云南省昆明市第十二中学2023届高三下学期2月月考（重点班）数学试卷(含答案)

这是一份云南省昆明市第十二中学2023届高三下学期2月月考（重点班）数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合,,则( )
A.B.C.D.
2．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,则( )
A.B.C.D.
3．已知,是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且,,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
4．直线被圆所截得的弦长为( )
A.B.4C.D.
5．2021年10月16日0时23分,长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空,秒后,神舟十三号载人飞船进入预定轨道,顺利将翟志刚,王亚平,叶光富三名航天员送入太空.在不考虑空气阻力的条件下,从发射开始,火箭的最大飞行速度v满足公式:,其中M为火箭推进剂质量,m为去除推进剂后的火箭有效载荷质量,w为火箭发动机喷流相对火箭的速度.当时,千米/秒.在保持不变的情况下,若吨,假设要使v超过第一宇宙速度达到8千米/秒,则M至少约为(结果精确到,参考数据:,)( )
A.135吨B.160吨C.185吨D.210吨
6．已知双曲线与圆在第二象限相交于点M,,分别为该双曲线的左,右焦点,且,则该双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.2
7．已知,,,则( )
A.B.C.D.
8．已知函数,若是函数的唯一极值点,则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．十六世纪中叶,英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“”符号,并逐步被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远,若,,则下面结论正确的是( )
A.若,则
B.若,则有最小值
C.若,则
D.若,则ab有最大值1
10．在平面直角坐标系xOy中,,,点P满足,设点P的轨迹为C,则( )
A.C的周长为
B.OP(O,P不重合时)平分
C.面积的最大值为6
D.当时,直线BP与轨迹C相切
11．对于函数,下列选项正确的是( )
A.函数极小值为,极大值为
B.函数单调递减区间为,单调递增区为
C.函数最小值为为,最大值e
D.函数存在两个零点1和
12．已知定义在R上的奇函数,当时,,若函数是偶函数,则下列结论正确的有( )
A.的图象关于对称B.
CD.有100个零点
三、填空题
13．过点作曲线的切线,则切线方程是__________.
14．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典,如图,这是《易经》中记载的几何图形—八卦图.图中正八边形代表八卦,中间的圆代表阴阳太极图,其余八块面积相等的图形代表八卦图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为2,P是正八边形ABCDEFGH所在平面内的一点,则的最小值为______.
15．已知为复数,且,则的最大值为____________.
16．已知是定义在区间的函数,则函数的零点是___________;若方程有四个不相等的实数根,,,,则___________.
四、解答题
17．的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求B;
（2）若,,求c.
18．已知函数是偶函数.当时,.
（1）求函数在上的解析式;
（2）若函数在区间上单调,求实数a的取值范围;
（3）已知,试讨论的零点个数,并求对应的m的取值范围.
19．设函数.
（1）解方程;
（2）设不等式的解集为M,求函数的值域.
20．已知函数,再从下列条件①,条件②这两个条件中选择一个作为已知.
条件①:的最大值与最小值之和为0;
条件②:.
（1）求m的值;
（2）求函数在上的单调递增区间.
21．已知点A为双曲线的右顶点,在双曲线上,,的内切圆为.
（1）求曲线和的方程;
（2）已知,过D作的两条切线分别交于,两点,证明:直线与相切.
22．已知函数.
（1）求出的极值点;
（2）证明:对任意两个正实数,,且,若,则.
参考答案
1．答案：C
解析：由题,
故选:C
2．答案：B
解析：解法一:函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到的图象,再把所得曲线向右平移个单位长度,应当得到的图象,
根据已知得到了函数的图象,所以,
令,则,,
所以,所以;
解法二:由已知的函数逆向变换,
第一步:向左平移个单位长度,得到的图象,
第二步:图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象,
即为的图象,所以.
故选:B.
3．答案：A
解析：因为,由双曲线的定义可得,
所以,;
因为,由余弦定理可得,
整理可得,所以,即.
故选:A
4．答案：A
解析：由已知,圆,圆心坐标为,半径为3,
所以点到直线的距离为,
所以,直线被圆截得的弦长为.
故选:A.
5．答案：B
解析：因为当时,,
所以,
由,
得,
所以,
解得(吨),
即M至少约为160吨.
故选:B
6．答案：C
解析：在中,,
由正弦定理知,,
又,,,
在中,,,,
,.
设,则由等面积得:,即,
在上,,
在上,
,即,即,即,即,即,即,即,
.
故选:C.
7．答案：D
解析：令,,
则,,
,
当时,,单调递增,
,即,
令,则,
当时,,单调递增,
,即,
所以,即.
综上,.
故选:D.
8．答案：D
解析：由题意,,,记,则,则时,,单调递减,时,,单调递增,所以.
若,则时,,单调递减,时,,单调递增,于是是函数的唯一极值点.
若,则,易知,于是时,;
设,,即在上单调递增,所以,则时,,此时,于是且时,.
再结合函数的单调性可知,函数在两个区间内分别存在唯一一个零点,,且当时,,单调递减,时,,单调递增,时,,单调递减,时,,单调递增.于是函数存在3个极值点.
综上所述:.
故选:D.
9．答案：ABD
解析：对于A,,则,即,A正确;
对于B,,,,则,
当且仅当,即时取等号,B正确;
对于C,,,由得:,有,则,C不正确;
对于D,,,,则,当且仅当时取等号,D正确.
故选:ABD
10．答案：ABD
解析：设,因为,,且点满足,可得,整理得,即曲线C的方程为.
对于A中,曲线C为半径为2的圆,所以周长为,所以A正确;
对于B中,因为,,所以,所以,
延长BP到Q,使,连结AQ,如图所示,
因为,所以,所以,
所以,,
因为,所以,所以,
即OP平分,所以B正确.
对于C中,由的面积为,
要使得的面积最大,只需最大,
由点P的轨迹为,可得,
所以面积的最大值为3,所以C错误;
对于D中,当时,或,
不妨取,则直线,即,
因为圆心到直线BP的距离为,
所以,即直线BP与圆相切,所以D正确.
故选:ABD.
11．答案：AD
解析：的定义域为,
所以,
所以为奇函数,
当时,,,
令,解得,
当时,,则为单调递增函数,
当时,,则为单调递减函数,
因为为奇函数,图象关于原点对称,
所以在上单调递减,在是单调递增,
所以的极小值为,极大值为,故A正确;
的单调递减区间为,,单调递增区为,,故B错误;
无最值,故C错误;
令,解得,结合的单调性可得,存在两个零点1和,故D正确.
故选:AD
12．答案：ABD
解析：由题设,,即,关于对称,A正确;
又,则,即是周期为4的奇函数,
由,即,
,B正确;
,,故,C错误;
综上,与的函数部分图象如下:
当,过点,故时与无交点;
由图知:上与有1个交点;
上的每个周期内与有两个交点,共有个交点;
而与且,即时无交点;
当,过点,故时与无交点;
由图知:上与有3个交点;
上的每个周期内与有两个交点,共有个交点;
而与且,即时无交点;
综上,共有个零点,D正确.
故选:ABD
13．答案：
解析：函数定义域为,,
设切点为,,
所以切线方程为,
代入,得,
解得:,所以切线方程为,
整理得:.
故答案为:
14．答案：
解析：如图,以A为原点建立直角坐标系,则,,
过H作轴,因为正八边形ABCDEFGH,所以是等腰直角三角形,所以,
同理,过C作轴,则,过F作,则,
所以,,
设,
则,,所以,
,,则,
所以
,
其中表示点到点的距离的平方,
因为点在正八边形ABCDEFGH内,所以的最小值为0,
所以的最小值为.
故答案为:.
15．答案：4
解析：由题意设,则
,,即,
即的模的轨迹可理解为以为圆心,半径为2的圆.
则,可理解为求点到点之间的距离,
数形结合可知,的最大值为4.
故答案为:4
16．答案：2,8;20
解析：由题意可知,令,即,解得或,
故函数在内的零点为2和8;
方程有四个不相等的实数根,,,,
即为,与的四个交点的横坐标,
方程即,,即,
当即时,方程可转化为即;
当时,方程可转化为即;
故要有四个实数根,则两种情况都有两个不同的实数根,
不妨设,为的两根,则,
则,为的两根,则,
则;
故答案为:2,8;20.
17．答案：（1）
（2）7
解析：（1）变形为:,
所以,
因为,所以,
（2）因为,且,
所以
由正弦定理得:,即,
解得:
18．答案：（1）
（2）或
（3）答案见解析
解析：（1）设,则
为偶函数
综上,有
（2）由（1）作出的图像如图:
因为函数在区间上具有单调性,
由图可得或,解得或;
故实数a的取值范围是或.
（3）由（1）作出的图像如图:
由图像可知:
当时,有两个零点;
当时,有四个零点;
当时,有六个零点;
当时,有三个零点;
当时,没有零点.
19．答案：（1）或
（2）
解析：（1）
,
由得,解得或,
所以或.
所以方程的解是或;
（2）由得,即,解得,,
,
令,所以,
则为开口向上对称轴为的抛物线,
因为,所以,
所以函数的值域为.
20．答案：（1）选①:;
选②:.
（2）选①或②,函数在上的单调递增区间为.
解析：（1）选①:
,
则,,
由已知可得,解得,此时.
选②:
,
,解得,此时.
（2）选①:由可得,
由,解得,故函数在上的单调递增区间为;
选②:同①.
21．答案：（1）,;
（2）证明见解析.
解析：（1）由题知,
在双曲线上,,解得,
双曲线.
由对称性知,的圆心在x轴正半轴上,设的圆心,半径为r,则,
AB所在直线方程为,即,
则,则,解得,,
的方程为.
（2）依题意,过D且与圆M相切的直线斜率存在,设切线方程为,即,
则有,即.
设,,设切线斜率为,切线的斜率为,
则,是方程的两个实根.
由得:,①
过点D的的切线与双曲线交于两点,
,且,
点在上,故2是方程①的一个根,是方程①的另外一个根;
则根据韦达定理得,解得,
而,于得,
同理,,
因此直线的方程为,
的圆心到直线的距离为1,
直线与相切.
22．答案：（1）是的极小值点,无极大值点
（2）证明见解析
解析：（1）函数的定义域为,,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增,
所以是的极小值点,无极大值点.
（2）证明:由（1）,在上单调递减,在上单调递增,
因,不妨设,
令,则,,
由,得,即,即,
即,解得,,所以,
故要证,即证,即证,即证,
因为,所以,所以即证,
令,,
因为,所以在上是增函数,
所以,所以在上是增函数,
所以,所以,
所以.