专题20 中点四边形模型（教师版）-中考数学几何模型重点突破讲练

这是一份专题20 中点四边形模型（教师版）-中考数学几何模型重点突破讲练，共26页。

【模型】如图20-1，已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD的中点，分别连接EF、FG、GH、EH、AC、BD，所以根据EF、FG、GH、EH分别是、、、的中位线，根据三角形中位线的性质，可知；同理可得；（1）四边形EFGH为平行四边形；（2）四边形EFGH的周长为。
又因为EF、FG、GH、EH分别是、、、的中位线，
相似三角形的面积之比等于相似比的平方，
，
，，；
。
【模型变式1】矩形中点四边形
如图20-2，除具备模型中所有结论外，还可知四边形EFGH为菱形。
【模型变式2】菱形中点四边形
如图20-3，除具备模型中所有结论外，还可知四边形EFGH为矩形。
【模型变式3】正方形中点四边形
如图20-4，除具备模型中所有结论外，还可知四边形EFGH为正方形。
【例1】下列命题中，假命题是（ ）
A．顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形
B．顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形
C．顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形
D．顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形
【答案】D
【分析】根据平行四边形、特殊的平行四边形的判定、中位线定理、中点四边形的定义进行判定即可．
【解析】
观察图形：分别为的中点，根据中位线定理：

A：顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形,正确；
B：顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形，正确；
C：顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形，正确；
D：顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是平行四边形，错误．
故答案选：D．
【例2】如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加一个条件 _____，能使四边形EFGH是矩形．
【答案】AC⊥BD
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，根据平行线的性质可得：∠EHG=∠1，∠1=∠2，再证明四边形EFGH是平行四边形，当∠EFG=90°，四边形EFGH是矩形，所以∠2=90°，因此AC⊥BD．
【解析】解：如图，
∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，
∴
∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，
∴∠2=∠EHG，
同理：

∴四边形EFGH是平行四边形，
当∠EHG=90°， 四边形EFGH是矩形，
∴∠2=90°，
∴AC⊥BD．
故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．
【例3】我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，中点四边形EFGH是 ．
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状（不必证明）．
【答案】（1）平行四边形；（2）菱形，见解析；（3）正方形
【分析】（1）连接BD，根据三角形中位线定理证明EH∥FG，EH=FG，根据平行四边形的判定定理证明即可；
（2）证明△APC≌△BPD，根据全等三角形的性质得到AC=BD，再证明EF=FG，根据菱形的判定定理证明结论；
（3）证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得到∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质证明∠EHG=90°，根据正方形的判定定理证明即可．
【解析】解：（1）如图1，连接BD，
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH=BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
（2）结论：四边形EFGH是菱形，
理由：如图2，连接AC，BD．
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
，
∴△APC≌△BPD（SAS），
∴AC=BD，
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF=AC，FG=BD，
∴EF=FG，
由（1）知中点四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是菱形；
（3）结论：四边形EFGH是正方形，
理由：如图2，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠DMO=∠CMP，
∴∠COD=∠CPD=90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG=∠DOC=90°，
由（2）知中点四边形EFGH是菱形，
∴菱形EFGH是正方形．
一、单选题
1．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，下列说法正确的是
A．任意一个四边形的中点四边形是菱形
B．任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形的中点四边形是矩形
D．对角线垂直的四边形的中点四边形是正方形
【答案】B
【分析】中点四边形的形状取决于原四边形的对角线的性质：当原四边形的对角线既不相等，也不垂直时，中点四边形的形状为平行四边形；当原四边形的对角线相等时，中点四边形的形状为菱形；当原四边形的对角线垂直时，中点四边形的形状为矩形；当原四边形的对角线互相垂直且相等时，中点四边形的形状为正方形．由此即可解答.
【解析】选项A，由任意一个四边形的中点四边形是平行四边形可判定选项A错误；
选项B，任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形，选项B正确；
选项C，由对角线相等的四边形的中点四边形是菱形可判定选项C错误；
选项D，由对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形可判定选项D错误.
故选B.
2．若顺次连接一个四边形的四边中点所组成的四边形是矩形，则原四边形一定是（ ）
A．一般平行四边形B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线相等的四边形D．矩形
【答案】B
【解析】因为任意四边形的中点四边形都是平行四边形，而中点四边形的两组对边分别是和原四边形的两条对角线平行的，矩形相邻两边是互相垂直的，所以原四边形的对角线应该互相垂直.
故选B.
3．我们给出如下定义，顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则中点四边形EFGH的形状是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
【答案】C
【分析】连接AC、BD，证明△APC≌△BPD（SAS），再根据中位线定理得到EF＝FG＝GH＝EH，从而证明四边形EFGH是菱形．
【解析】解：如图，连接AC、BD，
∵∠APB＝∠CPD，
∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD，即∠APC＝∠BPD，
在△APC和△BPD中，
，
∴△APC≌△BPD（SAS），
∴AC＝BD，
∵点E、F、G分别为AB、BC、CD的中点，
∴EFAC、FGBD，EHBD，GHAC，
∴EF＝FG＝GH＝EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故选：C．
4．如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点，AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为（ ）
A．4B．6C．3D．8
【答案】A
【分析】由题意易得△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF，然后利用割补法可求解四边形EFGH的面积．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∵E、F、G、H分别是四条边的中点，AB＝2，BC＝4，
∴，
∴△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF（SAS），
∴；
故选A．
5．李优的窗帘厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料，用于生产批形状如图所示的窗帘图案来点缀窗帘，点E、F、G、H分别是四边形各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，损耗不计）．若生产这批图案需要甲布料50匹，那么需要乙布料（ ）
A．150匹B．100匹C．50匹D．25匹
【答案】C
【分析】连接AC，BD，根据三角形中位线定理证明△BEF∽△BAC，可得，同理可得 ，从而得到，继而得到，则有阴影部分面积等于，即可求解．
【解析】解：如图，连接AC，BD，
∵点E、F为AB、BC的中点，
∴EF∥AC，AC=2EF，
∴△BEF∽△BAC，
∴，
∴，
同理，
∴，
同理，
∴，
∴阴影部分面积等于，
即甲种布料的面积等于乙种布料的面积，
∵甲布料50匹，
∴乙布料50匹．
故选：C
6．已知：如图，在矩形中，、、、分别为边、、、的中点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，得出平行四边形，推出，同理，求出四边形是菱形，根据菱形的面积等于，代入求出即可．
【解析】解：连接，
分别为边的中点，
，
四边形是矩形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
同理，
四边形是矩形，
，
分别为边的中点，
∴，，，
，，，
四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形，
，
阴影部分的面积是，
故选：C．
二、填空题
7．顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是_________________．
【答案】平行四边形
【分析】根据中点四边形的性质判断即可；
【解析】解：如图所示，
四边形ABCD，E，F，G，H是四边形的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形EFGH是平行四边形；
故答案为：平行四边形．
8．如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加_________，才能保证四边形EFGH是正方形．
【答案】AC⊥BD，AC=BD## AC=BD， AC⊥BD
【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH为平行四边形，根据正方形的判定定理即可得解．
【解析】解：当AC⊥BD，AC=BD时，四边形EFGH为正方形．
∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，EH∥BD，EH=BD，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
当AC⊥BD，AC=BD时，EF⊥EH，EF=EH，
∴四边形EFGH为正方形．
故答案为：AC⊥BD，AC=BD．
9．若顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD满足的条件为.___________
【答案】AC⊥BD
【分析】如图所示，由四边形EFGH为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH=90°，又EF为三角形ABD的中位线，根据中位线定理得到EF与DB平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO=90°，同理根据三角形中位线定理得到EH与AC平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD=90°，根据垂直定义得到AC与BD垂直．
【解析】顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD满足的条件为对角线垂直，理由：
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠FEH=90°，
又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，
∴EF是三角形ABD的中位线，
∴EF∥BD，
∴∠FEH=∠OMH=90°，
又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，
∴EH是三角形ACD的中位线，
∴EH∥AC，
∴∠OMH=∠COB=90°，
则AC⊥BD，故四边形ABCD满足的条件为对角线垂直．
故答案为AC⊥BD．
10．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝3，BC＝5，分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形ACN，连接MN，D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，则四边形DEFG的周长为______．
【答案】14
【分析】连接BN，CM，过点N作NP⊥BC角BC延长线于点P，先证明△CAM≌△NAB，可得CM=NB，再三角形中位线定理可得四边形DEFG是菱形，从而得到，再由直角三角形的性质可得，然后根据勾股定理可得BN=7，即可求解．
【解析】解：如图，连接BN，CM，过点N作NP⊥BC角BC延长线于点P，
∵△ABM和△ACN是等边三角形，
∴AB=AM，AN=AC=CN=3，∠BAM=∠CAN=∠ACN=60°，
∴∠BAM+∠BAC=∠CAN+∠BAC，即∠CAM=∠NAB，
在△CAM和△NAB中，
，
∴△CAM≌△NAB（SAS），
∴CM=NB，
∵D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，
∴DG是△BMN的中位线，EF是△BCN的中位线，DE是△BCM的中位线，
∴，，，
∴，，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵DE=DG，
∴四边形DEFG是菱形，
∴，
∵∠ACB=60°，
∴∠NCP=180°-∠ACB-∠ACN=60°，
∵NP⊥BC，
∴∠CNP=90°-60°=30°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形DEFG的周长为．
故答案为：14
11．如图，顺次连接菱形四边的中点，，，，则四边形是______形．
【答案】矩
【分析】连接、交于点，由菱形的性质可得，再利用三角形中位线的性质证明四边形是平行四边形，，进而证明四边形是矩形．
【解析】如图，连接、交于点，
∵四边形为菱形，
∴，
∵点，，，分别是菱形四边的中点，
∴，，，，，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形．
故答案为：矩．
12．如图，顺次连接第一个矩形各边的中点得到第1个菱形，顺次连接这个菱形各边的中点得到第二个矩形，再顺次连接第二个矩形各边的中点得到第2个菱形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为6，则第n个菱形的面积为______．
【答案】
【分析】根据题意求得第二、三个矩形的面积，找到规律，依此类推，第n个矩形的面积为，而第1个菱形的面积为第1个矩形面积的一半，据此即可求解．
【解析】解：∵已知第一个矩形的面积为6；
第二个矩形的面积为原来的；
第三个矩形的面积是
…
∴故第n个矩形的面积为：
由题意易得：第1个菱形的面积为第1个矩形的面积的一半，
则第n个菱形的面积为第n个矩形的面积的一半，
即
故答案为：
三、解答题
13．如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H．
（1）判断四边形EFGH形状，并说明理由；
（2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由．
【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）菱形，理由见解析
【分析】（1）连接AC，根据三角形中位线定理即可证得；
（2）连接BD ，由（1）得，四边形EFGH是平行四边形，再由三角形中位线定理，证得邻边相等，即可证得菱形．
【解析】（1）四边形EFGH为平行四边形，理由如下：
连接AC，如图，
在△ABC和△ADC中，
∵EF、GH分别为其中位线，
∴EF∥AC,且EF=AC; GH∥AC且GH=AC ，
∴EF=GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH为平行四边形；
（2）若AC=BD, 则四边形EFGH为菱形，
连接BD ，如图，
在△BCD中，
∵GF为其中位线，
∴GF=BD ，
∵EF=AC（已证），且AC=BD，
∴EF=GF ，
又∵四边形EFGH为平行四边形（已证），
∴四边形EFGH为菱形．
14．四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形．
（1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的：
①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形；
②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形．
（2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明．
【答案】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形见解析
【分析】（1）①连接AC、BD，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH都是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明；
②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明；
（2）分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD，证明，得到AC=DB，根据（1）①证明即可．
【解析】（1）解：（1）①连接AC、BD，
∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，
∴EH∥BD，FG∥BD，
∴EH∥FG，
同理EF∥HG，
∴四边形EFGH都是平行四边形，
∵对角线AC=BD，
∴EH=EF，
∴四边形ABCD的中点四边形是菱形；
②当对角线AC⊥BD时，EF⊥EH，
∴四边形ABCD的中点四边形是矩形；
故答案为：菱；矩；
（2）四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形．理由如下：
分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD，
∵，∴是等边三角形，∴，，
∵，∴，∴，，
在和中，
，
∴，∴，
∴四边形ABCD的对角线相等，中点四边形EFGH是菱形．
15．如图1，在四边形中，如果对角线和相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．
（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，______一定是等角线四边形（填写图形名称）；
②若、、、分别是等角线四边形四边、、、的中点，当对角线、还要满足______时，四边形是正方形．
（2）如图2，已知在中，，，，为平面内一点．
①若四边形是等角线四边形，且，求符合条件的等角线四边形的面积．
②设点是所在平面上的任意一点且，若四边形是等角线四边形，求出四边形面积的最大值，并说明理由．
【答案】（1）①矩形；②；（2）①；②18，理由见解析
【分析】（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，只有矩形的对角线相等，所以矩形是等角线四边形；②当时，四边形是正方形，首先证明四边形是菱形，再证明有一个角是直角即可；
（2）①如图2中，作于．根据计算，求出相关线段即可；②如图3中，设与相交于点，连接，只要证明当且、、共线时，四边形的面积最大即可．
【解析】解：（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，
矩形的对角线相等，
矩形一定是等角线四边形，
故答案为：矩形；
②当时，四边形是正方形．
理由：如图1，
、、、分别是等角线四边形四边、、、的中点，
，，，，
，
，
四边形是菱形，
，，，
，
四边形是正方形．
故答案为：；
（2）①如图2，作于．
在中，，，，
，
，，
，
四边形是等角线四边形，
，
在中，，
．
四边形的面积为；
②如图3中，设与相交于点，连接，
作于，于．则，，
四边形是等角线四边形，
，
，
即，
当、重合时，即时，等号成立，
，
，
即线段最大时，四边形的面积最大，
，
，
，
的最大值为6，
当、、共线时，取等号，
四边形的面积的最大值为．
故答案为：18．
16．问题提出：
(1)如图1，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AC＝BD，E，F，G，H分别是各边的中点，求证：四边形EFGH是正方形．
问题解决：
(2)如图2，某市有一块四边形土地ABCD，AD＝60米，DC＝80米，∠ADC是直角，P是该四边形土地内的一点，计划在四个三角形土地△APD，△APB，△BCP，△CPD中分别种植不同的花草，为了方便种植，王师傅设计出如下方案：取四边形ABCD各边的中点E，F，G，H，然后在四边形EFGH的四条边EF，FG，GH，EH铺上人行道地砖（人行道宽度不计），铺设地砖成本为20元/米，经测量AP＝BP，CP＝DP，∠APB＝∠CPD＝90°，设计要求是四边形EFGH为正方形，请问王师傅的设计方案是否符合要求，若符合，请写出证明过程，并计算铺设地砖所需的费用；若不符合，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析 ；
(2)符合，证明见解析；4000元．
【分析】（1）根据正方形的判定定理证明即可；
（2）连接AC，BD，AC与BD相交于点O．证明，得到，再证明 AC⊥BD，利用四边形EFGH为正方形．由勾股定理，得AC＝100（米），（米），即可求出铺设地砖所需的费用．
【解析】（1）证明：∵E，F，G，H分别是各边的中点，∴，∵，∴，∴四边形EFGH是菱形，∵，∴，∴四边形EFGH是正方形．
（2）解：符合．如图，连接AC，BD，AC与BD相交于点O．∵，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴AC⊥BD，由（1）可知，四边形EFGH为正方形．∵米，米，∴由勾股定理，得（米），∴（米），（元）．∴铺设地砖所需的费用为4000元．
17．如图，矩形ABCD中，，点E、F、G、H，分别是BC、CD、AD、AB上的动点（顶点除外），若；
(1)在图1中，点E，F，G，H分别是BC，CD，AD，AB上的中点．
①判断四边形EFGH的形状，并证明；
②若四边形EFGH是正方形，求BC的长；
(2)在图2中，已知，判断四边形EFGH的周长是否会随着点G的变化而变化，如不变化，求出其周长，若会变化，说明理由；
【答案】(1)①菱形，证明见解析；②4
(2)周长不会变化，
【分析】（1）①根据题意先进行判断，再利用矩形的性质证明全等从而证明四边形的四条边都相等即可求证；②根据正方形的性质求解即可；
（2）通过延长GH交CB的延长线于点N，延长GF交BC的延长线于点M，如图（见详解），证明，，求出MN的长度，再证明 ，得到，过点G作于点K之后即可利用勾股定理求出四边形EFGH的周长．
【解析】（1）解：①四边形EFGH是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，点E，F，G，H分别是BC，CD，AD，AB上的中点，∴,，且,∴，∴，∴四边形EFGH是菱形．②若四边形EFGH是正方形，则；
（2）解：四边形EFGH的周长不会随着DG的变化而变化；如图，延长GH交CB的延长线于点N，延长GF交BC的延长线于点M．∵，，∴．且，,∴．∴，，同理：，．∴．∵，，∴．∴．过点G作于点K，则，∴，∴四边形EFGH的周长为．