北京市顺义区2023-2024学年第一学期九年级期末考试数学试卷（附答案）

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考生须知：
1. 本试卷共8页，共三道大题，28道小题.满分100分.考试时间120分钟.
2. 在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号.
3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.
5. 考试结束，将答题卡交回.
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A. B. C. D.
2. 在中，，则等于（ ）
A. B. C. D.
3. 将二次函数化为的形式，则所得表达式为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在中，弦相交于点P，，，则度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，D是的边AB上一点（不与点A，B重合），若添加一个条件使，则这个条件不可以是（ ）
A. B. C. D.
6. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A. 它的图象分布在第二、第四象限B. 点在它的图象上
C. 当时，y随x的增大而减小D. 当时，y随x的增大而增大
7. 已知.如图，
（1）连接；
（2）作弦的垂直平分线，分别交，弦于C，D两点；
（3）作线段的垂直平分线，，分别交于E，F两点，交弦于G，H两点；
（4）连接
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 学习解直角三角形时，小明编了这样一道题：
已知：在中，，，，解这个直角三角形.
从同学们的解答思路中节选出以下四个步骤：
①由的度数，根据直角三角形的性质得到的度数；
②由，的值，根据的正切值得到的度数；
③由，的值，根据勾股定理得到的值；
④由，的值，根据的余弦值得到的度数.
请你从中选择三个步骤并排序，形成完整的解上述直角三角形的思路，则下列排序错误的是（ ）
A. ③④①B. ④①③C. ②①③D. ③②①
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．
10. 若将抛物线向右平移2个单位长度，则所得抛物线的表达式为______.
11. 如图，直线交于点O，．若，，．则值为______．
12. 物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为______．
13. 如图，分别与相切于A，B两点，C是优弧上的一个动点，若，则______．
14. 已知二次函数的部分图象如图所示，写出一个满足不等式的x的值，这个值可以是______.
15. 在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点在双曲线上，则的值为______．
16. 已知，是抛物线上两点，下面有四个推断：
①该抛物线与x轴有两个交点；
②若该抛物线开口向下，则它与y轴的交点一定在y轴的负半轴上；
③若该抛物线开口向下，则它的对称轴在直线右侧；
④若该抛物线开口向上，则在A，B两点中，点B到它的对称轴距离较小.
所有正确推断的序号是______.
三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20-21题，每题5分，第22题6分，第23-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17. 解不等式组：.
18. 计算：.
19. 已知，求代数式的值.
20. 如图，平分，.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
21. 如图，抛物线与x轴交于点，点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）直接写出时，自变量x的取值范围．
22. 在一次数学综合实践活动中，某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度．如图，在点A处测得山顶E的仰角为，向山的方向前进，在点C处测得山顶E的仰角为，已知观测点A，C到地面的距离，．求小山的高度（精确到）．（参考数据：，，，）

23. 如图，是直径，于点E，.
（1）求证：；
（2）若半径为2，求，的长.
24. 正面双手前掷实心球是发展学生力量和协调性的运动项目之一.实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从出手到着地的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系.
小明进行了三次训练.
（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，求出满足的函数关系，并求出实心球着地点的水平距离；
（2）第二次、第三次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x的函数图象的一部分如图所示，其中A，B分别为第二次、第三次训练抛物线的顶点.
记小明第二、三次训练时实心球着地点的水平距离分别为，，则，，的大小关系为______.
25. 如图，为的弦，点C为的中点，的延长线交于点D，连接，过点D作的切线交的延长线于点E.
（1）求证：；
（2）若的半径为3，，求的长.
26. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．
（1）若，求抛物线的对称轴及A，B两点的坐标；
（2）已知点，，在该抛物线上，若，，中有且仅有一个大于0，求a的取值范围．
27. 在菱形中，，点P是对角线上一点（不与点A重合），点E，F分别是边上的点，且，射线分别与的延长线交于点M，N．
（1）如图1，若点P与C重合，且平分，求证：；
（2）连接，若，，且不平分．
①依题意补全图2；
②用等式表示线段的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系中，有如下定义：对于图形、，若存在常数d，使得图形上的任意一点P，在图形上至少能找到一个点Q，满足，则称图形是图形的“映图”，d是关于的“映距”．
（1）如图，点，，，，，，，．
在线段，，中，线段的映图是______．
（2）的半径为1．
①求关于直线的“映距”的最小值；
②若直线被坐标轴所截的线段是的映图，直接写出m的取值范围．
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
竖直高度y/m
2
2.7
32
3.5
3.6
3.5
3.2
2.7
2
1.1