新疆维吾尔自治区阿克苏地区阿克苏市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份新疆维吾尔自治区阿克苏地区阿克苏市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．某几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
2．若函数的图象经过点，则的值为（ ）
A．6B．C．12D．
3．二次函数图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．若一元二次方程的一个根为0，则k的值为（ ）
A．B．C．D．或
5．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ）

A．12B．18C．20D．24
6．下列命题正确的是（ ）
A．方程没有实数根
B．两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似
C．平分弦的直径垂直于弦
D．反比函数的图像不会与坐标轴相交
7．如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ）
A．B．C．D．
8．已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两个实数根是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
9．对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ）

A．3B．4C．5D．6
二、填空题
10．点与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为 ．
11．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ．
12．夜晚小明在路灯下散步，离路灯越近，他的影子越 （填“长”或“短”）．
13．电路图上有四个开关和一个小灯泡，如果同时闭合中的两个开关，那么使得小灯泡发亮的概率是 ．
14．如图，是的直径，点D，C在上，连接，，，如果，那么的度数是 ．
15．如图，点在反比例函数（）的图象上，且点是线段的中点，点为轴上一点，连接交反比例函数图象于点，连接，若，，则的值为 ．
三、解答题
16．解方程：
(1)
(2)
17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足的的取值范围．
18．如图，在中，是直径，弦，垂足为E，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
19．如图，一架无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为6米，求该校的旗杆高为多少米．（结果保留根号）

20．某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为，，，四个等级．其等级对应的分值分别为100分～91分、90分～81分、80分～71分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题．
(1)由图可知该校初三共______名学生，比赛成绩等级为级的学生人数是______人；
(2)请补全条形统计图，由图可知的值为______；
(3)初三年级本次比赛获得满分的4人中有2个男生和2个女生，年级要求从这4个学生中随机选2人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的2人中至少有1个男生的概率．
21．春节期间，阿克苏市某商场积压了一批棉衣，现欲尽快清仓，确定降价促销．据调查发现，若每件棉衣盈利50元时，可售出50件，每件棉衣每下降1元，则可多售出2件．设每件棉衣降价x元．
(1)每件棉衣降价x元后，现在每件棉衣盈利________元，可售出棉衣________件（用含x的代数式表示）
(2)若要使销售该棉衣的总利润达到2800元，求x的值．
(3)当每件棉衣降价多少元时，获利最大？最大利润是多少元？
22．如图，等腰中，以为直径的与、的延长线分别交于点、，垂直于．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
23．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为，，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，连接，P是第二象限内抛物线上一动点，过点P作交直线AC于点G，作轴交直线AC于点R，求最大值以及此时点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线AC平移个单位，得到新抛物线，M为新抛物线对称轴上一点，N为新抛物线上一点，当以P、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标，并把求其中一个点N的过程写出来．
参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可．
【详解】解；从上面看，看到的图形是一个正方形，中间有一个圆，即看到的图形如下：
，
故选：D．
2．D
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键．
【详解】解：把代入得：，
故选D．
3．B
【分析】本题主要考查了求二次函数与y轴的交点坐标，求出当时y的值即可得到答案．
【详解】解：在中，当时，，
∴二次函数图象与y轴的交点坐标是，
故选：B．
4．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程的定义，解一元二次方程，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值以及只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程得到，解之即可得到答案．
【详解】解：∵一元二次方程的一个根为0，
∴，
解得，
故选：A．
5．C
【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的性质与判定，根据位似图形的性质得到，进而证明得到，则的周长与的周长之比为，据此可得答案．
【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∴，
∴的周长与的周长之比为，
∵的周长为8，
∴的周长为20，
故选：C．
6．D
【分析】根据根的判别式即可判断A；根据相似三角形的判定定理即可判断B；根据垂径定理即可判断C；根据反比例函数图象的性质即可判断D．
【详解】解：A、由题意得，，则方程有两个不相等的实数根，原命题是假命题，不符合题意；
B、两边成比例且它们的夹角对应相等的两个三角形相似，原命题是假命题，不符合题意；
C、平分非直径的弦的直径垂直于弦，原命题是假命题，不符合题意；
D、反比函数的图像不会与坐标轴相交，原命题是真命题，符合题意；
故选；D．
【点睛】本题主要考查了判断命题真假，根的判别式，垂径定理，相似三角形的判定，反比例函数的性质等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
7．B
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质可得 然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得 主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义．
【详解】解：绕点顺时针旋转得到

是等边三角形，



故选：．
8．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数与x轴交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解得到关于x的一元二次方程的一个实数根为，再由根与系数的关系求出另一个根即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，
∴关于x的一元二次方程的一个实数根为，
∴另一个实数根为，
故选D．
9．C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定．
由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断①，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断②，根据对称性求得时的函数值小于0，判断③；根据时的函数值，结合，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据函数图象即可判断⑥．
【详解】解：①由图象可知：，
∵对称轴为直线：，
∴，
∴，故①正确；
②∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
∴，故②正确；
③∵对称轴为直线，则与的函数值相等，
∴当时，，故③错误；
④当时，，
∴，故④正确；
⑤当时，取到最小值，此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故⑤正确，
⑥当时，y随的增大而减小，故⑥正确，
综上，正确的是①②④⑤⑥共5个，
故选：C．
10．
【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键．
【详解】解；∵点与点B关于原点中心对称，
∴点B的坐标为，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．根据方程的系数结合根与系数的关系，可得出，，再将其代入，即可求出结论．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：
12．短
【分析】此题主要考查了中心投影的定义，用到的知识点为：影长是点光源与物高的连线形成的在地面的阴影部分的长度．连接路灯和旗杆的顶端并延长交平面于一点，这点到旗杆的底端的距离是就是旗杆的影长，画出相应图形，比较即可．
【详解】解：
由图易得，那么离路灯越近，它的影子越短，
故答案为：短．
13．
【分析】根据列表法求概率即可求解．
【详解】解：列表如下，
共有12种等可能结果，符合题意的有4种，
∴使得小灯泡发亮的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
14．/25度
【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，先由是的直径，得到，再由，即可得到．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
15．16
【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，本题的突破点是证明；
作于于．首先证明，由此构建方程即可解决问题；
【详解】解：作于于．
∴，
∵，
∴设，
∵、在上，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：16．
16．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先把常数项移到方程右边，再利用直接开平方的方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：
，
，
解得；
（2）解：
，
或，
解得．
17．(1)，
(2)或
【分析】(1)用待定系数法即可得反比例函数的解析式是，把代入反比例函数得：，即可得的坐标是，把、代入一次函数，进行计算即可得；
(2)观察函数图象即可得．
【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
∵一次函数的图象经过点，，
∴，解得
∴一次函数的解析式为．
（2）观察图象可知，满足的的取值范围是或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数，解题的关键是理解题意，掌握一次函数的图象与性质，反比例函数的图像与性质．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，求弧长，三角形内角和定理：
（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，则，由垂线的定义得到，则，由此即可证明；
（2）如图所示，连接，由圆周角定理得到，则由垂径定理可得，可得，据此利用弧长公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是直径，弦，
∴，
∴，
∴，
∴的长度．
19．
【分析】分别在和中利用锐角三角函数关系得出，的长，进而求出该旗杆的高度．
【详解】解：在，
米，，
，
解得：（米），
在，
米，，
，
解得：（米，
故该校的旗杆高约为：（米），
答：该校的旗杆高约为米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角，熟练掌握直角三角形中锐角三角函数关系是解题关键．
20．(1)500，210
(2)18
(3)
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
（1）用等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用总人数乘以等级人数所占的百分比得到等级人数；
（2）先用1分别减去、、等级的百分比得到等级所占的百分比，从而确定的值，然后补全条形统计图；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽取的2人中至少有1个男生的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】（1）(名)，
所以该校初三共500名学生，
比赛成绩等级为级的学生人数为(名)；
故答案为：500，210；
（2）等级人数所占的百分比为，
所以，
补全条形统计图为：
故答案为：18；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽取的2人中至少有1个男生的结果数为10种，
所以抽取的2人中至少有1个男生的概率．
21．(1)；
(2)
(3)当每件棉衣降价元时，获利最大，最大利润是元
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，列代数式：
（1）用50减去降价的钱数即可求出现在的利润，根据每件棉衣每下降1元，则可多售出2件即可求出可售出棉衣的数量；
（2）根据利润每件棉衣获利棉衣数量列出方程求解即可；
（3）设所获利润为W，根据利润每件棉衣获利棉衣数量列出W关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，每件棉衣降价x元后，现在每件棉衣盈利元，可售出棉衣件，
故答案为：；．
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或，
∵要尽快清仓，
∴；
（3）解：设所获利润为W，
由题意得，
，
∵，
∴当时，W有最大值，
∴当每件棉衣降价元时，获利最大，最大利润是元．
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，首先得到是等腰三角形，然后结合，证明，进而得到，即可证明出是的切线；
（2）连接，首先根据勾股定理求出，然后证明出，得到，代入求出，然后证明出，得到，求出，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵，
∴是等腰三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴，而，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵为的直径，
∴，，
∴，
如图所示，连接，

∵，，，
∴，
∵
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴，即
解得，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质和判定，等腰三角形三线合一性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
23．(1)抛物线的函数表达式为
(2)的最大值为6，此时P的坐标为
(3)或或
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）先求得点的坐标，进而得出直线的解析式为，设，则，表示出，证明，根据相似三角形的性质得出，则，根据二次函数的性质，即可求解；
（3）根据题意得到新抛物线，点，点，点在新抛物线的对称轴上，为新抛物线上一点，分以下三种情况，以为对角线的平行四边形，以为对角线的平行四边形，以为对角线的平行四边形，利用中点坐标公式求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴的交点为，，
∴
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵与 轴交于点，
令，解得：，则，
设直线的解析式为，
将点代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
依题意，轴，轴，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
则，
∴，
∴当时，的最大值为；，
∴；
（3）∵，，
∴，
∴，
∵将抛物线沿射线平移个单位，得到新抛物线，
∴将抛物线向右平移2个单位，向上平移1个单位得到，
即，
对称轴为直线；
由（2）可得点，又点，
设点，，
分以下三种情况，以为对角线的平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴；

以为对角线的平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴；

以为对角线的平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴；

综上所述，或或．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式、二次函数图象的动点问题、以及二次函数抛物与平行四边形的综合问题．解题的关键是根据抛物线设动点坐标找等量关系以及数形结合求解．