南平市2023-2024学年九年级教学质量第一次抽测数学试题（附答案）

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（考试时间：120分钟；满分：150分；考试形式：闭卷）
友情提示：
① 所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效；
② 试题未要求对结果取近似值的，不得采取近似计算．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）
1. 下面几何图形中，一定是中心对称图形的是（ ）
A. 三角形B. 四边形C. 正五边形D. 圆
2. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上B. 打开电视频道，正在播放新闻
C. 射击运动员射击一次，命中十环D. 明天太阳从东边升起
3. 下列各点中，在函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，是由绕点顺时针旋转锐角得到，下列各角中，是旋转角的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图⊙O的半径为5，弦心距，则弦的长是（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 5
6. 水平地面上一个小球被推开后向前滑行，滑行的距离与时间的函数关系如图所示（图为抛物线的一部分，其中是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（ ）
A. 小球滑行6秒停止B. 小球滑行12秒停止
C. 小球向前滑行速度不变D. 小球向前滑行的速度越来越大
7. 关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为（ ）
A. 0B. 1或C. D. 1
8. 某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，线段上点满足关系式：，且，则 的长为（ ）
A. 或B. C. D.
10. 已知抛物线上某些点横坐标与纵坐标的对应值如下表：
有以下几个结论：
①抛物线与轴的交点坐标是；
②抛物线的对称轴为直线；
③关于x的方程的根为和；
④当时，的取值范围是．
其中正确个数有（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分．将答案填入答题卡的相应位置）
11. 抛物线的顶点坐标是______．
12. 点关于原点的对称点是，则的值是______．
13. 如图，在半径为2的圆中，圆心角为的扇形面积_____（结果保留π）．
14. 如图是一个正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为________．
15. 《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步．
16. 如图，矩形中，，，的平分线交于点，为线段上一动点，点为的中点，则线段长的最大值是______．
三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卡的相应位置作答）
17. 解方程：．
18. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，，是由△ABC绕点顺时针旋转得到的（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）画出；
（2）直接写出点，的坐标．
19. 在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字 1，3，4，5 的小球．它们的形状、大小、质地等完全相同．小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为 x，放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为 y．
（1）列出表示点的所有可能出现的结果；
（2）求小明、小华各取一次小球所确定的点落在一次函数的图象上的概率．
20. 反比例函数图象经过点，．
（1）求的值；
（2）若点在反比例函数图象上，其中，求的取值范围．
21. 某商家将每件进价为15元的纪念品，按每件19元出售，每日可售出28件．经市场调查发现，这种纪念品每件涨价1元，日销售量会减少2件．
（1）当每件纪念品涨价多少元时，单日的利润为154元？
（2）商家为了单日获得的利润最大，每件纪念品应涨价多少元？最大利润是多少元？
22. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何值，此方程总有实数根；
（2）若直角三角形的一边长为3，另两边长恰好是这个方程的两根，求的值．
23. 如图，直线与相切于点，交于点，的延长线交于点，，点在上，且不与，重合．
（1）求的大小；
（2）若，的延长线交直线于点，求证：与相切．
24. 已知点在二次函数的图象上．
（1）求关于的函数关系式；
（2）求的最大值；
（3）设直线（为常数且）与抛物线交于点A，，与抛物线（为常数）交于点，．求证：．
25. 如图1，点是边上一点．，，是的外接圆，点在上（不与点，点重合），且．

（1）求证：是直角三角形；
（2）如图2，若是⊙的直径，且，折线是由折线绕点顺时针旋转得到．
①当时，求的面积；
②求证：点，，三点共线．
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0
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1
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