北京市平谷区2023-2024学年第一学期九年级期末考试数学试卷（附答案）

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注意事项
1.本试卷共8页，包括三道大题，28道小题，满分100分.考试时间120分钟.
2.在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名.
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.
5.考试结束，请将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本题共16分，每小题2分，下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）
1. 已知，那么下列比例式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
3. 将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，⊙O的弦AB=8，OM⊥AB于点M，且OM=3，则⊙O的半径为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
5. 如图，在的正方形网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，则的值是（ ）

A. 1B. C. D.
6. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图象分布在第一、三象限B. 在各自的象限内，随的增大而增大
C. 函数图象关于轴对称D. 图象经过
7. 已知：二次函数的图象上部分对应点坐标如下表，m的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，矩形中，点是边上一点，点关于直线的对称点点恰好落在边上，给出如下三个结论：
①；
②；
③若，，则．
上述结论一定正确的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 函数y=中的自变量的取值范围是____________.
10. 如图，点是中边上的一点，请你添加一个条件使，这个条件可以是________________．
11. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果csA=，AC=2，那么AB的长为________．
12. 如图，在中，是的直径，，是上的点，如果，那么的度数为______．
13. 若抛物线与x轴有交点，则k的取值范围是___________．
14. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为__．
15. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面_____．
16. “十一”黄金周期间，明明和妈妈到某商场购物，得知该商场节日促销活动，单笔消费每满50元立减5元（即单笔消费有几个50元，就减几个5元，不足50元部分不减），累计消费满200元返20元购物券，购物券当天可用，用券和减免部分不在累计范围内，明明和妈妈打算购买以下三件商品：商品A：80元，商品B：95元，商品C：160元，如果你是聪明明明，帮妈妈参谋一下三件商品妈妈分次结账，可以享受最多优惠；按此优惠方案，只需付款______元，即可购买以上三件商品．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每小题6分；第27、28题，每小题7分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）
17 计算：.
18. 如图，在中，延长到，使，连接交于点，，，求的长．
19. 已知二次函数.
（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）求该二次函数图象与轴、轴的交点坐标；
（3）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象.
20. 如图，平面直角坐标系中，点，，作过点、、的圆．
（1）依题意补全图形；
（2）圆心坐标为______；
（3）劣弧的弧长为______；
（4）若点为圆上任意一点（不与、点重合），则的度数为_____．
21. 某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度，方法如下：
方法一：如图1，他们测得同一时刻长度为2米的竹竿的影长为米，线段表示旗杆，旗杆的影长为米；
方法二：如图2，用米高的测角仪在距离旗杆8米的点处测得旗杆顶端的仰角为（，，）
请选取一种方法，根据已知数据，计算旗杆的长约为多少米．（结果精确到）
22. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点A．
（1）求的值；
（2）若直线图象经过点A，求的值；
（3）当时，都有一次函数的值大于反比例函数的值，直接写出的取值范围．
23. 如图，在中，，，，求的长．
24. 如图，为直径，弦于，连接、，过点作的切线，的平分线相交于点，交于点，交于点，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求长．
25. 电动汽车的续航里程也可以称作续航能力，是指电动汽车的动力蓄电池在充满电的状态下可连续行驶的总里程，它是电动汽车重要的经济性指标.高速路况状态下，电动车的续航里程除了会受到环境温度的影响，还和汽车的行驶速度有关.某科研团队为了分析续航里程与速度的关系，进行了如下的探究：
下面是他们探究过程，请补充完整：
（1）他们调取了某款电动汽车在某个特定温度下续航里程与速度的有关数据：
则设______为，______为，是的函数；
（2）建立平面直角坐标系，在给出的格点图中描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，下列说法正确的有______：
①随的增大面减小；
②当汽车的速度在60千米/小时左右时，汽车的续航里程度大；
③实验表明，汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小．
（4）若想要该车辆的续航里程保持在500千米以上，该车的车速大约控制在______至______千米/小时范围内．
26. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象上两个点，，点、之间的部分（包含点、点）记作图象，图象上的最大值与最小值的差记作．
（1）求这个二次函数的对称轴（用含的代数式表示）；
（2）当，，时，求的值；
（3）当，时，恒有，求的取值范．
27. 如图，中，，，为边中点，为外部射线上一点，连接，过作于．

（1）依题意补全图形；
（2）找出图中与相等的角，并证明；
（3）连接，猜想的度数，并证明．
28. 如图，平面直角坐标系中，已知点、点，连接，若点为平面上一点，且为等边三角形，则称点为线段的“关联点”．
（1）已知点和点，点为线段的“关联点”，直接写出点的坐标______；
（2）若，，点是线段上一点，点为线段的“关联点”，当点在右侧时，判断与的位置关系，并证明；
（3）半径为2，点是上一点，点，若点为线段的“关联点”，直接写出长度的最大值和最小值．速度（千米/小时）
10
20
30
40
60
80
100
120
140
160
续航里程（千米）
100
340
460
530
580
560
500
430
380
310