专题13 双曲线中的定点、定值、定直线问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用）

这是一份专题13 双曲线中的定点、定值、定直线问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用），文件包含专题13双曲线中的定点定值定直线问题原卷版docx、专题13双曲线中的定点定值定直线问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．P为椭圆上异于左右顶点，的任意一点，则直线与的斜率之积为定值，将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线上异于左右顶点，的任意一点，则（ ）
A．直线与的斜率之和为定值 B．直线与的斜率之积为定值
C．直线与的斜率之和为定值 D．直线与的斜率之积为定值
【解析】设，则，即： ，
，， ，
为定值.故选：D.
2．已知直线l：与双曲线C：交于P，Q两点，QH⊥x轴于点H，直线PH与双曲线C的另一个交点为T，则（ ）
A．B．C．1D．2
【解析】
设，，，，则.由得，，
则，.
，∴，∴.故选：B.
3．已知A，B是双曲线Γ：＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则以下总为定值的是（ ）
A．k1＋k2B．|k1－k2|
C．k1k2D．
【解析】由题意可得A(－a，0)，B(a，0)，设P(m，n)(m＞0，n＞0)，
可得即，又k1＝，
所以k1k2＝，所以k1k2为定值
，不为定值；
，不为定值；
，不为定值
故选：C
4．已知双曲线，为坐标原点，，为双曲线上两动点，且，则（ ）
A．2B．1C．D．
【解析】由题意设直线方程为，直线方程为，设
则，同理，
所以，，即.故选：D
5．已知，是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为，那么的值为（ ）
A．16B．12C．8D．随变化而变化
【解析】由双曲线方程知，，双曲线的渐近线方程为
直线的倾斜角为，所以，又直线过焦点，如图
所以直线与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得，…………(1)，
…………(2)
由(1)+(2)得，.故选：A
6．已知双曲线：的渐近线方程为，且焦距为，过双曲线中心的直线与双曲线交于两点，在双曲线上取一点（异于），直线，的斜率分别为，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【解析】双曲线的两条渐近线方程为，所以，因为焦距为，所以，
又，所以，，故双曲线的方程为．
设点，则根据对称性可知，点，，，
所以，且，，两式相减可得.故选：B
7．已知双曲线的离心率为3，斜率为的直线分别交F的左右两支于A，B两点，直线分别交F的左、右两支于C，D两点，，交于点E，点E恒在直线l上，若直线l的斜率存在，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题得，
设的中点的中点，
则，得，
所以，所以①，同理得②，
因为，则E，M，N三点共线，所以，将①②代入得，即，因为直线l的斜率存在，所以，
所以，即点E在直线上.故选：A.
8．数学美的表现形式多种多样，其中美丽的黄金分割线分出的又岂止身材的绝妙配置，我们称（其中）的双曲线为黄金双曲线，若P为黄金双曲线上除实轴端点外任意一点，以原点O为圆心，实轴长为直径作，过P作的两条切线，切点分别为A，B，直线与x，y轴分别交于M，N两点，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，则，即.
因为，，所以，解得.
由题意四点共圆，圆心为的中点，半径为，
所以方程为；的方程为；
两式相减可得直线的方程，令得，即；
令得，即；，
所以.故选：B.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，下列结论正确的是（ ）
A． B．双曲线的渐近线方程为
C．存在点，满足 D．点到两渐近线的距离的乘积为
【解析】对于A选项，因为，，则，
所以，双曲线的方程为，则，A错；
对于B选项，双曲线的渐近线方程为，B对；
对于C选项，若存在点，使得，则点必在双曲线的右支上，
由双曲线的定义可得，可得，
设点，则，则
，矛盾，故不存在点，使得，C错；
对于D选项，设点，则，
则点到直线的距离为，
点到直线的距离为，所以，，D对.
故选：BD.
10．已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，P为该曲线上不同于A，B的任意一点设的面积为S，则（ ）
A．为定值B．为定值
C．为定值D．为定值
【解析】不妨设，则，
，，
因此，其中．
对于选项A，为定值．
对于选项B，由于，
因此若为定值，则为定值，从而和是确定的值，矛盾，对于选项C，D，有，因此是定值，不是定值．
故选：AC.
11．已知点P为双曲线上任意一点，为其左、右焦点，O为坐标原点．过点P向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为M、N，则下列所述正确的是（ ）
A．为定值B．O、P、M、N四点一定共圆
C．的最小值为D．存在点P满足P、M、三点共线时，P、N、三点也共线
【解析】设，点到渐近线的距离为，
同理，则，，即，
（定值），故A正确；
当M、N均不与O重合时，由，和均为直角三角形，
故M，N两点在以OP为直径的圆上；
当M、N有与O重合时，也满足O、P、M、N四点共圆．故B正确；
由双曲线的对称性可知，
其中，，成立，故C正确；
如图，
利用双曲线的对称性，不妨设直线垂直一条渐近线，垂足为M；直线垂直另一条渐近线且交双曲线于点P，易知直线与直线的交点始终落在y轴上，故D不正确．
故选：ABC．
12．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（ ）
A．的最小值为8
B．若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6
C．为定值
D．若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为
【解析】依题意，，，，，，
设，则，，即，双曲线C的两条渐近线方程为，
对于A，，A正确；
对于B，若Q在双曲线C的右支，则通径最短，通径为，
若Q在双曲线C的左支，则实轴最短，实轴长为，B错误；
对于C，
是定值，C正确；
对于D，不妨设，，直线l的方程为，
由得，
若直线l与双曲线C相切，则，化简整理得，
则点M，N的纵坐标之积，D正确.
故选：ACD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．设P是双曲线右支上任一点，过点P分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为E、F，则的值为 ．
【解析】渐近线方程为，设，则，所以．
由点到直线的距离公式有，，
∴.
14．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为.若直线（且）与双曲线交于A，B两点，直线，的斜率的倒数和为，则直线恒经过的定点为 .
【解析】因为双曲线方程为一条渐近线的倾斜角的正切值为.所以，解得，所以双曲线方程为.
设，，联立得， .
由韦达定理得，.
因为，所以.
所以，由题意知，此时.
所以直线方程为，恒经过的定点为.
15．双曲线的离心率为，分别是的左，右顶点，是上异于的一动点，直线分别与轴交于点，请写出所有满足条件的定点的坐标 .
【解析】双曲线的离心率，，即双曲线，
，，设，则，，
直线，，，，
设，则，，
，
又，，
，解得：，定点或.
16．已知双曲线，过点的动直线与C交于两点P，Q，若曲线C上存在某定点A使得为定值，则的值为 ．
【解析】设，，，，则，
由，可得，则，，
所以
，要使为定值，则，
可得，，或，，，故．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．从双曲线上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，点分别是双曲线的左、右顶点，点，且，.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作直线分别交双曲线左右两支于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上.
【解析】（1）令，代入双曲线方程可得，所以设，，
因为，所以，即，所以.
因为，所以，所以，，，
所以双曲线的方程为.

（2）设，，直线，
联立可得，，由可得或，
所以，，直线 ①
直线 ②
③
由①÷②可得
把③代入上式化简可得，解得，所以点在定直线上.

18．已知双曲线过点，且焦距为.
(1)求的方程；
(2)已知过点的动直线交的右支于两点，为线段上的一点，且满足，证明：点总在某定直线上.
【解析】（1）由题意可得，解得，所以，双曲线的方程为.
（2）设点、、，
因为，即，记，

又A、P、B、Q四点共线，则，，
即，，
有，，得，，
又因为，则，作差可得，
即，得，即，
故点Q总在定直线上.
19．已知双曲线的焦距为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)点是双曲线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标.
【解析】（1）由题意知，解得，，，双曲线的方程为.
（2）证明：设直线的方程为，
联立方程组，消去，得，
则，，
所以直线方程为，令，则，
同理直线方程为，令，则，
由，可得，即，
即，
即，即，
即，即，
即，当时，，
此时直线方程为，恒过定点，不符合题意；
当时，直线方程为，恒过定点符合题意，
综上所述，直线过定点.

20．已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.
【解析】（1）设到渐近线，即的距离为，
则，结合得，
又在双曲线上，所以，得，所以双曲线的标准方程为.
（2）联立，消去并整理得，
则，，即，
设，，则，，
则
，
所以，
所以，
所以，整理得，
所以，所以，
因为直线不过，即，，所以，即，
所以直线，即过定点.

21．已知双曲线：实轴长为4（在的左侧），双曲线上第一象限内的一点到两渐近线的距离之积为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设过的直线与双曲线交于，两点，记直线，的斜率为，，请从下列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明.
①为定值；②为定值；③为定值
【解析】（1）设是上的一点，与是的两条渐近线，
到两条渐近线的距离之积，
依题意，，故，双曲线的标准方程为；
（2）正确结论：③为定值.
证明如下：由（1）知，，设，，
因为，不与，重合，所以可设直线：，
与联立：，消去整理可得：
故，，，
所以，，，
①，不是定值，
②，不是定值，
③，所以是定值.

22．已知双曲线的右焦点，右顶点分别为，，，，点在线段上，且满足，直线的斜率为1，为坐标原点.
(1)求双曲线的方程.
(2)过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，在轴上是否存在与不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设，所以，，，
因为点在线段上，且满足，所以点，
因为直线的斜率为1，所以，所以，
因为，所以，解得，，. 所以双曲线的方程为.
（2）假设在轴上存在与不同的定点，使得恒成立，

当直线l的斜率不存在时，E在x轴上任意位置，都有；
当直线l的斜率存在且不为0时，设，直线l的方程为，
直线与双曲线的右支相交于，两点，则且，
设，，由，得， ，，
所以，，
因为，即，所以平分，，
有，即，得，
所以，由，解得.
综上所述，存在与不同的定点，使得恒成立，且.