角为，选项A错误；
B选项，，平面BDC ，平面BDC ，平面，选项B正确；
C选项，根据旋转过程可知，二面角的平面角是下图二面角平面角的补角.
取中点，连接，根据三线合一，，，
于是二面角的平面角为.
根据正棱锥的性质，连线经过的外心，
根据正棱锥边长数据可得，，，
即，由余弦定理，，
即二面角平面角的余弦值为，故二面角的平面角的余弦值为，C选项正确；
D选项，多面体的外接球即棱长为的正方体的外接球，外接球的半径为，体积为，选项D正确；
故选：BCD
47．（多选）对下面三个事件最适宜采用的抽样方法判断正确的有（ ）
①从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验；
②一次数学竞赛中，某班有10人的成绩在110分以上，40人的成绩在90～110分，10人的成绩低于90分，现在从中抽取12人的成绩了解有关情况；
③运动会服务人员为参加400m决赛的6名同学安排跑道．
A．①②适宜采用分层抽样B．②③适宜采用分层抽样
C．②适宜采用分层抽样D．③适宜采用简单随机抽样
【答案】CD
【分析】根据简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的特征进行判断.
【解析】对于①，从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验，不满足分层抽样的条件，且样本容量比较大，适合采用等距抽样；
对于②，总体由差异明显且互不重叠的几部分组成，若要从中抽取12人的成绩了解有关情况，适合采用分层抽样的方法；
对于③，运动会服务人员为参加决赛的6名同学安排跑道，具有随机性，且样本容量小，适合用简单随机抽样．故A，B错误.
故选：CD.
48．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．若从第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，则下列结论正确的是（ ）
A．应从第3，4，5组中分别抽取3人、2人、1人
B．第4组志愿者恰有一人被抽中的概率为
C．第5组志愿者被抽中的概率为
D．第3组志愿者至少有一人被抽中的概率为
【答案】ABC
【分析】根据分层抽样得定义即可判断A；利用列举法结合古典概型计算即可判断ABC.
【解析】第3组的人数有人，
第4组的人数有人，
第5组的人数有人，故A正确；
设第3组的人分别为，第4组的人分别为，第5组的人分别为，
则6人中随机抽取2人有，
共15种抽法，
其中第4组志愿者恰有一人被抽中有8种，
则其概率为，故B正确；
第5组志愿者被抽中有5种，
其概率为，故C正确；
第3组志愿者至少有一人被抽中有12种，
其概率为，故D错误.
故选：ABC.
49．下列说法中正确的是（ ）
A．数据2，4，6，8的中位数是4，6
B．数据1，2，3，4，4的众数是4
C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据
D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是
【答案】BCD
【分析】根据中位数，平均数，众数的定义和计算方法，逐项判定，即可求解.
【解析】对于A中，数据2，4，6，8的中位数为 ，所以A是错误的，
对于B中，数据1，2，3，4，4，根据众数的定义，可得数据的众数是4，所以B正确；
对于C中，例如：数据2，2，2，2，2中的平均数、众数、中位数都是2，所以C正确；
对于D中，根据平均数的定义，可得这11个数的平均数为，所以D正确.
故选：BCD.
50．如图是某电视台主办的歌手大赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0~9中的一个），则下列结论不正确的是（ ）
A．甲选手的平均分有可能和乙选手的平均分相等
B．甲选手的平均分有可能比乙选手的平均分高
C．甲选手得分的中位数比乙选手得分的中位数低
D．甲选手得分的众数比乙选手得分的众数高
【答案】ABC
【分析】通过茎叶图，逐一对各项进行计算判断，从而得到结果.
【解析】对于选项A和B，甲、乙两位选手得分的茎叶图中，每个茎上的叶的数目相同，
乙的所有叶上的数字之和是37，甲的所有叶上的数字之和是20+m<30，
所以甲选手的平均分一定比乙选手的平均分低，所以选项A中的结论与选项B中的结论均不正确；
对于选项C和D，甲选手得分的中位数和众数均为85，乙选手得分的中位数和众数均为84，
所以C中结论不正确，D中结论正确.
故选：ABC.
51．甲、乙两人进行篮球比赛，若甲投中的概率为0.8，乙投不中的概率为0.1，且两人投篮互不影响，若两人各投篮一次，则下列结论中正确的是（ ）
A．两人都投中的概率为0.72
B．至少一人投中的概率为0.88
C．至多一人投中的概率为0.26
D．恰好有一人投中的概率为0.26
【答案】AD
【分析】按照独立事件的概率计算公式和对立事件的概率计算公式及互斥事件和的概率，逐项分析求解即可.
【解析】设事件A为：“甲投中”，设事件B为：“乙投中”，这两个事件相互独立，
A选项：都投中的概率为，故A项对；
B选项：至少一人投中，其对立事件为：两人都未投中，
故至少一人投中的概率为，故B项不对；
C选项：至多一人投中的对立事件为：两人都投中，
至多一人投中的概率为，故C错；
D选项：恰好有一人投中的概率为，故D对.
故选：AD
52．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现3点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为10”，则下列说法正确的有（ ）
A．A与B不互斥且相互独立B．A与D互斥且不相互独立
C．B与C不互斥且相互独立D．B与D互斥且不相互独立
【答案】ABC
【分析】根据给定条件，求出事件A，B，C，D的概率，再利用互斥事件、相互独立事件的定义判断作答.
【解析】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次的试验结果有：，
，
，
，共36个不同结果，
事件A所含的结果有：，共6个，
事件B所含的结果有24个，事件C所含的结果有18个，事件D所含的结果有：，共3个，
因此，
对于A，事件A与B都含有，共4个结果，即事件A与B可以同时发生，
而，A与B不互斥且相互独立，A正确；
对于B，事件A与D不能同时发生，，A与D互斥且不相互独立，B正确；
对于C，事件B与C都含有，共12个结果，
即事件B与C可以同时发生，，B与C不互斥且相互独立，C正确；
对于D，事件B与D都含有，即B与D可以同时发生，，
因此B与D不互斥且不相互独立，D错误.
故选：ABC
三、填空题
53．已知复数满足，则的最大值为__________．
【答案】5
【分析】确定表示复数几何意义，再结合的几何意义求解作答.
【解析】由，得复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，
表示复数对应的点到的距离，
点到点的距离为，
所以的最大值为.
故答案为：5
54．若，，则________
【答案】
【分析】先根据商数关系化弦为切求出，再根据利用两角和的正切公式即可得解.
【解析】，解得，
则.
故答案为：.
55．方程在区间上的解集为______.
【答案】
【分析】利用二倍角公式化简并解方程即可求解.
【解析】由得，
即，解得或，
因为，所以或，
所以方程在区间上的解集为,
故答案为：.
56．已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则______.
【答案】/
【分析】利用向量共线求出，再利用二倍角的正弦公式结合齐次式法求值作答.
【解析】依题意，由与共线，得，而，，
于是，即，又，不共线，
因此，解得，
所以.
故答案为：
57．关于函数，给出下列四个结论：
①函数的最小正周期为；
②函数的最小值是1；
③函数的最大值是；
④函数在区间上单调递增.
其中全部正确结论的序号是__________.
【答案】①②③
【分析】首先把三角函数变形成的形式，进而逐一分析三个结论的真假，可得答案.
【解析】函数，
则，
且，
函数图象如下所示：
所以函数的最小正周期为，故①正确；
故当时，函数的最小值为，故②正确；
当时，函数取最大值，故③正确；
当时，，因为在上不单调，故函数在区间上不单调，故④错误；
故答案为：①②③
58．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则△ABC的周长为_____________.
【答案】
【分析】用余弦定理求得后可得周长．
【解析】已知，，，
由余弦定理得，
所以，即
，则，
三角形周长为．
故答案为：．
59．在△ABC中，边a，b，c满足，，则边c的最小值为__________.
【答案】
【分析】利用基本不等式和结合余弦定理即可求解的最小值．
【解析】由余弦定理可得
当且仅当时，即取等号，所以.
故答案为：.
60．在中，已知，，设，以下说法正确的是______
①若有两解，；②若有唯一解，
③若无解，；④当，外接圆半径为6
【答案】①③④
【分析】由题设可得到上的高为，根据各项三角形解的个数及三角形性质判断的范围，应用正弦定理求外接圆半径.
【解析】
由，即到上的距离为，
若有两解，则，即，①对；
若有唯一解，则或，即，②错；
若无解，则，即，③对；
当时，△ABC外接圆半径，④对.
故答案为：①③④
61．在中，是的中点，点在上，满足，设，则______________（用 表示）．
【答案】
【分析】根据向量对应线段的位置及数量关系用表示出，即可得结果.
【解析】如下图示，.
故答案为：
62．已知，，若对，恒有，且点满足，为的中点，则________．
【答案】
【分析】根据数量积的运算律得到对恒成立，即可得到对恒成立，根据求出，再根据及数量积的运算律计算可得.
【解析】因为
，
，
因为对，恒有，
所以对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
所以，
即，所以，
又，
所以
.
故答案为：
63．若一个圆锥的侧面展开图是中心角为且面积为的扇形面，则该圆锥的底面半径为________.
【答案】/0.5
【分析】根据扇形的面积计算出扇形的半径，即圆锥的母线长，由此可计算出扇形的弧长，即为圆锥的底面圆周长，进而可计算出该圆锥的底面半径.
【解析】设扇形的半径，即圆锥的母线长为，圆锥的底面半径为，
由圆锥的侧面展开图是中心角为且面积为的扇形面，得，则，
从而扇形的半径为2，即圆锥的母线长为2.
扇形的弧长，即圆锥的底面周长为，即，解得，
所以该圆锥的底面半径为.
故答案为：.
64．如图，在边长为2的正方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连结, ，在翻折到的过程中，下列说法正确的是_________．（将正确说法的序号都写上）
①四棱锥的体积的最大值为；
②当面平面时，二面角的正切值为；
③存在某一翻折位置，使得；
④棱的中点为，则的长为定值．
【答案】①②④
【分析】当面平面时，四棱锥的高取得最大值,此时体积达到最大值，经计算可知①正确；作出二面角的平面角，经计算可知②正确；利用反证法可知③不正确；取的中点，连，，，可得，经计算可知④正确.
【解析】在翻折到的过程中，因为四棱锥的底面积为定值，定值为，所以当四棱锥的高取得最大值时，其体积达到最大，
当面平面时，四棱锥的高取得最大值,其最大值为直角三角形的斜边上的高，其值为，
所以四棱锥的体积的最大值为，故①正确；
当面平面时，过作，垂足为，则平面，所以，
过作，垂足为，连，因为，所以平面，所以，所以为二面角的平面角，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
因为，所以，
在直角三角形中，，
所以，
所以，所以二面角的正切值为，故②正确；
连接，如图：
假设，因为，，所以平面，
所以，
所以，又，二者相矛盾，故假设不成立，故与不垂直，故③不正确；
取的中点，连，，，如图：
因为，，，，
所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，
在直角三角形中，，所以，即CN的长为定值，故④正确.
故答案为：①②④.
65．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300，现在按的比例分配分层随机抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为________．
【答案】8
【分析】设出高一年级的人数，根据三个年级人数之间的关系，写出高二和高三的人数，根据学校共有的人数，得到关于高一人数的方程，解得高一人数，用人数乘以抽取的比例，得到结果．
【解析】若设高一学生人数为x，则高二学生人数为x＋300，高三学生人数为2x，所以有x＋x＋300＋2x＝3500，解得x＝800.故高一学生人数为800，因此应抽取高一学生人数为800×＝8.
故答案为：8
66．在公元前100年左右，我国古代数学著作《周髀算经》中有这样的表述：“髀者股也，正晷者勾也.”并且指出：“若求斜至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得斜至日”，这就是我们熟知的勾股定理，勾股数组是指满足的正整数组.现将一枚质地均匀的骰子抛掷三次，则三次向上的点数恰好组成勾股数组的概率是_____________.
【答案】
【分析】利用古典概型的概率求解.
【解析】解：将一枚质地均匀的骰子抛掷三次，基本事件总数为，
三次向上的点数恰好组成勾股数组包含的基本事件为：，
所以三次向上的点数恰好组成勾股数组的概率是，
故答案为：
鞋号
34
35
36
37
38
39
40
41
日销量/双
2
5
9
16
9
5
3
2
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