专题19 三角形内接矩形相似模型（教师版）-中考数学几何模型重点突破讲练

这是一份专题19 三角形内接矩形相似模型（教师版）-中考数学几何模型重点突破讲练，共30页。

【模型】如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，则△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，.
【例1】如图，在中，AD是BC边上的高，在的内部，作一个正方形PQRS，若，，则正方形PQRS的边长为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】由四边形PQRS是正方形，可得即可证得△ASR∽△ABC，设正方形PQRS的边长为x，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，得方程： 解此方程即可求得答案．
【解析】解：如图：记AD与SR的交点为E，设正方形PQRS的边长为x，
∵AD是△ABC的高，四边形PQRS是正方形，
∴，AE是△ASR的高， 则AE=AD-ED=2-x，
∴△ASR∽△ABC，

解得：，
∴正方形PQRS的边长为．
故选：A．
【例2】如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长________．
【答案】
【分析】设AM交GF于H点，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【解析】解：如图，设高AM交GF于H点，
∵四边形DEFG为正方形，
∴GF∥DE，即：GF∥BC，
∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC，
∴，
设正方形的边长为，
∴，
解得：，
故答案为：．
【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧做正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当点E落在边BC上时，求t的值．
（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．
【答案】（1）2t；（2）；（3）；（4）t＝或
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：∠A＝∠ADP＝45°，即AP＝DP＝2t；
（2）由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得：AB＝AP+PF+FB，即2t+2t+2t＝8，可求t的值；
（3）分两种情况讨论，根据重叠部分的图形的形状，可求S与t之间的函数关系式；
（4）分点E在△ABC内部和△ABC外部两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求t的值．
【解析】（1）∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB，
∴∠A＝∠ADP＝45°，
∴AP＝DP＝2t，
故答案为2t，
（2）如图，
∵四边形DEFP是正方形，
∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°，
∵∠A＝∠B＝45°，
∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°，
∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF，
∵AB＝AP+PF+FB，
∴2t+2t+2t＝8，
∴t＝；
（3）当0＜t≤时，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为正方形PDEF的面积，
即S＝DP2＝4t2，
当＜t≤2时，如图，正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为五边形PDGHF的面积，
∵AP＝DP＝PF＝2t，
∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t，
∵BF＝HF＝8﹣4t，
∴EH＝EF﹣HF＝2t﹣（8﹣4t）＝6t﹣8，
∴S＝S正方形DPFE﹣S△GHE，
∴S＝4t2﹣×（6t﹣8）2＝﹣14t2+48t﹣32，
综上所述，S与t之间的函数关系式为.
（4）如图，当点E在△ABC内部，设DF与PE交于点O，
∵四边形PDEF是正方形，
∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，
∴∠DFP＝∠ABC＝45°，
∴DF∥BC，
∴，
∵DF＝4EG，
∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO，
∴PG＝5a，
∴，
∴，
∴t＝，
如图，当点E在△ABC外部，设DF与PE交于点O，
∵四边形PDEF是正方形，
∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，
∴∠DFP＝∠ABC＝45°，
∴DF∥BC，
∴，
∵DF＝4EG，
∴设EG＝a，则DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO，
∴PG＝3a，
∵，
∴，
∴t＝，
综上所述：t＝或.
一、单选题
1．如图，矩形内接于，且边落在上，若，那么的长为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设EH=3x，表示出EF，由AD-EF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．
【解析】解：如图所示：
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AM⊥EH，AD⊥BC，
∴，
设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD-EF=2-2x，
∴，
解得：，
则．
故选：C．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A．12B．7C．6D．5
【答案】B
【分析】根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值．
【解析】解：∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，
∴OM∥AB∥PN∥EF，EO∥FP，∠C=∠EOM=∠NPF=90°，
∴△CEF∽△OME∽△PFN，
∴OE：PN=OM：PF，
∵EF=x，MO=3，PN=4，
∴OE=x-3，PF=x-4，
∴（x-3）：4=3：（x-4），
∴（x-3）（x-4）=12，即x2-4x-3x+12=12，
∴x=0（不符合题意，舍去）或x=7．
故选：B．
3．如图，将一张面积为50的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张矩形纸片．根据图中标示的长度，则矩形纸片的面积为（ ）
A．12B．18C．24D．30
【答案】C
【分析】如图，由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质，可求得△ADE的高，进而求得平行四边形的高，则问题可解．
【解析】解：如图，设△ABC的BC边上的高为，矩形的FG边上的高为
∵四边形DEFG为矩形，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，DE=6，BC=10，
∴，
∵S△ABC=50，
∴，
∴，解得，
∴平行四边形纸片的面积为=．
故选：C．
4．如图，在△ABC中，AB边上取一点P，画正方形PQMN，使Q，M在边BC上，N在边AC上，连接BN，在BN上截取NE=NM，连接EQ，EM，当时，则∠QEM度数为（ ）
A．60°B．70°C．75°D．90°
【答案】D
【分析】证明，可得，根据等腰三角形的性质可，由，可得，进而可得答案．
【解析】为正方形，
，
．
，
在Rt△BMN中，设，则，
，
．
，
，，
，
，，
．
，
．
，
，
．
故选D．
5．如图，在中，，，，若内接正方形的边长是x，则h、c、x的数量关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据正方形的性质得到，继而证明，根据相似三角形的性质即可列出比例式，再通过证明四边形DHMG是矩形表示出CM的长度，即可求解．
【解析】解：设CH与GF交于点M，
正方形，
，，
，
，
，
，
四边形DHMG是矩形，
，
，，正方形的边长是x，
，
，
，
整理得，
故选：D．
6．我国古代数学著作《九章算法比类大全》有题如下：“方种芝麻斜种黍，勾股之田十亩无零数．九十股差方为界，勾差十步分明许．借问贤家如何取，多少黍田多少芝麻亩．算的二田无误处，智能才华算中举．”大意是：正方形田种芝麻，斜形（三角形）种黍，有一块直角三角形是10亩整．股差步，勾差步．请问黍田、芝麻各多少亩？（1亩平方步）答：（ ）
A．艺麻田3.75亩，黍田6.25亩B．芝麻田3.25亩，黍田6.75亩
C．芝麻田3.70亩，黍田6.30亩D．芝麻田3.30亩，黍田6.70亩
【答案】A
【分析】首先判定，然后利用该相似三角形的对应边成比例和求得；然后利用三角形和正方形的面积公式解答．
【解析】解：根据题意知，，则．
又，
．
所以，芝麻田的面积为：（亩．
黍田的面积为：
（亩．
综上所述，芝麻田3.75亩，黍田6.25亩．
故选：A．
二、填空题
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．在其内并排放入（不重叠）n个相同的小正方形纸片，使这些纸片的一边都在AB上，首尾两个正方形各有一个顶点D，E分别在AC，BC上，则小正方形的边长为 _____（用含n的代数式表示）．
【答案】
【分析】连接DE，作CF⊥AB于点F，根据勾股定理可得AB=10，再由，可得CF＝，然后根据△CDE∽△CAB，可得，即可求解．
【解析】解：连接DE，作CF⊥AB于点F，则，
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．
∴AB＝＝＝10，
∵，
∴，
解得∶CF＝，
∵，
∴△CDE∽△CAB，，
∴，
设小正方形的边长为x，
∴，
解得x＝，
故答案为：．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，在三角形内挖掉正方形CDEF，则正方形CDEF的边长为________．
【答案】
【分析】设EF＝x，则AF＝12－x，证明△AFE∽△ACB，可得，由此构建方程即可解决问题．
【解析】解：∵四边形CDEF是正方形，
∴EFCD，EF＝FC＝CD＝DE，设EF＝x，则AF＝12－x，
∴△AFE∽△ACB，
∴，
∴，
解得x＝，
即正方形CDEF的边长为，
故答案为：．
9．如图的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，EF＝1，则BN的长度为_____．
【答案】
【分析】由可得 ，求出AE的长，由可得 ，将AE的长代入可求得BN．
【解析】解：∵四边形DEFG是正方形，
∴，且DE=GF=EF=1，
∴△ADE∽△ACB，△AGF∽△ANB，
∴①， ②，
由①可得，，解得：，
将代入②，
得：，
解得：，
故答案为：．
10．如图，矩形内接于，且边落在上．若，，，，那么的长为__．
【答案】
【分析】根据矩形的性质得到，得到，根据相似三角形的性质得到比例式，列出方程，解方程即可．
【解析】解：设AD与EH相交与点M，
四边形是矩形，
∴，
∴，
，，
，
设，则有，，
，
解得：，
则．
故答案为：．
11．如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________．
【答案】
【分析】通过四边形EFGH为矩形推出，因此△AEH与△ABC两个三角形相似，将AM视为△AEH的高，可得出，再将数据代入即可得出答案．
【解析】∵四边形EFGH是矩形，
∴，
∴，
∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高，
∴，
∴，
∵，
代入可得：，
解得，
∴，
故答案为：．
12．在中，，点在线段上，过点作于点，于点，使得四边形为正方形，此时，，则阴影部分面积为_________．
【答案】6
【分析】由正方形的性质可得，CE＝CF＝BF＝BE，得△AEC∽△ABD，设CE＝CF＝BF＝BE＝x，利用相似三角形对应边成比例得到，解得AE＝，FD＝，在Rt△AEC中，由勾股定理得，求得x的值，进一步即可求得阴影部分的面积．
【解析】解：∵四边形为正方形，
∴，CE＝CF＝BF＝BE，
∴△AEC∽△ABD，
∴，
设CE＝CF＝BF＝BE＝x，
∴，
解得AE＝，FD＝，
在Rt△AEC中，由勾股定理得，
，
即，
解得x＝，
∴AE＝＝（cm），FD＝＝（cm），
∴阴影部分面积为（）．
故答案为：6
三、解答题
13．如图，己知直角三角形的铁片ABC的两直角边BC、AC的长分别为3cm和4cm，分别采用（1）、（2）两种剪法，剪出一块正方形铁片，为使所得的正方形面积最大，问哪一种剪法好？为什么？
【答案】（1）的情形下正方形的面积大，理由见解析
【分析】求出两个正方形的边长，根据面积大的比较合理来选择．
【解析】解：（1）设正方形边长为ycm，则DE=CD=EF=CF=ycm，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴；
（2）．
作边上的高，交于点M．
由，
得，解得．
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴．
设正方形的边长为，
则，解得．
∵，
∴（1）的情形下正方形的面积大．
14．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，∠DEB＝∠FCE，EF∥AB．
(1)求证：△BDE∽△EFC；
(2)设，△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
【答案】(1)见解析；(2)45
【分析】（1）由平行线的性质得出，，即可得出结论；
（2）先求出，易证，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．
【解析】(1)解：证明：，
，
∵，
；
(2)，
，
，
，
，
．
15．如图，在中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，，．
(1)求证：．
(2)若，，求线段BE的长．
【答案】(1)见解析；(2)4
【分析】（1）由平行线的性质可得∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，可得结论；
（2）先证明四边形ADEF是平行四边形，得到DE=AF，推出，再由相似三角形的性质推出，由此求解即可．
【解析】(1)解：∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF∥AB，
∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
(2)解：∵DE∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴DE=AF，
∵，
∴，
∵△BDE∽△EFC，
∴，
∴，
∴，
∴．
16．一块三角形的余料，底边BC长1.8米，高AD＝1米，如图．要利用它裁剪一个长宽比是3∶2的长方形，使长方形的长在BC上，另两个顶点在AB、AC上，求长方形的长EH和宽EF的长．
【答案】EH＝米，EF＝米
【解析】根据比例设EH、EF分别为3k、2k，然后根据△AEH和△ABC相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式比例式求出k值，即可得解．
【分析】解：∵长方形的长宽比是3∶2，
∴设EH、EF分别为3k、2k，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得k＝，
∴EH＝米，EF＝米．
17．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最值．
解：
∵无论x取何实数，总有．
∴，即无论x取何实数，有最小值，是．
(1)问题：已知，试求y的最值．
(2)【知识迁移】在中，是边上的高，矩形的顶点P、N分别在边上，顶点Q、M在边上，
探究一：，求出矩形的最大面积的值；（提示：由矩形我们很容易证明，可以设，经过推导，用含有x的代数式表示出该矩形的面积，从而求得答案．）
(3)探究二：，则矩形面积S的最大值___________．（用含a，h的代数式表示）
【答案】(1)11；(2)18；(3)
【分析】（1）根据题意，使用配方法将二次三项式进行配方，再根据不等式的基本性质确定最值即可；
（2）首先证明，根据相似三角形的性质，可以得到，设，则，得出，从而得出，将矩形面积S用含x的代数式表示，再进行配方，确定最值即可；
（3）根据探究一，即可得出，设，则，因此，从而得到，将矩形面积S用含x的代数式表示，再进行配方，确定最值即可．
【解析】（1）解：
∵无论x取何实数，总有，
∴，
∴，即y有最大值，是11；
（2）探究一：∵ 四边形PQMN是矩形，
∴ PNBC，
∴ ∠APN＝∠ABC，∠ANP＝∠ACB，
∴△APN∽△ABC，
∴，
设PN＝x，
∴，
∴，
由已知可得四边形EDMN是矩形，
∴，
∴，
∵无论x取何实数，总有，
∴，
∴，
∴矩形PQMN的最大面积的值为18；
（3）探究二：由探究一可知，△APN∽△ABC，
∴，
设PN＝x，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵无论x取何实数，总有，
∴，
∴，
∴矩形PQMN的最大面积的值为．
18．如图，为一块铁板余料，，，，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．
【答案】方案①正方形边长cm，方案②正方形边长cm．
【分析】方案①：设正方形的边长为xcm,然后求出△AEF和△ABC相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
方案②：作BH⊥AC于H，交DE于K，构造矩形DKHG和相似三角形（△BDE∽△BCA），利用矩形的性质和等面积法求得线段BH的长度，则BK＝4.8−y；然后由相似三角形的对应边成比例求得答案．
【解析】解：设方案①正方形的边长为cm，
，四边形是正方形，
，
，
，
即，
解得，
即加工成正方形的边长为cm．
设方案②正方形的边长为cm，作于，交于，
∵四边形是正方形，
∴，．
∴于．
∴．
∴四边形为矩形．
设．
∵．
∴．
∴．
∵．
∴，
∴，
∴．
∴．
解得．
即方案②加工成正方形的边长为cm．
19．在△ABC中，BC＝2，BC边上的高AD＝1，P是BC上任一点，PEAB交AC于E，PFAC交AB于F．
(1)设BP＝x，将S△PEF用x表示；
(2)当P在BC边上什么位置时，S值最大．
【答案】(1)S△PEF＝﹣x2＋x（0＜x＜2）
(2)当BP＝1时，面积有最大值
【分析】（1）先求出△ABC的面积，再用x表示出PC，然后再说明△CEP∽△CAB可得＝（）2可得△CEP的面积，同理可得S△BPF＝，然后结合图形根据平行四边形的对角线平分平行四边形解答即可；
（2）先对（1）所得解析式配方，然后再根据二次函数的性质求最值即可．
【解析】（1）解：（1）∵BC＝2，BC边上的高AD＝1，
∴S△ABC＝×2×1＝1，
∵BP＝x，
∴PC＝2﹣x，
∵PEAB，
∴△CEP∽△CAB，
∴＝（）2，
∴S△CEP＝1﹣x＋，
同理:S△BPF＝，
∵四边形AEPF为平行四边形，
∴S△PEF＝S▱AEPF＝（S△ABC﹣S△CEP﹣S△BPF）
＝﹣x2＋x（0＜x＜2）．
∴S△PEF＝﹣x2＋x（0＜x＜2）．
（2）解：由（1）知S△PEF＝﹣x2＋x＝﹣（x﹣1）2＋，
∵0＜x＜2，
∴当x＝1时，面积有最大值．
20．课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC＝12m，高线AD＝8m．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长为多少米？小颖解得此题的答案为4.8m．
(1)你知道小颖是怎么做的吗？请你写出解答过程？
(2)善于反思，她又提出了如下的问题，如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
(3)如图3，小颖想如果这块余料形状改为Rt△ABC的斜板，已知∠A＝90°，AB＝8m，AC＝6m，要把它加工成一个形状为平行四边形PQMN的工件，使MQ在BC上，P、N两点分别在AB，AC上，且PN＝8m，则平行四边形PQMN的面积为 m2．
【答案】(1)见解析
(2)达到这个最大值时矩形零件的两条边长
(3)7.68
【分析】（1）设正方形PQMN的边长为xm，则PN=PQ=ED=xm，AE=AD-ED=（8-x）m，再证明△APN∽△ABC，得到，即，由此求解即可；
（2）设PN=xm，矩形PQMN的面积为，同理可证△APN∽△ABC，求出，则，由此利用二次函数的性质求解即可；
（3）如图所示，过点A作AD⊥BC于D，交PN于E，同理可证△APN∽△ABC，AE⊥PN，得到，利用勾股定理和面积法求出，，从而求出，则．
【解析】（1）解：由题意得四边形PQDE是矩形，设正方形PQMN的边长为xm，则PN=PQ=ED=xm，
∴AE=AD-ED=（8-x）m，
∵四边形PQMN是正方形，
∴，
∴△APN∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴AE⊥PN，
∴，即，
解得，
∴正方形PQMN的边长为4.8m；
（2）解：设PN=xm，矩形PQMN的面积为，
同理可证△APN∽△ABC，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴，
∴达到这个最大值时矩形零件的两条边长
（3）解：如图所示，过点A作AD⊥BC于D，交PN于E，
同理可证△APN∽△ABC，AE⊥PN，
∴，
在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8m，AC＝6m，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：7.68．