四川省乐山市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份四川省乐山市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的立方根是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算正确的是（ ）．
A．B．C．D．
3．如图是三种蔬菜的产量情况统计图，已知黄瓜的产量是700千克，则西红柿的产量是（ ）
A．2000千克B．900千克C．450千克D．400千克
4．已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．1D．1或
5．如图，在中，，的垂直平分线交于点，若，，则的周长等于（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
6．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）
A．三个角的比为B．三条边满足关系
C．三条边的比为D．三个角满足关系
7．如果，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，与相交于，且，如果添加一个条件还不能判定，则添加的这个条件是（ ）
A．B．C．D．
9．设一个正方形的边长为，若其边长增加了，则新正方形的面积增加了：（ ）
A．B．C．D．
10．如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则的度数为（ ）
A．28°B．36°C．45°D．72°
11．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2，则图2中阴影部分面积等于（ ）
A．直角三角形的面积B．最小正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和
12．如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是 ．

14．已知：，则代数式的值是
15．一次数学测试后，某班名学生的成绩被分为5组，第组的频数分别是10、11、7、12，第5组的频率为，则的值为
16．如图，在中，，，以、为边作正方形，这两个正方形的面积和为 ．
17．如图，且且，请按图中标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积 ．
18．18世纪欧拉引进了求和符号“”（其中，且和表示正整数），对这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来，即．例如：当时，．若，则 ， ， ．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)
20．因式分解：
(1)；
(2)
21．先化简，再求值：，其中，．
22．若，都是实数，且，求的平方根．
23．甲、乙两个长方形，其边长如图所示（），其面积分别为，．

(1)用含m的代数式表示：______，______；（结果化为最简形式）
(2)用“＜”、“＞”或“=”填空：______；
(3)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为，试探究：与的差是否为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由．
24．如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计）， 右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高.
25．我市某化工厂从2008年开始节能减排，控制二氧化硫的排放图，图分别是该厂年二氧化硫排放量单位：吨的两幅不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题．

该厂年二氧化硫排放总量是______ 吨；这四年平均每年二氧化硫排放量是______ 吨
把图中折线图补充完整．
年二氧化硫的排放量对应扇形的圆心角是______ 度，2011年二氧化硫的排放量占这四年排放总量的百分比是______ ．
26．如图，，，，，垂足分别为，．

(1)证明：；
(2)若，，求的长．
27．【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
(1)【直接应用】若，，求的值；
(2)【类比应用】
①若，则______
②若满足，求的值．
(3)【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．
28．（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明经过组内合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考：
①由已知和作图能得到，依据是______
A． B． C． D．
②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是______．
（2）【初步运用】
如图②，是的中线，交于，交于，且，若，，求线段的长．
（3）【灵活运用】
如图③，在中，，为中点，，交于点，交于点，连接．若，，求的长度．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查立方根（如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根），解题的关键是正确理解立方根的定义．据此解答即可．
【详解】解：∵，
∴的立方根是．
故选：C．
2．B
【分析】本题主要考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂乘法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
3．B
【分析】本题主要考查了扇形统计图，正确读懂统计图是解题的关键．用黄瓜的产量除以其占比求出输蔬菜的总产量，用蔬菜的总产量乘以西红柿的占比即可得到答案．
【详解】解：（千克），
∴西红柿的产量是900千克，
故选：B．
4．C
【分析】根据平方根的定义及立方根的定义求出，利用法确定a=4，b=-3，代入a+b计算即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴a=4，b=-3，
∴a+b=4-3=1，
故选：C．
【点睛】此题考查平方根的定义及立方根的定义，绝对值的性质，有理数的加减法，正确理解平方根的定义及立方根的定义求出a及b的值是解题的关键．
5．C
【分析】本题考查了等角对等边、垂直平分线的性质；熟练掌握垂直平分线的点到两边的距离相等是解题的关键．根据等角对等边可得；根据垂直平分线的性质上可得；可得；即可代入求出的周长．
【详解】解：∵，
∴；
∵的垂直平分线交于点，
∴；
则；
∴的周长为．
故选：C．
6．C
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为即可．根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】A、三个角的比为，设最小的角为，则，，，故正确；
B、三条边满足关系，故正确；
C、三条边的比为，，故错误；
D、三个角满足关系，则为，故正确．
故选：C．
7．C
【分析】逆用同底数幂乘法、幂的乘方公式，将式子进行变形是关键．
【详解】因为
所以
所以
所以
所以=
故选：C
【点睛】考核知识点：同底数幂乘法、幂的乘方．运用同底数幂乘法、幂的乘方法则将式子适当变形是关键．
8．D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解题关键．结合，，根据全等三角形的判定方法逐项分析判断即可．
【详解】解：∵，，
∴当添加时，可以得出，即，由“”可判定，故A选项不符合题意；当添加时，由“”可判定，故B选项不符合题意；
当添加时，由“”可判定，故C选项不符合题意；
当添加时，不能判定，故D选项符合题意．
故选：D．
9．A
【分析】本题主要考查完整式混合运算的应用，准确掌握完全平方公式是解题关键．首先表示正方形增加后的边长是，根据正方形面积公式计算即可．
【详解】解：由题意得，新正方形的边长为：，
增加面积为：．
故选：A．
10．B
【分析】根据题意可得五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，利用正多边形内角和可得∠EAB=∠ACD=，再由邻补角得出∠ACB=∠EAC=，结合图形代入求解即可．
【详解】解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，
∴∠EAB=∠ACD=，
∴∠ACB=∠EAC=180°，
∴∠BAC=∠EAB-∠EAC =108°，
故选：B．
【点睛】题目主要考查正多边形内角和及等腰三角形的性质，邻补角等，理解题意，熟练掌握运用正多边形内角和的计算公式是解题关键．
11．C
【分析】本题主要考查了勾股定理的知识，解题关键是利用数形结合的数学思想分析问题．根据勾股定理得到，再根据正方形的面积公式、矩形面积公式计算即可．
【详解】解：如图，设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c，
由勾股定理可得，，
阴影部分面积，
较小两个正方形重叠部分的面积，
∴阴影部分面积较小两个正方形重叠部分的面积．
故选：C．
12．D
【分析】连接， ，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝，∠DAE＝，即可得出∠CAE＝，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝＝90°−．
【详解】解：如图，连接，，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点恰好落在CD上，
∴AC垂直平分，
∴AB＝，
∴∠BAC＝∠，
∵AB＝AD，
∴AD＝，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠，
∴∠CAE＝∠BAD＝α，
又∵＝＝90°，
∴四边形中， ＝180°−α，
∴＝−＝180°−α−90°＝90°−α，
∴∠ACB＝＝90°−α，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
13．4
【分析】此题主要考查了算术平方根，根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．
【详解】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为：，
则大正方形的边长为：，
∵，
∴，
∴大正方形的边长最接近的整数是4．
故答案为：4．
14．12
【详解】测试
15．50
【分析】本题考查了频率的计算公式，理解公式是解题的关键．根据频率公式：频率频数总数即可求解．
【详解】解：根据题意，得，
故答案为：50．
16．36
【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理可得，即可求解．
【详解】解：由勾股定理得：，
所以这两个正方形的面积和为36．
故答案为：36．
17．50
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，由观察理解得：，，利用全等三角形的性质得出，，，，则可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴
∴，
又，
∴，
同理，，
∴，
=50．
故答案为：50．
18． 4 20
【分析】本题考查多项式乘多项式求和，恒等式的问题．先根据中二次项系数为3，得出，然后列出代数式，进行化简，得出，即可求出结果．掌握求和符号的定义，是解题的关键．
【详解】解：∵中二次项系数为3，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，，
故答案为：4；；20．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算、整式的混合运算；熟练掌握实数和整式的运算法则是解题的关键．
（1）分别计算有理数的乘方、立方根、算术平方根、绝对值，然后进行加减进行计算即可求解；
（2）根据同底数幂的乘法、积的乘方先计算，再合并同类项即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
（1）运用平方差公式进行计算即可；
（2）运用完全平方公式和平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：
．
21．，．
【分析】本题考查了整式的混合运算和求值．先算括号内的乘法，合并同类项，算除法，最后代入求出即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
22．
【分析】本题考查了算术平方根、平方根等知识点，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键．先根据算术平方根的被开方数的非负性求出x的值，再代入可求出y的值，然后根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：由算术平方根的被开方数的非负性得：，
解得，
将代入得：
，
则，
∵49的平方根是，
∴的平方根是．
23．(1)，；
(2)
(3)是，
【分析】（1）利用长方形的面积公式进行求解即可；
（2）利用求差法可比较两个式子大小；
（3）先求出正方形的边长，得到大正方形面积，再结合（1）列出相应的式子，进行运算即可．
【详解】（1）解：；
；
（2）∵，
∴
故答案为：；
（3）解：大正方形的边长为：，
大正方形面积为：，
，
．
答：与的差为定值，值为10．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，整式的加减，长方形和正方形的面积，熟练掌握运算法则是解题的关键．
24．秋千支柱AD的高为3m.
【分析】设秋千支柱AD的高为xm，根据秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m得AB＝(x－0.5)m，根据右图得AE＝(x－1)m，在Rt△AEB中利用勾股定理列方程求出x的值即可．
【详解】解：设AD＝xm，则由题意可得
AB＝(x－0.5)m，AE＝(x－1)m，
在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，
即(x－1)2＋1.52＝(x－0.5)2，
解得x＝3．
即秋千支柱AD的高为3m．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，若在一个直角三角形中，已知一条边，而其他两边具有一定的数量关系，则可利用勾股定理列方程求出其他两边．
25．（1）100（2）25（3）144（4）
【分析】（1）用2009年的排放量除以所占百分比可求出该厂2008－2011年二氧化硫的排放总量，然后分别求出这四年的排放量即可得出这四年平均每年二氧化硫排放量．
（2）根据求出的四年的排放量可补全折线图；
（3）根据2008年二氧化硫的排放量和这四年的排放总量即可求出对应扇形的圆心角以及求出2011年二氧化硫的排放量占这四年排放总量的百分比．
【详解】解：（1）∵该厂2009年二氧化硫的排放量20吨，占2008－2011年二氧化硫的排放总量的20%．
∴该厂2008－2011年二氧化硫的排放总量是 20÷20%＝100（吨），
∴2010年二氧化硫排放量是100×30%＝30（吨），
2011年二氧化硫排放量是100－40－20－30＝10（吨），
∴这四年二氧化硫排放量分别是40、20、30、10，
∴这四年二氧化硫排放量的平均数为：100÷4＝25（吨），
故答案为100、25；
（2）正确补全折线图（如图所示），
（3）∵2008年二氧化硫的排放量是40吨，
∴2008年二氧化硫的排放量对应扇形的圆心角是 360×＝144°，
∵2011年二氧化硫的排放量是10吨，
∴2011年二氧化硫的排放量占这四年排放总量的百分比是×100%＝10%．
故答案为144、10%．
【点睛】本题考查了扇形统计图和折线统计图的相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．
26．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、同角的余角相等，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．
（1）先根据同角的余角相等证明，再根据垂直的意义证明，然后根据三角形全等的判定证明即可；
（2）根据全等三角形的性质和勾股定理求得，然后即可得解．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，，
，
在与中，
；
（2）解：，
，
，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理得：，
．
27．(1)
(2)①3；②1007
(3)一块直角三角板的面积为30
【分析】（1）把，，代入，从而可得答案；
（2）①先求出，根据求出结果即可；
②先求出，再利用完全平方公式变形求值即可；
（3）先证明 三点共线，，可得 结合已知条件可得，再利用求出，从而可得答案．
【详解】（1）解：，，而，
，
解得：；
（2）①，
∵，
∴
；
故答案为：3；
②，
∵，
∴
．
故答案为：1007．
（3）解：三点共线，且，
，
∴，
∴三点共线，
∴，
，
，
，，
，
，

，
，
，
即一块直角三角板的面积为30．
【点睛】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，三角形面积的计算，完全平方公式在几何图形中的应用，熟练的运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键．
28．（1）①A；②；（2）；（3）
【分析】（1）①根据证明，即可求解；
②根据得出，根据三角形三边关系得出，进而即可求解；
（2）如图，延长至，使，连接，证明，，，根据即可求解；
（3）延长到点，使，连接，，证明，得出，，进而得出，在中，根据勾股定理得出，等量代换即可求解．
【详解】解：（1）①∵是的中线，
∴，
在和中，，
∴，
故答案为：A；
②∵，
∴，
在中，，
即，
∴；
故答案为：；
（2）如图，延长至，使，连接，

∵是的中线，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（3）延长到点，使，连接，，如图所示：

∵，，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，，
在中，由勾股定理得：，
∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形三边关系，三角形的中线，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，作出辅助线，熟练掌握以上知识是解题的关键．