2023年湖南省怀化市中考数学真题试卷(解析版)

这是一份2023年湖南省怀化市中考数学真题试卷(解析版)，共23页。试卷主要包含了6，，等内容，欢迎下载使用。

1.本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为120分钟，满分150分．
2.请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上．
3.请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效．
一、选择题（每小题4分，共40分；每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）
1．下列四个实数中，最小的数是（ ）
A．B．0C．D．
2．2023年4月12日21时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”——世界首个全超导托卡马克东方超环（EAST）装置取得重大成果，在第122254次实验中成功实现了403秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录．数据122254用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术．民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，平移直线至，直线，被直线所截，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
7．某县“三独”比赛独唱项目中，5名同学的得分分别是：，，9.6，，.关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．众数是B．中位数是C．平均数是D．方差是
8．下列说法错误的是（ ）
A．成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件
B．一元二次方程有两个相等的实数根
C．任意多边形的外角和等于
D．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心
9．已知压力、压强与受力面积之间有如下关系式：．当F为定值时，下图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、两点．已知点的坐标为，点为轴上任意一点．如果，那么点的坐标为（ ）

A．B．C．或D．或
二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）
11．要使代数式有意义，则x的取值范围是__________．
12．分解因式：_____．
13．已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为__________，另一个根为__________．
14．定义新运算：，其中，，，为实数．例如：．如果，那么__________．
15．如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为__________．

16．在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为，边长的2倍，得到，…．依次类推，得到，则的边长为__________，点的坐标为__________．

三、解答题（本大题共8小题，共86分）
17．计算：
18．先化简，再从，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值．
19．如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，．

(1)证明：；
(2)连接、，证明：四边形是菱形．
20．为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的点用测角仪测得碑顶的仰角为，在点处测得碑顶的仰角为，已知，测角仪的高度是（、、在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高．（，结果保留一位小数）

21．近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：

(1)所抽取的学生人数为__________；
(2)补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；
(3)该校共有学生人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数．
22．如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．连接、、，且．

(1)求证：为的切线；
(2)延长与的延长线交于点D，求证：；
(3)若，求阴影部分的面积．
23．某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客人的种客车若干辆，则有人没有座位；若租用可坐乘客人的种客车，则可少租辆，且恰好坐满．
(1)求原计划租用种客车多少辆？这次研学去了多少人？
(2)若该校计划租用、两种客车共辆，要求种客车不超过辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
(3)在（2）的条件下，若种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，应该怎样租车才最合算？
24．如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．
参考答案
1．A
【解析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最小的数即可．
最小的数是：
故选：A．
【点拨】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．
2．C
【解析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
解：数据122254用科学记数法表示为，
故选：C．
【点拨】本题考查的知识点是科学记数法—表示较绝对值较大的数．把一个大于等于10的数写成科学记数法的形式时，将小数点放到左边第一个不为0的数位后作为a，把整数位数减1作为n，从而确定它的科学记数法形式．
3．A
【解析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方、合并同类项分别计算后，即可得到答案．
解：A．，故选项正确，符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点拨】此题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．C
【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意．
C.既是轴对称图形又是中心对称图形，故C选项符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
5．D
【解析】根据关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求解．
解：点关于x轴对称的点的坐标是，
故选：D．
【点拨】本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特征，熟练掌握关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键．
6．B
【解析】根据平移可得，根据平行线的性质以及对顶角相等，即可求解．
解：如图所示，

∵平移直线至
∴，，
∴,
又∵，
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查了平移的性质，平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
7．A
【解析】先把5个数据按从小到大的顺序排列，而后用中位数，众数，平均数和方差的定义及计算方法逐一判断．
解：5个数按从小到大的顺序排列，，，9.6，，
A.出现次数最多，众数是，故正确，符合题意；
B.中位数是，故不正确，不符合题意；
C.平均数是，故不正确，不符合题意；
D.方差是，故不正确，不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题考查了中位数，众数，平均数和方差，熟练掌握这些定义及计算方法是解决此类问题的关键．
8．B
【解析】根据不可能事件、根的判别式、多边形的外角和以及三角形的重心的定义分别进行判断即可．
解：A.成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件，故此选项不符合题意；
B.，则一元二次方程没有实数根，故此选项符合题意；
C.任意多边形的外角和等于，故此选项不符合题意；
D.三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查不可能事件、根的判别式、多边形的外角和以及三角形的重心的定义，熟练掌握有关知识点是解题的关键．
9．D
【解析】根据反比例函数的定义，即可得到答案．
解：根据题意得：，
∴当物体的压力F为定值时，该物体的压强P与受力面积S的函数关系式是：，
则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．
故选：D．
【点拨】本题主要考查反比例函数，掌握以及反比例函数的定义，是解题的关键．
10．D
【解析】反比例函数的图象过点，可得，进而求得直线的解析式为，得出点的坐标，设，根据，解方程即可求解．
解：∵反比例函数的图象过点
∴
∴
设直线的解析式为，
∴，
解得：,
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
设，
∵，
解得：或，
∴的坐标为或，
故选：D．
【点拨】本题考查了一次函数与反比例数交点问题，待定系数法求解析式，求得点的坐标是解题的关键．
11．
【解析】根据二次根式有意义的条件得出，即可求解．
解：∵代数式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
12．
解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：
原式，
故答案为：．
13．
【解析】将代入原方程，解得，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，即可求解．
解：∵关于x的一元二次方程的一个根为，
∴
解得：，
设原方程的另一个根为，则，
∵
∴
故答案为：．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
14．
【解析】根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解．
解：∵
∴
即
解得：
故答案为：．
【点拨】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意列出方程解题的关键．
15．
【解析】过点作于，证明四边形四边形是正方形，即可求解．
解：如图所示，过点作于，

∵点是正方形的对角线上的一点，于点
∴四边形是矩形，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴四边形是正方形，
∴，
即点到直线的距离为
故答案为：．
【点拨】本题考查了正方形的性质与判定，点到直线的距离，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键．
16．
【解析】根据旋转角度为，可知每旋转6次后点又回到轴的正半轴上，故点在第四象限，且，即可求解．
解：∵为等边三角形，点A的坐标为，
∴，
∵每次旋转角度为，
∴6次旋转，
第一次旋转后，在第四象限，，
第二次旋转后，在第三象限，，
第三次旋转后，在轴负半轴，，
第四次旋转后，在第二象限，，
第五次旋转后，在第一象限，，
第六次旋转后，在轴正半轴，，
……
如此循环，每旋转6次，点的对应点又回到轴正半轴，
∵，
点在第四象限，且，
如图，过点作轴于，

在中，，
∴，
，
∴点的坐标为．
故答案为：，．
【点拨】本题考查图形的旋转，解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质，根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．
17．
【解析】先计算负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、减法运算，再进行加减混合运算即可．
解：
【点拨】此题考查了实数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．，当时，原式为；当时，原式为．
【解析】本题先对要求的式子进行化简，再选取一个适当的数代入即可求出结果．
解：
，
当a取，1，2时分式没有意义，
所以或0，
当时，原式；
当时，原式．
【点拨】本题考查分式的化简求值，解题时要注意先对括号里边进行通分，再约分化简．
19．(1)见解析
(2)见解析
【解析】（1）根据矩形的性质得出，则，根据是的中点，可得，即可证明；
（2）根据可得，进而可得四边形是平行四边形，根据对角线互相垂直的四边形是菱形，即可得证．
（1）证明：如图所示，

∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
在与中
，
∴；
（2）∵
∴，
又∵
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是菱形．
【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．
20．烈士纪念碑的通高约为米
【解析】根据题意，四边形是矩形，米，米，根据三角形的外角的性质得出，，等角对等边得出，进而解，求得，最后根据，即可求解．
解：依题意，四边形是矩形，米，米，
∵
∴
∴，
∴米，
在中，
∴米
∴米
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．
21．(1)人
(2)统计图见解析，
(3)人
【解析】（1）用“视力正常”的人数除以其人数占比即可求出抽取的学生人数；
（2）先求出“中度近视”的人数，进而求出“轻度近视”的人数，由此补全统计图即可；再用乘以“轻度近视”的人数占比即可求出对应的圆心角度数；
（3）用乘以样本中“轻度近视”的人数占比即可得到答案．
（1）解：人，
∴所抽取的学生人数为人，
故答案为：；
（2）解：中度近视的人数为人，“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数为
∴高度近视的人数为人，
补全统计图如下：

（3）解：人，
∴估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数为人．
【点拨】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【解析】（1）连接，证明，即可得证；
（2）根据，即可得证；
（3）根据圆周角定理得出，进而勾股定理求得，根据，即可求解．
（1）证明：∵是的切线，
∴
如图所示，连接

在与中，
∴
∵为上的一点．
∴是的切线；
（2）∵是的切线；
∴，
∴
∴
（3）解：∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴，
∴
【点拨】本题考查了切线的性质与判定，圆周角定理，求含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23．(1)原计划租用种客车辆，这次研学去了人
(2)共有种租车方案，方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆；方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆；方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，
(3)租用种客车辆，则租用种客车辆才最合算
【解析】（1）设原计划租用种客车辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；
（2）设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；
（3）分别求得三种方案的费用，进而即可求解．
（1）解：设原计划租用种客车辆，根据题意得，
，
解得：
所以（人）
答：原计划租用种客车辆，这次研学去了人；
（2）解：设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据题意，得
解得：，
∵为正整数，则，
∴共有种租车方案，
方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆，
方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆，
方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，
（3）∵种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，
∴种客车越少，费用越低，
方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
∴租用种客车辆，则租用种客车辆才最合算．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次方程与不等式组是解题的关键．
24．(1)
(2)面积的最大值为，此时点的坐标为
(3)见解析
【解析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）如图所示，过点作轴于点，交于点，得出直线的解析式为，设，则，得出，当取得最大值时，面积取得最大值，进而根据二次函数的性质即可求解；
（3）设、，的中点坐标为，联立，消去，整理得：，得出，则，设点到的距离为，则，依题意，，，得出，则，，点总在上，为直径，且与相切，即可得证．
（1）解：将代入，得
，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点，

由，令，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，将点代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴
，
当时，的最大值为
∵
∴当取得最大值时，面积取得最大值
∴面积的最大值为，
此时，
∴
（3）解：设、，的中点坐标为，
联立，消去，整理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点到的距离为，则，
∵、，
∴，
∴
∴，
∴

∴，
∴点总在上，为直径，且与相切，
∴为直角．
∴无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程根与系数的关系，切线的性质与判定，直角所对的弦是直径，熟练掌握以上知识是解题的关键．