2023年湖南省长沙市中考数学真题试卷(解析版)

这是一份2023年湖南省长沙市中考数学真题试卷(解析版)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. πC. D. 0
【答案】B
【解析】
根据无理数的定义解答即可．
解：A．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．π是无限不循环小数是无理数，故本选项符合题意；
C．是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．0整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形）对四个选项进行分析．
解：根据轴对称图形的定义可知：A，B，C都不是轴对称图形，只有D是轴对称图形．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了轴对称图形的定义，难度不大，掌握定义是解答的关键．
3. 下列计算正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
根据同底数幂的乘法与幂的乘方、完全平方公式、整式的乘法对每个式子一一判断即可．
解：A.，本选项符合题意；
B.，本选项不符合题意；
C.，本选项不符合题意；
D.，本选项不符合题意；
故选：A．
【点拨】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A. 1，3，4B. 2，2，7C. 4，5，7D. 3，3，6
【答案】C
【解析】
根据三角形的三边关系分别判断即可．
解：，
∴1，3，4不能组成三角形，
故A选项不符合题意；
，
∴2，2，7不能组成三角形，
故B不符合题意；
，
∴4，5，7能组成三角形，
故C符合题意；
，
∴3，3，6不能组成三角形，
故D不符合题意，
故选：C．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
5. 2022年，长沙市全年地区生产总值约为1400000000000元，比上年增长．其中数据1400000000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
解：∵科学记数法的表现形式为的形式，其中，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
6. 如图，直线直线n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接，过点A作，交直线m于点C．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
根据两直线平行，同旁内角互补得出，结合已知条件即可求出∠2的度数．
解：如图所示，
∵直线直线n，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
7. 长沙市某一周内每日最高气温的情况如图所示，下列说法中错误的是（ ）

A. 这周最高气温是32℃
B. 这组数据的中位数是30
C. 这组数据的众数是24
D. 周四与周五的最高气温相差8℃
【答案】B
【解析】
根据折线统计图，可得答案．
解：A.由纵坐标看出，这一天中最高气温是32℃，说法正确，故A不符合题意；
B.这组数据的中位数是27，原说法错误，故B符合题意；
C.这组数据的众数是24，说法正确，故C不符合题意；
D.周四与周五的最高气温相差8℃，由图，周四、周五最高温度分别为32℃，24℃，故温差为（℃），说法正确，故D不符合题意；
故选：B．
【点拨】此题主要考查了折线统计图，由纵坐标看出气温，横坐标看出时间是解题的关键．
8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可．
解：由得，
由得，
解集在数轴上表示为：
，
则不等式组的解集为．
故选：A．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
9. 下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
根据一次函数、正比例函数的增减性与系数的关系判断即可．
解：由一次函数、正比例函数增减性知，x系数小于0时，y随x的增大而减小，
，
故只有D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
10. 分解因式：n2﹣100=_____．
【答案】（n-10）（n+10）
【解析】
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
解：n2-100=n2-102=（n-10）（n+10）．
故答案为：（n-10）（n+10）．
【点拨】本题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
11. 睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某老师了解到班上某位学生的5天睡眠时间（单位：小时）如下：10，9，10，8，8，则该学生这5天的平均睡眠时间是 _____小时．
【答案】9
【解析】
根据平均数的定义列式计算即可．
解：（小时）．
即该学生这5天的平均睡眠时间是9小时．
故答案为：9．
【点拨】本题考查了平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
12. 如图，已知，点D在上，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数是 _______度．

【答案】65
【解析】
根据题意可得，再根据等腰三角形两个底角相等和三角形内角和为180°进行计算即可解答．
解：根据题意可得：，
∴，
∵，
∴．
故答案为：65．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和等知识点，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．
13. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数为常数，，的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则___________________．

【答案】##
【解析】
由的几何意义可得，从而可求出的值．
解：的面积为，
所以．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了k的几何意义．用k表示三角形AOB的面积是本题的解题关键．
14. 如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 _____．
【答案】1
【解析】
连接，利用圆周角定理及垂径定理易得，则，结合已知条件，利用直角三角形中角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．
解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点拨】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得是解题的关键．
15. 毛主席在《七律二首•送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步．2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为 _____万里．
【答案】4
【解析】
先求出地球的半径，再根据火星的半径大约是地球半径的，即可求出答案．
解：设地球的半径为万里，
则，
解得，
∴火星的半径为万里，
∴经过火星球心的截面的圆的周长大约为万里．
故答案为：．
【点拨】本题考查了圆的周长，熟练掌握圆的周长公式是关键．
三、解答题（本大题共9个小题，第题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22.23题每小题6分，第24.25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
分别根据绝对值、零指数幂的运算法则及负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
解：原式
．
【点拨】本题考查绝对值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值，熟知各个运算法则是解答此题的关键．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，6
【解析】
先去括号、再合并同类项将原式进行化简，然后将代入计算即可解答．
解：，
，
；
当时，原式．
【点拨】本题考查了整式的混合运算、化简求值等知识点，正确利用整式混合运算法则化简成为解题的关键．
18. 年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为．

（1）求点离地面的高度；
（2）求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：)
【答案】（1）
（2）飞船从处到处的平均速度约为
【解析】
（1）根据含度角的直角三角形的性质即可得到结论；
（2）在中，根据直角三角形的性质得到，在中，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论．
【小问1详解】
解：在中，，，，
，
【小问2详解】
在中，，，，
，
在中，，，
，
，
，
飞船从处到处的平均速度．
【点拨】本题考查了解直角三角形-俯角仰角问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键．
19. 为增强学生安全意识，某校举行了一次全校3000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩分成四个等级（D：；C：；B：；A：），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：n= ，m= ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为 度；
（4）若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数．
【答案】（1）150，36；
（2）见解析 （3）144
（4）估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数有480人
【解析】
（1）根据B等级的频数和所占的百分比，可以求得n的值，根据C等级的频数和n的值，可以求得m的值；
（2）根据（1）中n的值和频数分布直方图中的数据，可以计算出D等级的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整；
（3）利用360°乘以B等级的百分比即可；
（4）利用3000乘以A等级的百分比即可．
（1）
，
∵，
∴；
故答案为：150，36；
（2）
D等级学生有：（人），
补全的频数分布直方图，如图所示：

（3）
扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为；
故答案为：144；
（4）
（人），
答：估计该校参加竞赛的3000名学生中达到“优秀”等级的学生人数有480人．
【点拨】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确统计图的特点，利用数形结合的思想解答．
20. 如图，，，，垂足分别为，．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
（1）利用“”可证明；
（2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可．
（1）
证明：，，
，
在和中，
，
；
（2）
解：，
，
在中，，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
21. 为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加．
（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分．某班级在场比赛中获得总积分为分，问该班级胜负场数分别是多少？
（2）投篮得分规则：在分线外投篮，投中一球可得分，在分线内含分线投篮，投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球只有分球和分球，所得总分不少于分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？
【答案】（1）该班级胜负场数分别是场和场；
（2）该班级这场比赛中至少投中了个分球．
【解析】
（1）设胜了场，负了场，根据场比赛中获得总积分为分可列方程组，求解即可．
（2）设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球，根据所得总分不少于分，列出相应的不等式，从而可以求出答案．
（1）
解：设胜了场，负了场，
根据题意得：，
解得，
答：该班级胜负场数分别是场和场；
（2）
设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球，
根据题意得：，
解得，
答：该班级这场比赛中至少投中了个分球．
【点拨】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式．
22. 如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F．

（1）求证：；
（2）若，求的长和的面积．
【答案】（1）见解析 （2）；的面积为
【解析】
（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到；
（2）根据线段的和差得到；过D作交的延长线于H，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到的面积．
（1）
证明：在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
（2）
解：∵，
∴；
过D作交的延长线于H，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形面积的计算、等腰三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
23. 如图，点A，B，C在上运动，满足，延长至点D，使得，点E是弦上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦的垂线，交于点F，交的延长线于点N，交于点M（点M在劣弧上）．

（1）是切线吗？请作出你的判断并给出证明；
（2）记的面积分别为，若，求的值；
（3）若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）是的切线，证明见解析
（2）
（3）
【解析】
（1）依据题意，由勾股定理，首先求出，从而，然后根据，可以得解；
（2）由题意，据得，再由，进而进行变形利用方程的思想可以得解；
（3）依据题意，连接，分别在中，找出边之间的关系，进而由，可以得解．
（1）
解：是的切线．
证明：如图，在中，，
∴．
又点A，B，C在上，
∴是的直径．
∵，
∴．
又，
∴．
∴．
∴是的切线．
（2）
由题意得，．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
又，
∴．
∴．
∴．
由题意，设，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（3）
设，
∵，
∴．
如图，连接．

∴在中，．
∴，．
∴在中，，．
在中，．（∵，∴）
．
在中，，．
∴
．
即．
∵，
∴最大值为F与O重合时，即为1．
∴．
综上，．
【点拨】本题主要考查了圆的相关性质，切线的判定定理，求角的正切值，解题时要熟练掌握并灵活运用．
24. 我们约定：若关于x二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
（2）对于任意非零实数r，s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“美美与共”函数．
①求函数的图像的对称轴；
②函数的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x二次函数与它的“美美与共”函数的图像顶点分别为点A，点B，函数的图像与x轴交于不同两点C，D，函数的图像与x轴交于不同两点E，F．当时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
【答案】（1）k的值为，m的值为3，n的值为2；
（2）①函数y2的图像的对称轴为；②函数的图像过两个定点，，理由见解析；
（3）能构成正方形，此时．
【解析】
（1）根据题意得到即可解答；
（2）①求出的对称轴，得到，表示出的解析式即可求解；②，令求解即可；
（3）由题意可知，得到A.B的坐标，表示出，根据且，得到，分和两种情况求解即可．
（1）
解：由题意可知：，
∴．
答：k的值为，m的值为3，n的值为2．
（2）
解：①∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动，
∴对称轴为，
∴，
∴，
∴对称轴为．
答：函数的图像的对称轴为．
②，令，解得，
∴过定点，．
答：函数y2的图像过定点，．
（3）
解：由题意可知，，
∴，
∴， ，
∵且，
∴；
①若，则，
要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，
则为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；

②若，则A.B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，
综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时．
【点拨】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．