专题12 双曲线中的离心率问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用）

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一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设、分别是双曲线的左、右焦点，过作轴的垂线与相交于、两点，若为正三角形，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知双曲线：（，）的右焦点为，、两点在双曲线的左、右两支上，且，，，且点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点与双曲线的两条渐近线分别交于两点．若是的中点，且，则此双曲线的离心率为（ ）

A．B．2C．D．
5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若在上存在点不是顶点，使得，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知双曲线的两个焦点为，点在上，且，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的左顶点为，过的直线与的右支交于点，若线段的中点在圆上，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的值不可能是（ ）
A．B．C．D．
10．双曲线的离心率为e，若过点能作该双曲线的两条切线，则e可能取值为（ ）．
A．B．C．D．2
11．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与圆相切，且与交于两点，若，则的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
12．已知、是双曲线(，)的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为（ ）.
A．B．C．D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率是 .
14．已知双曲线方程为，左焦点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为 .
15．已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率是 ．
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的左顶点为A，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若，则该双曲线的离心率的取值范围是 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．
18．已知椭圆与双曲线，有相同的左、右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且 ，设与的离心率分别为，，求的取值范围.
19．已知双曲线T：离心率为e，圆O：．
(1)若e=2，双曲线T的右焦点为，求双曲线方程；
(2)若圆O过双曲线T的右焦点F，圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，求的值；
(3)若R=1，不垂直于x轴的直线l：y=kx+m与圆O相切，且l与双曲线T交于点A，B时总有，求离心率e的取值范围．
20．已知点是双曲线右支上一点，、是双曲线的左、右焦点，，．
(1)求双曲线的离心率；
(2)设、分别是△的外接圆半径和内切圆半径，求．
21．已知双曲线的左、右焦点分别为，，A为双曲线C左支上一点，．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)设点A关于x轴的对称点为B，D为双曲线C右支上一点，直线与x轴交点的横坐标分别为，且，求双曲线C的方程．
22．已知双曲线，若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，且（为坐标原点）.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若直线不经过双曲线的右顶点，且以为直径的圆经过点，证明直线恒过定点，并求出点的坐标.