专题08 比例性质、平行线分线段成比例、黄金分割-2023-2024学年苏科版九年级数学下册常考压轴题

这是一份专题08 比例性质、平行线分线段成比例、黄金分割-2023-2024学年苏科版九年级数学下册常考压轴题，共40页。

姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc17736" 【典型例题】 PAGEREF _Tc17736 \h 1
\l "_Tc19915" 【考点一比例的性质之等比性质】 PAGEREF _Tc19915 \h 1
\l "_Tc5672" 【考点二由平行判断成比例的线段】 PAGEREF _Tc5672 \h 3
\l "_Tc23503" 【考点三由平行截线求相关线段的长或比值】 PAGEREF _Tc23503 \h 5
\l "_Tc8533" 【考点四构造平行线截线求相关线段的长或比值】 PAGEREF _Tc8533 \h 8
\l "_Tc30023" 【考点五利用黄金分割求线段的长】 PAGEREF _Tc30023 \h 11
\l "_Tc5138" 【考点六与黄金分割有关的证明】 PAGEREF _Tc5138 \h 13
\l "_Tc3896" 【过关检测】 PAGEREF _Tc3896 \h 16
【典型例题】
【考点一比例的性质之等比性质】
例题：（2023·全国·九年级假期作业）若，求m的值．
【变式训练】
1．（2023秋·四川成都·九年级树德中学校考阶段练习）若，则_______．
2．（2023秋·陕西西安·八年级陕西师大附中校考阶段练习）已知，，那么_______．
3．（2022秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）已知，求的值．
【考点二由平行判断成比例的线段】
例题：（2023春·山西临汾·九年级统考开学考试）如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（ ）

A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是（ ）

A．B．C．D．
2．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【考点三由平行截线求相关线段的长或比值】
例题：（2023春·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图，、相交于点，点、分别在、上，，如果，，，，那么_______．
【变式训练】
1．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）如图，已知直线，如果，，那么线段的长是_______．

2．（2023秋·河南周口·九年级统考期末）如图，点分别在的边上，且，过点作，分别交、的平分线于点．若，平分线段，则_______．
【考点四构造平行线截线求相关线段的长或比值】
例题：（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，D为边的中点，点E在线段上，的延长线交边于点F，若，，则线段的长为_______．

【变式训练】
1．（2023·四川成都·一模）如图，点D、E是边上的点，，连接，交点为F，，那么的值是_______．
2．（2021春·辽宁沈阳·八年级东北育才双语学校校考期中）如图，在中，，，与相交于点，则_______.
【考点五利用黄金分割求线段的长】
例题：（2023·全国·九年级假期作业）一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm，则它的宽为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）若线段的长为2cm，点P是线段的黄金分割点，则最短的线段的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·河南郑州·九年级郑州外国语中学校考开学考试）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为4cm，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【考点六与黄金分割有关的证明】
例题：（2023·全国·九年级假期作业）中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线．
(1)求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点；
(2)若，求的面积．（结果保留根号）
【变式训练】
1．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，以长为2的定线段为边作正方形，取的中点P，连接，在的延长线上取点F，使，以AF为边作正方形，点M在上．
(1)求的长；
(2)点M是的黄金分割点吗？为什么？
2．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：黄金分割：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudxus，约前408年一前355年）发现：如图1，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫做线段PB，AB的比例中项），则可得出这一比值等于（0.618…）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图2，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB于点B，且使BD＝AB，连接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是线段AB的黄金分割点．
任务：（1）求证：C是线段AB的黄金分割点．
（2）若BD＝1，则BC的长为_______．【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·广东广州·九年级广东广雅中学校考阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．3D．
2．（2023春·天津和平·九年级校考阶段练习）如图，在中，、、分别是边、、上的点，连接，相交于点，若四边形是平行四边形，则下列说法不正确的是（ ）

A．B．C．D．
3．（2023秋·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，点O，F在直线上，点O，E在直线上，且，若，，，则的值为

A．B．C．D．
4．（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图所示，，是线段的中点，和交于点，已知的面积是，求四边形的面积（ ）．

A．B．C．D．
5．（2023秋·湖南怀化·九年级统考阶段练习）如果一个等腰三角形的顶角为，那么其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第三个黄金三角形；以此类推，第个黄金三角形的腰长是（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
6．（2023秋·广东深圳·九年级南山实验教育麒麟中学校考期末）已知、、满足，、、都不为0，则_______．
7．（2023春·江苏淮安·九年级校联考阶段练习）如图，直线，直线和被直线、、所截，，，，则的长为_______．

8．（2023秋·六年级课前预习）若且，则的值为_______．
9．（2023秋·甘肃兰州·九年级校考期末）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台长为，那么主持人站立的位置离A点较近的距离为_______．（结果保留根号）
10．（2023秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考阶段练习）在矩形中，，的长度不定，且，点E在上，且，点F为的中点，当是等腰三角形时，的长度为_______．
三、解答题
11．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知，且．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
12．（2023秋·河北邢台·九年级统考阶段练习）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．

(1)如果，，，求的长；
(2)如果，，求的长．
13．（2023秋·安徽淮南·九年级统考阶段练习）已知=k，求k2-3k-4的值．
14．（2023秋·全国·九年级专题练习）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近时，越给人一种美感．如图，某女士身高，下半身长与身高的比值是．
(1)求该女士下半身长；
(2)为尽可能达到美的效果，求她应穿的高跟鞋的高度．（结果精确到）
15．（2023秋·四川自贡·九年级四川省荣县中学校校考阶段练习）阅读下面的材料：
如图1，在线段上找一点C，若，则称点C为线段的黄金分割点，这时比值为，人们把称为黄金分割数，长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．

我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在中，的长为2，过点E作，且，连接；以F为圆心，长为半径作弧，交于H；再以O为圆心，长为半径作弧，交于点P．
根据材料回答下列问题：
(1)根据作图，写出图中相等的线段：______________；
(2)求的长；
(3)求证：点P是线段的黄金分割点．
16．（2023秋·江苏无锡·九年级文林中学校考阶段练习）【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容：
【问题原型】如图①，中，点为边上的点，过点作交为边于点，点在边上，直线交于点，交于点．若，，，则_______．
【结论应用】（1）如图②，中，点在的延长线上，直线交于点交于点．
求证：；
（2）如图③，中，，，，若、分别是边、的中点，连接，点是边上任意一点，连接、分别交于点、，则周长的最小值是_______．

我们可以发现，当两条直线与一组平行践相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：．这就是如下的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所傅的对应线段成比例，（简称“平行钱分线段成比例“

参考答案
【典型例题】
【考点一比例的性质之等比性质】
例题：（2023·全国·九年级假期作业）若，求的值．
【答案】6或
【分析】分两种情况：当时，当时，分别求出m的值即可．
【详解】解：当时，
根据比例的等比性可得：
；
当时，可得，
∴．
【点睛】本题主要考查比例的等比性质，但需要注意对式子用等比性时一定要注意根据分母是否为0进行分类讨论．
【变式训练】
1．（2023秋·四川成都·九年级树德中学校考阶段练习）若，则．
【答案】
【分析】根据比例的性质解答即可；
【详解】解：由，可设，即，
把代入，
故答案为：．
【点睛】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答．
2．（2023秋·陕西西安·八年级陕西师大附中校考阶段练习）已知，，那么．
【答案】6
【分析】将已知等式变形为，得到，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：6．
【点睛】此题考查了比例的性质，正确理解题意得到是解题的关键．
3．（2022秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）已知，求的值．
【答案】8或
【分析】观察与发现，后者是通过前者相乘得来，那么只要找出的值解出，因此设通过变换化为那么可能是或对这两种情况分别讨论；
【详解】设
则
即
所以或
当时，则
同理
所以
当时，
所以
故答案为 8 或 -1
【点睛】做好本题的关键是找出a、b、c三个变量间的关系，因而假设做到这步已经成功了一半，因而同学们在解题中一定要仔细观察已知与结论找出其存在或隐含的关系
【考点二由平行判断成比例的线段】
例题：（2023春·山西临汾·九年级统考开学考试）如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例判断各项即可．
【详解】解：A．由，得，故A选项错误；
B．由，得，又由，得，则，故B选项错误，D选项正确；
C．由，得，故C选项错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可．
【详解】解：A．∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，故A正确，不符合题意；
B．∵，
∴，
∵，
∴，故B正确，不符合题意；
C．∵，
∴，故C正确，不符合题意；
D．∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理．
2．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】解：，
，，，；
∴选项A、C、D正确，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练运用平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【考点三由平行截线求相关线段的长或比值】
例题：（2023春·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图，、相交于点，点、分别在、上，，如果，，，，那么．
【答案】10
【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【详解】解：，
，
，，，，
，
，
．
故答案为：10．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式训练】
1．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）如图，已知直线，如果，，那么线段的长是．

【答案】6
【分析】由平行线所截线段对应成比例可知，然后代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查平行线所截线段对应成比例，熟练掌握比例线段的计算是解决本题的关键．
2．（2023秋·河南周口·九年级统考期末）如图，点分别在的边上，且，过点作，分别交、的平分线于点．若，平分线段，则．
【答案】//
【分析】设、交于点，结合可得；由平行线分线段成比例定理可得，即有，再证明，进一步可得，易知，可得，即可获得答案．
【详解】解：如下图，设、交于点，
∵，平分线段，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、平行线的判定、角平分线的定义等知识，熟练运用平行线分线段定理是解题关键．
【考点四构造平行线截线求相关线段的长或比值】
例题：（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，D为边的中点，点E在线段上，的延长线交边于点F，若，，则线段的长为．

【答案】
【分析】过点作于点,由平行线分线段成比例定理得，求得，再结合中点进一步可得，从而得到答案．
【详解】解：如图，过点作于点；
则；
而，，
；
为边的中点，
，
，
故答案为：．

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确构造平行线是解决此题的关键．
【变式训练】
1．（2023·四川成都·一模）如图，点D、E是边上的点，，连接，交点为F，，那么的值是．
【答案】/
【分析】过作，交于，依据平行线分线段成比例定理，即可得到，，进而可得的值．
【详解】解：如图所示，过作，交于，
则，即：，，
，即：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
2．（2021春·辽宁沈阳·八年级东北育才双语学校校考期中）如图，在中，，，与相交于点，则.
【答案】
【分析】先过E作，交于G，再作交于H，由平行线分线段成比例定理的推论，再结合已知条件，可分别求出和的值，相加即可．
【详解】解：作交于，作交于，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例定理．
【考点五利用黄金分割求线段的长】
例题：（2023·全国·九年级假期作业）一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm，则它的宽为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据黄金比例求解即可．
【详解】解：∵一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为，
∴它的宽，
故选：D．
【点睛】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）若线段的长为2cm，点P是线段的黄金分割点，则最短的线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】较长的线段的长为cm，则较短的线段长是．根据黄金分割的定义即可列方程求解．
【详解】解：较长的线段的长为cm，则较短的线段长是．
则，
解得或（舍去）．
较短的线段长是
故选：C．
【点睛】本题考查了黄金分割，与一元二次方程的解法，正确理解黄金分割的定义是关键．
2．（2023春·河南郑州·九年级郑州外国语中学校考开学考试）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为4cm，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据黄金分割的定义可得据此求解即可．
【详解】解：∵P是AB的黄金分割点，，
∴；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键．
【考点六与黄金分割有关的证明】
例题：（2023·全国·九年级假期作业）中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线．
(1)求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点；
(2)若，求的面积．（结果保留根号）
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先由等高的两个三角形面积之比等于底之比，可得，，又因为，等量代换得出，根据黄金分割点的定义即可证明D是的黄金分割点；
（2）由（1）知，那么，，又等高的两个三角形面积之比等于底之比，将代入，即可求出的面积．
【详解】（1）证明：∵，，
又∵，
∴，
∴D是的黄金分割点；
（2）解：由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．也考查了三角形的面积．
【变式训练】
1．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，以长为2的定线段为边作正方形，取的中点P，连接，在的延长线上取点F，使，以AF为边作正方形，点M在上．
(1)求的长；
(2)点M是的黄金分割点吗？为什么？
【答案】(1)的长为，的长为；
(2)点M是的黄金分割点，理由见解析
【分析】（1）要求AM的长，只需求得AF的长，又，
，则；
（2）根据（1）中的数据得：，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．
【详解】（1）在中，，由勾股定理知∶
，
∴，
；
故的长为，的长为；
（2）点M是AD的黄金分割点．
∵，
∴点M是的黄金分割点．
【点睛】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段的长，然后求得线段和之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．
2．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：黄金分割：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudxus，约前408年一前355年）发现：如图1，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫做线段PB，AB的比例中项），则可得出这一比值等于（0.618…）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图2，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB于点B，且使BD＝AB，连接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是线段AB的黄金分割点．
任务：（1）求证：C是线段AB的黄金分割点．
（2）若BD＝1，则BC的长为．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）在直角三角形△ABD中设则，利用勾股定理求出，再求出，即，则，即可得出结论；
（2）若BD＝1，则，把AB代入到即可求出AC，进而可求出BC．
【详解】解：（1）∵BD⊥AB，
∴△ABD是直角三角形，
∵BD＝AB，
∴设则，
∴，
∵DE＝DB，AC＝AE，
∴，
∴
∴，
∴，
故C是线段AB的黄金分割点．
（2）若BD＝1，则，
由（1）知，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查黄金分割、勾股定理等知识，解题关键是正确理解题意，掌握黄金分割的定义．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·广东广州·九年级广东广雅中学校考阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】根据，可以得到，代入即可求解；
【详解】解：∵，
，
故选：B．
【点睛】把两个未知数的问题转化为一个未知数的问题，消元是解决本题的基本思想．
2．（2023春·天津和平·九年级校考阶段练习）如图，在中，、、分别是边、、上的点，连接，相交于点，若四边形是平行四边形，则下列说法不正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质得出，，，根据相似三角形的判定得出，再根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质逐个判断即可．
【详解】解：．四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，故本选项错误；
B．四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，故本选项错误；
C．，，
，故本选项正确；
D．，
，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
3．（2023秋·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，点O，F在直线上，点O，E在直线上，且，若，，，则的值为（ ）．

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解答的关键．
4．（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图所示，，是线段的中点，和交于点，已知的面积是，求四边形的面积（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图，过点作，交于，先证得，再证明，由此得到，根据，求出的面积，即可得到答案．
【详解】如图，过点作，交于，

∵点是的中点，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例，三角形中线的性质，根据线段比的关系求出三角形的面积，题中由中点引出辅助线是解题的关键．
5．（2023秋·湖南怀化·九年级统考阶段练习）如果一个等腰三角形的顶角为，那么其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第三个黄金三角形；以此类推，第个黄金三角形的腰长是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由黄金三角形的定义得，同理是第二个黄金三角形，看作第三个黄金三角形，则，得出规律，即可得出结论．
【详解】，，是第一个黄金三角形，
底边与腰之比等于，
即，
，
同理：是第二个黄金三角形，是第三个黄金三角形，
则，
即第一个黄金三角形的腰长为，
第二个黄金三角形的腰长为第一个黄金三角形的腰长为，
第三个黄金三角形的腰长为，，
第2023个黄金三角形的腰长是，
即，
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金三角形，等腰三角形的性质，规律型等知识；熟练掌握黄金三角形的定义，得出规律是解题的关键．
二、填空题
6．（2023秋·广东深圳·九年级南山实验教育麒麟中学校考期末）已知、、满足，、、都不为0，则．
【答案】/
【分析】设，则，，，代入求解即可．
【详解】解：设，则，，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解答本题的关键．
7．（2023春·江苏淮安·九年级校联考阶段练习）如图，直线，直线和被直线、、所截，，，，则的长为．

【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【详解】解：直线，
，
，，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
8．（2023秋·六年级课前预习）若且，则的值为．
【答案】/0.6
【分析】根据题意可得，再代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
故答案为：
【点睛】本题考查比例的基本性质，能够熟练掌握整体代入思想是解决本题的关键．
9．（2023秋·甘肃兰州·九年级校考期末）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台长为，那么主持人站立的位置离A点较近的距离为．（结果保留根号）
【答案】
【分析】根据黄金分割定义，由黄金分割点的位置离A近，根据黄金分割比列式求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，当黄金分割点C离A近，如图所示：
，
由黄金分割比可知，
设，则，
代入得到，
解得，
经检验，是分式方程的解，
，（舍弃）；
综上所述，主持人站在离A点处最自然得体，
故答案为：．
【点睛】本题考查利用黄金分割解决实际问题，还考查了解分式方程，解一元二次方程，读懂题意，熟练掌握黄金分割比与黄金分割点是解决问题的关键．
10．（2023秋·河南郑州·九年级河南省实验中学校考阶段练习）在矩形中，，的长度不定，且，点E在上，且，点F为的中点，当是等腰三角形时，的长度为．
【答案】4或9/9或4
【分析】分当时，当时，当时三种情况求解即可．
【详解】当时，如图，
∵点F为的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴；
当时，如图，
作于点H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴
∴；
当时，
∵点F为的中点，
∴，
∴，
∴点D与点E重合，
∴，这与矛盾，故不符合题意，舍去．
综上可知，的长度为4或9．
故答案为：4或9．
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形中位线的性质，以及平行线分线段成比例定理，分类讨论是解答本题的关键．
三、解答题
11．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知，且．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)2
(2)10
【分析】（1）利用等比性质，进行计算即可解答；
（2）利用等比性质，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：，且，
，
的值为2；
（2）解：，
，
，
，
，
的值为10．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．
12．（2023秋·河北邢台·九年级统考阶段练习）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．

(1)如果，，，求的长；
(2)如果，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】对于（1），根据平行线分线段成比例的性质得，再代入计算；
对于（2），根据平行线分线段成比例得性质得，再代入计算即可．
【详解】（1）∵，，，，
∴，
即，
解得；
（2）∵，，，
∴，
即，
解得．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，理解定理是解题的关键．即一组平行线被两条直线所截，所得的对应线段成比例．
13．（2023秋·安徽淮南·九年级统考阶段练习）已知=k，求k2-3k-4的值．
【答案】-或6．
【分析】当a+b+c+d≠0时，依据等比性质可得=k，当a+b+c+d=0时，得b+c+d=﹣a，代入即可计算出k的值．
【详解】∵=k，
∴当a+b+c+d≠0时，由等比性质可得，=k，
k==；
当a+b+c+d=0时，b+c+d=﹣a，
∴k==-2；
当k=时，；
当时，．
【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质．
14．（2023秋·全国·九年级专题练习）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近时，越给人一种美感．如图，某女士身高，下半身长与身高的比值是．
(1)求该女士下半身长；
(2)为尽可能达到美的效果，求她应穿的高跟鞋的高度．（结果精确到）
【答案】(1)该女士下半身x为；
(2)她应穿的高跟鞋的高度为．
【分析】（1）列式计算即可求解；
（2）设需要穿的高跟鞋是，列方程求解即可．
【详解】（1）解：；
答：该女士下半身x为；
（2）解：设需要穿的高跟鞋是，则
，
解得：，
答：她应穿的高跟鞋的高度为．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用．明确黄金分割所涉及的线段的比是解题关键．
15．（2023秋·四川自贡·九年级四川省荣县中学校校考阶段练习）阅读下面的材料：
如图1，在线段上找一点C，若，则称点C为线段的黄金分割点，这时比值为，人们把称为黄金分割数，长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．

我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在中，的长为2，过点E作，且，连接；以F为圆心，长为半径作弧，交于H；再以O为圆心，长为半径作弧，交于点P．
根据材料回答下列问题：
(1)根据作图，写出图中相等的线段：________；
(2)求的长；
(3)求证：点P是线段的黄金分割点．
【答案】(1)，
(2)
(3)见解析
【分析】（1）由题意知，，，然后作答即可；
（2）由勾股定理得，根据，计算求解即可；
（3）由，可得，，，则，即，进而结论得证．
【详解】（1）解：由题意知，，，
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴
∵，
∴，
由勾股定理得，
∵
∴，
∴．
（3）证明：∵，
∴，，，
∴，即，
∴点P是线段的黄金分割点．
【点睛】本题考查了画线段，勾股定理，黄金分割．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
16．（2023秋·江苏无锡·九年级文林中学校考阶段练习）【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容：
【问题原型】如图①，中，点为边上的点，过点作交为边于点，点在边上，直线交于点，交于点．若，，，则 ．
【结论应用】（1）如图②，中，点在的延长线上，直线交于点交于点．
求证：；
（2）如图③，中，，，，若、分别是边、的中点，连接，点是边上任意一点，连接、分别交于点、，则周长的最小值是 ．

【答案】（1）2.7；（2）见解析；（3）
【分析】（1），，，，，即可求得；
（2），，，，同理，，即可证明；
（3）过点作以所在直线为对称轴的对称点，交于点，易得，，且、分别是边，的中点，为的中位线，，连接，此时与的交点，此时周长最小，根据勾股定理即可求出进而求出作答．
【详解】解（1）：，
，
又，
，
，
即，
，
故答案为：2.7；
（2）证明：，
，
，，
，
，
同理，
，
；
（3）解：过点作以所在直线为对称轴的对称点，交于点，易得，如图，

，且、分别是边，的中点，
为的中位线，
，
连接，此时与的交点，此时周长最小，
，，
，
，
，
在中，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，中位线，平行线的性质，三角形等综合问题，解题的关键是对将军饮马问题的灵活运用．我们可以发现，当两条直线与一组平行践相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：．这就是如下的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所傅的对应线段成比例，（简称“平行钱分线段成比例“