期中模拟卷02-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点冲刺（苏教版2019必修第二册）

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1．已知向量的夹角为，，，则（ ）
A．B．3C．D．12
【答案】C
【分析】根据向量的模的定义即可求解.
【解析】解：向量的夹角为，，
∴.
故选：C．
2．在中，，BC边上的高等于,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】试题分析：设
,故选C.
考点：解三角形.
3．如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据和三点共线，可得和，利用平面向量线性运算可用表示出，由此可得方程组求得，进而得到的值.
【解析】连接，，
三点共线，可设，则，
；
三点共线，可设，则，
；
，解得：，，即.
故选：B.
【点睛】思路点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，基本思路是根据为两线段交点，利用两次三点共线，结合平面向量基本定理构造出方程组求得结果.
4．设，则（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据平方关系和二倍角的正弦公式化简式子，再根据的范围，判断和的大小，去绝对值即可.
【解析】因为，，
所以，
因为，所以，
所以.
故选：B
【点睛】本题主要考查平方关系和二倍角正弦公式的应用，以及，考查学生对三角恒等变换公式的掌握，属于基础题.
5．当时，取得最大值，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换化简，求得其取得最大值时的取值情况，再其正切值即可.
【解析】因为
，
故当取得最大值时，若，则，
则.
故选：D.
6．已知i为虚数单位，如果复数z满足，那么的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【解析】首先根据，结合复数模的几何意义，判断出对应点的轨迹，再根据的几何意义，求得的最小值.
【解析】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，因为，，
所以复数在复平面内对应的点的轨迹为线段（包括端点），如图所示.
问题转化为：动点Z在线段上移动，求的最小值.因此作于，则与之间的距离即为所求的最小值，即.
故选：A.
【点睛】本小题主要考查复数模的几何意义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.
7．已知内角，，所对的边分别为，，，面积为.若，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．正三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】由三角形的内角和定理、诱导公式、正弦定理以及二倍角的正弦公式化简已知条件，可求角，由三角形的面积公式和平面向量数量积的定义可求角，再由三角形的内角和求角，即可判断的形状，进而可得正确选项.
【解析】因为，所以，即，
由正弦定理可得：，
因为，所以，
因为，所以，所以，可得，
所以，解得，
因为，所以，即，
所以，可得，所以，
所以的形状是正三角形，
故选：C.
8．在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由条件可得，然后根据余弦定理可得、，根据三角形是钝角三角形求出，，，然后利用对勾函数的性质求出的范围即可．
【解析】如图所示：
，
连接，并延长交于，
由是三角形的重心，得是的中点，
，，
由重心的性质得，即，
由余弦定理得：，
，
，，
，
则，
，，，为锐角，
是钝角三角形，或为钝角，
或，
将代入得：，，，
．
故选：A
二、多选题
9．下列化简正确的是
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】根据两角和差正弦和正切公式、二倍角的正弦和余弦公式依次化简各个选项可得结果.
【解析】中，，则错误；
中，，则错误；
中，，则正确；
中，，则正确.
故选：
【点睛】本题考查三角恒等变换的化简问题，涉及到两角和差正弦和正切公式、二倍角的正弦和余弦公式的应用.
10．已知复数，，是的共轭复数，则以下结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则，且
C．若是实数，则D．若，则
【答案】BD
【分析】对于A，举例判断，对于B，由复数模的几何意义判断，对于C，举例判断，对于D，利用复数的运算性质和模的运算进行判断
【解析】对于A，若，则，而此时，所以A错误，
对于B，因为，，所以，所以，且，所以B正确，
对于C，若，则，而此时，所以C错误，
对于D，设，则
，
所以，
因为，
所以，所以D正确，
故选：BD
11．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，能使的形状唯一确定的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用余弦定理可判断A；利用正弦定理可判断B、D；利用三角形的内角和以及正弦定理可判断C.
【解析】对于A，由余弦定理可得，解得，故A正确；
对于B，根据正弦定理：，可得，
又因为，所以，所以或，故B不正确；
对于C，由三角形的内角和可知，又 ，利用正弦定理，可知均有唯一值，故C正确；
对于D，根据正弦定理：，可得，
又因为，所以，所以只能是锐角，故D正确；
故选：ACD
12．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，点E在弧上.（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．的最小值为
【答案】BCD
【分析】A选项先利用，再按照数量积运算即可；B选项由平行四边形法则即可判断；
C选项通过解方程组即可；D选项先表示出，再结合正弦函数的范围求出最小值.
【解析】，A错误；
由知，E为弧的中点，又，由平行四边形法则可知则，故，B正确.
由知，，设，则解得故，C正确.
，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．的内角，，所对的边分别是，，，已知，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由正弦定理及三角形内角性质得，可得，根据余弦定理，应用基本不等式有，结合A为三角形内角，即可求的范围.
【解析】由正弦定理知：，
∵，
∴，即，
又由余弦定理知：当且仅当时等号成立，而，
∴，则.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：应用三角恒等变换、正弦定理的边角关系确定三边的数量关系，根据余弦定理及基本不等式，求角A余弦值的范围，结合三角形内角的性质求角的范围.
14．已知则的值为______.
【答案】
【分析】应用三角函数的恒等变换公式对变形求得，再由求得，可得结论．
【解析】，
所以，
，
所以．
故答案为：．
15．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则ABC周长的最大值是_______.
【答案】
【分析】根据余弦定理以及基本不等式求最值.
【解析】因为，
所以，当且仅当时取等号，因此，即ABC周长的最大值是
【点睛】本题考查余弦定理以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
16．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，以MN为边作等边，使得点A，P位于直线MN的两侧，则的最小值为______．
【答案】
【分析】设出边长，通过做辅助线，将转化为，然后利用解三角形的知识，把和表示出来，建立函数关系求解最值即可.
【解析】如图，连接BN，设BN，MN中点分别为E，F，连接PE，PF，EF．
设，，
，
在中，由勾股定理得，则，
BN，MN中点分别为E，F，则EF为的中位线，
∴且，∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
在等边中，F为MN中点，则，，
，
在中，由余弦定理得
，
当N与C重合时，，，不存在，但可验证上述等式依然成立，
当且仅当时等号成立．
∵关于b的函数在上单调递增，
∴，当且仅当时等号成立．
∴，当且仅当，时等号成立.
故答案为：．
【点睛】在处理平面向量的应用问题的时候，需要注意的是，动点在线段上，那么该点的横纵坐标是有范围限制的.
四、解答题
17．已知复数，i为虚数单位.
（1）求和；
（2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.
【答案】（1），；（2），．
【分析】（1）利用复数的运算法则求出，由此能求出和．
（2）由复数是关于的方程的一个根，得到，整理得，由此能求出实数，．
【解析】解：（1）复数
，
，．
（2）复数是关于的方程的一个根，
，
，，
，
解得，．
【点睛】本题考查复数的模、共轭复数、实数值的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
18．已知△ABC的外接圆半径为R，a、b、c分别是角A、B、C的对边，b=2且bsinB-asinA=2R(sinB-sinC)sinC.
（1）求角A；
（2）若AD是BC边上的中线AD= ，求△ABC的面积.
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）由正弦定理将bsinB -asinA=2R(sinB -sinC)sinC中的角化边，结合余弦定理即可求得角A的余弦值，进而得到A的大小；(2)由三角形加法法则有，结合已知条件求出c的长度，即可得△ABC的面积
【解析】(1)由正弦定理知：
∵bsinB -asinA=2R(sinB -sinC)sinC
∴，即
又由余弦定理：
∴，则
(2)由(1)的结论，AD是BC边上的中线AD= 且b=2，如下图示
∴由向量加法法则知：，即，而，
∴，解得，而
∴
【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，将角化边并化简方程，结合余弦定理求角；由向量的几何应用求边长，进而求三角形面积
19．北京2022年冬奥会中，运动员休息区本着环保､舒适､温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，且.
(1)求氢能源环保电动步道的长；
(2)若___________；求花卉种植区域总面积.
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用二倍角公式求出，利用余弦定可求的长；
（2）选①：由正弦定理可求得，利用两角和的正弦公式可求得，可分别求得，，从而可求花卉种植区域总面积．
选②：利用余弦定理求出，利用面积公式可求得，，从而可求花卉种植区域总面积．
【解析】（1）解：．，，
，，由余弦定理得，
，．
（2）解：若选①：，在中，由正弦定理得，．
，由（1）知．代入上式可得，解得，
，
，
，，
故，
花卉种植区域总面积为．
若选②：，在中，由余弦定理得，解得或（舍去），
．，，
，，
故，
花卉种植区域总面积为．
20．如图，在正方形中，，，为以为圆心、为半径的圆弧上的任意一点(包括两点)．
（1）求的最大值；
（2）设向量，若，求凸四边形的面积．
【答案】（1）0；（2）．
【分析】（1）建立平面直角坐标系小，根据数量积的坐标运算即可；
（2）根据向量的坐标运算求出，，即可求面积.
【解析】以A为坐标原点，直线AB，AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
设，，且
（1），∴，∴的最大值为0
（2）由，得，代入，得，
又，解得
.
21．若已知向量，，设函数.
(1)若且，求的值；
(2)若函数在上的最大值为2，求实数a的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1），由得，设，求出，，利用二倍角公式得出，，代入计算可得答案.
（2）求出，设，令，
分、、讨论，配方求值可答案.
(1)
由题意，
，
所以，，
设，则，因为，所以，，
所以，，
.
(2)
，
设，，得，
则，则，
①当，时，在处，，得；
②当，即时，在处，，得（舍去）；
③当，即时，在处，，得；
综上，或.
22．如图1，某景区是一个以为圆心，半径为的圆形区域，道路，成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道，点，分别在和上，修建的木栈道与道路，围成三角地块．（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）．
（1）当为正三角形时求修建的木栈道与道路，围成的三角地块面积；
（2）若的面积，求木栈道长；
（3）如图2，若景区中心与木栈道段连线的，
①将木栈道的长度表示为的函数，并指定定义域；
②求木栈道的最小值．
【答案】（1）；（2）7；（3）①，；②6.
【分析】（1）利用证三角形OAB内切圆的知识，求出边长AB，再求△OAB的面积；
（2）根据△OAB的面积公式，结合余弦定理，建立关于AB的方程，从而求出AB的值；
（3）设圆与AO、OB分别切于N、P，根据三角形全等与三角形的边角关系，求出AB的解析式：①把AB的长度用a的三角函数表示出来，结合题意写出a的取值范围；②化简函数AB，利用三角恒等变换和基本不等式求出AB的最小值.
【解析】解：（1）当是等边三角形时，，，
则，则，
面积为；
（2）在中，因为，
则解得，
所以，
则，
所以，
则，
由余弦定理可得，，
即，则，
则，则解得；
（3）设圆与，分别切于，，
则，，，
则，，
则，，
由，可得，
由，
可得，则，
则；
①；；
②
，
当且仅当时等号成，则的最小值6．