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人教版七年级数学下册章节重难点举一反三 专题7.3 平面直角坐标系中点的坐标规律专项训练(30道)(原卷版+解析)
展开考卷信息:
本套训练卷共30题,题型针对性较高,覆盖面广,选题有深度,涵盖了平面直角坐标系中的规律问题所有类型!
一.选择题(共18小题)
1.(2022春•宽城县期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的顶点A(1,﹣1),D(3,﹣1),规定把正方形ABCD“先沿y轴翻折,再向下平移1个单位”为一次变换,这样连续经过2022次变换后,点C的坐标为( )
A.(﹣3,﹣2023)B.(3,﹣2024)C.(3,﹣2025)D.(﹣3,﹣2026)
2.(2022春•西平县期末)在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点,如图,由里向外数第2个正方形开始,分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2,3,…得到的,你观察图形,猜想由里向外第2021个正方形四条边上的整点个数共有( )
A.2021个B.4042个C.6063个D.8084个
3.(2022春•厦门期末)如图,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到(1,1),第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,2),按这样的运动规律,经过第2019次运动后,动点P的坐标是( )
A.(2022,0)B.(2022,1)C.(2022,2)D.(2022,0)
4.(2022春•上思县期中)如图,已知A1(1,0),A2(1,﹣1),A3(﹣1,﹣1),A4(﹣1,1),A5(2,1),则点A2020的坐标是( )
A.(506,505)B.(﹣506,507)C.(﹣506,506)D.(﹣505,505)
5.(2022春•柳南区校级期中)如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,按向上,向右,向下,向右的方向不断地移动,每移动一个单位,得到点A1(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(2,0),那么A2020坐标为( )
A.(2022,1)B.(2022,0)C.(1010,1)D.(1010,0)
6.(2022春•永川区期末)如图,在平面直角坐标系中,有若干个整数点,其顺序按图中方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(3,2),(3,1),(3,0),……,根据这个规律探索可得,第120个点的坐标为( )
A.(16,0)B.(15,14)C.(15,0)D.(14,13)
7.(2022春•黄梅县期中)如下图所示,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(1,1),第2次运动到点(2,0),第3次运动到点(3,﹣1),…,按照这样的运动规律,点P第2021次运动到点( )
A.(2022,1)B.(2022,0)C.(2022,﹣1)D.(2022,0)
8.(2022春•青川县期末)如图,在平面直角坐标系中,有若干个整数点,其顺序按图中“→”方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(3,1),(3,0),(3,﹣1)…根据这个规律探索可得,第100个点的坐标为( )
A.(14,0)B.(14,﹣1)C.(14,1)D.(14,2)
9.(2022•苏州一模)如图,动点P从(0,3)出发,沿所示方向运动,每当碰到矩形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P第2015次碰到矩形的边时,点P的坐标为( )
A.(3,0)B.(7,4)C.(8,1)D.(1,4)
10.(2022春•绥中县期末)如图,在平面直角坐标系中,每个最小方格的边长均为1个单位长度,P1,P2,P3,…均在格点上,其顺序按图中“→”方向排列,如:P1(0,0),P2(0,1),P3(1,1),P4(1,﹣1),P5(﹣1,﹣1),P6(﹣1,2)…根据这个规律,点P2021的坐标为( )
A.(﹣505,﹣505)B.(﹣505,506)
C.(506,506)D.(505,﹣505)
11.(2022春•海城市期中)如图,将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转8次,点P依次落在点P、P2、P3、P4、…Px的位置,则点P9的横坐标是( )
A.5B.6C.7D.9
12.(2022秋•石柱县校级月考)如图,在一张无穷大的格纸上,格点的位置可用数对(m,n)表示,如点A的位置为(3,3),点B的位置为(6,2).点M从(0,0)开始移动,规律为:第1次向右移动1个单位到(1,0),第2次向上移动2个单位到(1,2),第3次向右移动3个单位到(4,2),…,第n次移动n个单位(n为奇数时向右,n为偶数时向上),那么点M第27次移动到的位置为( )
A.(182,169)B.(169,182)C.(196,182)D.(196,210)
13.(2022•重庆模拟)如图,在平面直角坐标系上有个点P(1,0),点P第一次向上跳动1个单位至P1(1,1),紧接着第二次向左跳动2个单位至点P2(﹣1,1),第3次向上跳动1个单位,第4次向右跳动3个单位,第5次又向上跳动1个单位,第6次向左跳动4个单位,…,依此规律跳动下去,点P第100次跳动至点P100的坐标是( )
A.(﹣24,49)B.(﹣25,50)C.(26,50)D.(26,51)
二.填空题(共10小题)
14.(2022•烟台模拟)我们把1,1,2,3,5,8,13,…这组数称为斐波那契数列,为了进一步研究,依次以这列数为半径作90°圆弧P1P2,P2P3,P3P4,…得到斐波那契螺旋线,然后顺次连接P1P2,P2P3,P3P4,…得到螺旋折线(如图),已知点P1(0,1),P2(﹣1,0),P3(0,﹣1),则该折线上的点P8的坐标为 .
15.(2022春•长汀县期末)在平面直角坐标系中,对于点P(x,y),我们把点P'(y﹣1,﹣x﹣1)叫做点P的友好点,已知点A1的友好点为点A2,点A2的友好点为点A3,点A3的友好点为点A4,……以此类推,当点A1的坐标为(2,1)时,点A2022的坐标为 .
16.(2022春•海淀区校级期中)在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,速度为每秒1个单位长度,且点P只能向上或向右运动,请回答下列问题:
(1)将表格填写完整:
(2)当点P从点O出发10秒,可得到的整数点的个数是 .
(3)当点P从点O出发 秒时,可得到整数点(28,7).
17.(2022•东城区二模)在平面直角坐标系中,小明玩走棋的游戏,其走法是:棋子从原点出发,第1步向右走1个单位,第2步向右走2个单位,第3步向上走1个单位,第4步向右走1个单位,…,依此类推,第n步的走法是:当n能被3整除时,则向上走1个单位;当n被3除,余数为1时,则向右走1个单位;当n被3除,余数为2时,则向右走2个单位,当走完第8步时,棋子所处位置的坐标是 ;当走完第2016步时,棋子所处位置的坐标是 .
18.(2022春•上杭县期末)如图,点A(0,1),点A1(2,0),点A2(3,2),点A3(5,1),…,按照这样的规律下去,点A2021的坐标为( )
A.(6062,2020)B.(3032,1010)
C.(3030,1011)D.(6063,2021)
二.填空题(共9小题)
19.(2022•潍坊期中)如图,在平面直角坐标系中,对△ABC进行循环往复的轴对称变换,若原来点A坐标是(﹣2,3),则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为 .
20.(2022•曲靖)如图:图象①②③均是以P0为圆心,1个单位长度为半径的扇形,将图形①②③分别沿东北,正南,西北方向同时平移,每次移动一个单位长度,第一次移动后图形①②③的圆心依次为P1P2P3,第二次移动后图形①②③的圆心依次为P4P5P6…,依此规律,P0P2018= 个单位长度.
21.(2022•朝阳区一模)在平面直角坐标系xOy中,动点P从原点O出发,每次向上平移1个单位长度或向右平移2个单位长度,在上一次平移的基础上进行下一次平移.例如第1次平移后可能到达的点是(0,1)、(2,0),第2次平移后可能到达的点是(0,2)、(2,1)、(4,0),第3次平移后可能到达的点是(0,3)、(2,2)、(4,1)、(6,0),依此类推….我们记第1次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l1,l1=3;第2次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l2,l2=9;第3次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l3,l3=18;按照这样的规律,
l4= ; ln= (用含n的式子表示,n是正整数).
22.(2022•锦州)如图,在平面直角坐标系上有点A(1,0),点A第一次跳动至点A1(﹣1,1),第四次向右跳动5个单位至点A4(3,2),…,依此规律跳动下去,点A第100次跳动至点A100的坐标是 .
23.(2022春•黄石校级月考)如图在直角坐标系中第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3,已知:A(1,3),A1(﹣2,﹣3),A2(4,3),A3(﹣8,﹣3),B(2,0),B1(﹣4,0),B2(8,0),B3(﹣16,0).
(1)观察每次变化前后的三角形有何变化,找出其中的规律,按此变化规律将△OA3B3变换成△OA4B4则点A4的坐标为 ,点B4的坐标为 .
(2)若按第(1)题中找到的规律将△OAB进行了n次变换,得到的△OAnBn推测点An坐标为 ,点Bn坐标为 .
24.(2022春•龙港区期末)如图,两种大小不等的正方形间隔排列在平面直角坐标系中,已知小正方形的边长为1且A1的坐标为(2,2),A2的坐标为(5,2).
(1)A3的坐标为 ;
(2)An的坐标为 .(用含n的代数式表示)
25.(2022春•新余期末)如图,在平面直角坐标系中,一电子蚂蚁按照设定程序从原点O出发,按图中箭头所示的方向运动,第1次从原点运动到点(1,2),第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(2,﹣2),第4次接着运动到点(4,﹣2),第5次接着运动到点(4,0),第6次接着运动到点(5,2).…按这样的运动规律,经过2021次运动后,电子蚂蚁运动到的位置的坐标是 .
26.(2022•广水市期末)如图,把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中,顶点A的坐标为(3,0),点P(1,2)在正方形铁片上.将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°,第一次旋转至图①位置,第二次旋转至图②位置,…,则正方形铁片连续旋转2021次后,点P的坐标为 .
27.(2022•东城区校级模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,B1(0,1),B2(0,3),B3(0,6),B4(0,10),…,以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2,以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3,以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3B4,…,如果所作正方形的对角线BnBn+1都在y轴上,且BnBn+1的长度依次增加1个单位长度,顶点An都在第一象限内(n≥1,且n为整数),那么A1的纵坐标为 ;用n的代数式表示An的纵坐标: .
解答题(共3小题)
28.(2022春•西城区校级期中)在直角坐标系中,我们把横,纵坐标都为整数的点叫敝整点,该坐标轴的单位长度为1cm,整点P从原点O出发,速度为1cm/s,且整点p作向上或向右运动(如图1所示).运动时间(s)与整点(个)的关系如下表:
根据上表的运动规律回答下列问题:
(1)当整点p从点O出发4s时,可以得到的整点的个数为 个;
(2)当整点p从点O出发8s时,在直角坐标系中描出可以得到的所有整点,并顺次连接这些整点;
(3)当整点P从点O出发 时,可以得到整点(16,4)的位置.
29.(2022春•海门市期末)在平面直角坐标系xOy中,点A(x1,y1),B(x2,y2),若x2﹣x1=y2﹣y1≠0,则称点A与点B互为“对角点”,例如:点A(﹣1,3),点B(2,6),因为2﹣(﹣1)=6﹣3≠0,所以点A与点B互为“对角点”.
(1)若点A的坐标是(4,﹣2),则在点B1(2,0),B2(﹣1,﹣7),B3(0,﹣6)中,点A的“对角点”为点 ;
(2)若点A的坐标是(﹣2,4)的“对角点”B在坐标轴上,求点B的坐标;
(3)若点A的坐标是(3,﹣1)与点B(m,n)互为“对角点”,且点B在第四象限,求m,n的取值范围.
30.(2022秋•庐阳区校级期中)如图,在平面直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3.
(1)观察每次变换前后的三角形的变化规律,若将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是 ,B4的坐标是 .
(2)若按第(1)题找到的规律将△OAB进行n次变换,得到△OAnBn,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化,找出规律,推测An的坐标是 ,Bn的坐标是 .
(3)若按第(1)题找到的规律将△OAB进行n次变换,得到△OAnBn,则△OAnBn的面积S为
点P出发时间
可得到整数点的坐标
可得到整数点的个数
1秒
(0,1)(1,0)
2
2秒
(1,1)(2,0)(0,2)
3
3秒
(0,3)(1,2)(2,1)(3,0)
4
整点P运动的时间(秒)
可以得到整点P的坐标
可以得到整点P的个数
1
(0,1)(1,0)
2
2
(0,2)(1,1)(2,0)
3
3
(0,3)(1,2)(2,1)(3,0)
4
…
…
…
专题7.3 平面直角坐标系中点的坐标规律专项训练(30道)
【人教版】
考卷信息:
本套训练卷共30题,题型针对性较高,覆盖面广,选题有深度,涵盖了平面直角坐标系中的规律问题所有类型!
一.选择题(共18小题)
1.(2022春•宽城县期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的顶点A(1,﹣1),D(3,﹣1),规定把正方形ABCD“先沿y轴翻折,再向下平移1个单位”为一次变换,这样连续经过2022次变换后,点C的坐标为( )
A.(﹣3,﹣2023)B.(3,﹣2024)C.(3,﹣2025)D.(﹣3,﹣2026)
【分析】先根据已知条件求出点C的坐标,然后根据规定把正方形ABCD“先沿y轴翻折,再向下平移1个单位”为一次变换,求出点C连续三次变换的的坐标,找出其变化的规律,根据规律确定点C经过2022次变换后的坐标.
【解答】解:∵正方形ABCD的顶点A,D的坐标分别为(1,﹣1),(3,﹣1).
∴正方形的边长AD=2.
∴正方形ABCD的顶点C的坐标为(3,﹣3).
由题意得,经过1次变换点C的坐标变为(﹣3,﹣4).
经过2次变换点C的坐标为(3,﹣5).
经过3次变换点C的坐标为(﹣3,﹣6).
经过4次变换点C的坐标为(3,﹣7).
••••••••
从以上可以看出,偶数次变换点C的横坐标为3,奇数次变换点C的横坐标为﹣3;
变换的次数比点C的纵坐标的绝对值小3.且点C纵坐标均为负数.
∴当点C经过2022次变换后,点C的横坐标为3,点C的纵坐标为﹣(2022+3)=﹣2025.
∴经过2022次变换后,点C的坐标为(3,﹣2025).
故选:C.
2.(2022春•西平县期末)在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点,如图,由里向外数第2个正方形开始,分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2,3,…得到的,你观察图形,猜想由里向外第2021个正方形四条边上的整点个数共有( )
A.2021个B.4042个C.6063个D.8084个
【解题思路】根据第一个正方形可以得到整点个数为4,第二个正方形可知除顶点外每条边上的整点个数为1,故第二个正方形四条边上的整点个数为:4×1+4,同理可知,第三个正方形四条边上的整点个数为:4×2+4,从而可以得到第2021个正方形四条边上的整点个数.
【解答过程】解:根据题意可得,第一个正方形四条边上的整点个数为:4;
第二个正方形四条边上的整点个数为:4×1+4=8;
第三个正方形四条边上的整点个数为:4×2+4=12;
由此可得,由里向外第2021个正方形四条边上的整点个数为:4×2020+4=8084.
故选:D.
3.(2022春•厦门期末)如图,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到(1,1),第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,2),按这样的运动规律,经过第2019次运动后,动点P的坐标是( )
A.(2022,0)B.(2022,1)C.(2022,2)D.(2022,0)
【分析】分析点P的运动规律,找到循环次数即可
【解答】解:分析图象可以发现,点P的运动每4次位置循环一次.每循环一次向右移动四个单位.
∴2019=4×504+3,
当第504循环结束时,点P位置在(2022,0),在此基础之上运动三次到(2022,2),
故选:C.
4.(2022春•上思县期中)如图,已知A1(1,0),A2(1,﹣1),A3(﹣1,﹣1),A4(﹣1,1),A5(2,1),则点A2020的坐标是( )
A.(506,505)B.(﹣506,507)C.(﹣506,506)D.(﹣505,505)
【分析】由图形列出部分点的坐标,根据坐标发现规律“A4n(﹣n,n),A4n+1(n,n﹣1),A4n+2(n,﹣n),A4n+3(﹣n,﹣n)”,根据该规律即可求出点A2020的坐标.
【解答】解:通过观察,可以发现规律:A1(1,0),A2(1,﹣1),A3(﹣1,﹣1),A4(﹣1,1),A5(2,1),A6(2,﹣2),A7(﹣2,﹣2),A8(﹣2,2),…,
∴A4n(﹣n,n),A4n+1(n,n﹣1),A4n+2(n,﹣n),A4n+3(﹣n,﹣n).
∵2020=4×505,
∴点A2020的坐标为(﹣505,505).
故选:D.
5.(2022春•柳南区校级期中)如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,按向上,向右,向下,向右的方向不断地移动,每移动一个单位,得到点A1(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(2,0),那么A2020坐标为( )
A.(2022,1)B.(2022,0)C.(1010,1)D.(1010,0)
【分析】结合图象可知:纵坐标每四个点循环一次,而2020=505×4,故A2020的纵坐标与A4的纵坐标相同,都等于0;由A4(2,0),A8(4,0),A12(6,0)…可得到以下规律,A4n(2n,1)(n为不为0的自然数),当n=505时,A2020(1010,0).
【解答】解:由图象可知:纵坐标每四个点循环一次,而2020=505×4,
故A2020的纵坐标与A4的纵坐标相同,都等于0;
由A4(2,0),A8(4,0),A12(6,0)…,
可得到规律A4n(2n,0)(n为不为0的自然数),
当n=505时,A2020(1010,0).
故选:D.
6.(2022春•永川区期末)如图,在平面直角坐标系中,有若干个整数点,其顺序按图中方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(3,2),(3,1),(3,0),……,根据这个规律探索可得,第120个点的坐标为( )
A.(16,0)B.(15,14)C.(15,0)D.(14,13)
【分析】经过观察每个列的数的个数是有规律的分别有1,2,3,4…,n个,而且奇数列点的顺序是由上到下,偶数列点的顺序由下到上,这样就不难找到第120个点的位置,进而可以写出它的坐标.
【解答】解:把第一个点(1,0)作为第一列,(2,1)和(2,0)作为第二列,依此类推,则第一列有一个数,第二列有2个数,…,第n列有n个数.则n列共有n(n+1)2个数,并且在奇数列点的顺序是由上到下,偶数列点的顺序由下到上.
因为120=1+2+3+…+14+15,则第120个数一定在第15列,由下到上是第1个数.因而第120个点的坐标是(15,0).
故选:C.
7.(2022春•黄梅县期中)如下图所示,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(1,1),第2次运动到点(2,0),第3次运动到点(3,﹣1),…,按照这样的运动规律,点P第2021次运动到点( )
A.(2022,1)B.(2022,0)C.(2022,﹣1)D.(2022,0)
【分析】令P点第n次运动到的点为Pn点(n为自然数).列出部分Pn点的坐标,根据点的坐标变化找出规律“P4n(4n,0),P4n+1(4n+1,1),P4n+2(4n+2,0),P4n+3(4n+3,﹣1)”,根据该规律即可得出结论.
【解答】解:令P点第n次运动到的点为Pn点(n为自然数).
观察,发现规律:P0(0,0),P1(1,1),P2(2,0),P3(3,﹣1),P4(4,0),P5(5,1),…,
∴P4n(4n,0),P4n+1(4n+1,1),P4n+2(4n+2,0),P4n+3(4n+3,﹣1).
∵2021=4×505+1,
∴P第2021次运动到点(2022,1).
故选:A.
8.(2022春•青川县期末)如图,在平面直角坐标系中,有若干个整数点,其顺序按图中“→”方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(3,1),(3,0),(3,﹣1)…根据这个规律探索可得,第100个点的坐标为( )
A.(14,0)B.(14,﹣1)C.(14,1)D.(14,2)
【分析】从图中可以看出横坐标为1的有一个点,横坐标为2的有2个点,横坐标为3的有3个点,…依此类推横坐标为n的有n个点.题目要求写出第100个点的坐标,我们可以通过加法计算算出第100个点位于第几列第几行,然后对应得出坐标规律,将行列数代入规律式.
【解答】解:在横坐标上,第一列有一个点,第二列有2个点…第n个有n个点,
并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个,
所以奇数列的坐标为(n,n−12)(n,n−12−1)…(n,1−n2);
偶数列的坐标为(n,n2)(n,n2−1)…(n,1−n2),
由加法推算可得到第100个点位于第14列自上而下第六行.
代入上式得(14,142−5),即(14,2).
故选:D.
9.(2022•苏州一模)如图,动点P从(0,3)出发,沿所示方向运动,每当碰到矩形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P第2015次碰到矩形的边时,点P的坐标为( )
A.(3,0)B.(7,4)C.(8,1)D.(1,4)
【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形,可知每6次反弹为一个循环组依次循环,用2015除以6,根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可.
【解答】解:如图,
经过6次反弹后动点回到出发点(0,3),
∵2015÷6=335…5,
∴当点P第2015次碰到矩形的边时为第336个循环组的第5次反弹,
点P的坐标为(1,4).
故选:D.
10.(2022春•绥中县期末)如图,在平面直角坐标系中,每个最小方格的边长均为1个单位长度,P1,P2,P3,…均在格点上,其顺序按图中“→”方向排列,如:P1(0,0),P2(0,1),P3(1,1),P4(1,﹣1),P5(﹣1,﹣1),P6(﹣1,2)…根据这个规律,点P2021的坐标为( )
A.(﹣505,﹣505)B.(﹣505,506)
C.(506,506)D.(505,﹣505)
【分析】根据各个点的位置关系,可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上,被4除余1的点在第三象限的角平分线上,被4除余2的点在第二象限的角平分线上,被4除余3的点在第一象限的角平分线上,点P2021的在第三象限的角平分线上,且横纵坐标的绝对值=(2021﹣1)÷4,再根据第三项象限内点的符号得出答案即可.
【解答】解:∵2021÷4=505•••1,
∴点P2021的在第三象限的角平分线上,
∵点P5(﹣1,﹣1),
∴点P2021的在第三象限的角平分线上,且横纵坐标的绝对值=(2021﹣1)÷4,
∴点P2021(﹣505,﹣505).
故选:A.
11.(2022春•海城市期中)如图,将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转8次,点P依次落在点P、P2、P3、P4、…Px的位置,则点P9的横坐标是( )
A.5B.6C.7D.9
【分析】观察不难发现,经过四次翻转后点P的位置为正方形的左上角,即恢复到开始的位置,经过四次翻折前进的路程为正方形的周长,用8除以4,根据商为2确定出为两个翻转循环的最后一个位置,进而得出P6与P7位置相同,然后求解即可.
【解答】解:由图可知,四次翻转后点P在开始位置,即正方形的左上角,
∵正方形的边长为1,
由图易知:P6与P7位置相同,
∴P9的横坐标为:3+6=9.
故选:D.
12.(2022秋•石柱县校级月考)如图,在一张无穷大的格纸上,格点的位置可用数对(m,n)表示,如点A的位置为(3,3),点B的位置为(6,2).点M从(0,0)开始移动,规律为:第1次向右移动1个单位到(1,0),第2次向上移动2个单位到(1,2),第3次向右移动3个单位到(4,2),…,第n次移动n个单位(n为奇数时向右,n为偶数时向上),那么点M第27次移动到的位置为( )
A.(182,169)B.(169,182)C.(196,182)D.(196,210)
【分析】数对表示位置的方法是:第一个表示列,第二个表示行,当向右移动时,列的数字发生变化,行的数字不变,向上移动时,行的数字发生变化,列的数字不变,据此即可得解.
【解答】解:根据题意可知:当向右移动时,列的数字发生变化,行的数字不变,当向上移动时,行的数字发生变化,列的数字不变,
所以点M第27次移动到的位置时,列的数字是1﹣﹣27中所有奇数的和,行的数字是1﹣﹣27中所有偶数的和,
即1+3+5+7+9+…+27=196,
2+4+6+8+…+26=182,
所以,点M第27次移动到的位置为(196,182),
故选:C.
13.(2022•重庆模拟)如图,在平面直角坐标系上有个点P(1,0),点P第一次向上跳动1个单位至P1(1,1),紧接着第二次向左跳动2个单位至点P2(﹣1,1),第3次向上跳动1个单位,第4次向右跳动3个单位,第5次又向上跳动1个单位,第6次向左跳动4个单位,…,依此规律跳动下去,点P第100次跳动至点P100的坐标是( )
A.(﹣24,49)B.(﹣25,50)C.(26,50)D.(26,51)
【分析】解决本题的关键是分析出题目的规律,以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的,所以第100次跳动后,纵坐标为100÷2=50;其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧,那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧.P1横坐标为1,P4横坐标为2,P8横坐标为3,依此类推可得到P100的横坐标.
【解答】解:经过观察可得:以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的,所以第100次跳动后,纵坐标为100÷2=50;
其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧,那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧.P1横坐标为1,P4横坐标为2,P8横坐标为3,依此类推可得到:Pn的横坐标为n÷4+1.
故点P100的横坐标为:100÷4+1=26,纵坐标为:100÷2=50,点P第100次跳动至点P100的坐标是(26,50).
故选:C.
二.填空题(共10小题)
14.(2022•烟台模拟)我们把1,1,2,3,5,8,13,…这组数称为斐波那契数列,为了进一步研究,依次以这列数为半径作90°圆弧P1P2,P2P3,P3P4,…得到斐波那契螺旋线,然后顺次连接P1P2,P2P3,P3P4,…得到螺旋折线(如图),已知点P1(0,1),P2(﹣1,0),P3(0,﹣1),则该折线上的点P8的坐标为 (15,4) .
【分析】观察图象,推出P8的位置,即可解决问题.
【解答】解:观察发现:P1(0,1)先向左平移1个单位,再向下平移1个单位得到P2(﹣1,0);
P2(﹣1,0)先向右平移1个单位,再向下平移1个单位得到P3(0,﹣1);
P3(0,﹣1)先向右平移2个单位,再向上平移2个单位得到P4(2,1);
P4(2,1)先向左平移3个单位,再向上平移3个单位得到P5(﹣1,4);
P5(﹣1,4)先向左平移5个单位,再向下平移5个单位得到P6(﹣6,﹣1);
P6(﹣6,﹣1)先向右平移8个单位,再向下平移8个单位得到P7(2,﹣9);
P7(2,﹣9)先向右平移13个单位,再向上平移13个单位得到P8(15,4).
故答案为:(15,4).
15.(2022春•长汀县期末)在平面直角坐标系中,对于点P(x,y),我们把点P'(y﹣1,﹣x﹣1)叫做点P的友好点,已知点A1的友好点为点A2,点A2的友好点为点A3,点A3的友好点为点A4,……以此类推,当点A1的坐标为(2,1)时,点A2022的坐标为 (0,﹣3) .
【分析】根据友好点的定义及点A1的坐标为(2,1),顺次写出几个友好点的坐标,可发现循环规律,据此可解.
【解答】解:观察,发现规律:A1(2,1),A2(0,﹣3),A3(﹣4,﹣1),A4(﹣2,3),A5(2,1),…,
∴A4n+1(2,1),A4n+2(0,﹣3),A4n+3(﹣4,﹣1),A4n+4(﹣2,3)(n为自然数).
∵2022=505×4+2,
∴点A2022的坐标为(0,﹣3).
故答案为:(0,﹣3).
16.(2022春•海淀区校级期中)在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,速度为每秒1个单位长度,且点P只能向上或向右运动,请回答下列问题:
(1)将表格填写完整:
(2)当点P从点O出发10秒,可得到的整数点的个数是 11 .
(3)当点P从点O出发 35 秒时,可得到整数点(28,7).
【分析】(1)根据点P的运动规律确定此题结果;
(2)根据题意归纳出当点P从点O出发n秒,可得到的整数点的个数是n+1可确定此题的结果;
(3)由题意可得当点P从点O出发n秒,可得到的整数点都在直线y=﹣x+n上,将整数点(28,7)代入计算即可.
【解答】解:(1)由题意可得,当点P从点O出发n秒,可得到的整数点为(0,3)(1,2)(2,1)(3,0),
故答案为:(0,3)(1,2)(2,1)(3,0);
(2)根据题意归纳出当点P从点O出发n秒,可得到的整数点的个数是n+1,
当n=10时,
n+1=10+1=11,
∴当点P从点O出发10秒,可得到的整数点的个数是11,
故答案为:11;
(3)由题意可得当点P从点O出发n秒,可得到的整数点都在直线y=﹣x+n上,
则得﹣28+n=7,
解得n=35,
∴当点P从点O出发35秒时,可得到整数点(28,7),
故答案为:35.
17.(2022•东城区二模)在平面直角坐标系中,小明玩走棋的游戏,其走法是:棋子从原点出发,第1步向右走1个单位,第2步向右走2个单位,第3步向上走1个单位,第4步向右走1个单位,…,依此类推,第n步的走法是:当n能被3整除时,则向上走1个单位;当n被3除,余数为1时,则向右走1个单位;当n被3除,余数为2时,则向右走2个单位,当走完第8步时,棋子所处位置的坐标是 (9,2) ;当走完第2016步时,棋子所处位置的坐标是 (2022,672) .
【分析】设走完第n步时,棋子所处的位置为点Pn(n为自然数),根据走棋子的规律找出部分点Pn的坐标,根据坐标的变化找出变化规律“P3n+1(3n+1,n),P3n+2(3n+3,n),P3n+3(3n+3,n+1)”,依此规律即可得出结论.
【解答】解:设走完第n步时,棋子所处的位置为点Pn(n为自然数),
观察,发现规律:P1(1,0),P2(3,0),P3(3,1),P4(4,1),…,
∴P3n+1(3n+1,n),P3n+2(3n+3,n),P3n+3(3n+3,n+1).
∵8=3×2+2,
∴P8(9,2).
∵2016=3×671+3,
∴P2016(2022,672).
故答案为:(9,2);(2022,672).
18.(2022春•上杭县期末)如图,点A(0,1),点A1(2,0),点A2(3,2),点A3(5,1),…,按照这样的规律下去,点A2021的坐标为( )
A.(6062,2020)B.(3032,1010)
C.(3030,1011)D.(6063,2021)
【分析】观察图形得到奇数点的规律为,A1(2,0),A3(5,1),A5(8,2),…,A2n﹣1(3n﹣1,n﹣1),由2019是奇数,且2021=2n﹣1,则可求A2n﹣1(3032,1010).
【解答】解:观察图形可得,A1(2,0),A3(5,1),A5(8,2),…,A2n﹣1(3n﹣1,n﹣1),
A2(3,2),A4(6,3),A6(9,4),…,A2n(3n,n+1),
∵2021是奇数,且2021=2n﹣1,
∴n=1011,
∴A2n﹣1(3032,1010),
故选:B.
二.填空题(共9小题)
19.(2022•潍坊期中)如图,在平面直角坐标系中,对△ABC进行循环往复的轴对称变换,若原来点A坐标是(﹣2,3),则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为 (2,3) .
【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环,用2021除以4,然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限,然后解答即可.
【解答】解:点A第一次关于y轴对称后在第一象限,
点A第二次关于x轴对称后在第四象限,
点A第三次关于y轴对称后在第三象限,
点A第四次关于x轴对称后在第二象限,即点A回到原始位置,
所以,每四次对称为一个循环组依次循环,
∵2021÷4=505余1,
∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同,在第一象限,坐标为(2,3).
故答案为:(2,3).
20.(2022•曲靖)如图:图象①②③均是以P0为圆心,1个单位长度为半径的扇形,将图形①②③分别沿东北,正南,西北方向同时平移,每次移动一个单位长度,第一次移动后图形①②③的圆心依次为P1P2P3,第二次移动后图形①②③的圆心依次为P4P5P6…,依此规律,P0P2018= 673 个单位长度.
【分析】根据P0P1=1,P0P2=1,P0P3=1;P0P4=2,P0P5=2,P0P6=2;P0P7=3,P0P8=3,P0P9=3;可知每移动一次,圆心离中心的距离增加1个单位,依据2018=3×672+2,即可得到点P2018在正南方向上,P0P2018=672+1=673.
【解答】解:由图可得,P0P1=1,P0P2=1,P0P3=1;
P0P4=2,P0P5=2,P0P6=2;
P0P7=3,P0P8=3,P0P9=3;
∵2018=3×672+2,
∴点P2018在正南方向上,
∴P0P2018=672+1=673,
故答案为:673.
21.(2022•朝阳区一模)在平面直角坐标系xOy中,动点P从原点O出发,每次向上平移1个单位长度或向右平移2个单位长度,在上一次平移的基础上进行下一次平移.例如第1次平移后可能到达的点是(0,1)、(2,0),第2次平移后可能到达的点是(0,2)、(2,1)、(4,0),第3次平移后可能到达的点是(0,3)、(2,2)、(4,1)、(6,0),依此类推….我们记第1次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l1,l1=3;第2次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l2,l2=9;第3次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l3,l3=18;按照这样的规律,
l4= 30 ; ln= 3n(n+1)2 (用含n的式子表示,n是正整数).
【分析】先计算出第四次平移后可能点的坐标,即可计算出l4.根据l1、l2、l3、l4的值可推出ln.
【解答】解:由题意可得第四次平移后可能的点的坐标为:(0,4)、(2,3)、(4,2)、(6,1),(2,3)、(4,2)、(6,1)、(8,0),
故可得l4=30.
由题意得,l1=3,l2=9,l3=18,l4=30,
则可推出ln=3n(n+1)2.
故答案为:30、3n(n+1)2.
22.(2022•锦州)如图,在平面直角坐标系上有点A(1,0),点A第一次跳动至点A1(﹣1,1),第四次向右跳动5个单位至点A4(3,2),…,依此规律跳动下去,点A第100次跳动至点A100的坐标是 (51,50) .
【分析】根据图形观察发现,第偶数次跳动至点的坐标,横坐标是次数的一半加上1,纵坐标是次数的一半,然后写出即可.
【解答】解:观察发现,第2次跳动至点的坐标是(2,1),
第4次跳动至点的坐标是(3,2),
第6次跳动至点的坐标是(4,3),
第8次跳动至点的坐标是(5,4),
…
第2n次跳动至点的坐标是(n+1,n),
∴第100次跳动至点的坐标是(51,50).
故答案为:(51,50).
23.(2022春•黄石校级月考)如图在直角坐标系中第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3,已知:A(1,3),A1(﹣2,﹣3),A2(4,3),A3(﹣8,﹣3),B(2,0),B1(﹣4,0),B2(8,0),B3(﹣16,0).
(1)观察每次变化前后的三角形有何变化,找出其中的规律,按此变化规律将△OA3B3变换成△OA4B4则点A4的坐标为 (16,3) ,点B4的坐标为 (32,0) .
(2)若按第(1)题中找到的规律将△OAB进行了n次变换,得到的△OAnBn推测点An坐标为 ((﹣1)n•2n,(﹣1)n•3),点Bn坐标为 ((﹣1)n•2n+1,0) .
【分析】(1)根据图形写出即可;
(2)根据点A的坐标每变化一次,纵坐标的长度不变,但奇数次变化为负数,偶数次变化为正数,横坐标的长度变为上一次的2倍,奇数次变化是负数,偶数次变化是正数;点B的坐标的长度每变化一次横坐标的变为上一次的2倍,奇数次变化为负数,偶数次变化为正数,纵坐标都是0,然后写出即可;
【解答】解:(1)如图,∵A(1,3)A1(﹣2,﹣3)A2(4,3)A3(﹣8,﹣3),
∴点A4的坐标为(16,3);
∵B(2,0)B1(﹣4,0)B2(8,0)B3(﹣16,0),
∴点B4的坐标为(32,0);
点An坐标为:((﹣1)n•2n,(﹣1)n•3),点Bn的坐标为:((﹣1)n•2n+1,0).
24.(2022春•龙港区期末)如图,两种大小不等的正方形间隔排列在平面直角坐标系中,已知小正方形的边长为1且A1的坐标为(2,2),A2的坐标为(5,2).
(1)A3的坐标为 (8,2) ;
(2)An的坐标为 (3n﹣1,2) .(用含n的代数式表示)
【分析】根据已知条件与图形可知,大正方形的对角线长为2,由此可得规律:A1,A2,A3,…,An各点的纵坐标均为2,横坐标依次大3,由此便可得结果;
【解答】解:(1)∵A1的坐标为(2,2)、A2的坐标为(5,2),
∴A1,A2,A3,…,An各点的纵坐标均为2,
∵小正方形的边长为1,
∴A1,A2,A3,…,An各点的横坐标依次大3,
∴A3(5+3,2),An(2+3(n﹣1),2),
即A3(8,2);
故答案为(8,2);
(2)An(3n﹣1,2),
故答案为(3n﹣1,2);
25.(2022春•新余期末)如图,在平面直角坐标系中,一电子蚂蚁按照设定程序从原点O出发,按图中箭头所示的方向运动,第1次从原点运动到点(1,2),第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(2,﹣2),第4次接着运动到点(4,﹣2),第5次接着运动到点(4,0),第6次接着运动到点(5,2).…按这样的运动规律,经过2021次运动后,电子蚂蚁运动到的位置的坐标是 (1617,2) .
【分析】根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标的为1,2,2,4,4,4+1,4+2,4+2,4+4,4+4,每5次一轮,每次比前一次起始多4,这一规律纵坐标为2,0,﹣2,﹣2,0,2,0,﹣2,﹣2,0,…,每5次一轮这一规律,进而求出即可.
【解答】解:前五次运动横坐标分别为:1,2,2,4,4,
第6到10次运动横坐标分别为:4+1,4+2,4+2,4+4,4+4,
…
∴第5n+1到5n+5次运动横坐标分别为:4n+1,4n+2,4n+2,4n+4,4n+4,
前五次运动纵坐标分别为2,0,﹣2,﹣2,0,
第6到10次运动纵坐标分别为为2,0,﹣2,﹣2,0,
…
第5n+1到5n+5次运动纵坐标分别为2,0,﹣2,﹣2,0,
∵2021÷5=404…1,
∴经过2021次运动横坐标为=4×404+1=1617,
经过2021次运动纵坐标为2,
∴经过2021次运动后,电子蚂蚁运动到的位置的坐标是(1617,2).
故答案为(1617,2).
26.(2022•广水市期末)如图,把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中,顶点A的坐标为(3,0),点P(1,2)在正方形铁片上.将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°,第一次旋转至图①位置,第二次旋转至图②位置,…,则正方形铁片连续旋转2021次后,点P的坐标为 (6065,2) .
【分析】首先求出P1~P5的坐标,探究规律后,利用规律解决问题.
【解答】解:第一次P1(5,2),
第二次P2(8,1),
第三次P3(10,1),
第四次P4(13,2),
第五次P5(17,2),
…
发现点P的位置4次一个循环,
∵2021÷4=505余1,
P2021的纵坐标与P1相同为2,横坐标为5+12×505=6065,
∴P2021(6065,2),
故答案为(6065,2).
27.(2022•东城区校级模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,B1(0,1),B2(0,3),B3(0,6),B4(0,10),…,以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2,以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3,以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3B4,…,如果所作正方形的对角线BnBn+1都在y轴上,且BnBn+1的长度依次增加1个单位长度,顶点An都在第一象限内(n≥1,且n为整数),那么A1的纵坐标为 2 ;用n的代数式表示An的纵坐标: (1+n)22 .
【分析】作A1D⊥y轴于点D,可推出A1的纵坐标=B1D+B1O=1+1=(1+1)22=2,A2的纵坐标=(1+2)22=4.5,则An的纵坐标为(1+n)22.
【解答】解:作A1D⊥y轴于点D,
则B1D=B1B2÷2=(3﹣1)÷2=1,
∴A1的纵坐标=B1D+B1O=1+1=(1+1)22=2,
同理可得A2的纵坐标=OB2+(B2B3)÷2=3+(6﹣3)÷2=(1+2)22=4.5,
∴An的纵坐标为(1+n)22,
故答案为2,(1+n)22.
解答题(共3小题)
28.(2022春•西城区校级期中)在直角坐标系中,我们把横,纵坐标都为整数的点叫敝整点,该坐标轴的单位长度为1cm,整点P从原点O出发,速度为1cm/s,且整点p作向上或向右运动(如图1所示).运动时间(s)与整点(个)的关系如下表:
根据上表的运动规律回答下列问题:
(1)当整点p从点O出发4s时,可以得到的整点的个数为 5 个;
(2)当整点p从点O出发8s时,在直角坐标系中描出可以得到的所有整点,并顺次连接这些整点;
(3)当整点P从点O出发 20 时,可以得到整点(16,4)的位置.
【分析】(1)根据表中所示的规律,点的个数比时间数多1,可计算出整点P从O点出发4秒时整点P的个数;
(2)由表中所示规律可知,横纵坐标的和等于时间,据此可得到整点P从点O出发8秒时,在直角坐标系中描出可以得到的所有整点,并顺次连接这些整点;
(3)由表中规律可知,横纵坐标的和等于时间,可得问题答案.
【解答】解:(1)根据表中所示的规律,点的个数比时间数多1,可计算出整点P从O点出发4秒时整点P的个数为5,
故答案为:5;
(2)由表中所示规律可知,横纵坐标的和等于时间,则点的个数为(0,8),(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(7,1),(8,0).如图:
(3)由表中规律可知,横纵坐标的和等于时间,可得,16+4=20秒.
故答案为:20.
29.(2022春•海门市期末)在平面直角坐标系xOy中,点A(x1,y1),B(x2,y2),若x2﹣x1=y2﹣y1≠0,则称点A与点B互为“对角点”,例如:点A(﹣1,3),点B(2,6),因为2﹣(﹣1)=6﹣3≠0,所以点A与点B互为“对角点”.
(1)若点A的坐标是(4,﹣2),则在点B1(2,0),B2(﹣1,﹣7),B3(0,﹣6)中,点A的“对角点”为点 B2(﹣1,﹣7),B3(0,﹣6) ;
(2)若点A的坐标是(﹣2,4)的“对角点”B在坐标轴上,求点B的坐标;
(3)若点A的坐标是(3,﹣1)与点B(m,n)互为“对角点”,且点B在第四象限,求m,n的取值范围.
【分析】(1)、(2)读懂新定义,根据新定义解题即可;
(3)根据新定义和直角坐标系中第四象限x、y的取值范围确定m、n的取值范围即可.
【解答】解:(1)根据新定义可以得B2、B3与A点互为“对角点”;
故答案为:B2(﹣1,﹣7),B3(0,﹣6);
(2)①当点B在x轴上时,
设B(t,0),由题意得t﹣(﹣2)=0﹣4,
解得t=﹣6,
∴B(﹣6,0).
②当点B在y轴上时,
设B(0,b),
由题意得0﹣(﹣2)=b﹣4,
解得b=6,
∴B(0,6).
综上所述:A的“对角点”点B的坐标为(﹣6,0)或(0,6).
(3)由题意得m﹣3=n﹣(﹣1),
∴m=n+4.
∵点B在第四象限,
∴m>0n<0,
∴n+4>0n<0,
解得﹣4<n<0,
此时0<n+4<4,
∴0<m<4.
由定义可知:m≠3,n≠﹣1,
∴0<m<4且m≠3,﹣4<n<0且n≠﹣1.
故答案为:0<m<4且m≠3,﹣4<n<0且n≠﹣1.
30.(2022秋•庐阳区校级期中)如图,在平面直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3.
(1)观察每次变换前后的三角形的变化规律,若将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是 (16,3) ,B4的坐标是 (32,0) .
(2)若按第(1)题找到的规律将△OAB进行n次变换,得到△OAnBn,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化,找出规律,推测An的坐标是 (2n,3) ,Bn的坐标是 (2n+1,0) .
(3)若按第(1)题找到的规律将△OAB进行n次变换,得到△OAnBn,则△OAnBn的面积S为 3×2n
【分析】(1)根据点A、A1、A2、A3的变化,可找出点A4的坐标;同理可得出点B4的坐标;
(2)结合(1)中点的坐标的变化,可找出点An、Bn的坐标;
(3)由点An、Bn的坐标可得出OBn、AnBn﹣1的长度,再根据三角形的面积公式即可求出△OAnBn的面积.
【解答】解:(1)∵A(1,3),A1(2,3),A2(4,3),A3(8,3),
∴A4(16,3);
∵B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0),
∴B4(32,0).
故答案为:(16,3);(32,0).
(2)∵A(1,3),A1(2,3),A2(4,3),A3(8,3),A4(16,3),…,
∴An(2n,3);
∵B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0),B4(32,0),…,
∴Bn(2n+1,0).
故答案为:(2n,3);(2n+1,0).
(3)∵An(2n,3),Bn(2n+1,0),
∴OBn=2n+1,AnBn﹣1=3,
∴S=12OBn•AnBn﹣1=3×2n.点P出发时间
可得到整数点的坐标
可得到整数点的个数
1秒
(0,1)(1,0)
2
2秒
(1,1)(2,0)(0,2)
3
3秒
(0,3)(1,2)(2,1)(3,0)
4
整点P运动的时间(秒)
可以得到整点P的坐标
可以得到整点P的个数
1
(0,1)(1,0)
2
2
(0,2)(1,1)(2,0)
3
3
(0,3)(1,2)(2,1)(3,0)
4
…
…
…
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