人教版七年级数学下册章节重难点举一反三 专题7.1 平面直角坐标系【八大题型】（原卷版+解析）

这是一份人教版七年级数学下册章节重难点举一反三 专题7.1 平面直角坐标系【八大题型】（原卷版+解析），共29页。
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc19748" 【题型1 判断点所在的象限】 PAGEREF _Tc19748 \h 1
\l "_Tc10518" 【题型2 坐标轴上点的坐标特征】 PAGEREF _Tc10518 \h 2
\l "_Tc1102" 【题型3 点到坐标轴的距离】 PAGEREF _Tc1102 \h 2
\l "_Tc1896" 【题型4 平行与坐标轴点的坐标特征】 PAGEREF _Tc1896 \h 3
\l "_Tc23049" 【题型5 坐标确定位置】 PAGEREF _Tc23049 \h 3
\l "_Tc16333" 【题型6 点在坐标系中的平移】 PAGEREF _Tc16333 \h 5
\l "_Tc24891" 【题型7 图形在坐标系中的平移】 PAGEREF _Tc24891 \h 6
\l "_Tc433" 【题型8 图形在格点中的平移变换】 PAGEREF _Tc433 \h 7
【知识点1 平面直角坐标系的相关概念】
建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴
一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
【题型1 判断点所在的象限】
【例1】（2022春•洪山区期末）已知点P（x，y）在第四象限，则点Q（﹣x﹣3，﹣y）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式1-1】（2022春•长沙期末）已知点P（﹣a，b），ab＞0，a+b＜0，则点P在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式1-2】（2022春•青山区期末）已知，点A的坐标为（m﹣1，2m﹣3），则点A一定不会在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式1-3】（2022春•晋州市期中）对任意实数x，点P（x，x2+3x）一定不在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【知识点2 坐标轴上点的坐标特征】
在平面直角坐标系中，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，坐标原点横纵坐标均为0.
【题型2 坐标轴上点的坐标特征】
【例2】（2022春•陇县期中）在平面直角坐标系中，点M（m﹣3，m+1）在x轴上，则点P（m﹣1，1﹣m）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式2-1】（2022春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2m﹣4，m+1），若点P在y轴上，则m的值为（ ）
A．﹣1B．1C．2D．3
【变式2-2】（2022春•仓山区校级期中）已知点A（﹣3，2m+3）在x轴上，点B（n﹣4，4）在y轴上，则点C（m，n）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式2-3】（2022春•东莞市期中）已知点P（2a﹣4，a+1），若点P在坐标轴上，则点P的坐标为 ．
【知识点3 点到坐标轴的距离】
在平面直角坐标系中，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值.
【题型3 点到坐标轴的距离】
【例3】（2022春•巴南区期末）已知点P在x轴的下方，若点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则点P的横坐标与纵坐标的和为 ．
【变式3-1】（2021秋•城固县期末）已知点M（a，b）在第一象限，点M到x轴的距离等于它到y轴距离的2倍，且点M到两坐标轴的距离之和为6，则点M的坐标为 ．
【变式3-2】（2022春•云阳县期中）坐标平面内有一点A（x，y），且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离恰为到x轴距离的2倍．若xy＜0，则点A的坐标为（ ）
A．（6，﹣3）B．（﹣6，3）
C．（3，﹣6）或 （﹣3，6）D．（6，﹣3）或 （﹣6，3）
【变式3-3】（2021秋•阳山县期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）．若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．1 或 3
【知识点4 平行与坐标轴点的坐标特征】
在平面直角坐标系中，与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同.
【题型4 平行与坐标轴点的坐标特征】
【例4】（2022春•东莞市期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB平行于x轴，若AB＝4，则点B的坐标为（ ）
A．（7，2）B．（1，5）
C．（1，5）或（1，﹣1）D．（7，2）或（﹣1，2）
【变式4-1】（2022春•延津县期中）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（2，3），C（a，b），若BC∥x轴，AC∥y轴，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣2，1）B．（2，﹣3）C．（2，1）D．（﹣2，3）
【变式4-2】（2022春•涪陵区期末）在平面直角坐标系中，若点P和点Q的坐标分别为P（﹣2，m），Q（﹣2，1），点P在点Q的上方，线段PQ＝5，则m的值为（ ）
A．6B．5C．4D．7
【变式4-3】（2022春•硚口区期中）如图，已知点A（4，0），B（0，2），C（﹣5，0），CD∥AB交y轴于点D．点P（m，n）为线段CD上（端点除外）一点，则m与n满足的等量关系式是（ ）
A．m+2n＝﹣5B．2m+n＝﹣10C．m﹣n＝﹣5D．2m﹣n＝﹣6
【题型5 坐标确定位置】
【例5】（2022春•中山市期中）中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用（2，﹣1）表示“炮”的位置，（﹣2，0）表示“士”的位置，那么“将”的位置应表示为（ ）
A．（﹣2，3）B．（0，﹣5）C．（﹣3，1）D．（﹣4，2）
【变式5-1】（2021秋•渠县校级期中）在大型爱国主义电影《长津湖》中，我军缴获了敌人防御工程的坐标地图碎片（如图），若一号暗堡坐标为（1，2），四号暗堡坐标为（﹣3，2），指挥部坐标为（0，0），则敌人指挥部可能在（ ）
A．A处B．B处C．C处D．D处
【变式5-2】（2022春•朝阳区期末）为更好的开展古树名木的系统保护工作，某公园对园内的6棵百年古树都利用坐标确定了位置，并且定期巡视．
（1）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系xOy，使得古树A、B的位置分别表示为A（1，2），B（0，﹣1）；
（2）在（1）建立的平面直角坐标系xOy中，
①表示古树C的位置的坐标为 ；
②标出另外三棵古树D（﹣1，﹣2），E（1，0），F（1，1）的位置；
③如果“（﹣2，﹣2）→（﹣2，﹣1）→（﹣2，0）→（﹣2，1）→（﹣1，2）→（0，2）→（1，2）→（1，1）→（1，0）→（1，﹣1）→（0，﹣1）→（0，﹣2）→（﹣1，﹣2）”表示园林工人巡视古树的一种路线，请你用这种形式画出园林工人从原点O出发巡视6棵古树的路线（画出一条即可）．
【变式5-3】（2022春•海淀区校级期中）如图1，将射线OX按逆时针方向旋转β角（0°≤β＜360°），得到射线OY，如果点P为射线OY上的一点，且OP＝m，那么我们规定用（m，β）表示点P在平面内的位置，并记为P（m，β）．例如，图2中，如果OM＝5，∠XOM＝110，那么点M在平面内的位置，记为M（5，110°），根据图形，解答下列问题：
（1）如图3，点N在平面内的位置记为N（6，30°），那么ON＝ ，∠XON＝ ．
（2）如果点A、B在平面内的位置分别记为A（4，30°），B（3，210°），则A、B两点间的距离为 ．
【知识点5 点在坐标系中的平移】
向右平移a个单位
平面直角坐标内点的平移规律，设a>0，b>0
（1）一次平移：P（x，y） P'（x＋a，y）
向下平移b个单位
P（x，y） P'（x，y －b）
P（x，y）
P（x－ a，y＋b）
向左平移a个单位

再向上平移b个单位
（2）二次平移：
【题型6 点在坐标系中的平移】
【例6】（2022春•洪湖市期中）在平面直角坐标系中，将点（1，﹣4）平移到点（﹣3，﹣2），经过的平移变换为（ ）
A．先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度
B．先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度
C．先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度
【变式6-1】（2022春•武侯区期末）在平面直角坐标系中，将点M（3m﹣1，m﹣3）向上平移2个单位长度得到点M'，若点M'在x轴上，则点M的坐标是（ ）
A．（2，﹣2）B．（14，2）C．（﹣2，−103）D．（8，0）
【变式6-2】（2022春•碑林区校级期中）在平面直角坐标系中，将点P（a，b）向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点Q．若点Q位于第四象限，则a，b的取值范围是（ ）
A．a＞0，b＜0B．a＞1，b＜2C．a＞1，b＜0D．a＞﹣3，b＜2
【变式6-3】（2021秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，把点P（a﹣1，5）向左平移3个单位得到点Q（2﹣2b，5），则2a+4b+3的值为 ．
【知识点6 图形在坐标系中的平移】
在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
【题型7 图形在坐标系中的平移】
【例7】（2022春•胶州市期末）如图，△ABC的顶点坐标A（2，3），B（1，1），C（4，2），将△ABC先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，得到△A'B'C'，则BC边上一点D（m，n）的对应点D'的坐标是（ ）
A．（m+3，n+1）B．（m﹣3，n﹣1）C．（﹣1，2）D．（3﹣m，1﹣n）
【变式7-1】（2022•青岛二模）如图，线段AB经过平移得到线段A'B'，其中点A，B的对应点分别为点A'，B'，这四个点都在格点上．若线段A'B'有一个点P'（a，b），则点P'在AB上的对应点P的坐标为（ ）
A．（a﹣2，b+3）B．（a﹣2，b﹣3）C．（a+2，b+3）D．（a+2，b﹣3）
【变式7-2】（2022春•滨城区期中）如图，第一象限内有两点P（m﹣4，n），Q（m，n﹣3），将线段PQ平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（ ）
A．（﹣2，0）B．（0，3）
C．（0，3）或（﹣4，0）D．（0，3）或（﹣2，0）
【变式7-3】（2022春•如东县期中）三角形ABC在经过某次平移后，顶点A（﹣1，m+2）的对应点为A（2，m﹣3），若此三角形内任意一点P（a，b）经过此次平移后对应点P1（c，d）．则a+b﹣c﹣d的值为（ ）
A．8+mB．﹣8+mC．2D．﹣2
【题型8 图形在格点中的平移变换】
【例8】（2021春•抚远市期末）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．
（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．
①点M平移到点A的过程可以是：先向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度；
②点B的坐标为 ；
（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．
【变式8-1】（2022春•长沙期末）如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，且点C的对应点坐标是C'．
（1）画出△A'B'C'，并直接写出点C'的坐标；
（2）若△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P'，直接写出点P'的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【变式8-2】（2022春•江岸区校级月考）如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B′的坐标，并说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
（2）连接BC′，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系 ；
（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．
【变式8-3】（2021春•安阳县期中）在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A'B'C'，位置如图所示．
（1）分别写出点A，A'的坐标：A ，A' ．
（2）请说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
（3）若点M（m，4﹣n）是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M'的坐标为（2m﹣8，n﹣4），求m和n的值．
专题7.1 平面直角坐标系【八大题型】
【人教版】
TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc19748" 【题型1 判断点所在的象限】 PAGEREF _Tc19748 \h 1
\l "_Tc10518" 【题型2 坐标轴上点的坐标特征】 PAGEREF _Tc10518 \h 3
\l "_Tc1102" 【题型3 点到坐标轴的距离】 PAGEREF _Tc1102 \h 4
\l "_Tc1896" 【题型4 平行与坐标轴点的坐标特征】 PAGEREF _Tc1896 \h 6
\l "_Tc23049" 【题型5 坐标确定位置】 PAGEREF _Tc23049 \h 8
\l "_Tc16333" 【题型6 点在坐标系中的平移】 PAGEREF _Tc16333 \h 11
\l "_Tc24891" 【题型7 图形在坐标系中的平移】 PAGEREF _Tc24891 \h 13
\l "_Tc433" 【题型8 图形在格点中的平移变换】 PAGEREF _Tc433 \h 15
【知识点1 平面直角坐标系的相关概念】
建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴
一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
【题型1 判断点所在的象限】
【例1】（2022春•洪山区期末）已知点P（x，y）在第四象限，则点Q（﹣x﹣3，﹣y）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据第四象限的横纵坐标范围，可求得x，y的取值范围，再确定Q点横纵坐标的取值范围即可解答．
【解答】解：点P（x，y）在第四象限，
∴x＞0，y＜0，
∴﹣x﹣3＜0，﹣y＞0，
∴点Q（﹣x﹣3，﹣y）在第二象限．
故选：B．
【变式1-1】（2022春•长沙期末）已知点P（﹣a，b），ab＞0，a+b＜0，则点P在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据有理数的乘法、有理数的加法，可得a、b的符号，根据第一象限内点的横坐标大于零，纵坐标大于零，可得答案．
【解答】解：因为ab＞0，a+b＜0，
所以a＜0，b＜0，
所以﹣a＞0，
所以点P（﹣a，b）在第四象限，
故选：D．
【变式1-2】（2022春•青山区期末）已知，点A的坐标为（m﹣1，2m﹣3），则点A一定不会在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据每个象限点的坐标的符号特征列出不等式组，解不等式组，不等式组无解的选项符合题意．
【解答】解：A选项，m−1＞02m−3＞0，
解得：m＞32，故该选项不符合题意；
B选项，m−1＜02m−3＞0，不等式组无解，故该选项符合题意；
C选项，m−1＜02m−3＜0，
解得：m＜1，故该选项不符合题意；
D选项，m−1＞02m−3＜0，
解得：1＜m＜32，故该选项不符合题意；
故选：B．
【变式1-3】（2022春•晋州市期中）对任意实数x，点P（x，x2+3x）一定不在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】利用各象限内点的坐标性质分析得出答案．
【解答】解：当x＞0，则x2+3x＞0，故点P（x，x2+3x）可能在第一象限；
当x＜0，则x2+3x＞0或x2+3x＜0，故点P（x，x2+3x）可能在第二、三象限；
当x＝0时，点P（x，x2+3x）在原点．
故点P（x，x2+3x）一定不在第四象限．
故选：D．
【知识点2 坐标轴上点的坐标特征】
在平面直角坐标系中，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，坐标原点横纵坐标均为0.
【题型2 坐标轴上点的坐标特征】
【例2】（2022春•陇县期中）在平面直角坐标系中，点M（m﹣3，m+1）在x轴上，则点P（m﹣1，1﹣m）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据x轴上的点纵坐标为0，可得m+1＝0，从而求出m的值，进而求出点P的坐标，最后根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征，即可解答．
【解答】解：由题意得：
m+1＝0，
∴m＝﹣1，
当m＝﹣1时，m﹣1＝﹣2，1﹣m＝2，
∴点P（﹣2，2）在第二象限，
故选：B．
【变式2-1】（2022春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2m﹣4，m+1），若点P在y轴上，则m的值为（ ）
A．﹣1B．1C．2D．3
【分析】根据y轴上的点横坐标为0，可得2m﹣4＝0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
2m﹣4＝0，
解得：m＝2，
故选：C．
【变式2-2】（2022春•仓山区校级期中）已知点A（﹣3，2m+3）在x轴上，点B（n﹣4，4）在y轴上，则点C（m，n）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】直接利用x轴以及y轴上点的坐标得出m，n的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（﹣3，2m+3）在x轴上，点B（n﹣4，4）在y轴上，
∴2m+3＝0，n﹣4＝0，
解得：m=−32，n＝4，
则点C（m，n）在第二象限．
故选：B．
【变式2-3】（2022春•东莞市期中）已知点P（2a﹣4，a+1），若点P在坐标轴上，则点P的坐标为 ．
【分析】分两种情况：当点P在x轴上，当点P在y轴上，分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当点P在x轴上，a+1＝0，
∴a＝﹣1，
当a＝﹣1时，2a﹣4＝﹣6，
∴点P的坐标为：（﹣6，0），
当点P在y轴上，2a﹣4＝0，
∴a＝2，
当a＝2时，a+1＝3，
∴点P的坐标为：（0，3），
综上所述，点P的坐标为：（﹣6，0）或（0，3），
故答案为：（﹣6，0）或（0，3）．
【知识点3 点到坐标轴的距离】
在平面直角坐标系中，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值.
【题型3 点到坐标轴的距离】
【例3】（2022春•巴南区期末）已知点P在x轴的下方，若点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则点P的横坐标与纵坐标的和为 ．
【分析】根据题意可得点P在第三象限或第四象限，再根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
【解答】解：∵点P在x轴下方，点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，
∴点P的横坐标为±4，纵坐标为﹣3，
∴点P的坐标为（4，﹣3）或（﹣4，﹣3），
点P的横坐标与纵坐标的和为4﹣3＝1或﹣4﹣3＝﹣7．
故答案为：1或﹣7．
【变式3-1】（2021秋•城固县期末）已知点M（a，b）在第一象限，点M到x轴的距离等于它到y轴距离的2倍，且点M到两坐标轴的距离之和为6，则点M的坐标为 ．
【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得答案．
【解答】解：因为点M（a，b）在第一象限，
所以a＞0，b＞0，
又因为点M（a，b）在第一象限，点M到x轴的距离等于它到y轴距离的2倍，且点M到两坐标轴的距离之和为6，
所以b=2aa+b=6，
解得a=2b=4，
所以点M的坐标为（2，4）．
故答案为：（2，4）．
【变式3-2】（2022春•云阳县期中）坐标平面内有一点A（x，y），且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离恰为到x轴距离的2倍．若xy＜0，则点A的坐标为（ ）
A．（6，﹣3）B．（﹣6，3）
C．（3，﹣6）或 （﹣3，6）D．（6，﹣3）或 （﹣6，3）
【分析】根据题意可得x，y异号，然后再利用点到x的距离等于纵坐标的绝对值，点到y的距离等于横坐标的绝对值，即可解答．
【解答】解：∵xy＜0，
∴x，y异号，
∵点A到x轴的距离为3，到y轴的距离恰为到x轴距离的2倍，
∴点A（6，﹣3）或（﹣6，3），
故选：D．
【变式3-3】（2021秋•阳山县期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）．若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．1 或 3
【分析】根据点A到x轴的距离与到y轴的距离相等可得3a﹣5＝a+1或3a﹣5＝﹣（a+1），解出a的值，再由点A在y轴的右侧可得3a﹣5＞0，进而可确定a的值．
【解答】解：∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，
∴3a﹣5＝a+1或3a﹣5＝﹣（a+1），
解得：a＝3或1，
∵点A在y轴的右侧，
∴点A的横坐标为正数，
∴3a﹣5＞0，
∴a＞53，
∴a＝3．
故选：C．
【知识点4 平行与坐标轴点的坐标特征】
在平面直角坐标系中，与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同.
【题型4 平行与坐标轴点的坐标特征】
【例4】（2022春•东莞市期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB平行于x轴，若AB＝4，则点B的坐标为（ ）
A．（7，2）B．（1，5）
C．（1，5）或（1，﹣1）D．（7，2）或（﹣1，2）
【分析】线段AB∥x轴，A、B两点纵坐标相等，又AB＝4，B点可能在A点左边或者右边，根据距离确定B点坐标．
【解答】解：∵AB∥x轴，
∴A、B两点纵坐标都为2，
又∵AB＝4，
∴当B点在A点左边时，B（﹣1，2），
当B点在A点右边时，B（7，2）；
故选：D．
【变式4-1】（2022春•延津县期中）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（2，3），C（a，b），若BC∥x轴，AC∥y轴，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣2，1）B．（2，﹣3）C．（2，1）D．（﹣2，3）
【分析】根据已知条件即可得到结论．
【解答】解：∵点A（﹣2，1），B（2，3），C（a，b），BC∥x轴，AC∥y轴，
∴b＝3，a＝﹣2，
∴点C的坐标为（﹣2，3），
故选：D．
【变式4-2】（2022春•涪陵区期末）在平面直角坐标系中，若点P和点Q的坐标分别为P（﹣2，m），Q（﹣2，1），点P在点Q的上方，线段PQ＝5，则m的值为（ ）
A．6B．5C．4D．7
【分析】借助图形，采用数形结合的思想求解．
【解答】解：∵P（﹣2，m），Q（﹣2，1），点P在点Q的上方，线段PQ＝5，
∴m＝1+5＝6．
故选：A．
【变式4-3】（2022春•硚口区期中）如图，已知点A（4，0），B（0，2），C（﹣5，0），CD∥AB交y轴于点D．点P（m，n）为线段CD上（端点除外）一点，则m与n满足的等量关系式是（ ）
A．m+2n＝﹣5B．2m+n＝﹣10C．m﹣n＝﹣5D．2m﹣n＝﹣6
【分析】利用平移的性质可得点B与C对应时，点A的对应点为（﹣1，﹣2），由此可确定点P满足的等量关系式．
【解答】解：∵AB∥CD，A（4，0），B（0，2），C（﹣5，0），
当B与C对应时，点A平移后对应的点是（﹣1，﹣2），
∵点P（m，n）为线段CD上（端点除外）一点，
将点C（﹣5，0）和（﹣1，﹣2）分别代入m+2n＝﹣5，2m+n＝﹣10，m﹣n＝﹣5，2m﹣n＝﹣6中，
只有m+2n＝﹣5满足条件．
故选：A．
【题型5 坐标确定位置】
【例5】（2022春•中山市期中）中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用（2，﹣1）表示“炮”的位置，（﹣2，0）表示“士”的位置，那么“将”的位置应表示为（ ）
A．（﹣2，3）B．（0，﹣5）C．（﹣3，1）D．（﹣4，2）
【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：“将”的位置应表示为（﹣3，1）．
故选：C．
【变式5-1】（2021秋•渠县校级期中）在大型爱国主义电影《长津湖》中，我军缴获了敌人防御工程的坐标地图碎片（如图），若一号暗堡坐标为（1，2），四号暗堡坐标为（﹣3，2），指挥部坐标为（0，0），则敌人指挥部可能在（ ）
A．A处B．B处C．C处D．D处
【分析】根据一号暗堡和四号暗堡的横纵坐标分别确定x轴和y轴的大致位置，然后画出直角坐标系即可得到答案．
【解答】解：∵一号暗堡的坐标为（1，2），四号暗堡的坐标为（﹣3，2），
∴它们的连线平行于x轴，
∵一号暗堡和四号暗堡的纵坐标为正数，四号暗堡离y轴要远，如图，
∴B点可能为坐标原点，
∴敌军指挥部的位置大约是B处．
故选：B．
【变式5-2】（2022春•朝阳区期末）为更好的开展古树名木的系统保护工作，某公园对园内的6棵百年古树都利用坐标确定了位置，并且定期巡视．
（1）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系xOy，使得古树A、B的位置分别表示为A（1，2），B（0，﹣1）；
（2）在（1）建立的平面直角坐标系xOy中，
①表示古树C的位置的坐标为 ；
②标出另外三棵古树D（﹣1，﹣2），E（1，0），F（1，1）的位置；
③如果“（﹣2，﹣2）→（﹣2，﹣1）→（﹣2，0）→（﹣2，1）→（﹣1，2）→（0，2）→（1，2）→（1，1）→（1，0）→（1，﹣1）→（0，﹣1）→（0，﹣2）→（﹣1，﹣2）”表示园林工人巡视古树的一种路线，请你用这种形式画出园林工人从原点O出发巡视6棵古树的路线（画出一条即可）．
【分析】（1）根据A（1，2），B（0，﹣1）建立坐标系即可；
（2）①根据坐标系中C的位置即可求得；
②直接根据点的坐标描出各点；
③根据6棵古树的位置得出运动路线即可．
【解答】解：（1）如图：
（2）①古树C的位置的坐标为（﹣1，2）；
故答案为：（﹣1，2）；
②标出D（﹣1，﹣2），E（1，0），F（1，1）的位置如上图；
③园林工人从原点O出发巡视6棵古树的路线：
（0，0）→（1，0）→（1，1）→（1，3）→（﹣1，2）→（﹣1，2）→（0，1）．
【变式5-3】（2022春•海淀区校级期中）如图1，将射线OX按逆时针方向旋转β角（0°≤β＜360°），得到射线OY，如果点P为射线OY上的一点，且OP＝m，那么我们规定用（m，β）表示点P在平面内的位置，并记为P（m，β）．例如，图2中，如果OM＝5，∠XOM＝110，那么点M在平面内的位置，记为M（5，110°），根据图形，解答下列问题：
（1）如图3，点N在平面内的位置记为N（6，30°），那么ON＝ ，∠XON＝ ．
（2）如果点A、B在平面内的位置分别记为A（4，30°），B（3，210°），则A、B两点间的距离为 ．
【分析】（1）由题意得第一个坐标表示此点距离原点的距离，第二个坐标表示此点与原点的连线与x轴所夹的角的度数；
（2）根据相应的度数判断出AB是一条线段，从而得出AB的长为4+3＝7．
【解答】解：（1）根据点N在平面内的位置记为N（6，30°）可知，ON＝6，∠XON＝30°．
故答案为：6，30°；
（2）如图所示：∵A（4，30°），B（3，210°），
∴∠AOX＝30°，∠BOX＝210°，
∴∠AOB＝180°，
∵OA＝4，OB＝3，
∴AB＝4+3＝7．
故答案为：7．
【知识点5 点在坐标系中的平移】
向右平移a个单位
平面直角坐标内点的平移规律，设a>0，b>0
（1）一次平移：P（x，y） P'（x＋a，y）
向下平移b个单位
P（x，y） P'（x，y －b）
P（x，y）
P（x－ a，y＋b）
向左平移a个单位

再向上平移b个单位
（2）二次平移：
【题型6 点在坐标系中的平移】
【例6】（2022春•洪湖市期中）在平面直角坐标系中，将点（1，﹣4）平移到点（﹣3，﹣2），经过的平移变换为（ ）
A．先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度
B．先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度
C．先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度
D．先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度
【分析】根据点向左平移，纵坐标不变的特点即可求解．
【解答】解：∵点（1，﹣4）平移到点（﹣3，﹣2），
∴﹣3﹣1＝﹣4，
∴﹣2﹣（﹣4）＝2，
∴先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度
故选：C．
【变式6-1】（2022春•武侯区期末）在平面直角坐标系中，将点M（3m﹣1，m﹣3）向上平移2个单位长度得到点M'，若点M'在x轴上，则点M的坐标是（ ）
A．（2，﹣2）B．（14，2）C．（﹣2，−103）D．（8，0）
【分析】让点M的纵坐标加2后等于0，求得m的值，进而得到点M的坐标．
【解答】解：∵将点M（3m﹣1，m﹣3）向上平移2个单位长度得到点M'，若点M'在x轴上，
∴m﹣3+2＝0，
解得：m＝1，
∴3m﹣1＝2，m﹣3＝﹣2，
∴M（2，﹣2）．
故选：A．
【变式6-2】（2022春•碑林区校级期中）在平面直角坐标系中，将点P（a，b）向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点Q．若点Q位于第四象限，则a，b的取值范围是（ ）
A．a＞0，b＜0B．a＞1，b＜2C．a＞1，b＜0D．a＞﹣3，b＜2
【分析】利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
【解答】解：P（a，b）向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到（a+3，b﹣2），
∵Q位于第四象限，
∴a+3＞0，b﹣2＜0，
∴a＞﹣3，b＜2．
故选D．
【变式6-3】（2021秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，把点P（a﹣1，5）向左平移3个单位得到点Q（2﹣2b，5），则2a+4b+3的值为 ．
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
【解答】解：将点P（a﹣1，5）向左平移3个单位，得到点Q，点Q的坐标为（2﹣2b，5），
∴a﹣1﹣3＝2﹣2b，
∴a+2b＝6，
∴2a+4b+3＝2（a+2b）+3＝2×6+3＝15，
故答案为：15．
【知识点6 图形在坐标系中的平移】
在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
【题型7 图形在坐标系中的平移】
【例7】（2022春•胶州市期末）如图，△ABC的顶点坐标A（2，3），B（1，1），C（4，2），将△ABC先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，得到△A'B'C'，则BC边上一点D（m，n）的对应点D'的坐标是（ ）
A．（m+3，n+1）B．（m﹣3，n﹣1）C．（﹣1，2）D．（3﹣m，1﹣n）
【分析】根据坐标平移规律解答即可．
【解答】解：∵将△ABC先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，得到△A'B'C'，
∴BC边上一点D（m，n）的对应点D'的坐标是（m﹣3，n﹣1）．
故选：B．
【变式7-1】（2022•青岛二模）如图，线段AB经过平移得到线段A'B'，其中点A，B的对应点分别为点A'，B'，这四个点都在格点上．若线段A'B'有一个点P'（a，b），则点P'在AB上的对应点P的坐标为（ ）
A．（a﹣2，b+3）B．（a﹣2，b﹣3）C．（a+2，b+3）D．（a+2，b﹣3）
【分析】先利用点A它的对应点A′的坐标特征得到线段AB先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到线段A′B′，然后利用点平移的坐标规律写出点P（a，b）平移后的对应点P′的坐标．
【解答】解：由图知，线段A'B'向右平移2个单位，再向下平移3个单位即可得到线段AB，
所以点P'（a，b）在AB上的对应点P的坐标为（a+2，b﹣3），
故选：D．
【变式7-2】（2022春•滨城区期中）如图，第一象限内有两点P（m﹣4，n），Q（m，n﹣3），将线段PQ平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（ ）
A．（﹣2，0）B．（0，3）
C．（0，3）或（﹣4，0）D．（0，3）或（﹣2，0）
【分析】设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．分两种情况进行讨论：①P′在y轴上，Q′在x轴上；②P′在x轴上，Q′在y轴上．
【解答】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．
分两种情况：
①P′在y轴上，Q′在x轴上，
则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0，
∵0﹣（n﹣3）＝﹣n+3，
∴n﹣n+3＝3，
∴点P平移后的对应点的坐标是（0，3）；
②P′在x轴上，Q′在y轴上，
则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0，
∵0﹣m＝﹣m，
∴m﹣4﹣m＝﹣4，
∴点P平移后的对应点的坐标是（﹣4，0）；
综上可知，点P平移后的对应点的坐标是（0，3）或（﹣4，0）．
故选：C．
【变式7-3】（2022春•如东县期中）三角形ABC在经过某次平移后，顶点A（﹣1，m+2）的对应点为A（2，m﹣3），若此三角形内任意一点P（a，b）经过此次平移后对应点P1（c，d）．则a+b﹣c﹣d的值为（ ）
A．8+mB．﹣8+mC．2D．﹣2
【分析】由A（﹣1，2+m）在经过此次平移后对应点A1（3，m﹣3），可得△ABC的平移规律为：向右平移3个单位，向下平移5个单位，由此得到结论．
【解答】解：∵A（﹣1，2+m）在经过此次平移后对应点A1（2，m﹣3），
∴△ABC的平移规律为：向右平移3个单位，向下平移5个单位，
∵点P（a，b）经过平移后对应点P1（c，d），
∴a+3＝c，b﹣5＝d，
∴a﹣c＝﹣3，b﹣d＝5，
∴a+b﹣c﹣d＝﹣3+5＝2，
故选：C．
【题型8 图形在格点中的平移变换】
【例8】（2021春•抚远市期末）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．
（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．
①点M平移到点A的过程可以是：先向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度；
②点B的坐标为 ；
（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．
【分析】（1）由点M及其对应点的A的坐标可得平移的方向和距离，据此可得点N的对应点B的坐标；
（2）割补法求解可得．
【解答】解：（1）如图，
①点M平移到点A的过程可以是：先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度；
②点B的坐标为（6，3），
故答案为：右、3、上、5、（6，3）；
（2）如图，S△ABC＝6×4−12×4×4−12×2×3−12×6×1＝10．
【变式8-1】（2022春•长沙期末）如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，且点C的对应点坐标是C'．
（1）画出△A'B'C'，并直接写出点C'的坐标；
（2）若△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P'，直接写出点P'的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）首先确定A、B、C三点平移后的对应点位置，然后再连接即可；
（2）由平移的性质可求解；
（3）利用面积的和差关系可求解．
【解答】解：（1）如图所示：
∴点C（5，﹣2）；
（2）∵△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，
∴点P'（a+4，b﹣3）；
（3）S△ABC＝5×5−12×3×5−12×2×3−12×5×2＝25﹣7.5﹣3﹣5＝9.5．
【变式8-2】（2022春•江岸区校级月考）如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）分别写出点B和点B′的坐标，并说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
（2）连接BC′，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系 ；
（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．
【分析】（1）由图形可得出点的坐标和平移方向及距离；
（2）根据平移的性质和平角的定义和平行线的性质即可求解；
（3）根据以上所得平移方式，利用“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”的规律列出关于a、b的方程，解之求得a、b的值．
【解答】解：（1）由图知，B（2，1），B′（﹣1，﹣2），
三角形A′B′C′是由三角形ABC向左平移3个单位，向下平移3个单位得到的；
（2）∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系∠CBC′﹣∠B′C′O＝90°．
故答案为：∠CBC′﹣∠B′C′O＝90°；
（3）由（1）中的平移变换得a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，
解得a＝3，b＝4．
故a的值是3，b的值是4．
【变式8-3】（2021春•安阳县期中）在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A'B'C'，位置如图所示．
（1）分别写出点A，A'的坐标：A ，A' ．
（2）请说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．
（3）若点M（m，4﹣n）是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M'的坐标为（2m﹣8，n﹣4），求m和n的值．
【分析】（1）根据已知图形可得答案；
（2）由A（1，0）的对应点A′（﹣4，4）得平移规律，即可得到答案；
（3）由（2）平移规律得出m、n的方程．
【解答】解：（1）由图知A（1，0），A'（﹣4，4），
故答案为：（1，0），（﹣4，4）；
（2）A（1，0）对应点的对应点A′（﹣4，4）得A向左平移5个单位，向上平移4个单位得到A′，
三角形A'B'C'是由三角形ABC向左平移5个单位，向上平移4个单位得到．
（3）△ABC内M（m，4﹣n）平移后对应点M'的坐标为（m﹣5，4﹣n+4），
∵M'的坐标为（2m﹣8，n﹣4），
∴m﹣5＝2m﹣8，4﹣n+4＝n﹣4，
∴m＝3，n＝6．