人教版七年级数学下册章节重难点举一反三 专题11.6 期末专项复习之不等式与不等式组十六大必考点（原卷版+解析）

这是一份人教版七年级数学下册章节重难点举一反三 专题11.6 期末专项复习之不等式与不等式组十六大必考点（原卷版+解析），共54页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc14197" 【考点1 不等式（组）的概念辨析】 PAGEREF _Tc14197 \h 1
\l "_Tc28123" 【考点2 不等式的基本性质运用】 PAGEREF _Tc28123 \h 2
\l "_Tc11492" 【考点3 求含参的不等式的解集】 PAGEREF _Tc11492 \h 2
\l "_Tc25291" 【考点4 解不等式（组）】 PAGEREF _Tc25291 \h 3
\l "_Tc23302" 【考点5 方程（组）与不等式的综合运用】 PAGEREF _Tc23302 \h 3
\l "_Tc2995" 【考点6 不等式（组）中的新定义运算】 PAGEREF _Tc2995 \h 4
\l "_Tc14333" 【考点7 根据不等式的整数解个数求参数取值范围】 PAGEREF _Tc14333 \h 4
\l "_Tc6365" 【考点8 根据不等式组的整数解个数求参数取值范围】 PAGEREF _Tc6365 \h 5
\l "_Tc8947" 【考点9 根据不等式的整数解求参数范围】 PAGEREF _Tc8947 \h 5
\l "_Tc9412" 【考点10 根据实际问题列不等式（组)】 PAGEREF _Tc9412 \h 5
\l "_Tc3202" 【考点11 根据两个不等式的解之间的关系求参数】 PAGEREF _Tc3202 \h 6
\l "_Tc25954" 【考点12 二元一次方程组与不等式组的综合运用】 PAGEREF _Tc25954 \h 7
\l "_Tc25446" 【考点13 不等式的应用】 PAGEREF _Tc25446 \h 7
\l "_Tc25760" 【考点14 根据不等式组的解求参数】 PAGEREF _Tc25760 \h 8
\l "_Tc28563" 【考点15 分式方程的解与不等式的综合】 PAGEREF _Tc28563 \h 9
\l "_Tc24969" 【考点16 不等式组的应用】 PAGEREF _Tc24969 \h 10
【考点1 不等式（组）的概念辨析】
【例1】（2022·浙江·八年级期中）下列不等式中，一元一次不等式有
①x2+3>2x ② 1x−3>0 ③ x−3>2y
④x−1π≥5π ⑤ 3y>−3
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【变式1-1】（2022·河北·武邑武罗学校八年级期末）下列四个选项中是一元一次不等式组的是( )
A．x+y=1x−y>1B．x2+x>2x+1>3
C．2x+3>xx+2>3yD．x+1>22x+3>x
【变式1-2】（2022·甘肃·武威第五中学八年级期中）x+1是不小于−1的负数，则可表示为（ ）
A．−1【变式1-3】（2022·江苏·泰兴市宣堡初级中学八年级期末）若关于x的不等式(a−2)xa+2−1<5是一元一次不等式，关于x的不等式9ax+3a−4b<0的解集是x＞49，求a和b的值
【考点2 不等式的基本性质运用】
【例2】（2022·山西吕梁·八年级期末）三个非零实数a,b,c，满足aA．a+cc−bC．bc>c2D．a+c>b
【变式2-1】（2022·湖南衡阳·八年级期末）下列不等式的变形正确的是（ ）
A．若ay，则xm>ym
C．若a>b，则ac2>bc2D．若ac2>bc2，则a>b
【变式2-2】（2022·浙江温州·八年级期中）若[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[-3.14]=-4．已知[a]=3，[b]=-2，[c]=-1，则[a-2b+c]可以取到的值的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式2-3】（2022·河南郑州·八年级期末）如图所示，A，B，C，D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（ ）
A．D【考点3 求含参的不等式的解集】
【例3】（2022·江苏·八年级期末）已知关于x的不等式(2a−b)x+a−5b>0的解集为x<107，则关于x的不等式ax>b−a的解集为（ ）
A．x<−3B．x>−5C．x<−25D．x>−25
【变式3-1】（2022·江苏南京·八年级期末）关于x的不等式ax+b>c的解集为x<3，则关于x的不等式ax−2+b>c的解集为（ ）
A．x<3B．x>3C．x<5D．x<1
【变式3-2】（2022·广东·深圳市龙岗区智民实验学校八年级期中）若不等式(2a－b)x＋3a－4b＜0的解集是x＞94，则不等式(a－4b)x＋2a－3b＞0的解集是_____．
【变式3-3】（2022·江西·铅山县教育局教学研究室八年级期末）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜13，则关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集是（ ）
A．x＜﹣12B．x＞12C．x＞﹣12D．x＜12
【考点4 解不等式（组）】
【例4】（2022·山东威海·八年级期末）下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话：
小明：在求解的过程中要改变不等号的方向；
小强：求得不等式的最小整数解为x=−9．
根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（ ）
A．2x−73≥x+1B．2x−73≤x+1
C．2x−73>x+1D．2x−73【变式4-1】（2022·宁夏·中宁县第三中学八年级期中）解不等式（组）并把它的解集在数轴上表示出来.
(1)2x−13−9x+26≤1
(2)2x−3x−2≥443x+3>1−23x
【变式4-2】（2022·河北·武邑武罗学校八年级期末）已知题目：解关于x的不等式组5x+2≤3x−55−x<□，其中“□”内的数字印刷不清，嘉淇看了标准答案后，说此不等式组无解，则“□”处不可以是（ ）
A．172B．152C．8D．9
【变式4-3】（2022·全国·八年级课时练习）设x为一切数，[x]表示不大于x的最大整数，[x]又表示数x的整数部分．解方程x−2[x]=72．
【考点5 方程（组）与不等式的综合运用】
【例5】（2022·安徽安庆·八年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组3x+2y=−a−1x−23y=a+53的解满足x≥y，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣138B．a≥﹣134C．a≤﹣92D．a≤﹣3
【变式5-1】（2022·河南驻马店·八年级期末）如果关于x的方程2x+a3=4x+b5的解是非负数．那么a与b的关系是 _____．
【变式5-2】（2022·广西崇左·八年级期中）已知关于x，y的二元一次方程组3x−2y=9−a2x−y=7的解满足x−y>0，则a的取值范围是______．
【变式5-3】（2022·河南周口·八年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组x−y=a+32x+y=5a的解满足x>y，且关于x的不等式组2x+1<2a2x−1≥6无解，那么所有符合条件的整数a的个数为_______．
【考点6 不等式（组）中的新定义运算】
【例6】（2022·江苏南通·八年级期中）定义：[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[1]＝1，[-1.21]＝﹣2．以下结论：①当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值是1；②[a﹣1]＝[a]﹣1；③a﹣1＜[a]≤a；④x＝﹣73是方程3x﹣2[x]+1＝0的唯一解，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式6-1】（2022·河北保定·八年级期末）定义新运算“△”：对于任意实数a，b都有a△b=ab−a−b+2．
（1）若3△x的值不大于3，则x的取值范围是________；
（2）若−2m△5的值大于3且小于9，则m的整数值是_______．
【变式6-2】（2022·湖北武汉·八年级期末）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=ax+by2x+y（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=a×0+b×12×0+1=b，已知T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组T（2m，5−4m）≤4T（m，3−2m）＞P恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是_____．
【变式6-3】（2022·吉林· 八年级期末）对于x、y定义一种新运算“◎”：x◎y=ax−by，其中a、b为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：2◎1=3，4◎3=1．
(1)求a、b的值；
(2)求5◎（－3）的值；
(3)不等式m+13◎m−12≤5的解集是______．
【考点7 根据不等式的整数解个数求参数取值范围】
【例7】（2022·湖北武汉·八年级期末）已知关于x的不等式你ax−a+6>0只有两个正整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤−3B．−6−6
【变式7-2】（2022·重庆十八中八年级期中）关于x的不等式2x+a≤1只有3个正整数解，则a的取值范围为（ ）
A．−7【变式7-3】（2022·湖南·长沙市中雅培粹学校八年级开学考试）已知关于x的不等式2x+m≤1只有2个正整数解，则m的取值范围是（ ）
A．−5≤m<−3B．−5【考点8 根据不等式组的整数解个数求参数取值范围】
【例8】（2022·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组x−a<0,2x+3>0的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式8-1】（2022·湖南衡阳·八年级期末）若关于x的不等式组2x+1<36(x−m)≥3+4x只有3个整数解，则m的取值范围是_____．
【变式8-2】（2022·陕西榆林·八年级期末）已知关于x的不等式组x−m>02x−n≤0的整数解是－2，－1，0，1，2，3，4，若m，n为整数，则m+n的值是（ ）
A．3B．4C．5或6D．6或7
【变式8-3】（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校八年级期中）若关于x的不等式组2x+3≥11x−a<0恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．5＜a＜6B．5＜a≤6C．5≤a＜6D．5≤a≤6
【考点9 根据不等式的整数解求参数范围】
【例9】（2022·福建·晋江市第一中学八年级期中）若不等式5x−k≤0的正整数解是1、2、3，则k的取值范围是__________．
【变式9-1】（2022·江苏·如东县实验中学八年级期中）若x=3是关于x的不等式2x−m>4的一个整数解，而x=2不是其整数解，则m的取值范围为______．
【变式9-2】（2022·河南·南阳市第三中学八年级期中）若实数3是不等式2x−a−2<0的一个解，则a可取的最小正整数为______
【变式9-3】（2022·海南鑫源高级中学八年级期中）已知有关x的方程x+12=1−x−15的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值．
【考点10 根据实际问题列不等式（组)】
【例10】（2022·全国·八年级）八年级某班部分学生植树，若每人平均植树8棵，还剩7棵；若每人植树9棵，则有一名学生植树的棵树多于3棵而小于6棵．若设学生人数为x人，则植树棵树为(8x7)人，则下面给出的不等式(组)中，能准确求出学生人数与种植树木数量的是（ ）
A．8x769(x1)B．8x739(x1)
C．8x+7<6+9(x−1)8x+7>3+9(x−1)D．8x+7≤6+9(x−1)8x+7≥3+9(x−1)
【变式10-1】（2022·河南·郑州经开区外国语女子中学八年级期末）一次学校智力竞赛中共有20道题，规定答对一题得5分，答错或不答一道题扣2分，得分为75分以上可以获得奖品，小锋在本次竞赛中获得了奖品．假设小锋答对了x题，可根据题意列出不等式( )
A．5x+220−x≥75B．5x+220−x>75
C．5x−220−x>75D．5x−220−x≥75
【变式10-2】（2022·浙江·八年级期中）把一些书分给同学，设每个同学分x本．若____；若分给11个同学，则书有剩余．可列不等式8（x+6）＞11x，则横线的信息可以是（ ）
A．分给8个同学，则剩余6本
B．分给6个同学，则剩余8本
C．如果分给8个同学，则每人可多分6本
D．如果分给6个同学，则每人可多分8本
【变式10-3】（2022·全国·八年级期中）某企业次定购买A，B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：
经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1380吨，该企业有哪些购买方案呢？这解决这个问题，高购买A型污水处理设备x台，所列不等式组正确的是( )
A．{12x+10(8−x)⩽89200x+160(8−x)⩾1380B．{12x+10(8=x)⩾89200x+160(8−x)⩽1380
C．{12x+10(8−x)⩾89200x+160(8−x)⩾1380D．{12x+10(8−x)⩽89200x+160(8−x)⩽1380
【考点11 根据两个不等式的解之间的关系求参数】
【例11】（2022·福建·泉州市城东中学八年级期中）若不等式x+22【变式11-1】（2022·河北沧州·八年级期末）若不等式2x+5<1的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式4x+1【变式11-2】（2022·内蒙古·包钢第三中学八年级期中）若关于x的不等式x【变式11-3】（2022·湖北武汉·八年级期末）若关于x的不等式组x+2m<03x+m<15的解集中的任意x的值，都能使不等式x−3<0成立，则m的取值范围是______．
【考点12 二元一次方程组与不等式组的综合运用】
【例12】（2022·新疆乌鲁木齐·八年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组3x+2y=3k+12x+3y=−k+2，且−1【变式12-1】（2022·江西景德镇·八年级期中）方程组x+y=3x−2y=a−2的解满足0≤2x−y<3，求a的所有非负整数解．
【变式12-2】（2022·山西临汾·八年级期中）若m是整数,且关于x,y的方程组x+y=2m-2,x-y=5的解满足x≥0,y<0,试确定m的值.
【变式12-3】（2022·河北·邢台三中八年级期末）对非负实数n“四舍五入”到个位的值记为x，即：当n为非负整数时，如果n−12≤xA．1.5≤a＜2.5B．0.5＜a≤1.5C．1.5＜a≤2.5D．0.5≤a＜1.5
【考点13 不等式的应用】
【例13】（2022·重庆·巴川初级中学校八年级期末）如图，为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的．如果6只饭碗(注:饭碗的大小形状都一样)摞起来的高度为15cm，9只饭碗摞起来的高度为21cm．
(1)求出一个碗的高度是多少？
(2)李老师家的碗柜每格的高度为36cm，求李老师一摞碗最多只能放多少只？
【变式13-1】（2022·四川·泸州市第二十八初级中学校八年级期中）为建设“醉美泸州”，泸州市绿化改造工程正如火如荼进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对蜀泸大道某路段进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元，若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，则至少应购买甲种树苗多少棵？
【变式13-2】（2022·广东·东莞市万江第二中学八年级期中）为了更好地治理水质．保护环境，而治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种设备，A、B的单价分别为a万元/台和b万元/台，月处理污水分别为240吨/月和200吨/月，经调查，买一台A型设备比买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．
(1)求a、b的值；
(2)经预算，市治污公司购买污水处理器的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，若每月处理的污水不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的方案．
【变式13-3】（2022·福建泉州·八年级期末）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京圆满闭幕．冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱，某商店购进“冰墩墩”、“雪容融”两款毛绒玩具进行销售，“冰墩墩”“雪容融”两种商品的进价、售价如表：
请列方程（组）、不等式解答下列各题；
(1)2022年2月份，商店用23400元购进这两款毛绒玩具共300个，并且全部售完，问该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了多少钱？
(2)2022年3月份，商店又购进了200个“冰墩墩”和100个“雪容融”，3月中旬受疫情影响，在“冰墩墩”售出34，“雪容融”售出12后，店主决定对剩余的“冰墩墩”每个打a折销售，对剩余的“雪容融”每个降价2a元销售，又全部售完．如果要保证本月销售总额为30000元，求a的值．
(3)2022年4月份，由于受疫情影响，生产厂家减产，限制该商店本月只能采购两款毛绒玩具共200个，商店在不打折、不降价且全部售完的情况下，“冰墩墩”的利润不少于“雪容融”的利润的45，问商店至少要采购多少个“冰墩墩”毛绒玩具？
【考点14 根据不等式组的解求参数】
【例14】（2022·浙江·金华市第五中学八年级期末）若不等式组x≥ax＜2有解，则a的取值范围是（ ）
A．a＞2B．a＜2C．a≤2D．a≥2
【变式14-1】（2022·湖北孝感·八年级期末）已知不等式x+a>12x+b<2的解集为−2A．−1B．2021C．1D．−2021
【变式14-2】（2022·山东菏泽·八年级期中）若数a使关于x的方程2−a=4x−1的解为正数，且使关于y的不等式组y+23−y2>12y−a≤0的解集为y<−2，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．10B．12C．14D．16
【变式14-3】（2022·广东·深圳市宝安区沙井上南学校八年级期中）如果不等式组−4x+1<−8−xx>m的解集是x＞m，那么m的取值范围是（ ）
A．m≥3B．m≤3C．m＝3D．m＜3
【考点15 分式方程的解与不等式的综合】
【例15】（2022·江苏淮安·八年级期末）若关于x的分式方程m2x−4=1−x2−x−2的根是正数，则实数m的取值范围是（ ）
A．m>−4，且m≠0B．m<10且，m≠2
C．m<0，且m≠−4D．m<6且，m≠2
【变式15-1】（2022·重庆铜梁·一模）关于x的不等式组x>m−2−2x+1≥4m−3有解，且使关于x的分式方程1x−2−m−x2−x=2有非负整数解的所有m的值的和是（ ）
A．-1B．2C．-6D．0
【变式15-2】（2022·重庆南开中学八年级期末）若关于x的方程3−x2−x+ax−2=3有非负整数解，且关于y的不等式组{y−a2⩾−1y+3<3(y−1)的解集为y>3，则所有满足条件的整数a的值之和为（）
A．－1B．4C．5D．7
【变式15-3】（2022·重庆·西南大学附中八年级期末）若整数a使关于x的分式方程1x−3+x−a3−x=1的解为非负整数，且使关于y的不等式组y+53≤y2y−3>2y−a至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．14B．12C．6D．4
【考点16 不等式组的应用】
【例16】（2022·广东·东莞市沙田瑞风实验学校八年级开学考试）五月初五端午节这天，妈妈让小明去超市买豆沙馅和蛋黄鲜肉馅的粽子．豆沙馅的每个卖2元，蛋黄鲜肉馅的每个卖3元，两种的粽子至少各买一个，买粽子的总钱数不能超过15元．则不同的购买方案的个数为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【变式16-1】（2022·安徽·郎溪实验一模）某商场计划拨款9万元从厂家购买50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机的出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元，商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售乙种电视机每台可获利200元，销售丙种电视机每台可获利250元．
(1)若同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
(2)经市场调查这三种型号的电视机是最受欢迎的，且销售量乙种是丙种的3倍．商场要求成本不能超过计划拨款数额，利润不能少于8500元的前提，购进这三种型号的电视机共50台，请你设计这三种不同型号的电视机各进多少台？
【变式16-2】（2022·浙江台州·八年级期末）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上2个小桶可以盛酒17斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒8斛．
(1)1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？
(2)现有大桶和小桶共23个，且大桶的个数小于小桶个数的2倍．如果这些桶能装下50斛的酒，求所有满足条件的大桶和小桶的个数？
【变式16-3】（2022·河南·信阳文华寄宿学校八年级期末）去年7月底，我省郑州市发生百年一遇的洪水，全国各地各行各业发起了献爱心捐赠活动，某果农为郑州捐献了一批水果和蔬菜共400箱，其中水果比蔬菜多80箱．
(1)求水果和蔬菜各多少箱?
(2)现计划租用甲乙两种货车共10辆，一次性将这批物资全部送往郑州．已知每辆甲种货车可满载40箱水果和10箱蔬菜，每辆乙种货车可满载水果和蔬菜各20箱，则运输部门安排甲乙两种货车有哪几种方案？请写出设计方案．
(3)在（2）的条件下，若甲种货车每辆需付运费1000元，乙种货车每辆需付运费700元选择哪种运输方案运费最少?最少运费是多少?（通过计算具体数据说明结论）
A型
B型
价格（万无/台）
12
10
月污水处理能力（吨/月）
200
160
“冰墩墩”
“雪容融”
进价（元/个）
90
60
售价（元/个）
120
80
专题11.6 不等式与不等式组十六大必考点
【人教版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc14197" 【考点1 不等式（组）的概念辨析】 PAGEREF _Tc14197 \h 1
\l "_Tc28123" 【考点2 不等式的基本性质运用】 PAGEREF _Tc28123 \h 3
\l "_Tc11492" 【考点3 求含参的不等式的解集】 PAGEREF _Tc11492 \h 5
\l "_Tc25291" 【考点4 解不等式（组）】 PAGEREF _Tc25291 \h 8
\l "_Tc23302" 【考点5 方程（组）与不等式的综合运用】 PAGEREF _Tc23302 \h 11
\l "_Tc2995" 【考点6 不等式（组）中的新定义运算】 PAGEREF _Tc2995 \h 13
\l "_Tc14333" 【考点7 根据不等式的整数解个数求参数取值范围】 PAGEREF _Tc14333 \h 18
\l "_Tc6365" 【考点8 根据不等式组的整数解个数求参数取值范围】 PAGEREF _Tc6365 \h 20
\l "_Tc8947" 【考点9 根据不等式的整数解求参数范围】 PAGEREF _Tc8947 \h 22
\l "_Tc9412" 【考点10 根据实际问题列不等式（组)】 PAGEREF _Tc9412 \h 24
\l "_Tc3202" 【考点11 根据两个不等式的解之间的关系求参数】 PAGEREF _Tc3202 \h 26
\l "_Tc25954" 【考点12 二元一次方程组与不等式组的综合运用】 PAGEREF _Tc25954 \h 29
\l "_Tc25446" 【考点13 不等式的应用】 PAGEREF _Tc25446 \h 31
\l "_Tc25760" 【考点14 根据不等式组的解求参数】 PAGEREF _Tc25760 \h 36
\l "_Tc28563" 【考点15 分式方程的解与不等式的综合】 PAGEREF _Tc28563 \h 38
\l "_Tc24969" 【考点16 不等式组的应用】 PAGEREF _Tc24969 \h 41
【考点1 不等式（组）的概念辨析】
【例1】（2022·浙江·八年级期中）下列不等式中，一元一次不等式有
①x2+3>2x ② 1x−3>0 ③ x−3>2y
④x−1π≥5π ⑤ 3y>−3
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】B
【详解】分析：根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可．
详解：①不是，因为最高次数是2；
②不是，因为是分式；
③不是，因为有两个未知数；
④是；
⑤是.
综上，只有2个是一元一次不等式.
故选B．
点睛：本题主要依据的知识是一元一次不等式的定义.熟记不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这是解题的关键.
【变式1-1】（2022·河北·武邑武罗学校八年级期末）下列四个选项中是一元一次不等式组的是( )
A．x+y=1x−y>1B．x2+x>2x+1>3
C．2x+3>xx+2>3yD．x+1>22x+3>x
【答案】D
【分析】根据一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组可得答案．
【详解】A、不是一元一次不等式组，故此选项错误；
B、不是一元一次不等式组，故此选项错误；
C、不是一元一次不等式组，故此选项错误；
D、是一元一次不等式组，故此选项正确；
故选D．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的定义，关键是熟练掌握定义．
【变式1-2】（2022·甘肃·武威第五中学八年级期中）x+1是不小于−1的负数，则可表示为（ ）
A．−1【答案】D
【分析】直接用不等式表示题意,即可.
【详解】x+1是不小于−1的负数，则可表示为−1≤x+1<0.
故选D
【点睛】本题考核知识点：用不等式表示数量关系.解题关键点：理解题意，并用不等式表示.
【变式1-3】（2022·江苏·泰兴市宣堡初级中学八年级期末）若关于x的不等式(a−2)xa+2−1<5是一元一次不等式，关于x的不等式9ax+3a−4b<0的解集是x＞49，求a和b的值
【答案】a=-1，b=-74．
【分析】根据一元一次不等式定义可得a的值，将a的值代入9ax+3a-4b＜0，解不等式后根据其解集可得关于b的方程，解方程可得b．
【详解】∵x的不等式（a-2）xa+2-1＜5是一元一次不等式，
∴a+2=1，解得：a=-1，
当a=-1时，不等式9ax+3a-4b＜0可化为-9x-3-4b＜0，
解得：x＞−3−4b9，
∵不等式解集为x＞49，
∴−3−4b9=49，
解得：b=-74．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式定义、解一元一次不等式、解一元一次方程的能力，熟练掌握不等式定义和解不等式是关键．
【考点2 不等式的基本性质运用】
【例2】（2022·山西吕梁·八年级期末）三个非零实数a,b,c，满足aA．a+cc−bC．bc>c2D．a+c>b
【答案】A
【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：A、∵a＜b，
∴a＋c＜b＋c，故A符合题意；
B、∵a＜c，
∴a−b＜c−b，故B不符合题意；
C、∵b＜c，
∴bc＞c2（c＜0），故C不符合题意；
D、∵0＜a＜b＜c，
∴a＋c＞b，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
【变式2-1】（2022·湖南衡阳·八年级期末）下列不等式的变形正确的是（ ）
A．若ay，则xm>ym
C．若a>b，则ac2>bc2D．若ac2>bc2，则a>b
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质，每个选项判断即可得出答案．
【详解】A． 若a0时，则acB． 若x>y，当m>0时，则xm>ym，故选项错误，不符合题意；
C． 若a>b，当c2>0时，则ac2>bc2，故选项错误，不符合题意；
D． 若ac2>bc2，则a>b，选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了不等式基本性质，解题的关键是熟记并会用不等式基本性质．注意：基本性质1．不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变．基本性质2．不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．基本性质3．不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
【变式2-2】（2022·浙江温州·八年级期中）若[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[-3.14]=-4．已知[a]=3，[b]=-2，[c]=-1，则[a-2b+c]可以取到的值的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】先根据题目的定义，求得a、b、c的取值范围，再得出a-2b+c的取值范围，从而得出[a-2b+c]可能的取值．
【详解】解：∵[a]=3，[b]=-2，[c]=-1，
∴3≤a＜4，-2≤b＜-1即2＜-2b≤4，-1≤c＜0，
∴4＜a-2b+c＜8，
则[a-2b+c]=5，6，7．
故选：B．
【点睛】此题考查了不等式性质，解决本题的关键在于判断a、b、c的取值范围．
【变式2-3】（2022·河南郑州·八年级期末）如图所示，A，B，C，D四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（ ）
A．D【答案】C
【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
A>B①，
B+D>A+C②，
A+B=C+D③，
由③得：
B=C+D−A④，
把④代入②得：
C+D−A+D>A+C，
2D>2A，
∴D>A，
∴D−A>0，
由③得：
D−A=B−C，
∵D−A>0，
∴B−C>0，
∴B>C，
∴D>A>B>C，
即C故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
【考点3 求含参的不等式的解集】
【例3】（2022·江苏·八年级期末）已知关于x的不等式(2a−b)x+a−5b>0的解集为x<107，则关于x的不等式ax>b−a的解集为（ ）
A．x<−3B．x>−5C．x<−25D．x>−25
【答案】C
【分析】先根据题意得：b=35a且2a−b<0，可得a<0，即可求解．
【详解】解：∵(2a−b)x+a−5b>0，
∴(2a−b)x+>5b−a，
∵关于x的不等式(2a−b)x+a−5b>0的解集为x<107，
∴5b−a2a−b=107 ，且2a−b<0 ，
∴35b−7a=20a−10b ，解得：b=35a ，
∵2a−b<0，
∴2a−35a<0 ，
∴a<0 ，
∵ax>b−a，
∴ax>35a−a ，即ax>−25a ，
∴x<−25 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解集的定义，解不等式，不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解集的定义，解不等式的基本步骤是解题的关键．
【变式3-1】（2022·江苏南京·八年级期末）关于x的不等式ax+b>c的解集为x<3，则关于x的不等式ax−2+b>c的解集为（ ）
A．x<3B．x>3C．x<5D．x<1
【答案】C
【分析】根据第一个不等式的解集，得出有关a，b，c的代数式的值，从而求出答案．
【详解】解：因为不等式ax+b＞c的解集为x＜3，
所以a＜0，且c-b=3a，
a（x-2）+b＞c可化为：x<2a+c−ba．
而2a+c−ba=2a+3aa=5．
∴x＜5．
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的解法．根据不等式的性质解不等式是解题的关键．
【变式3-2】（2022·广东·深圳市龙岗区智民实验学校八年级期中）若不等式(2a－b)x＋3a－4b＜0的解集是x＞94，则不等式(a－4b)x＋2a－3b＞0的解集是_____．
【答案】x＞－819
【分析】根据（2a-b）x+3a-4b＜0的解集是x＞94，可以得到a与b的关系以及b的正负，从而可以得到所求不等式的解集．
【详解】解：∵（2a-b）x+3a-4b＜0的解集为x＞94，
∴-3a−4b2a−b=94且2a-b＜0，
解得，a=56b，且a＜b2，
则b＜0，
∴（a-4b）x+2a-3b＞0，
解得，x＞-819，
故答案为：x＞-819．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法，利用不等式的性质解答．
【变式3-3】（2022·江西·铅山县教育局教学研究室八年级期末）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜13，则关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集是（ ）
A．x＜﹣12B．x＞12C．x＞﹣12D．x＜12
【答案】C
【分析】先根据第一个不等式的解集求出m＜0、n＜0，m=3n，再代入第二个不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵mx-n＞0，
∴mx＞n，
∵关于x的不等式mx-n＞0的解集是x＜13，
∴m＜0，nm=13，
∴m=3n，n＜0，
∴n-m=-2n，m+n=4n，
∴关于x的不等式（m+n）x＜n-m的解集是x＞-12，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，能根据不等式的性质确定m、n的数量关系和正负性是解此题的关键．
【考点4 解不等式（组）】
【例4】（2022·山东威海·八年级期末）下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话：
小明：在求解的过程中要改变不等号的方向；
小强：求得不等式的最小整数解为x=−9．
根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（ ）
A．2x−73≥x+1B．2x−73≤x+1
C．2x−73>x+1D．2x−73【答案】D
【分析】分别解不等式求出其最小整数解，即可求出正确答案．
【详解】解：解不等式2x−73≥x+1得：x≤−10；没有最小整数解，故A选项不符合题意；
解不等式2x−73≤x+1得：x≥−10；最小整数解为x=−10，故B选项不符合题意；
解不等式2x−73>x+1得：x＜−10；没有最小整数解，故C选项不符合题意；
解不等式2x−73故选：D．
【点睛】本题考查解不等式，以及不等式的整数解，解题的关键是求出各不等式的解集，找出其中的最小整数解．
【变式4-1】（2022·宁夏·中宁县第三中学八年级期中）解不等式（组）并把它的解集在数轴上表示出来.
(1)2x−13−9x+26≤1
(2)2x−3x−2≥443x+3>1−23x
【答案】(1)x≥−2
(2)−1＜x≤2
【分析】（1）先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，可求出不等式的解集，最后将解集表示在数轴上即可；
（2）先分别求出两个不等式的解，再求它们公共部的解即为不等式组的解集．
（1）
解：2x−13−9x+26≤1
去分母，22x−1−9x+2≤6
去括号得，4x−2−9x−2≤6
移项得，4x−9x≤6+2+2
合并同类项，−5x≤10
系数化为1得，x≥−2
∴不等式的解为：x≥−2
（2）
解：2x−3x−2≥4①43x+3>1−23x②
化简不等式①得，2x−3x+6≥4
解得，x≤2
化简不等式②得，4x+9＞3−2x
解得，x＞−1，
∴不等式组的解集为：−1＜x≤2．
【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式（组），解题关键是熟练掌握解一元一次不等式（组）的方法步骤．
【变式4-2】（2022·河北·武邑武罗学校八年级期末）已知题目：解关于x的不等式组5x+2≤3x−55−x<□，其中“□”内的数字印刷不清，嘉淇看了标准答案后，说此不等式组无解，则“□”处不可以是（ ）
A．172B．152C．8D．9
【答案】D
【分析】设“□”处是a，根据题意可得：5x+2≤3x−5①5−x【详解】解：设“□”处是a，
由题意得：
5x+2≤3x−5①5−x解不等式①得：x≤−3.5，
解不等式②得：x>5−a，
∵不等式组无解，
∴5−a≥−3.5，
∴a≤8.5，
∴“□”处不可以是9，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
【变式4-3】（2022·全国·八年级课时练习）设x为一切数，[x]表示不大于x的最大整数，[x]又表示数x的整数部分．解方程x−2[x]=72．
【答案】x=−2.5
【分析】先将方程变形为x=2[x]+72，跟后根据[x]的定义，建立不等式组求解．
【详解】解：∵x−2[x]=72
∴x=2[x]+72
∵[x]表示不大于x的最大整数，[x]又表示数x的整数部分．
∴[x]≤x<[x]+1，即[x]≤2[x]+72<[x]+1，
解得−72≤[x]<−52，
∴[x]=−3
∴x=2×−3+72=−2.5
【点睛】本题考方程与不等式组，理解[x]的定义，建立不等式组是解题的关键．
【考点5 方程（组）与不等式的综合运用】
【例5】（2022·安徽安庆·八年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组3x+2y=−a−1x−23y=a+53的解满足x≥y，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣138B．a≥﹣134C．a≤﹣92D．a≤﹣3
【答案】A
【分析】先解二元一次方程组，再根据x≥y列出关于a的不等式，解之即可．
【详解】解：3x+2y=−a−1①x−23y=a+53②，
①﹣②×3得：4y＝﹣a﹣1﹣3a﹣5，
解得：y＝﹣a﹣32，
把y＝﹣a﹣32代入②得：x﹣23（﹣a﹣32）＝a+53，
整理得：x+23a+1＝a+53，
解得：x＝13a+23，
∵x≥y，
∴13a+23≥﹣a﹣32，即43a≥﹣136，
解得：a≥﹣138．
故选：A．
【点睛】本题考查利用二元一次方程组的解求参数的值，解一元一次不等式，解题关键是求出用含字母a的式子表示方程组的解．
【变式5-1】（2022·河南驻马店·八年级期末）如果关于x的方程2x+a3=4x+b5的解是非负数．那么a与b的关系是 _____．
【答案】5a≥3b
【分析】根据题意，先解关于x的方程，再根据题意列出一元一次不等式，进而求得a的范围．
【详解】2x+a3=4x+b5，
去分母得：5(2x+a)=3(4x+b)，
去括号得：10x+5a=12x+3b，
解得：x=5a−3b2，
∵关于x的方程2x+a3=4x+b5的解不是负数，
即5a−3b2≥0，
∴5a≥3b，
故答案为：5a≥3b．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次不等式的应用，根据题意求得方程的解是解题的关键．
【变式5-2】（2022·广西崇左·八年级期中）已知关于x，y的二元一次方程组3x−2y=9−a2x−y=7的解满足x−y>0，则a的取值范围是______．
【答案】a<2
【分析】先根据二元一次方程组的解法求出方程组的解，再结合方程组的解满足x−y>0，列出不等式求解．
【详解】解：在3x−2y=9−a①2x−y=7②中，
由②得y=2x−7，
把y=2x−7代入①得x=5+a，
把x=5+a代入②得y=3+2a，
∴方程组的解是x=5+ay=3+2a．
∵方程组的解满足x−y>0，
∴5+a−3+2a>0，
∴a<2．
故答案为：a<2．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，理解二元一次方程组的解法是解答关键．
【变式5-3】（2022·河南周口·八年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组x−y=a+32x+y=5a的解满足x>y，且关于x的不等式组2x+1<2a2x−1≥6无解，那么所有符合条件的整数a的个数为_______．
【答案】7
【分析】先求出方程组的解，再根据x＞y得出关于a的不等式，求出a的范围，再求出不等式组中每个不等式的解集，根据不等式组无解得出关于a的不等式，求出不等式的解集，再求出整数a，最后求出答案即可．
【详解】解：解方程组x−y=a+32x+y=5a得：x＝2a＋1y＝a−2，
∵x＞y，
∴2a＋1＞a−2，
解得：a＞−3，
2x+1<2a①2x−1≥6②，
解不等式①，得x＜2a−12，
解不等式②，得x≥72，
∵关于x的不等式组2x+1<2a2x−1≥6无解，
∴72≥2a−12，
解得：a≤4，
∴−3＜a≤4，
∵a为整数，
∴a可以为−2，−1，0，1，2，3，4，
∴所有符合条件的整数a的个数为7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式等知识点，能得出a的范围−3＜a≤4是解此题的关键．
【考点6 不等式（组）中的新定义运算】
【例6】（2022·江苏南通·八年级期中）定义：[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[1]＝1，[-1.21]＝﹣2．以下结论：①当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值是1；②[a﹣1]＝[a]﹣1；③a﹣1＜[a]≤a；④x＝﹣73是方程3x﹣2[x]+1＝0的唯一解，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】①分三种情况：−1＜x＜0,x=0，0＜x＜1；进行讨论即可求解；②③根据定义即可求解，④先求得[x]的值，确定x的整数部分和小数部分，分两种情况可得[x]的值，代入方程可得方程的解．
【详解】解：①当−1＜x＜0时，1+x−1−x=0−1=−1；
当x=0时，1+x−1−x=1−1=0；
当0＜x＜1时，1+x−1−x=1−0=1；
故当−1＜x＜1时，1+x−1−x的值为±1或0；
故①错误；
②设[a]=n，则[a−1]=n−1，
∴[a−1]=[a]−1 ，故②正确；
③根据定义可知，a的整数部分为[a]，小数部分为a-[a]，
则0≤a−a<1，
解得a﹣1＜[a]≤a，正确；
④3x﹣2[x]+1＝0，
则x=3x+12，
∴x的整数部分为3x+12，小数部分为0≤x−3x+12<1，
解得−3当−3∴ 3x−2×−3+1=0，
解得x=−73，
当−2∴ 3x−2×−2+1=0，
解得x=−53，
∴ x=−73或x=−53是方程3x﹣2[x]+1＝0的解，
故④不正确，
故正确的有②③．
故选B．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，一元一次不等式，理解定义是解题的关键．
【变式6-1】（2022·河北保定·八年级期末）定义新运算“△”：对于任意实数a，b都有a△b=ab−a−b+2．
（1）若3△x的值不大于3，则x的取值范围是________；
（2）若−2m△5的值大于3且小于9，则m的整数值是_______．
【答案】 x≤2 -1
【分析】（1）先根据题意列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可；
（2）先根据题意列出关于m的不等组，求出m的取值范围，再取整数值即可．
【详解】解∶（1）∵对于任意实数a，b都有a△b=ab−a−b+2，
∴3△x=3x-3-x+2=2x-1，
∵3△x的值不大于3，
∴2x−1≤3，
解得x≤2；
（2）∵对于任意实数a，b都有a△b=ab−a−b+2，
∴−2m△5=−10m+2m−5+2=−8m−3，
∵−2m△5的值大于3且小于9，
−8m−3>3①−8m−3<9② ，
由①得，m＜−34，由②得m＞−32，
∴−32＜m＜−34，
∵m为整数，
∴m=-1．
故答案为：x≤2 ；-1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式及不等式组，熟知解不等式组时，“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．
【变式6-2】（2022·湖北武汉·八年级期末）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=ax+by2x+y（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=a×0+b×12×0+1=b，已知T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组T（2m，5−4m）≤4T（m，3−2m）＞P恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是_____．
【答案】−2≤P<−13
【分析】根据已知得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，代入求出不等式组的每个不等式的解集，根据已知即可得出P的范围．
【详解】解：∵T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，
∴a−b2+(−1)=−2,4a+2b2×4+2=1,
解得：a=1，b=3，
T(2m,5−4m)=2m+3(5−4m)4m+5−4m≤4,
解得m≥−12，
T(m,3−2m)=m+3(3−2m)2m+3−2m>P，解得m<9−3P5，
∵关于m的不等式组T（2m，5−4m）≤4T（m，3−2m）＞P恰好有3个整数解，
∴2<9−3P5≤3，
∴−2≤P<−13．
故答案为：−2≤P<−13．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，解二元一次方程组的应用，能求出a、b的值是解此题的关键．
【变式6-3】（2022·吉林· 八年级期末）对于x、y定义一种新运算“◎”：x◎y=ax−by，其中a、b为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算．已知：2◎1=3，4◎3=1．
(1)求a、b的值；
(2)求5◎（－3）的值；
(3)不等式m+13◎m−12≤5的解集是______．
【答案】(1)a=4，b=5
(2)35
(3)m≥−1
【分析】（1）根据题意得：2a−b=3①4a−3b=1②，然后利用加减消元法解二元一次方程组，进行计算即可解答；
（2）利用（1）的结论，进行计算即可解答；
（3）利用（1）的结论可得4（m+1）3−5（m−1）2≤5，然后按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
（1）
解；由题意得：
2a−b=3①4a−3b=1②，
①×2得：
4a−2b=6③，
③−②得：
b=5，
把b=5代入①中得：
2a−5=3，
解得：a=4，
∴原方程组的解为：a=4b=5，
∴a=4，b=5；
（2）
解：5◎（−3）=5a+3b=5×4+3×5=35，
∴5◎（−3）的值为35；
（3）
角：∵m+13◎m−12≤5，
∴4（m+1）3−5（m−1）2≤5，
∴8（m+1）−15（m−1）≤30，
∴8m+8−15m+15≤30，
∴8m−15m≤30−8−15，
∴−7m≤7，
∴m≥−1，
故答案为：m≥−1．
【点睛】本题考查了新定义，解一元一次不等式，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【考点7 根据不等式的整数解个数求参数取值范围】
【例7】（2022·湖北武汉·八年级期末）已知关于x的不等式你ax−a+6>0只有两个正整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤−3B．−6−6
【答案】B
【分析】先求出关于x的一元一次不等式的解集，根据整数解的个数确定a的取值范围．
【详解】解：关于x的不等式ax-a+6＞0只有两个正整数解，
∴a＜0，
∴不等式的解集为x＜a−6a，
又∵关于x的不等式ax-a+6＞0只有两个正整数解，
∴2＜a−6a≤3，
解得-6＜a≤-3，
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，掌握一元一次不等式的解法以及整数解定义是正确解答的关键．
【变式7-1】（2022·山东泰安·一模）若关于x的不等式4x+m≥0有且仅有两个负整数解，则m的取值范围是（ ）
A．8≤m≤12B．8＜m＜12C．8＜m≤12D．8≤m＜12
【答案】D
【分析】首先解不等式，然后根据条件即可确定m的取值范围．
【详解】解：∵4x+m⩾0，
∴x⩾−m4，
∵不等式4x+m⩾0有且仅有两个负整数解，
∴−3<−m4⩽−2，
∴8≤m<12，
故选：D
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，根据不等式的基本性质求出x的取值范围，再由x的负整数解列出关于参数的不等式组是解决本题的关键．
【变式7-2】（2022·重庆十八中八年级期中）关于x的不等式2x+a≤1只有3个正整数解，则a的取值范围为（ ）
A．−7【答案】B
【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式只有三个正整数解即可得到一个关于a的不等式，求得a的值．
【详解】解：解不等式2x+a≤1
得：x≤1−a2 ，
不等式有三个正整数解，一定是1、2、3，
根据题意得：3⩽1−a2<4，
解得：-7＜a≤-5，
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的整数解，解题的关键是正确解不等式，求出解集．
【变式7-3】（2022·湖南·长沙市中雅培粹学校八年级开学考试）已知关于x的不等式2x+m≤1只有2个正整数解，则m的取值范围是（ ）
A．−5≤m<−3B．−5【答案】B
【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式只有两个正整数解即可得到一个关于m的不等式，求得m的值．
【详解】解：解不等式2x+m≤1得：x≤1−m2，
∵不等式有两个正整数解，
∴两个正整数解一定是1和2，
根据题意得：2≤1−m2<3，
解得：−5故选B．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式的整数解得出关于m的不等式组是解题的关键．
【考点8 根据不等式组的整数解个数求参数取值范围】
【例8】（2022·江苏南通·二模）已知关于x的不等式组x−a<0,2x+3>0的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定a的范围，进而求得整数a最小值．
【详解】解：x−a<0①2x+3>0②，
解①得x解②得x>−32．
则不等式组的解集是−32∵解集中至少有5个整数解
∴整数解为：-1,0,1,2,3．
∴a＞3．
整数a的最小值是4．
故选C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是本题的关键．
【变式8-1】（2022·湖南衡阳·八年级期末）若关于x的不等式组2x+1<36(x−m)≥3+4x只有3个整数解，则m的取值范围是_____．
【答案】−32【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再由不等式组的整数解的个数得出关于m的不等式组，解之即可．
【详解】解：解不等式2x+1＜3，得：x＜1，
解不等式6（x-m）≥3+4x，得：x≥6m+32，
∵不等式组只有3个整数解，
∴-3＜6m+32≤-2，
解得−32故答案为：−32【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式8-2】（2022·陕西榆林·八年级期末）已知关于x的不等式组x−m>02x−n≤0的整数解是－2，－1，0，1，2，3，4，若m，n为整数，则m+n的值是（ ）
A．3B．4C．5或6D．6或7
【答案】C
【分析】先解出不等式组，然后根据不等式组的整数解确定m，n的取值范围，再根据m，n都为整数，即可确定m，n的值，代入计算即可．
【详解】解不等式x−m>0，
得x>m
解不等式2x−n≤0，
得x≤12n，
∴不等式组的解集为：m又∵不等式组的整数解是－2，－1，0，1，2，3，4，
∴−3≤m<−24≤12n<5，
又∵m，n为整数，
∴m=−3,n=8或m=−3,n=9，
∴m+n=5或m+n=6
故选择：C
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【变式8-3】（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校八年级期中）若关于x的不等式组2x+3≥11x−a<0恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．5＜a＜6B．5＜a≤6C．5≤a＜6D．5≤a≤6
【答案】B
【分析】首先求解不等式组，结合题意，根据不等式的性质分析，即可得到答案.
【详解】2x+3≥11①x−a<0②
不等式①，移项并合并同类项，得：2x≥8
∴x≥4
不等式②，移项得：x∵关于x的不等式组2x+3≥11x−a<0有解
∴4≤x当5＜a≤6时，得x=4或x=5，即不等式组2x+3≥11x−a<0恰有2个整数解
∴5＜a≤6
故选：B.
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式组的性质，从而完成求解.
【考点9 根据不等式的整数解求参数范围】
【例9】（2022·福建·晋江市第一中学八年级期中）若不等式5x−k≤0的正整数解是1、2、3，则k的取值范围是__________．
【答案】15≤k＜20
【分析】首先解关于x的不等式，根据正整数解即可确定k的范围．
【详解】解：由不等式5x-k≤0，得：x≤k5，
∵不等式的正整数解是1、2、3，
∴3≤k5＜4，
解得：15≤k＜20，
故答案为：15≤k＜20．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定k的范围，是解答本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.
【变式9-1】（2022·江苏·如东县实验中学八年级期中）若x=3是关于x的不等式2x−m>4的一个整数解，而x=2不是其整数解，则m的取值范围为______．
【答案】0≤m<2##2＞m≥0
【分析】先解一元一次不等式可得x＞m+42，再根据x＝2不是不等式2x﹣m＞4的整数解，可得m≥0，然后根据x＝3是关于x的不等式2x﹣m＞4的一个整数解，可得m＜2，最后进行计算即可解答．
【详解】解：2x﹣m＞4，
2x＞m+4，
x＞m+42，
∵x＝2不是不等式2x﹣m＞4的整数解，
∴m+42≥2，
∴m≥0，
∵x＝3是关于x的不等式2x﹣m＞4的一个整数解，
∴6﹣m＞4，
∴m＜2，
∴0≤m＜2，
故答案为：0≤m＜2．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式9-2】（2022·河南·南阳市第三中学八年级期中）若实数3是不等式2x−a−2<0的一个解，则a可取的最小正整数为______
【答案】5
【分析】根据实数3是不等式2x﹣a﹣2＜0的一个解，可以求得a的取值范围，从而可以求得a可取的最小正整数．
【详解】解：由不等式2x﹣a﹣2＜0，得x＜a+22，
∵实数3是不等式2x﹣a﹣2＜0的一个解，
∴a+22＞3，得a＞4，
∴a可取的最小正整数为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
【变式9-3】（2022·海南鑫源高级中学八年级期中）已知有关x的方程x+12=1−x−15的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值．
【答案】0
【分析】首先解方程求得x的值，把x的值代入不等式中，得关于a的不等式，解不等式即可求得满足条件的整数a的最小值．
【详解】原方程可化为：5(x+1)=10−2(x−1)，
即7x=7，
解得：x=1，
把x=1代入2x－3a<5中，得2－3a<5，
解不等式得：a>−1，
所以整数a的最小值为0．
【点睛】本题是一元一次方程与一元一次不等式的综合，考查了解一元一次方程及解一元一次不等式、求一元一次不等式的整数解，正确解一元一次方程及一元一次不等式是解题的关键．
【考点10 根据实际问题列不等式（组)】
【例10】（2022·全国·八年级）八年级某班部分学生植树，若每人平均植树8棵，还剩7棵；若每人植树9棵，则有一名学生植树的棵树多于3棵而小于6棵．若设学生人数为x人，则植树棵树为(8x7)人，则下面给出的不等式(组)中，能准确求出学生人数与种植树木数量的是（ ）
A．8x769(x1)B．8x739(x1)
C．8x+7<6+9(x−1)8x+7>3+9(x−1)D．8x+7≤6+9(x−1)8x+7≥3+9(x−1)
【答案】C
【分析】由于设学生人数为x人，则植树棵树为（8x+7）人，若每人植树9棵，则有一名学生植树的棵树多于3棵而＜6棵，那么可以得到8x+7＜6+9（x-1）和8x+7＞3+9（x-1），由它们组成不等式组即可求出学生人数与种植树木数量．
【详解】∵设学生人数为x人，则植树棵树为（8x+7）人，
而若每人植树9棵，则有一名学生植树的棵树多于3棵而＜6棵，
∴依题意得8x+7<6+9(x−1)8x+7>3+9(x−1).
故选C．
【点睛】考查了不等式组的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出不等式组．弄清如何用x分别表示学生人数与种植树木数量，并且根据题意列出不等式组解决问题．
【变式10-1】（2022·河南·郑州经开区外国语女子中学八年级期末）一次学校智力竞赛中共有20道题，规定答对一题得5分，答错或不答一道题扣2分，得分为75分以上可以获得奖品，小锋在本次竞赛中获得了奖品．假设小锋答对了x题，可根据题意列出不等式( )
A．5x+220−x≥75B．5x+220−x>75
C．5x−220−x>75D．5x−220−x≥75
【答案】D
【分析】设小明答对了x道题，则他答错或不答的共有25−x道题，根据不等关系式得分≥75，列出不等式即可．
【详解】解：设小明答对了x道题，则他答错或不答的共有25−x道题，由题意得：
5x−2×20−x≥75，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的应用，根据题意找出不等关系，是解题的关键．
【变式10-2】（2022·浙江·八年级期中）把一些书分给同学，设每个同学分x本．若____；若分给11个同学，则书有剩余．可列不等式8（x+6）＞11x，则横线的信息可以是（ ）
A．分给8个同学，则剩余6本
B．分给6个同学，则剩余8本
C．如果分给8个同学，则每人可多分6本
D．如果分给6个同学，则每人可多分8本
【答案】C
【分析】根据代数式8（x+6）的意义，结合题意，根据不等式表示的意义解答即可．
【详解】解：设每个同学分x本，8（x+6）的意义为如果分给8个同学，则每人可多分6本，
由不等式8（x+6）＞11x,可得：把一些书分给几名同学，如果分给8个同学，则每人可多分6本；若每人分11本，则有剩余．
故选C．
【点睛】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的不等关系．
【变式10-3】（2022·全国·八年级期中）某企业次定购买A，B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：
经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1380吨，该企业有哪些购买方案呢？这解决这个问题，高购买A型污水处理设备x台，所列不等式组正确的是( )
A．{12x+10(8−x)⩽89200x+160(8−x)⩾1380B．{12x+10(8=x)⩾89200x+160(8−x)⩽1380
C．{12x+10(8−x)⩾89200x+160(8−x)⩾1380D．{12x+10(8−x)⩽89200x+160(8−x)⩽1380
【答案】A
【分析】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8-x）台，根据企业最多支出89万元购买设备，要求月处理污水能力不低于1380吨，列出不等式组，然后找出最合适的方案即可．
【详解】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8-x）台，根据题意，得：
12x+108−x≤89200x+1608−x≥1380 ，
故选A．
【点睛】考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是通过表格获取相关信息，在实际问题中抽象出不等式组．
【考点11 根据两个不等式的解之间的关系求参数】
【例11】（2022·福建·泉州市城东中学八年级期中）若不等式x+22【答案】256≤m≤7
【分析】解不等式x+22−4，据此知x>−4都能使不等式m−7x<2m+3成立，再分m−7=0和m−7>0以及m−7<0分别求解．
【详解】解不等式x+22−4，
∵ x>−4都能使不等式m−7x<2m+3成立，
当m−7=0，即m=7时，则x>−4都能使0⋅x<17恒成立；
当m−7>0时，不等式m−7x<2m+3的解集为x<2m+3m−7，不符合题意，
∴m−7<0，即m<7，
∴不等式m−7x<2m+3的解集为x>2m+3m−7，
∵ x>−4都能使不等式x>2m+3m−7成立，
∴−4≥2m+3m−7，
解得m≥256，
综上，实数m的取值范围是256≤m≤7，
故答案为：256≤m≤7．
【点睛】本题考查了一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤及不等式的基本性质是解题的关键．
【变式11-1】（2022·河北沧州·八年级期末）若不等式2x+5<1的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式4x+1【答案】m≤5
【分析】求出2x+5<1的解集，再求出4x+1【详解】解2x+5<1得：x＜−2，
解4x+1∵2x+5<1解集中的每一个x的值均满足4x+1∴−1+m3≥−2，
解得m≤5．
故答案为：m≤5．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、不等式的性质等知识点，能根据已知得到关于m的不等式是解答本题的关键．
【变式11-2】（2022·内蒙古·包钢第三中学八年级期中）若关于x的不等式x【答案】a≤3
【分析】先求出不等式x−12<1的解，结合不等式x【详解】解：x−12<1，
∴x−1<2，
∴x<3，
∵不等式x∴a≤3．
故答案为：a≤3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键熟练掌握不等式的解法．
【变式11-3】（2022·湖北武汉·八年级期末）若关于x的不等式组x+2m<03x+m<15的解集中的任意x的值，都能使不等式x−3<0成立，则m的取值范围是______．
【答案】m⩾−32
【分析】解两个不等式得出x<−2m且x<15−m3，再分−2m<15−m3、−2m⩾15−m3两种情况，根据解集中的任意x的值，都能使不等式x−3<0成立列出关于m的不等式，解之可得答案．
【详解】解：解不等式x+2m<0，得：x<−2m，
解不等式3x+m<15，得：x<15−m3，
①若−2m<15−m3，即m>−3时，−2m⩽3，
解得m⩾−32，
此时m⩾−32；
②若−2m⩾15−m3，即m⩽−3时，15−m3⩽3，
解得m⩾6，与m⩽−3不符，舍去；
故答案为：m⩾−32．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【考点12 二元一次方程组与不等式组的综合运用】
【例12】（2022·新疆乌鲁木齐·八年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组3x+2y=3k+12x+3y=−k+2，且−1【答案】−4【分析】①＋②得出5x+5y=2k+3，根据不等式的性质和−1【详解】解：3x+2y=3k+1①2x+3y=−k+2②，
①＋②，得5x+5y=2k+3，
∵−1∴−5<5x+5y<0，
∴−5<2k+3<0，
∴−8<2k<−3，
∴−4即k的取值范围是−4故答案为：−4【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，能得出关于k的一元一次不等式组是解此题的关键．
【变式12-1】（2022·江西景德镇·八年级期中）方程组x+y=3x−2y=a−2的解满足0≤2x−y<3，求a的所有非负整数解．
【答案】0，1
【分析】将方程组中的两个式子相加，可得2x−y=a+1，故0≤a+1<3，由此求出a的取值范围，写出a的所有非负整数解．
【详解】解：x+y=3①x−2y=a−2②，
①+②，得2x−y=a+1，
又∵ 0≤2x−y<3，
∴ 0≤a+1<3，
∴−1≤a<2，
∴ a的所有非负整数解为：0，1．
【点睛】本题考查了二元一次方程组与不等式的解，解决本题的关键在于发现并建立方程组与不等式之间的联系．
【变式12-2】（2022·山西临汾·八年级期中）若m是整数,且关于x,y的方程组x+y=2m-2,x-y=5的解满足x≥0,y<0,试确定m的值.
【答案】m=-1,0,1,2,3
【分析】】把m当作已知数，解方程组求出方程组的解（x、y的值）根据已知得出不等式组，求出m的取值范围即可．
【详解】x+y=2m-2①x-y=5②，
①+②，得2x=2m+3，
解得x=2m+32，
把x=2m+32代入②，
解得y=2m−72，
∵x≥0，y<0，
∴2m+32≥0，即m≥-32，2m−72<0，即m<72，
∴解集为-32≤m<72，
∵m是整数，
∴m=-1,0,1,2,3.
【点睛】本题综合考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组的应用，关键是根据题意求出关于m的不等式组．
【变式12-3】（2022·河北·邢台三中八年级期末）对非负实数n“四舍五入”到个位的值记为x，即：当n为非负整数时，如果n−12≤xA．1.5≤a＜2.5B．0.5＜a≤1.5C．1.5＜a≤2.5D．0.5≤a＜1.5
【答案】D
【分析】将〈a〉看作一个字母，通过解不等式组以及不等式组的整数解即可求出a的取值范围．
【详解】解：解不等式组2x+1≥−3x−〈a〉<0，解得：−2≤x由不等式组的整数解恰有3个得：0故0.5≤a＜1.5，故答案选D．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的应用以及新定义，根据题意正确理解的意义是解题的关键．
【考点13 不等式的应用】
【例13】（2022·重庆·巴川初级中学校八年级期末）如图，为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的．如果6只饭碗(注:饭碗的大小形状都一样)摞起来的高度为15cm，9只饭碗摞起来的高度为21cm．
(1)求出一个碗的高度是多少？
(2)李老师家的碗柜每格的高度为36cm，求李老师一摞碗最多只能放多少只？
【答案】(1)5cm；
(2)李老师最多能放16只碗．
【分析】（1）设碗底的高度为xcm，碗身的高度为ycm，可得碗的高度和碗的个数的关系式为高度=个数×碗底高度+碗身高度，根据6只饭碗摞起来的高度为15cm，9只饭碗摞起来的高度为20cm，列方程组即可求解；
（2）根据（1）得出碗底的高度和碗身的高度，再根据碗橱的高度为36cm，列不等式求解．
（1）
解：设碗底的高度为xcm，碗身的高度为ycm，由题意得，
6x+y=159x+y=21 ，
解得：x=2y=3 ，
则一个碗的高度为：2+3=5（cm）．
（2）
设李老师一摞碗能放a只碗，
2a+3≤36，
解得：a≤332，
故李老师一摞碗最多只能放16只碗．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是根据题意找出合适的等量关系，列方程组和不等式求解．
【变式13-1】（2022·四川·泸州市第二十八初级中学校八年级期中）为建设“醉美泸州”，泸州市绿化改造工程正如火如荼进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对蜀泸大道某路段进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元，若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，则至少应购买甲种树苗多少棵？
【答案】240棵
【分析】设购买甲种树苗x棵，则购买一种（400-x）棵，然后根据“购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额”列不等式求解即可．
【详解】解：设购买甲种树苗x棵，则购买一种（400-x）棵，
由题意得：200x≥300（400-x），
解得：x≥240．
答：至少应购买甲种树苗240棵．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，审清题意、找到不等关系、列出一元一次不等式是解答本题的关键．
【变式13-2】（2022·广东·东莞市万江第二中学八年级期中）为了更好地治理水质．保护环境，而治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种设备，A、B的单价分别为a万元/台和b万元/台，月处理污水分别为240吨/月和200吨/月，经调查，买一台A型设备比买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．
(1)求a、b的值；
(2)经预算，市治污公司购买污水处理器的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，若每月处理的污水不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的方案．
【答案】(1)a的值为12，b的值为10
(2)该公司有3种购买方案：①购进10台B型设备；②购进1台A型设备，9台B型设备；③购进2台A型设备，8台B型设备．
(3)购进1台A型设备，9台B型设备最省钱．
【分析】（1）根据“买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设该公司购买x台A型设备，则购买（10-x）台B型设备，根据总价=单价×数量结合购买设备的资金不超过105万元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，结合x为非负整数，即可得出各购买方案；
（3）根据处理污水的总量=单台设备处理污水量×数量结合处理污水量不低于2040吨，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，结合（2）的结论可得出x的值，再求出两种进货方案所需费用，比较后即可得出结论．
（1）
解：依题意，得：a−b=23b−2a=6，
解得：a=12b=10．
答：a的值为12，b的值为10．
（2）
解：设该公司购买x台A型设备，则购买（10-x）台B型设备，
依题意，得：12x+10（10-x）≤105，
解得：x≤212．
∵x为非负整数，
∴x=0，1，2，
∴该公司有3种购买方案：①购进10台B型设备；②购进1台A型设备，9台B型设备；③购进2台A型设备，8台B型设备．
（3）
解：依题意，得：240x+200（10-x）≥2040，
解得：x≥1，
∵x≤212，且x为整数，
∴x=1，2．
当x=1时，购进10台设备的费用为12+10×9=102（万元），
当x=2时，购进10台设备的费用为12×2+10×8=104（万元）．
∵102＜104，
∴购进1台A型设备，9台B型设备最省钱．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式13-3】（2022·福建泉州·八年级期末）第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京圆满闭幕．冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱，某商店购进“冰墩墩”、“雪容融”两款毛绒玩具进行销售，“冰墩墩”“雪容融”两种商品的进价、售价如表：
请列方程（组）、不等式解答下列各题；
(1)2022年2月份，商店用23400元购进这两款毛绒玩具共300个，并且全部售完，问该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了多少钱？
(2)2022年3月份，商店又购进了200个“冰墩墩”和100个“雪容融”，3月中旬受疫情影响，在“冰墩墩”售出34，“雪容融”售出12后，店主决定对剩余的“冰墩墩”每个打a折销售，对剩余的“雪容融”每个降价2a元销售，又全部售完．如果要保证本月销售总额为30000元，求a的值．
(3)2022年4月份，由于受疫情影响，生产厂家减产，限制该商店本月只能采购两款毛绒玩具共200个，商店在不打折、不降价且全部售完的情况下，“冰墩墩”的利润不少于“雪容融”的利润的45，问商店至少要采购多少个“冰墩墩”毛绒玩具？
【答案】(1)该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了7800元；
(2)8
(3)商店至少要采购70个“冰墩墩”毛绒玩具
【分析】（1）设2月份购进“冰墩墩”x个，“雪容融”y个，根据商店用23400元购进这两款毛绒玩具共300个，列出方程求出x、y再根据利润=（售价-进价）×数量求解即可；
（2）分别算出打折前后的销售额，然后相加建立方程求解即可；
（3）设商家要采购m个“冰墩墩”，则采购（200-m）个“雪容融”，根据“冰墩墩”的利润不少于“雪容融”的利润的45，列出不等式求解即可．
(1)
解：设2月份购进“冰墩墩”x个，“雪容融”y个，
由题意得：x+y=30090x+60y=23400，
解得x=180y=120，
∴2月份购进“冰墩墩”180个，“雪容融”120个
120−90×180+80−60×120=7800，
∴该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了7800元，
答：该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了7800元；
(2)
解：由题意得：120×200×34+80×100×12+120×0.1a×200×1−34+80−2a×100×12=30000
解得a=8；
(3)
解：设商家要采购m个“冰墩墩”，则采购（200-m）个“雪容融”，
由题意得：120−90m≥45×80−60200−m，
∴30m≥3200−16m，
解得m≥160023，
又∵m是正整数，
∴m的最小值为70，
∴商店至少要采购70个“冰墩墩”毛绒玩具，
答：商店70要采购多少个“冰墩墩”毛绒玩具．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的式子求解是关键．
【考点14 根据不等式组的解求参数】
【例14】（2022·浙江·金华市第五中学八年级期末）若不等式组x≥ax＜2有解，则a的取值范围是（ ）
A．a＞2B．a＜2C．a≤2D．a≥2
【答案】B
【分析】根据题中不等式组有解，求得解集即可得到结论
【详解】解：∵不等式组x≥ax＜2有解，
∴根据不等式组解集求解原则“大取大小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”可知，当a<2时，不等式组的解集为a≤x<2，
故选：B．
【点睛】本题考查由不等式组解的情况确定参数范围，掌握不等式组求解集的原则“大取大小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”是解决问题的关键．
【变式14-1】（2022·湖北孝感·八年级期末）已知不等式x+a>12x+b<2的解集为−2A．−1B．2021C．1D．−2021
【答案】C
【分析】先解不等式组，再根据简介计算出a、b的值，再计算(a+b)2022的值即可．
【详解】不等式组x+a>1①2x+b<2②，
解不等式①得x>1−a，
解不等式②得x<2−b2，
∴不等式组的解为：1−a∴1−a=−2,2−b2=3，
得a=3,b=−4，
∴a+b=−1，
∴(a+b)2022=(−1)2022=1，
故选：C．
【点睛】本题考查了求不等式组的解集，求代数式的值，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出a、b的值．
【变式14-2】（2022·山东菏泽·八年级期中）若数a使关于x的方程2−a=4x−1的解为正数，且使关于y的不等式组y+23−y2>12y−a≤0的解集为y<−2，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】A
【分析】根据关于x的方程的解为正数即可得出a<6且a≠2，根据不等式组的解集为y<−2，即可得出a≥−2，找出−2≤a<6且a≠2中所有的整数，将其相加即可得出结论．
【详解】解：由方程2−a=4(x−1)的解为x=6−a4，
∵x≠1，
∴6−a4≠1，解得：a≠2；
∵关于x的方程2−a=4(x−1)的解为正数，
∴6−a4>0，解得：a<6
∵{y+23−y2>1①2(y−a)≤0②
解不等式①得：y<−2；
解不等式②得：y≤a；
∵关于y的不等式组{y+23−y2>12(y−a)≤0的解集为y<−2
∴a≥−2；
∴−2≤a<6，且a≠2；
∵a为整数，
∴a=−2、−1、0、1、3、4、5；
∵−2+(−1)+0+1+3+4+5=10，
所以符合条件的所有整数a的和是10．
故选A．
【点睛】本题考查含参的方程以及不等式，熟练掌握解含参的方程和不等式是本题解题关键，注意分析含参的不等式时要考虑端点．
【变式14-3】（2022·广东·深圳市宝安区沙井上南学校八年级期中）如果不等式组−4x+1<−8−xx>m的解集是x＞m，那么m的取值范围是（ ）
A．m≥3B．m≤3C．m＝3D．m＜3
【答案】A
【分析】先求得不等式-4x+1＜-8-x的解，然后再根据不等式组解集判断方法可确定出m的范围．
【详解】−4x+1<−8−x①x>m②
∵不等式①的解集为x＞3，
又∵不等式组−4x+1<−8−xx>m的解集是x＞m．
∴m≥3．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集的应用，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
【考点15 分式方程的解与不等式的综合】
【例15】（2022·江苏淮安·八年级期末）若关于x的分式方程m2x−4=1−x2−x−2的根是正数，则实数m的取值范围是（ ）
A．m>−4，且m≠0B．m<10且，m≠2
C．m<0，且m≠−4D．m<6且，m≠2
【答案】D
【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：方程两边同乘2（x﹣2）得：
m=2（x-1）﹣4（x-2），
解得：x=6−m2．
∵6−m2≠2，
∴m≠2，
由题意得：6−m2＞0，
解得：m＜6，
∴实数m的取值范围是：m＜6且m≠2．
故选：D．
【点睛】此题考查了分式方程的解、一元一次不等式的解法，解题的关键是掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法．
【变式15-1】（2022·重庆铜梁·一模）关于x的不等式组x>m−2−2x+1≥4m−3有解，且使关于x的分式方程1x−2−m−x2−x=2有非负整数解的所有m的值的和是（ ）
A．-1B．2C．-6D．0
【答案】C
【分析】根据不等式组的解集的情况得出关于m的不等式，求得m的解集，再解分式方程得出x，根据x是非负整数得出m所有的m的和．
【详解】解：∵关于x的不等式组x>m−2−2x+1≥4m−3有解，
由−2x+1≥4m−3可得：x≤2−2m
∴m−2<2−2m，
解得m<43，
由1x−2−m−x2−x=2解得x=m+53，
∵分式方程1x−2−m−x2−x=2有非负整数解，
∴x=m+53是非负整数，
∵m<43，
∴m=1，−5，−2，
∴1−5−2=−6，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解和不等式的解集，求得m的取值范围以及解分式方程是解题的关键．
【变式15-2】（2022·重庆南开中学八年级期末）若关于x的方程3−x2−x+ax−2=3有非负整数解，且关于y的不等式组{y−a2⩾−1y+3<3(y−1)的解集为y>3，则所有满足条件的整数a的值之和为（）
A．－1B．4C．5D．7
【答案】B
【分析】先解分式方程，得x=a+32，再根据题意可得a的取值范围，再解不等式组，根据题意可得a−2⩽3，进一步可得a的取值范围，即可求出满足条件的整数a的和．
【详解】解：方程3−x2−x+ax−2=3，
去分母，得−3+x+a=3(x−2)，
解得x=a+32，
∵方程有非负整数解，
∴ a+32⩾0且a+32为不等于2的整数，
解得a⩾−3且a≠1，
解不等式y−a2⩾−1，
得y⩾a−2，
解不等式y+3<3(y−1)，
得y>3，
∵不等式组的解集为y>3，
∴a−2⩽3，
解得a⩽5，
∴−3⩽a⩽5且a≠1，
∵ a+32为整数，
∴a可取值−3，−1，3，5，
−3+(−1)+3+5=4，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集等，解题的关键是熟练掌握解分式方程和不等式组的方法．
【变式15-3】（2022·重庆·西南大学附中八年级期末）若整数a使关于x的分式方程1x−3+x−a3−x=1的解为非负整数，且使关于y的不等式组y+53≤y2y−3>2y−a至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．14B．12C．6D．4
【答案】B
【分析】先解一元一次不等式组，根据不等式组至多有3个整数解，求出a的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可解答．
【详解】解：解不等式y+53⩽y2得：y⩾10，
解不等式y−3>2(y−a)得：y<2a−3，
∵不等式组至多有3个整数解，
∴2a−3⩽13，解得a≤8，
方程1x−3+x−a3−x=1，去分母得1−x+a=x−3，解得：x=a+42，
∵分式方程有非负整数解，
∴x⩾0(x为非负整数）且x≠3，
∴ a+42⩾0且a+42≠3，
∴a⩾−4，取偶数且a≠2，
∴−4⩽a⩽8且a≠2且a为偶数，
∴符合条件的所有整数a的值为：−4，−2，0，4，6，8，
∴符合条件的所有整数a的和是：12，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．
【考点16 不等式组的应用】
【例16】（2022·广东·东莞市沙田瑞风实验学校八年级开学考试）五月初五端午节这天，妈妈让小明去超市买豆沙馅和蛋黄鲜肉馅的粽子．豆沙馅的每个卖2元，蛋黄鲜肉馅的每个卖3元，两种的粽子至少各买一个，买粽子的总钱数不能超过15元．则不同的购买方案的个数为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】D
【分析】设购买豆沙馅的x个，根据“两种的粽子至少各买一个，买粽子的总钱数不能超过15元”可得15−2x3≥1x≥1，解不等式组即可求出购买豆沙馅的可能个数，再结合总钱数不超过15元，蛋黄鲜肉馅的至少买一个，即可得出不同的购买方案．
【详解】解：设购买豆沙馅的x个，
根据题意列出不等式组：15−2x3≥1x≥1，
解得：1≤x≤6，
当x=1时，15−2×13=133，即蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个、4个；
同理，当x=2时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个；
当x=3时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个；
当x=4时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个；
当x=5时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个；
当x=6时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个；
因此，有4+3+3+2+1+1=14（种）不同的购买方案，
故选D．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．
【变式16-1】（2022·安徽·郎溪实验一模）某商场计划拨款9万元从厂家购买50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机的出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元，商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售乙种电视机每台可获利200元，销售丙种电视机每台可获利250元．
(1)若同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
(2)经市场调查这三种型号的电视机是最受欢迎的，且销售量乙种是丙种的3倍．商场要求成本不能超过计划拨款数额，利润不能少于8500元的前提，购进这三种型号的电视机共50台，请你设计这三种不同型号的电视机各进多少台？
【答案】(1)进货方案有两种：①购进甲型号电视机25台，乙型号电视机25台；②购进甲型号电视机35台，丙型号电视机15台
(2)购进方案有两种：①购进丙型号电视机4台，则购进乙型号电视机12台，购进甲型号电视机34台，②购进丙型号电视机5台，则购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30台
【分析】（1）根据题意得出：两个等量关系：两种不同型号电视机共50台，花费90000元，分情况讨论：①购进甲型号电视机和乙型号电视机②设购进丙型号电视机和乙型号电视机③设购进甲型号电视机和丙型号电视机，分别求出结果．
（2）根据题意设出未知数，设购进丙型号电视机s台，则购进乙型号电视机3s台，购进甲型号电视机（50﹣4s）台，再找出题目中列不等式的关键词：①成本不能超过计划拨款数额，②利润不能少于8500元，解不等式组可得答案．
(1)
解：①设购进甲型号电视机x台，乙型号电视机y台，由题意得：
x+y=501500x+2100y=90000，
解得：x=25y=25，
②设购进丙型号电视机m台，乙型号电视机n台，由题意得：m+n=502500m+2100n=90000，
解得：m，n不是整数，所以舍去，不合题意．
③设购进甲型号电视机a台，丙型号电视机b台，由题意得：a+b=501500a+2500b=90000，
解得：a=35b=15，
∴进货方案有两种：
①购进甲型号电视机25台，乙型号电视机25台，
②购进甲型号电视机35台，丙型号电视机15台，
(2)
解：设购进丙型号电视机s台，则购进乙型号电视机3s台，购进甲型号电视机（50﹣4s）台，由题意得：
2500s+2100⋅3s+50−4s⋅1500≤90000250s+200⋅3s+15050−4s≥8500，
解得：4≤s≤5514，
∵s为整数，
∴s＝4或5，
当s＝4时：购进乙型号电视机12台，购进甲型号电视机34台，
s＝5时：购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30台，
答：购进方案有两种：①购进丙型号电视机4台，则购进乙型号电视机12台，购进甲型号电视机34台，
②购进丙型号电视机5台，则购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30台．
【点睛】本题考查二元一次方程的实际应用，不等式组的实际应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系列出方程组，以及根据题意列出不等式组．
【变式16-2】（2022·浙江台州·八年级期末）有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上2个小桶可以盛酒17斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒8斛．
(1)1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？
(2)现有大桶和小桶共23个，且大桶的个数小于小桶个数的2倍．如果这些桶能装下50斛的酒，求所有满足条件的大桶和小桶的个数？
【答案】(1)1个大桶可以盛酒3斛，1个小桶可以盛酒1斛；
(2)需要大桶14个小桶9个或大桶15个小桶8个．
【分析】（1）设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，根据“5个大桶加上2个小桶可以盛酒17斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒8斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组求解即可；
（2） 设需要m个大桶，（23-m）个小桶，列出不等式组求解即可．
（1）
设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶以盛酒y斛，
5x+2y=17x+5y=8，
解得x=3y=1．
答：1个大桶可以盛酒3斛，1个小桶可以盛酒1斛；
（2）
设需要m个大桶，（23-m）个小桶，则
0解得：272≤m<463，
当m=14时，23-m=23-14=9；
当m=15时，23-m=23-15=8；
答：需要大桶14个小桶9个或大桶15个小桶8个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，正确得出等量关系和不等式关系是解题关键．
【变式16-3】（2022·河南·信阳文华寄宿学校八年级期末）去年7月底，我省郑州市发生百年一遇的洪水，全国各地各行各业发起了献爱心捐赠活动，某果农为郑州捐献了一批水果和蔬菜共400箱，其中水果比蔬菜多80箱．
(1)求水果和蔬菜各多少箱?
(2)现计划租用甲乙两种货车共10辆，一次性将这批物资全部送往郑州．已知每辆甲种货车可满载40箱水果和10箱蔬菜，每辆乙种货车可满载水果和蔬菜各20箱，则运输部门安排甲乙两种货车有哪几种方案？请写出设计方案．
(3)在（2）的条件下，若甲种货车每辆需付运费1000元，乙种货车每辆需付运费700元选择哪种运输方案运费最少?最少运费是多少?（通过计算具体数据说明结论）
【答案】(1)水果240箱，蔬菜160箱
(2)方案一：租用甲种货车2辆，则租用乙种货车8辆
方案二：租用甲种货车3辆，则租用乙种货车7辆
方案三：租用甲种货车2辆，则租用乙种货车8辆
(3)方案一；7600元
【分析】（1）设水果有x箱，蔬菜有y箱，根据“某果农为郑州捐献了一批水果和蔬菜共400箱，其中水果比蔬菜多80箱”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用甲种货车a辆，则租用乙种货车(10−a)辆，根据要一次性将这批物资全部送往郑州，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出各运输方案；
（3）根据总运费=每辆车的运费×租车辆数，分别求出三种运输方案所需费用，比较后即可得出结论．
（1）
设水果x箱，蔬菜y箱，依题意，得
{x+y=400x−y=80
解得{x=240y=16
答：水果240箱，蔬菜160箱．
（2）
设租用甲种货车a辆，则租用乙种货车(10−a)辆，依题意，得
{40a+20(10−a)≥24010a+20(10−a)≥160
解得2≤a≤4
∵a为整数
∴a=2,3,4
方案一：租用甲种货车2辆，则租用乙种货车8辆
方案二：租用甲种货车3辆，则租用乙种货车7辆
方案三：租用甲种货车4辆，则租用乙种货车6辆
（3）
方案一所需费用为：1000×2+700×8=7600（元）
方案二所需费用为：1000×3+700×7=7900（元）
方案三所需费用为：1000×4+700×6=8200（元）
答：选择方案一即租用甲种货车2辆，则租用乙种货车8辆时费用最少，最少为7600元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式组，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用总运费=每辆车的运费×租车辆数，分别求出三种运输方案所需费用．
A型
B型
价格（万无/台）
12
10
月污水处理能力（吨/月）
200
160
“冰墩墩”
“雪容融”
进价（元/个）
90
60
售价（元/个）
120
80