专题12 难点探究专题：解直角三角形应用与特殊几何图形的综合题-2023-2024学年苏科版九年级数学下册常考压轴题

这是一份专题12 难点探究专题：解直角三角形应用与特殊几何图形的综合题-2023-2024学年苏科版九年级数学下册常考压轴题，共25页。
姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc4961" 【典型例题】 PAGEREF _Tc4961 \h 1
\l "_Tc3059" 【类型一 解直角三角形应用与特殊三角形的综合】 PAGEREF _Tc3059 \h 1
\l "_Tc24905" 【类型二 解直角三角形应用与特殊四边形的综合】 PAGEREF _Tc24905 \h 8
\l "_Tc11480" 【类型三 解直角三角形应用与其他知识的综合】 PAGEREF _Tc11480 \h 14
【典型例题】
【类型一 解直角三角形应用与特殊三角形的综合】
例题：（2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝．常见的屋顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等．如图1的古代建筑屋顶，被称为“悬山顶”，它的侧视图呈轴对称图形，如图2所示，已知屋檐EA=6米，屋顶E到支点C的距离EC=5.4米，墙体高CF=3.5米，屋面坡角∠ECD=28°．（参考数值：）
（1）求房屋内部宽度FG的长；
（2）求点A与屋面FG的距离．
【变式训练】
1．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）露营爱好者在露营时为遮阳和防雨会借助垂直于地面的树干AB搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支撑杆CD，用绳子拉直CE后系在树干AB上的点A处，使得A，C，E在一条直线上，通过调节点A的高度可控制“天幕”的开合，若CE=CF=3米，CD⊥EF于点O
（参考数据：，，）

（1）天晴时打开“天幕”，若∠ACF=150°，求遮阳宽度EF；（结果保留一位小数）
（2）下雨时收拢“天幕”，∠ACF由150°减小到120°，求点O下降的高度．（结果保留一位小数）
2．（2023春·海南海口·九年级海口一中校考期中）油纸伞有着逾千年的历史，被列入国家非物质文化遗产名录；在一次活动中，小文了解了油纸伞文化的内涵，决定进行设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中）：伞柄始终平分，，当时，伞完全打开，此时．
（1） ， ；
（2）求线段的长；（结果保留整根号）
（3）请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：）
3．（2023·河南周口·校联考二模）“工欲善其事，必先利其器”，如图所示的是钓鱼爱好者的神器“晴雨伞”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处（），使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“晴雨伞”的开合，“晴雨伞”，于点，支杆与树干的横向距离．

（1）天晴时打开“晴雨伞”，若，求遮阳宽度．
（2）下雨时收拢“晴雨伞”，使由减少到，求点下降的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）
4．（2023·浙江绍兴·统考三模）图是一款笔记本电脑支架，它便于电脑散热，减轻使用者的颈椎压力．图是支架与电脑底部的接触面以及侧面的抽象图，已知，互相平分于点，，若，．

（1）求的长．
（2）求点到底架的高（结果精确到，参考数据：，，）．
【类型二 解直角三角形应用与特殊四边形的综合】
例题：（2023春·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考阶段练习）某景区草地上竖立着一个如图（1）所示的雕塑，现将其中两个近似大小相同的矩形框架抽象成如图（2）所示的图形，矩形可由矩形绕点旋转得到，点在上，延长交于点．连接．

（1）判断四边形的形状并给予证明；
（2）若点在水平地面上，与水平地面平行，，求点到水平地面的距离．（结果精确到．）参考数据：
【变式训练】
1．（2023春·江西九江·九年级统考期中）图1是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图2，并测得正方形与正方形的面积相等，且，

（1）判断四边形的形状，并说明理由．
（2）求的长．（参考数据：）
2．（2023·山东青岛·统考二模）如图1，一吸管杯放置在水平桌面上，矩形为其横截面，为吸管，其示意图如图所示，，，．将杯子绕点按顺时针方向旋转，使与水平线平行（如图3）．
（1）杯子与水平线的夹角______；
（2）由图2到图3，点A的位置是升高了还是下降了？变化了多少厘米？（结果精确到，参考数据：，，）
3．（2020·江西赣州·统考一模）如图是一个晾衣架的实物图，支架的基本图形是菱形，MN是晾衣架的一个滑槽，点P在滑槽MN上、下移动时，晾衣架可以伸缩，其示意图如图所示，已知每个菱形的边长均为20cm，且．
当点P向下滑至点N处时，测得时
求滑槽MN的长度；
此时点A到直线DP的距离是多少？
当点P向上滑至点M处时，点A在相对于的情况下向左移动的距离是多少？
结果精确到，参考数据
【类型三 解直角三角形应用与其他知识的综合】
例题：（2023秋·山东威海·九年级山东省文登第二中学校联考阶段练习）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．（结果精确到，参考数据：，，，）

（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面l的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．
【变式训练】
1．在日常生活中我们经常使用订书机，如图，是订书机的托板，压柄绕着点B旋转，连接杆的一端点D固定，点E从A向B滑动，在滑动过程中，的长保持不变，已知．

（1）如图1，当，B、E之间的距离为，求连接杆的长度．
（2）现将压柄从图1的位置旋转到与底座垂直，如图2所示，求在此过程中点E滑动的距离．
2．（2023秋·河北石家庄·九年级校联考阶段练习）如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．

（1）当悬臂与桌面平行时，=___________°
（2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少？
（3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：）
3．（2023·江西吉安·校考模拟预测）一抽纸纸筒被安装在竖直墙面上，图1是其侧面示意图，其中，，，纸筒盖可以绕着点旋转，关闭时点与点重合，，，，．

（1）若，求纸筒盖关闭时点运动的路径长；
（2）如图2，当一卷底面直径为的圆柱体纸巾恰好能放入纸筒内时，求纸筒盖要打开的最小角的度数．（参考数据：，，，）
4．（2023·河南南阳·校联考三模）如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆的长为60cm，点D是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的．

（1）如图2，当支撑点E在水平线上时，支撑点E与前轮轴心B之间的距离的长；
（2）如图3，当座板与地面保持平行时，问变形前后两轴心的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．（参考数据：，，）
5．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）某种落地灯如图1所示，为立杆，其高为；为支杆，它可绕点B旋转，其中长为；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．支杆与悬杆之间的夹角为．

（1）如图2，当支杆与地面垂直，且的长为时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；
（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转，同时调节的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，）
6．（2023·江苏镇江·统考中考真题）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．
如图1是俯视图，分别表示门框和门所在位置，M，N分别是上的定点，，的长度固定，的大小可变．
（1）图2是门完全打开时的俯视图，此时，，，求的度数．
（2）图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置．
（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（3）在门开合的过程中，的最大值为______．（参考数据：）
参考答案
【典型例题】
【类型一解直角三角形应用与特殊三角形的综合】
例题：【答案】（1）9.5米；（2）3.2米
【分析】（1）如图，过E作EH⊥CD，交于CD点O，交FG于点H，则EH⊥FG，运用三角函数解直角三角形可得CO≈4.752，然后再根据等腰三角形的性质可得CD=2CO≈9.5，然后再根据矩形的性质即可解答；
（2）如图，过A作AI⊥EH，交EH于点I．再解直角三角形可得EI，EO的长，然后再求得EH，最后根据IH=EH-EI，即可解答．
【详解】（1）解：如图，过E作EH⊥CD，交于CD点O，交FG于点H，则EH⊥FG，
则在中，（米），
∵是等腰三角形，
∴（米）．
∵四边形是矩形，
∴（米）；
（2）解：如图，过A作，交于点I．
在中，（米），
在中，（米），
∴（米），
∴（米），
即点A到屋面的距离约为米．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、解直角三角形的应用、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用三角函数解直角三角形成为解答本题的关键．
【变式训练】
1．（1）米；（2）米
【分析】（1）根据三线合一求出，解直角三角形求出，可得；
（2）解直角三角形求出，过点作交于点H，再解直角三角形求出，根据求解即可．
【详解】（1）解：∵，且，
∴平分，，
∵，
∴，
在中，，
∵米，
∴米，
则米，
故遮阳宽度为米．

（2）∵在中，，
∴米，
当从变为，
如图所示：旋转到，
则，
过点作交于点H，则，
∵在中，，
∴米，
∵，
∴米，
∴O点下降到H点的距离为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质．解题的关键在于抽象出直角三角形并正确的运算．
2．（1），；（2）；（3）
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再证明，然后利用全等三角形的性质可得，即可解答；
（2）过点B作，垂足为E，先在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（3）利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：（1）∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；；
（2）解：（2）过点B作，垂足为E，
在中，，
∴，
，
在中，，
∴，
∴线段的长为；
（3）解：（3）∵，
∴，
∴，
解得：，
∴最少需要准备长的伞柄．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定与性质，黄金分割，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．（1）；（2）
【分析】（1）在中利用锐角三角函数的定义求出的长即可解答；
（2）过点作于点，得，再在中锐角三角函数的定义可得，最后求出和时的长即可解答．
【详解】（1）解：由对称性可知，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
答：遮阳宽度为；
（2）解：如图，过点作于点，

∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，∵，
当时，，
当时，，
∴点下降的高度为，
答：点下降的高度为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用和锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
4．（1）；（2）
【分析】（1）根据题意得出，由，证明与均是正三角形，即可得出答案；
（2）在中，利用正弦定义求解即可.
【详解】（1）解：，，互相平分于点O，
，
，
与均是正三角形，
．
（2）解：在中，，
即，
答：点到底架的高为．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判断和性质，解直角三角形，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，准确计算。
【类型二解直角三角形应用与特殊四边形的综合】
例题：（1）平行四边形，见解析；（2）
【分析】（1）由旋转性质结合矩形的性质推出，利用证明，得到，据此可证明四边形是平行四边形；
（2）延长交水平地面于点，连接．利用正切函数求得的长，得到，推出，再根据余弦函数求得的长，据此即可求解．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形．
证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，由旋转性质得，
∴，
∴，
∴，
由旋转得，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：如图，延长交水平地面于点，连接．

∵，，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
又，
∴，
由平行线的性质知，
∴，
∴，
即点到水平地面的距离约为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质和判定，利用三角函数解直角三角形等，解题的关键是：（1）掌握等腰三角形中等边对等角；（2）通过添加辅助线构造直角三角形．
【变式训练】
1．（1）四边形是菱形，详见解析；（2）
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，从而得，即可得出结论；
（2）作于点M，解，即可求解．
【详解】（1）解：四边形是菱形 ，
理由：正方形与正方形的面积相等，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
∴四边形是菱形．
（2）解：作于点M，

在中，，
，得 ，
．
【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，解直角三角形，熟练掌握正方形的性质、菱形的判定、正确求解直角三角形是解题的关键．
2．（1）；（2）点A的位置是下降了厘米
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质即可求解；
（2）过点作于点，延长交的延长线于点，在中，，在中，，，求得，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
过点作，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）如图所示，
过点作于点，延长交的延长线于点，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
，
∴；
点A的位置是下降了厘米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3．（1）①；②（2）
【分析】（1）①作于H，由得出，进而求出MN；
②点A到直线DP的距离是；
（2）当点P向上滑至点M处时，是等边三角形，作于G，求CG，即可求出结果．
【详解】解：当点P向下滑至点N处时，如图1中，作于H．
，
，
，即，
，
，
．
滑槽MN的长度为．
根据题意，点A到直线DP的距离是．
当点P向上滑至点M处时，如图2中，是等边三角形，
，
作于G，则，
此时点A到直线DP的距离是，
，
∴点A在相对于的情况下向左移动的距离是．
【点睛】此题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，找到对应长度是关键．
【类型三解直角三角形应用与其他知识的综合】
例题：
【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为；（2）没有危险
【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；
（2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可．
【详解】（1）如图，作，垂足为点，

在中，
，，
，
，
平行线间的距离处处相等，
，
答：车后盖最高点到地面的距离为．
（2）没有危险，理由如下：
如图，过作，垂足为点，

，，
，
，
，
在中，，
．
平行线间的距离处处相等，
到地面的距离为．
，
没有危险．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
【变式训练】
1．（1）；（2）
【分析】（1）过点D作交与点P，在中，通过解直角三角形可求出的长度，在中，利用勾股定理可求出的长度；
（2）在中，利用勾股定理可求出的长度，结合（1）中的长度即可求出答案．
【详解】（1）解：在图1中，过点D作交与点P，

在中，，
在中，，
∴，
即连接杆的长度为；
（2）解：在中，，
∴，
∴在此过程中点E滑动的距离为，
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）作出对应的图，关键平行线的性质即可求解；
（2）过作与交于，过作与交于，可推出四边形为矩形，；在中解出，即可求解；
（3）过作，，在中解出即可求解．
【详解】（1）解：如图：当悬臂与桌面平行时，作

，悬臂也与桌面平行
∴，故答案为：
（2）解：过作与交于，过作与交于

∴四边形为矩形
∴，
∵
∴
在中
∵
∴
∴
（3）解：过作，，

∴
在中
∴
∵
∴
∴
【点睛】本题考查了三角函数的实际应用．作垂线构造直角三角形是解题关键．
3．（1）纸筒盖关闭时点运动的路径长
（2）纸筒盖要打开的最小角的度数约为
【分析】（1）根据补角的定义及旋转的性质可知，再利用勾股定理及弧长公式即可解答；
（2）根据锐角三角函数及角的倍数关系即可解答．
【详解】（1）解：如图1，延长交于点，连接、，
∵，
∴，
∵纸筒盖可以绕着点旋转，关闭时点与点重合，，
∴，
∴点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的，
∵，
∴在中，
，
∴π；
答：纸筒盖关闭时点运动的路径长；

（2）解：如图2，连接．
∵，，
∴，．
∴，
∵，
∴，
∴，
答：纸筒盖要打开的最小角的度数约为．

【点睛】本题考查了锐角三角函数，补角的定义，旋转的性质，勾股定理，掌握锐角三角函数是解题的关键．
4．（1）36cm；；（2）变化了，长度增加了4cm．
【分析】（1）如图1，过点D作于点F，由题意知，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）如图2，过点D作于M，过点E作于点N，由题意知四边形是矩形，求得，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）解：如图1，过点D作于点F，
由题意知，
∴，，
∴．
（2）如图2，过点D作于M，过点E作于点N，
由题意知四边形是矩形，
∴，
在中，
，，
在中，，
∴由勾股定理可得，
则，
原来，
，
∴变形前后两轴心的长度增加了．

【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建出合适的直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用．
5．（1）灯泡悬挂点D距离地面的高度为；（2）的长为
【分析】（1）利用锐角三角函数可求的长，即可求解；
（2）由锐角三角函数可求的长，由线段和差关系可求的长，的长，由锐角三角函数可求的长．
【详解】（1）过点D作于F，

∵，，
∴，
∴，
答：灯泡悬挂点D距离地面的高度为；
（2）如图3，过点C作垂直于地面于点G，过点B作于N，过点D作于M，则，，，四边形是矩形，
∴．

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：的长为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．
6．（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）在中，利用锐角三角函数求得结果；
（2）以点O为圆心、的长为半径画弧，与以点F为圆心、的长为半径的弧交于点，连接得出门的位置；
（3）当最大时，的值最大，过点O作MN的垂线段，当这条垂线段最大时，最大，即当垂线段为OM即垂足为M时，最大，故的最大值为．
【详解】（1）解：在中，，
∴．
∴．
（2）门的位置如图1中或所示．（画出其中一条即可）

（3）如图2，连接，过点O作，交的延长线于点H．

∵在门的开合过程中，在不断变化，
∴当最大时，的值最大．
由图2可知，当与重合时，取得最大值，此时最大，
∴的最大值为．
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转、尺规作图、锐角三角函数等知识，准确作图，数形结合是解题的关键。