专题05 难点探究专题：二次函数中求线段最值问题-2023-2024学年苏科版九年级数学下册常考压轴题

这是一份专题05 难点探究专题：二次函数中求线段最值问题-2023-2024学年苏科版九年级数学下册常考压轴题，共41页。

姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc10155" 【典型例题】 PAGEREF _Tc10155 \h 1
\l "_Tc19677" 【考点一 利用二次函数求单线段最值问题】 PAGEREF _Tc19677 \h 1
\l "_Tc966" 【考点二 二次函数中的将军饮马型最值问题】 PAGEREF _Tc966 \h 7
\l "_Tc14840" 【考点三 二次函数中的胡不归最值问题】 PAGEREF _Tc14840 \h 22
【典型例题】
【考点一 利用二次函数求单线段最值问题】
例题：（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知抛物线：，抛物线与关于点中心对称，与相交于A，B两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且轴．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求线段长度的最大值．
【变式训练】
1．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线的顶点为P，过点P分别作x轴，y轴的垂线交于点M，Q，直线交x轴于点N．

(1)若点P在y轴的左侧，且N为中点，求抛物线的解析式；
(2)求线段长的最小值，并求出当的长度最小时点P的坐标；
(3)若P，M，N三点中，任意两点都不重合，且，求m的取值范围．
2．（2023秋·福建龙岩·九年级校考开学考试）如图，已知抛物线图象经过点，且对称轴为直线．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作交AC于E，交于F．
①求C点坐标；
②求证：四边形是矩形；
③连接，线段的长是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【考点二 二次函数中的将军饮马型最值问题】
例题：（2023秋·安徽滁州·九年级校联考期末）已知：二次函数的图象与轴交于，两点，其中点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上．

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值；
(3)若抛物线上有一动点，使三角形的面积为，求点坐标．
【变式训练】
1．（2023秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C，对称轴为直线．

(1)点B的坐标为__________．
(2)求抛物线的解析式．
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点,．与y轴交于点C，，直线交抛物线于点E，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为直线上一点，点N为直线EC上一点，求的最小值；
(3)点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1所示，已知直线与抛物线分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点和点，且抛物线的对称轴为直线．

(1)请分别求出k，m，a，b的值；
(2)如图2，点Q是线段上一点，且，点M是y轴上一个动点，求线段的最小值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在请直接写出P点坐标，不存在请说明理由．
4．（2023春·广东湛江·九年级湛江市第二中学校考阶段练习）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，两点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)连接，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标和的周长的最小值，若不存在，请说明理由．
(3)点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点M的横坐标．
5．（2023·广东佛山·二模）已知抛物线经过点和点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图1，在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，设点是对称轴左侧该抛物线上的一点，点在对称轴上，当为等边三角形时，请直接写出符合条件的直线的函数表达式．
【考点三 二次函数中的胡不归最值问题】
例题：（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线与轴相交于点，与轴分别交于点和点，且，

(1)求抛物线解析式．
(2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由．
(3)抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使的值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
2．（2023·山东济南·统考三模）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的横坐标为，点C的纵坐标为3．

(1)求该抛物线的解析式，并写出其对称轴；
(2)设点P是抛物线对称轴第一象限部分上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点A的对应点为D，若点D恰好落在该抛物线上，求点P的坐标；
(3)如图2，连接，若点是直线上方抛物线上一点，点为轴上一点，当面积最大时，求的最小值．
3．（2023·四川巴中·统考一模）如图1，已知抛物线经过点和点B，且与y轴交于点C，直线经过B点和点C．
(1)求直线和抛物线的解析式．
(2)若点P为直线BC上方的抛物线上一点，过点P作于点E，作轴，交直线BC于点F，当的周长最大时，求点P的坐标．
(3)在第（2）问的条件下，直线CP上有一动点Q，连接BQ，求的最小值．
4．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点和点，与y轴交于点C，顶点为点D．
(1)求二次函数表达式和点D的坐标；
(2)连接、，求外接圆的半径；
(3)点P为x轴上的一个动点，连接，求的最小值；
(4)如图2，点E为对称轴右侧的抛物线上一点，且点E的纵坐标为，动点M从点C出发，沿平行于x轴的直线a向右运动，连接，过点M作的垂线b，记直线b与抛物线对称轴的交点为N，当直线b与直线a重合时运动停止，请直接写出点N的运动总路程．
参考答案
【典型例题】
【考点一 利用二次函数求单线段最值问题】
例题：(1)；(2)8
【分析】（1）先求出抛物线：的顶点坐标为，然后求出点关于对称后的点坐标为，再抛物线的解析式为：；
（2）先求出A、B两点横坐标分别为和，设，其中，则，求出最大值即可．
【详解】（1）解：抛物线：的顶点坐标为，
点关于对称后的点坐标为，
∵抛物线与抛物线关于成中心对称，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：∵抛物线：与：交于A、B，
∴令，
解得：或，
则A、B两点横坐标分别为和，
设，，其中，
则，
∴当时，最大为8．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，中点坐标公式，二次函数的最值，解题的关键是数形结合，利用对称的特征，再根据顶点情况求解析式以及根据二次函数解析式求最大值．
【变式训练】
1．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线的顶点为P，过点P分别作x轴，y轴的垂线交于点M，Q，直线交x轴于点N．

(1)若点P在y轴的左侧，且N为中点，求抛物线的解析式；
(2)求线段长的最小值，并求出当的长度最小时点P的坐标；
(3)若P，M，N三点中，任意两点都不重合，且，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)的最小值为，点P的坐标为；
(3)m的取值范围是或或．
【分析】（1）先求得顶点，再得到，，根据N为中点，列式计算即可求解；
（2）计算得到，推出，得到．利用二次函数的性质即可求解；
（3）确定和时，不合题意；再分时和两种情况讨论，画出图形，数形结合即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为P，
∴，
∵轴，
∴，，
∵N为中点，
∴，
解得，
∵点P在y轴左侧，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由，解得，
所以．
当时，，
所以．
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴．
∵，
∴当时，的值最小，最小值为，
此时点P的坐标为；
（3）解：当时，M，N重合，不合题意；
当时，P，N重合，不合题意；
当时（如图），

，符合题意；
当时（如图），

．
由，
解得，
又∵，
∴当或时，的值大于0，即；
综上可知，m的取值范围是或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，中点公式的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
2．（2023秋·福建龙岩·九年级校考开学考试）如图，已知抛物线图象经过点，且对称轴为直线．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作交AC于E，交于F．
①求C点坐标；
②求证：四边形是矩形；
③连接，线段的长是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①点C坐标为②见解析③存在，的最小值是2
【分析】（1）把点A的坐标和对称轴代入解析式求解即可；
（2）①把点的坐标代入抛物线解析式求解即可；②先求点B的坐标，再证为直角三角形，最后再证四边形是矩形；③利用矩形的对角线相等，求出的最小值即可；
【详解】（1）解：（1）∵的对称轴为直线，
∴，
把点代入，
得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）①解：∵把代入抛物线得：，
解得：，
∵位于第一象限，
∴，
∴，
∴点C坐标为；

②证明：令y=0，则，
解得：
∴，又∵
∴；；；
∴，
∴为直角三角形，，
又∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形；
③存在；
连接，过C点作，垂足为H，

∵四边形是矩形，
∴，
当时，的值最小，
∵，
∴的最小值等于，
∴的最小值是2．
【点睛】本题考查了二次函数与矩形的综合，矩形的判定和性质，勾股定理及逆定理，垂线段的性质，熟练运用这些性质是解题的关键．
【考点二 二次函数中的将军饮马型最值问题】
例题：（2023秋·安徽滁州·九年级校联考期末）已知：二次函数的图象与轴交于，两点，其中点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上．

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值；
(3)若抛物线上有一动点，使三角形的面积为，求点坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)符合题意的点坐标为：或或或．
【分析】（1）将A、D点代入抛物线方程，即可解出b、c的值，抛物线的解析式可得；
（2）点C、D关于抛物线的对称轴对称，连接，点P即为AC与对称轴的交点，的最小值即为AC的长度，用勾股定理即可求得AC的长度；
（3）求得B点坐标，设点坐标，利用三角形面积公式，即可求出m的值，点的坐标即可求得．
【详解】（1）解：因为二次函数的图象经过，，
所以，解得．
所以二次函数解析式为；
（2）解：抛物线对称轴，，，
、关于轴对称，连接与对称轴的交点就是点，

此时最小，
；
（3）解：设点坐标，
令，，解得或，
即B点坐标为，
则，
三角形的面积为，
点到的距离为，
故当点纵坐标为时，，解得：，
符合题意的点坐标为：或；
当点纵坐标为时，，解得：或，
符合题意的点坐标为：或，
综上所述：符合题意的点坐标为：或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、两点之间线段最短、勾股定理、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
【变式训练】
1．（2023秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C，对称轴为直线．

(1)点B的坐标为__________．
(2)求抛物线的解析式．
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)抛物线的解析式
(3)存在，点P坐标为
【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点关于对称轴对称求解即可；
（2）根据对称轴和点A坐标，列出方程组，解之即可；
（3）首先判断出最小时，的周长最小，连接BC交对称轴于点P，可得此时最小，求出直线的解析式，求出与的交点即可．
【详解】（1）解：∵交x轴于点，点B，对称轴为直线，
∴，
即；
（2）由题意知，
解得
∴抛物线的解析式；
（3）∵是定值，
∴最小时，的周长最小，
∵点A，点B关于对称轴对称，
连接交对称轴于点P，此时最小，
由（1）（2）知点，点，
设的解析式为，
得，解得：，
∴所在直线解析式为，
令，则，
∴点P坐标为．

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、待定系数法、最短路径等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题．
2．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点,．与y轴交于点C，，直线交抛物线于点E，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为直线上一点，点N为直线EC上一点，求的最小值；
(3)点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，（1，﹣4）或（7，﹣11）．
【分析】（1）求出C点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；
（2）作C点关于的对称点，过作交于N，交于点M，连接，，当M、N、三点共线时，的值最小，最小值为，求出即可；
（3）分两种情况讨论：①以为矩形的边，如图2，过点C作交抛物线于，过点E作交抛物线于点，过点作交于，过作交于，求出直线的解析式为，可求出直线的解析式为，联立方程组，可求得，由C点向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到点E，可得，同理可得；②当为矩形对角线时，如图3，以EC为直径的圆与抛物线没有交点，此时P点不存在．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将点，，代入，
∴，
解得，
∴；
（2）解：作C点关于的对称点，过作交于N，交于点M，连接，，

∴，
∴，
∴M、N、三点共线时，的值最小，
∵，，
∴为线段的垂直平分线，
∴直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
（3）解：在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形，理由如下：
①以为矩形的边，如图2，过点C作交抛物线于，过点E作交抛物线于点，过点作交于，过作交于，

∵，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线与x轴交点为G，直线与x轴的交点为H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
可求直线的解析式为，
联立方程组，
解得（舍）或，
∴；
∵C点向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到点E，
∴；
同理可得；
②当为矩形对角线时，如图3，以EC为直径的圆与抛物线没有交点，
∴此时P点不存在；
综上所述：Q点坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，利用轴对称求最短距离的方法，矩形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图1所示，已知直线与抛物线分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点和点，且抛物线的对称轴为直线．

(1)请分别求出k，m，a，b的值；
(2)如图2，点Q是线段上一点，且，点M是y轴上一个动点，求线段的最小值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在请直接写出P点坐标，不存在请说明理由．
【答案】(1)，，，；
(2)
(3)或或或．
【分析】（1）待定系数法求k，m，a，b的值；
（2）由求出Q点坐标，再利用将军饮马模型求线段的最小值；
（3）不确定直角三角形的直角顶点，所以分三类讨论，利用勾股定理建立方程求出P点坐标．
【详解】（1）∵直线过点和点，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线过点和点，对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∴，，，；
（2）过点Q作轴，垂足为N，作关于y轴的对称点，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
（3）存在点P，使是直角三角形，P点坐标为或或或．理由如下：
∵抛物线的对称轴为直线，
∴设P点坐标为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，解得，
当时，，解得，
当时，，解得，
∴P点坐标为或或或．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的表达式，将军饮马模型，直角坐标系中的直角三角形问题，渗透了数形结合和分类思想，题型常规，难度不大．
4．（2023春·广东湛江·九年级湛江市第二中学校考阶段练习）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，两点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)连接，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标和的周长的最小值，若不存在，请说明理由．
(3)点M为抛物线上一动点，点N为x轴上一动点，当以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点M的横坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)2或或
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）当三点共线时，的周长有最小值，直线与对称轴的交点为点，又由，可得的周长的最小值为；
（3）设，，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程求出M点的横坐标即可．
【详解】（1）将代入，
∴，
解得，
∴；
（2）抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，理由如下：
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵A、B点关于直线对称，
∴，
∴的周长，
∴当B、C、P三点共线时，的周长有最小值，
当时，，
∴，
∴，
∴的周长的最小值为；
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
∴，
（3）设，
当为平行四边形的对角线时，
∴，
解得（舍）或，
∴；
当为平行四边形的对角线时，
∴，
解得（舍）或，
∴；
当为平行四边形的对角线时，
∴，
解得或，
∴或；
综上所述：M点横坐标为2或或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，平行四边形的性质是解题的关键．
5．（2023·广东佛山·二模）已知抛物线经过点和点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图1，在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，设点是对称轴左侧该抛物线上的一点，点在对称轴上，当为等边三角形时，请直接写出符合条件的直线的函数表达式．
【答案】(1)
(2)，周长最小值为
(3)或
【分析】(1)将点代入即可；
(2)找到A点关于对称轴对称的对称点B，连交对称轴于E点，进而求出此时三角形的周长即可得解；
(3)利用是等边三角形和A，B两点的坐标，确定的外心，利用圆周角定理确定直线与x轴的夹角，进而即可得解．
【详解】（1）将点代入得
解得，
∴抛物线表达式为
（2）如图，连交对称轴与点E，连，
由(1)知，
∴
∴对称轴为：直线
∴令得
∴
∴
设直线的解析式为
∴
解得
∴直线的解析式为
∴当时
∴
∵线段长度不变，根据两点之间线段最短和轴对称的性质，
∴周长最小值
（3）∵，是等边三角形
∴
∵与关于对称轴对称
∴
∴
∴Q点是的外心
∴根据圆周角定理得
设过A,P的直线解析式为
∵
∴
∴
∴
又∵代入解析得
∴当P点在x轴的上方时，解析式为
∴当P点在x轴的下方时，解析式为
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数的性质，勾股定理，圆的性质，等边三角形的性质，最短距离等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【考点三 二次函数中的胡不归最值问题】
例题：（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，的最大值为，
(3)或
【分析】（1）将、、代入抛物线解析式求解即可；
（2）可求直线的解析式为，设（），可求，从而可求，即可求解；
（3）过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，设，可求，，由，可求，进而求出直线的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为；
设（），
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为，
，
．
故的最大值为，．
（3）解：存在，
如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，
∵抛物线的对称轴为直线，
设，
，
，
，
，
，
解得：，
；
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线解析式为，
，且经过，
直线解析式为，
当时，，
；
综上所述：存在，的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键．
【变式训练】
1．(1)
(2)存在，点坐标为或
(3)存在，
【分析】（1）根据点的坐标，可求出点的坐标，运用待定系数法即可求解；
（2）如图所示，过点作交轴于点，交抛物线于点，作关于轴的对称点，作交抛物线于，根据题意分别计算出直线的解析式，根据直线与抛物线由交点，联立方程组求解即可；
（3）如图所示，过点作于，过点作于，交轴于点，根据点的坐标可得是等腰直角三角形，由此可得是等腰直角三角形，可得，当运动到，和重合时，的值最小，最小值是，根据抛物线的特点可得点的坐标，由此可求出的长，根据等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，将，，代入得，
，解得，，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：存在一点，使得，理由如下：
如图所示，过点作交轴于点，交抛物线于点，作关于轴的对称点，作交抛物线于，

∵，
∴，即点是满足题意的点，
∵，，
∴直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，将代入得：，
∴，
∴直线的解析式为：，，
直线与抛物线联立方程组得，
解得，（与重合，舍去）或，
∴，
∵关于轴对称，
∴直线的解析式为：，
∴，，
∴是满足题意的点，
设直线的解析式为：，将代入得：，
∴，
∴直线的解析式为：，
直线与抛物线联立方程组得，
解得，（与重合，舍去）或，
∴，
综上所述，点坐标为或．
（3）解：在轴上存在一个点，使的值最小，理由如下：
如图所示，过点作于，过点作于，交轴于点，

∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵，，则，
∴是等腰直角三角形
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴最小即是最小，
∴当运动到，和重合时，的值最小，最小值是，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，即的最小值为．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法解二次函数解析式，几何图形的变换特点，一次函数与二次函数联立方程组求解，等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．
2．(1)，直线
(2)或
(3)
【分析】（1）将，代入抛物线即可得出抛物线的解析式，利用对称轴的公式可得出对称轴直线解析式；
（2）设对称轴直线交轴于点，作于点，由此得出，设点，可表达点的坐标；再根据点的位置进行分情况讨论；
（3）过点作于点，交于点，根据的面积最大时可得点的坐标，作，过点作于点，过点作于交轴于点，轴于点，由此可得，即的最小值为，再求出的最值即可．
【详解】（1）解：由题意可得，点的坐标为，点的坐标为，
将，代入抛物线，
，解得，
抛物线的解析式为：；
其对称轴为直线，即；
（2）设对称轴直线交轴于点，作于，

由旋转的性质可知：，
，，
，
又，
，
，，
设点，
①当点在轴上方时，有，
则：，
整理得，解得，（舍去）；
②当点在轴下方时，有，
则：，
整理得，解得，（舍去）；
综上所述，点的坐标为或．
（3）令，解得或，
，
直线的解析式：；
如图，过点作于点，交于点，
设点，，
，
，
当时，的面积有最大值，
，．
作，过点作于点，过点作于交轴于点，轴于点，

，，
，
，
的最小值为，
，，
，
，
，，
，
，
，
的最小值为．
【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到待定系数法求二次函数解析式、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、函数图象上点的坐标特征等知识．本题综合性较强，难度较大，准确作出辅助线利用数形结合是解题的关键．
3．(1)，；(2)；(3)
【分析】（1）利用抛物线的解析式求点的坐标，代入一次函数求出一次函数的解析式，再求出点的坐标，最后把的坐标代入抛物线的解析式中即可；
（2）设点P的横坐标为，用的代数式表示点P和点F的坐标，构建是的二次函数，利用二次函数的性质确定最大值，此时的周长也最大，最后求出点P的坐标；
（3）作，利用相似得比例线段，把转化为，再用“二点一线”模型，结合相似三角形求最小值．
【详解】（1）在中
令，，∴
将点代入得：，
∴直线的解析式是，
当时，，∴，∴，
将，代入得
解得：，
∴抛物线的解析式是
（2）∵，，
∴，，
易得，
∴，即，
∴，
∴的周长为：
∴当PF最大时，的周长最大．
设点P的坐标为，则点F的坐标为
∴
∴当时，PF的值最大，的周长最大，此时
（3）过点Q作于点E
∵，，
∴轴
∴，
∴，即，
∴，
∴，
作点B关于直线CP的对称点，连接，此时，，过点作于点，交CP于点，此时，的值最小，即的值最小，最小值为．
∴，∴，
∵，
∴
∴，即
∴，即的最小值为．
【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合，考查了求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，构建二次函数求最值，解题的关键是掌握待定系数法，突破点是构建新的二次函数求最值．
4．(1)，；(2)；(3)；(4)
【分析】（1）把和点代入求出b和c的值，即可得出函数表达式，将其化为顶点式，即可求出点D的坐标；
（2）先求出点C的坐标，再根据两点之间的距离公式，求出，根据勾股定理逆定理，得出，最后根据直角三角形的外心与斜边中点重合，即可求解；
（3）过点P作于点M，作关于x轴的对称线段，
则，点M关于x轴的对称点在，，通过证明，得出，则
当点三点共线时，取最小值，即为的长度，用等面积法求出的长度即可；
（4）连接，先求出点，根据，，可设，，再根据两点之间的距离公式得出，，，，然后根据勾股定理可得：，即可得出n关于m的表达式，将其化为顶点式后可得当时，n随m的增大而减小，当时，n随m的增大而增大，再求出当时，点N经过的路程为，以及当时，点N经过的路程为，即可求解．
【详解】（1）解：把和点代入得：
，解得：，
∴该二次函数的表达式为：，
∵，
∴点D的坐标为；
（2）解：把代入得，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴外接圆半径；
（3）解：过点P作于点M，作关于x轴的对称线段，
则，点M关于x轴的对称点在上，，
，
，
，
，
当点三点共线且时，取最小值，即为的长度，
，
，即的最小值为．
（4）解：连接，
把代入得，
解得：，
∴，
∵，，
∴设，，
∴，，，，
根据勾股定理可得：，
∴，
整理得：，
∴，
∴当时，n随m的增大而减小，当时，n随m的增大而增大，
∵动点M从点C出发，直线b与直线a重合时运动停止，，
∴，
∵当时，，
当时，，
当时，，
∴当时，点N经过的路程为：，
当时，点N经过的路程为：，
∴点N经过的总路程为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式，直角三角形外接圆圆心为斜边中点，胡不归问题的解决方法，以及勾股定理和二次函数图象上点的坐标特征和勾股定理．