专题06 椭圆中的定点、定值、定直线问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用）

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一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知椭圆，直线与椭圆交于两点，分别为椭圆的左､右两个焦点，直线与椭圆交于另一个点，则直线与的斜率乘积为（ ）
A．B．C．D．
2．已知椭圆C：的上、下顶点分别为A，B，点在椭圆C上，若点满足，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知是椭圆上满足的两个动点为坐标原点），则等于（ ）
A．45B．9C．D．
4．过椭圆的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
5．已知为坐标原点，、分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于、的动点，直线、分别与轴交于点、.则（ ）
A．B．C．D．
6．双曲线和椭圆的右焦点分别为，，，分别为上第一象限内不同于的点，若，，则四条直线的斜率之和为（ ）
A．1B．0C．D．不确定值
7．已知椭圆为椭圆的右顶点，直线交于两点，且，则恒过除点以外的定点（ ）
A．B．C．D．
8．设P为椭圆C：（）上的动点，，分别为椭圆C的左、右焦点，为的内心，则直线与直线的斜率积（ ）
A．非定值，但存在最大值且为B．是定值且为
C．非定值，且不存在定值D．是定值且为
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．点分别为椭圆的左、右焦点且．点P为椭圆上任意一点，的面积的最大值是1，点M的坐标为，过点且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点，则下列结论成立的是（ ）
A．椭圆的离心率 B．的值与k相关
C．的值为常数 D．的值为常数-1
10．如图，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一动点，圆（圆心为）与的三边，，分别切于点A，B，C，延长交x轴于点D，作交于点，则（ ）.
A．为定值B．为定值
C．为定值D．为定值
11．已知椭圆和，点在上，且直线与交于、两点，若点在上，使得，则下列结论正确的为（ ）
A．、的离心率相等B．
C．直线、的斜率之积为定值D．四边形的面积为
12．已知椭圆，点为右焦点，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，则（ ）
A．周长为定值B．直线与的斜率乘积为定值
C．线段的长度存在最小值D．该椭圆离心率为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知点为上一动点．过点作椭圆的两条切线，切点分别，当点运动时，直线过定点，该定点的坐标是 ．
14．已知点分别为曲线的左、右焦点，点P为曲线C与曲线正在第一象限的交点，直线l为曲线C在点P处的切线，若点M为的内心，直线与直线l交于点N，则，点N的横坐标为 ．
15．已知椭圆C：，A，B分别为其左，右顶点，对于椭圆上任意一点P（不包括左、右顶点），直线AP，BP分别交直线l：于点M，N，则以线段MN为直径的圆所过定点的坐标为 ．
16．已知椭圆 离心率， 过椭圆中心的直线交椭圆于两点 (在第一象限)， 过作轴垂线交椭圆于点， 过作直线垂直交椭圆于点， 连接交于点， 则 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆的右顶点为，上顶点为，左､右焦点分别为为原点，且，过点作斜率为的直线与椭圆交于另一点，交轴于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为的中点，在轴上是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，A，B分别是C的右、上顶点，且，D是C上一点，周长的最大值为8.
(1)求C的方程；
(2)C的弦过，直线，分别交直线于M，N两点，P是线段的中点，证明：以为直径的圆过定点.

19．已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；
(3)在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上.
20．已知椭圆经过点，两个焦点为和.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线过点且与椭圆相交于、两点，，点与关于轴对称，点与关于轴对称，设直线的斜率为，直线的斜率为.
（i）求证：为定值，并求出这个定值；
（ii）若，求直线的方程.
21．已知椭圆：的短轴长为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上．
22．已知双曲线与椭圆的焦点重合，且与的离心率之积为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线的左､右顶点分别为，若直线与圆相切，且与双曲线左､右两支分别交于两点，记直线的斜率为的斜率为，那么是否为定值？并说明理由．