专题01 二次函数y=ax2、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k的图象和性质-2023-2024学年苏科版九年级数学下册常考压轴题

这是一份专题01 二次函数y=ax2、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k的图象和性质-2023-2024学年苏科版九年级数学下册常考压轴题，共30页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc13505" 【典型例题】 PAGEREF _Tc13505 \h 1
\l "_Tc2473" 【考点一利用二次函数的定义求参数】 PAGEREF _Tc2473 \h 1
\l "_Tc26185" 【考点二二次函数中各项的系数】 PAGEREF _Tc26185 \h 1
\l "_Tc14481" 【考点三已知二次函数上一点，求字母或式子的值】 PAGEREF _Tc14481 \h 2
\l "_Tc23224" 【考点四列二次函数的关系式】 PAGEREF _Tc23224 \h 2
\l "_Tc29941" 【考点五二次函数y=ax2的图象和性质】 PAGEREF _Tc29941 \h 3
\l "_Tc278" 【考点六二次函数y=ax2+k的图象和性质】 PAGEREF _Tc278 \h 4
\l "_Tc30039" 【考点七二次函数y=a（x-h）2的图象和性质】 PAGEREF _Tc30039 \h 4
\l "_Tc4882" 【考点八二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质】 PAGEREF _Tc4882 \h 5
\l "_Tc15643" 【过关检测】 PAGEREF _Tc15643 \h 6
【典型例题】
【考点一利用二次函数的定义求参数】
例题：（2023·全国·九年级假期作业）若函数是二次函数，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）已知是y关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．0B．1C．4D．0或4
2．（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习）是二次函数，则m的值是（ ）
A．B．C．D．
【考点二二次函数中各项的系数】
例题：（2023·全国·九年级假期作业）二次函数的二次项系数是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）二次函数的二次项系数与一次项系数的和为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·九年级假期作业）二次函数的二次项系数是________．
【考点三已知二次函数上一点，求字母或式子的值】
例题：（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）若抛物线经过点，则a的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式训练】
1．（2022秋·天津西青·九年级校考阶段练习）抛物线过点（2，4），则代数式的值为（ ）
A．14B．2C．－2D．－14
2．（2022秋·山东泰安·九年级统考阶段练习）若抛物线经过点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【考点四列二次函数的关系式】
例题：（2023春·河北保定·八年级统考期中）用长为的绳子围成一个长方形，设长方形的面积为y，一边长为，用含有x的代数式表示y为_________，自变量x的取值范围是________．
【变式训练】
1．（2022秋·九年级单元测试）一台机器原价为万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与之间的函数关系式为_________________．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．
（1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式．
【考点五二次函数y=ax2的图象和性质】
例题：（2023秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．图象关于直线对称B．抛物线开口向下
C．随着的增大而减小D．图象的顶点为原点
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级假期作业）在同一坐标系中，作、、的图象，它们共同特点是（ ）
A．都是关于轴对称，抛物线开口向上B．都是关于轴对称，抛物线开口向下
C．都是关于原点对称，顶点都是原点D．都是关于轴对称，顶点都是原点
2．（2023·浙江·九年级假期作业）抛物线的对称轴是_______,顶点坐标为 ______．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数的图象经过点．求：
（1）该函数解析式及对称轴；
（2）试判断点是否在此函数的图象上．
4．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数，解答下列问题：
（1）根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）．
（2）判断点是否在这个函数图象上，说明理由．
（3）求当时对应的函数图象上的点的坐标．
【考点六二次函数y=ax2+k的图象和性质】
例题：（2023·浙江·九年级假期作业）关于二次函数的图像，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．对称轴为直线
C．顶点坐标为
D．当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）已知：二次函数y＝x2﹣1．
（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）画出它的图象．
2．（2022春·九年级课时练习）在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：
，，．
（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．
【考点七二次函数y=a（x-h）2的图象和性质】
例题：（2023·浙江·九年级假期作业）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上B．对称轴是直线
C．当时，随的增大而减小D．顶点坐标为
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上B．对称轴是直线
C．当时，随x的增大而减小D．顶点坐标为
2．（2023·全国·九年级假期作业）二次函数的图象不经过第________象限．
3．（2023·全国·九年级假期作业）已知函数，和．
（1）在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
（2）分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
（3）试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象；
（4）分别说出各个函数的性质．
【考点八二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质】
例题：（2023·浙江·九年级假期作业）对于的性质，下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为B．对称轴为直线
C．当时，有最大值D．当时，随增大而减小
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴是直线
B．图象与x轴没有交点
C．当时，y取得最小值，且最小值为6
D．当时，y的值随x值的增大而减小
2．（2023春·北京东城·九年级北京市第一六六中学校考开学考试）关于二次函数，下列说法正确的是_______．（写序号）
①最大值为；②对称轴为直线；③最大值为；④最小值为．
3．（2023秋·湖北恩施·九年级校考阶段练习）已知函数．
（1）函数图象的开口方向是____________，对称轴是____________，顶点坐标为____________．
（2）当x____________时，y随x的增大而减小．
（3）怎样移动抛物线就可以得到抛物线
【过关检测】
一、选择题
1．（2022春·全国·九年级专题练习）函数的一次项系数是（ ）
A．B．1C．3D．6
2．（2023·浙江·九年级假期作业）下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．半圆面积S与半径R之间的关系
3．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）抛物线上有三个点，，，那么、、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·江苏镇江·统考二模）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数有最大值，最大值是2
D．当时，y随x的增大而增大
5．（2022秋·九年级单元测试）对于关于x的函数，下列说法错误的是（ ）
A．当时，该函数为正比例函数
B．当时，该函数为一次函数
C．当该函数为二次函数时，或
D．当该函数为二次函数时，
二、填空题
6．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）二次函数中，当时，y的值是________．
7．（2022春·全国·九年级专题练习）把y＝（2－3x）（6＋x）变成y＝ax²＋bx＋c的形式，二次项为____，一次项系数为______，常数项为______．
8．（2023秋·重庆綦江·九年级统考期末）抛物线的顶点坐标是_______，对称轴是直线_____________．
9．（2023秋·河南洛阳·九年级统考期末）已知函数是关于的二次函数，则一次函数的图像不经过第_______象限．
10．（2023·浙江·九年级假期作业）二次函数图象的顶点所在的图象对应的函数表达式为___________________．
三、解答题
11．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数y= -（x-1）2
（1）画出这个函数的图象；
（2）由图象可知，当x______时，y随x增大而减小，当x=______，y有最___值为______．
12．（2023·浙江·九年级假期作业）若．
（1）m取什么值时，此函数是二次函数？
（2）m取什么值时，此函数是一次函数？
13．（2023·浙江·九年级假期作业）已知函数．
（1）指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当取何值时该函数有最值，并求出最值．
（3）当取何值时，随的增大而减小．
14．（2022秋·浙江·九年级期末）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元．
（1）降价后平均每天可以销售荔枝千克（用含x的代数式表示）．
（2）设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式．
（3）该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？
15．（2023·浙江·九年级假期作业）把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象
（1）求a，h，k的值；
（2）指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）当时，求函数y的取值范围．
16．（2023·浙江·九年级假期作业）已知函数是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件m的值．
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x为何值时y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x为何值时，y随x的增大而减小。
参考答案
【考点一利用二次函数的定义求参数】
例题：（2023·全国·九年级假期作业）若函数是二次函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义，即可求解．
【详解】解：根据题意得，解得，故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）已知是y关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．0B．1C．4D．0或4
【答案】C
【分析】利用二次函数定义可得：，且，再解即可．
【详解】由题意得：，且，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．
2．（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习）是二次函数，则m的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义即可求解．
【详解】解：是二次函数，
∴，，
解得，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数的定义条件是：a、b、c为常数，，自变量最高次数为2．
【考点二二次函数中各项的系数】
例题：（2023·全国·九年级假期作业）二次函数的二次项系数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项”作答即可．
【详解】解：二次函数的二次项系数是．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）二次函数的二次项系数与一次项系数的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将函数解析式化简，得到各系数，计算即可．
【详解】解：，
∴二次项系数是2，一次项系数是，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数定义，正确理解二次函数的各项的系数是解题的关键．
2．（2022·全国·九年级假期作业）二次函数的二次项系数是________．
【答案】2
【分析】首先把二次函数化为一般形式，再进一步求得二次项系数．
【详解】解：y=2x（x-1）
=2x2-2x．
所以二次项系数2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
【考点三已知二次函数上一点，求字母或式子的值】
例题：（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）若抛物线经过点，则a的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】将点P代入函数表达式中，解方程可得a值．
【详解】解：将代入中，得：
，
解得：，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点，熟知二次函数图像上的点的坐标满足函数表达式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·天津西青·九年级校考阶段练习）抛物线过点（2，4），则代数式的值为（ ）
A．14B．2C．－2D．－14
【答案】A
【分析】将点（2，4）的坐标代入抛物线y=ax2+bx-3关系式，再整体扩大2倍，即可求出代数式的值．
【详解】解：将点（2，4）代入抛物线y=ax2+bx-3得
4a+2b-3=4，
整理得8a+4b=14.
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉整体思想是解题的关键．
2．（2022秋·山东泰安·九年级统考阶段练习）若抛物线经过点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先把点代入解析式，得到，然后化简，整体代入即可得到答案.
【详解】解：把点代入，
得：，
∵
；
故选择：B.
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是灵活运用整体代入法解题.
【考点四列二次函数的关系式】
例题：（2023春·河北保定·八年级统考期中）用长为的绳子围成一个长方形，设长方形的面积为y，一边长为，用含有x的代数式表示y为______，自变量x的取值范围是_____．
【答案】
【分析】先求出另一边长，再根据长方形的面积公式即可得出y与x的关系式．
【详解】解：①由题意可知，这个长方形的周长为
又因为一边长为，
所以另一边长为
又∵长方形面积长宽，
，
所以．
②∵，
∴
∴自变量x的取值范围是．
故答案为：①；②．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，准确分析列式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·九年级单元测试）一台机器原价为万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与之间的函数关系式为_____．
【答案】
【分析】根据题意列出函数解析式即可．
【详解】解：∵一台机器原价为万元，每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，
∴与之间的函数关系式为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．
（1）求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式．
【答案】（1）（）；
（2）（）
【分析】（1）根据与写成一次函数解析式，设为，把与的两对值代入求出与的值，即可确定出与的解析式，并求出的范围即可；
（2）根据利润=单价销售量列出关于的二次函数解析式即可．
【详解】（1）设与的函数关系式为
．
时，，
时，，
，
解得，
，
根据部门规定，得．
（2）
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
【考点五二次函数y=ax2的图象和性质】
例题：（2023秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．图象关于直线对称B．抛物线开口向下
C．随着的增大而减小D．图象的顶点为原点
【答案】C
【分析】由抛物线解析式可得到开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标，可求得答案．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为轴，顶点坐标是，
∴、、选项说法正确，
∵，对称轴为，
∴当时，随的增大而减小，
∴选项说法错误，
故选：．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级假期作业）在同一坐标系中，作、、的图象，它们共同特点是（ ）
A．都是关于轴对称，抛物线开口向上B．都是关于轴对称，抛物线开口向下
C．都是关于原点对称，顶点都是原点D．都是关于轴对称，顶点都是原点
【答案】D
【分析】本题的三个抛物线解析式都符合形式，可以从顶点坐标和对称轴找相同点．
【详解】解：因为、、都符合形式，
形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点，
所以它们的共同特点是：关于y轴对称，抛物线的顶点在原点．
故选D．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象，熟练掌握形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点是解题关键．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）抛物线的对称轴是_______,顶点坐标为 ______．
【答案】y轴;（0,-3）
【分析】根据二次函数的图象与性质，即可求解．
【详解】解：抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标为（0,-3）
故答案为：y轴,（0,-3）．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握和运用二次函数的图象与性质是解决本题的关键．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数的图象经过点．求：
（1）该函数解析式及对称轴；
（2）试判断点是否在此函数的图象上．
【答案】（1），对称轴为y轴
（2）点不在此函数的图象上
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再求出对称轴即可；
（2）求出当，y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
∴二次函数对称轴为y轴；
（2）解：在中，当时，，
∴点不在此函数的图象上．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
4．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数，解答下列问题：
（1）根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）．
（2）判断点是否在这个函数图象上，说明理由．
（3）求当时对应的函数图象上的点的坐标．
【答案】（1）见解析；
（2）点不在这个函数图像上；
（3）和．
【分析】（1）根据对称性可直接画出图象；
（2）代入横坐标或纵坐标都可判断；
（3）代入即可求出坐标．
【详解】（1）如图所示，
（2）当时，
，
∴点不在这个函数图象上；
（3）当时，
，
∴，
∴时，对应的函数图象上的点的坐标为：和．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题关键是运用好数形结合的思想．
【考点六二次函数y=ax2+k的图象和性质】
例题：（2023·浙江·九年级假期作业）关于二次函数的图像，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．对称轴为直线
C．顶点坐标为
D．当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质依次判断．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∴A，B，C正确，D错误，
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）已知：二次函数y＝x2﹣1．
（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）画出它的图象．
【答案】（1）抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣1）．
（2）图像见解析．
【分析】（1）根据二次函数y=a（x-h）2+k，当a>0时开口向上；顶点式可直接求得其顶点坐标为（h，k）及对称轴x=h；
（2）可分别求得抛物线顶点坐标以及抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象．
【详解】（1）解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1，
∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴；
（2）解：在y＝x2﹣1中，令y＝0可得x2﹣1=0．
解得x＝﹣1或1，所以抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）和（1，0）；
令x＝0可得y＝﹣1，所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，-1）；
又∵顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴，
再求出关于对称轴对称的两个点，
将上述点列表如下：
描点可画出其图象如图所示：
【点睛】本题考查了二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标．以及二次函数抛物线的画法．解题的关键是把二次函数的一般式化为顶点式．描点画图的时候找到关键的几个点，如：与x轴的交点与y轴的交点以及顶点的坐标．
2．（2022春·九年级课时练习）在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：
，，．
（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．
【答案】（1）抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．（2）开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）．
【分析】（1）首先利用取值、描点、连线的方法作出三个函数的图象，根据二次函数图象，可得二次函数的开口方向，对称抽，顶点坐标，通过观察归纳它们之间的关系．
（2）由（1）的规律可得抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．
【详解】解：（1）列表：
描点、连线，可得抛物线．
将的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到与的图象（如图所示）．
抛物线，与开口都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．
（2）抛物线的开口向上，对称轴是y轴（或直线），顶点坐标为（0，c）．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象，发现图象的变化规律是解答此题的关键．
【考点七二次函数y=a（x-h）2的图象和性质】
例题：（2023·浙江·九年级假期作业）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上B．对称轴是直线
C．当时，随的增大而减小D．顶点坐标为
【答案】D
【分析】根据二次函数解析式可得，该二次函数的图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，在对称轴的左侧，随的增大而增大，
【详解】对于二次函数，，则开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，
故A，B选项错误，D选项正确，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∴当时，随的增大先增大后减小，故C选项错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上B．对称轴是直线
C．当时，随x的增大而减小D．顶点坐标为
【答案】D
【分析】根据二次函数解析式可直接得出该二次函数图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，从而可判断A，B，D；再由该二次函数图象开口向下，对称轴是直线，得出当时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而增大减小，可判断C．
【详解】∵，
∴该二次函数图象开口向下，故A错误，不符合题意；
由二次函数解析式可直接得出其对称轴是直线，故B错误，不符合题意；
∵该二次函数图象开口向下，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而增大减小，故C错误，不符合题意；
由二次函数解析式可直接得出其顶点坐标为，故D正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．掌握二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，当时，图象开口向上，当时，图象开口向下是解题关键．
2．（2023·全国·九年级假期作业）二次函数的图象不经过第________象限．
【答案】三、四
【分析】先求出顶点坐标，再根据开口方向判断不经过的象限．
【详解】解：∵二次函数顶点，开口向上，
∴图象不经过第三、四象限，
故答案为：三、四．
【点睛】本题考查二次函数的性质，数形结合掌握二次函数的性质是解题关键．
3．（2023·全国·九年级假期作业）已知函数，和．
（1）在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
（2）分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
（3）试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数的图象得到函数和函数的图象；
（4）分别说出各个函数的性质．
【答案】（1）见解析
（2）见解析
（3）由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位；
（4）见解析
【分析】（1）根据“五点法”可画函数图象；
（2）根据二次函数的性质可进行求解；
（3）根据二次函数的平移可进行求解；
（4）根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，
开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
开口向上，对称轴为，顶点坐标为；
（3）解：由抛物线向左平移1个单位，由抛物线向右平移1个单位；
（4）解：当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大，
当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大，
当时y随着x的增大而减小，当时y随着x的增大而增大．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【考点八二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质】
例题：（2023·浙江·九年级假期作业）对于的性质，下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为B．对称轴为直线
C．当时，有最大值D．当时，随增大而减小
【答案】B
【分析】对于，其顶点坐标为，对称轴为，当时，随的增大而增大，根据性质逐一分析即可．
【详解】解：抛物线，
所以抛物线的顶点坐标为：，对称轴为：，
，图象开口向上，当时，有最小值为，
当时，随的增大而增大，
故A，C，D不符合题意；B符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是抛物线的性质，结合抛物线的图象掌握抛物线的性质是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴是直线B．图象与x轴没有交点
C．当时，y取得最小值，且最小值为6D．当时，y的值随x值的增大而减小
【答案】D
【分析】对于二次函数（a，h，k为常数，），当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是，对称轴为直线．根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵抛物线，
∴该抛物线的图象开口向下，对称轴是直线，故选项A错误，不符合题意；
∵顶点坐标为，
∴当时，函数取得最大值，故选项C错误，不符合题意；
又∵抛物线的图象开口向下，
∴图象与x轴有2个交点，
故选项B错误，不符合题意；
当时，y随x的增大而减小，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
2．（2023春·北京东城·九年级北京市第一六六中学校考开学考试）关于二次函数，下列说法正确的是_______．（写序号）
①最大值为；②对称轴为直线；③最大值为；④最小值为．
【答案】②④/④②
【分析】通过二次函数的图象及其性质：开口方向，对称轴，最值问题即可解决．
【详解】由，
∵；
∴二次函数开口方向向上，有最小值，故④正确；
由二次函数可知，顶点坐标为，
∴对称轴为直线，故②正确；
故答案为：②④．
【点睛】本题考查二次函数的图象及其性质，二次函数的最值，解此题的关键是明确二次函数的性质，会求函数的最值．
3．（2023秋·湖北恩施·九年级校考阶段练习）已知函数．
（1）函数图象的开口方向是____________，对称轴是____________，顶点坐标为____________．
（2）当x____________时，y随x的增大而减小．
（3）怎样移动抛物线就可以得到抛物线
【答案】（1）向下，直线
（2）
（3）把抛物线向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度可得函数.
【分析】（1）根据确定函数的开口方向，结合顶点式确定函数的对称轴，顶点坐标，可得答案；
（2）结合开口方向与函数图象，可得对称轴的右侧的函数图象满足y随x的增大而减小．可得答案.
（3）根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，从而可得答案.
【详解】（1）解：函数的开口方向是向下，对称轴是直线，顶点坐标为．
（2）解：当x时，y随x的增大而减小．
（3）解：把抛物线向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度可得函数.
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“函数的开口方向，顶点坐标，对称轴方程，函数的增减性，平移的规律”是解本题的关键.
【过关检测】
一、选择题
1．A
【分析】根据二次函数的相关概念即可得.
【详解】解：函数的一次项系数是；
故选：A.
【点睛】本题考查了二次函数的基本概念，属于应知应会题型，熟知二次函数的基本知识是关键.
2．D
【分析】根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．
【详解】解：A、关系式为：y=kx+b，是一次函数，不符合题意；
B、关系式为：，是反比例函数，不符合题意；
C、关系式为：，是正比例函数，不符合题意；
D、关系式为：，是二次函数，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
3．D
【分析】先根据抛物线的解析式得到抛物线的对称轴及开口方向，再根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
【详解】解：根据题意得：抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越小，
∵，
∴．
故选：D
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象的增减性是解题的关键．
4．D
【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解．
【详解】解：中，
A．的系数为1，，函数图象开口向上，A错误；
B．函数图象的顶点坐标是，B错误；
C．函数图象开口向上，有最小值为2，C错误；
D．函数图象的对称轴为，时随的增大而减小；时，随的增大而增大，D正确．
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数图象的基本知识和性质，熟练掌握二次函数图象是解题的关键．
5．C
【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的定义判断即可．
【详解】、当时，该函数为正比例函数，故不符合题意；
、当时，，即，该函数为一次函数，故不符合题意；
、当时，该函数为正比例函数，故符合题意；
、当该函数为二次函数时，，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、二次函数的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
二、填空题
6．0
【分析】把代入计算即可．
【详解】解：当时，，故答案为：0．
【点睛】本题考查了求二次函数的值，解题的关键是把代入计算．
7．－16 12
【解析】略
8．/
【分析】根据顶点式直接写出顶点坐标和对称轴即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线．
故答案为：；
【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，对称轴为直线，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
9．二
【分析】先根据二次函数的定义得到，，解得，然后根据一次函数的性质进行判断．
【详解】∵函数是关于的二次函数，
∴且，
解得：，
∴一次函数的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：二
【点睛】本题考查了二次函数的定义以及一次函数的性质，求得是解题的关键．
10．
【分析】先求出抛物线的顶点坐标为，令，，得出，即可求出结果．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为：，
令，，
则，
∴，
∴顶点所在的函数图象的表达式为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练求出抛物线的顶点坐标．
三、解答题
11．（1）函数图象见详解；（2）；1；大；0．
【分析】（1）根据二次函数图象的作法：先找点，然后确定函数图象对称轴，顶点坐标，用光滑的曲线连接即可；
（2）根据作出的函数图象即可得出函数的增减范围，最值点．
【详解】解：（1）根据图象的作法，找出，，三个点坐标，对称轴为，顶点坐标为：，用光滑的曲线连接即可；
（2）根据函数图象可得：当时，y随x增大而减小；
当时，，即当时，y有最大值，最大值为0，
故答案为：；1；大；0．
【点睛】题目主要考查一元二次函数的基本性质及图象的作法，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
12．（1）
（2）或
【分析】（1）根据二次函数的定义得出，进而即可求解；
（2）根据一次函数的定义得出，进而即可求解．
【详解】（1）解：（1）当是二次函数时，
有，
解得，
∴当时，此函数是二次函数；
（2）当是一次函数时，
有，
解得或，
∴或时，此函数是一次函数．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的定义，解一元二次方程，熟练掌握二次函数与一次函数的定义是解题的关键．
13．（1）开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线
（2）当时，函数有最大值
（3）当，随x的增大而减小
【分析】（1）利用二次函数的性质确定出开口方向，顶点坐标以及对称轴即可；
（2）根据开口方向和顶点坐标得出最值；
（3）由对称轴和开口方向得出增减性．
【详解】（1）解：（1）∵，
∴抛物线开口向下，
顶点坐标为，对称轴为直线；
（2）抛物线开口向下，函数有最大值，
∵顶点坐标为，
∴当时，函数有最大值-4；
（3）对称轴，开口向下
∴当，随的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的性质求抛物线的对称轴和顶点坐标，最值，增减性是解题的关键．
14．（1）
（2）
（3）24元/千克
【分析】（1）根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论；
（2）利用利润=（售价-成本）×销售量可得出结论；
（3）令y=480，求出x的值，再根据题意对x的值进行取舍即可．
【详解】（1）根据题意得，降价后平均每天可以销售荔枝：（40+10x）千克，
故答案为：（40+10x）．
（2）根据题意得，
整理得
（3）令，代入函数得，
解方程，得，
因为要尽可能地清空库存，所以舍去取
此时荔枝定价为（元/千克）
答：应将价格定为24元/千克．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，列代数式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
15．（1）；（2）向上，；（3）
【分析】（1）利用逆向思维的方法求解：把二次函数的图象先向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到二次函数的图象，然后利用顶点的平移情况确定原二次函数解析式，然后写出a、h、k的值；
（2）根据二次函数的性质求解；
（3）根据二次函数的函数与增减性，结合端点函数值即可求解．
【详解】解：（1）二次函数的图象的顶点坐标为（−1，3），把点（−1，3）先向右平移3单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为（2，−1），
所以原二次函数的解析式为
所以；
（2）二次函数，即的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，−1）．
（3）∵函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，−1）
∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，
∴当x=2时，y的最小值为-1，
∵x=1时，；x=5时，
∴当时，求函数y的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．
16．（1）2或
（2）当时，抛物线的最低点为，当时，y随x的增大而增大
（3）当时，二次函数的最大值是0，当时，y随x的增大而减小
【分析】（1）根据二次函数的定义可求得m的值；
（2）根据二次函数的性质得当时，抛物线有最低点，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和增减性；
（3）根据二次函数的性质得到当时，抛物线开口向下，函数有最大值，然后根据二次函数的性质确定最大值和增减性．
【详解】（1）解：根据题意得且，
解得，，
所以满足条件的m值为2或．
（2）解：当时，抛物线有最低点，
所以，
此时抛物线解析式为，
所以抛物线的最低点为，当时，y随x的增大而增大．
（3）解：当时，抛物线开口向下，函数有最大值；
此时抛物线解析式为，
所以二次函数的最大值是0，当时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的定义和二次函数的最值，解决本题的关键是要注意二次函数的二次项系数不为零。x
-2
-1
0
1
2
y＝x2﹣1
3
0
-1
0
3
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
2
0
2
…