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专题14 双曲线中的向量问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用）
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这是一份专题14 双曲线中的向量问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用），文件包含专题14双曲线中的向量问题原卷版docx、专题14双曲线中的向量问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若斜率为（）的直线过双曲线：的上焦点，与双曲线的上支交于，两点，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为双曲线：，所以，设直线方程为，
代入双曲线方程消去y得，
判别式，且，
由韦达定理得，因为，所以，
所以，两式联立解得，故选：D．
2．已知双曲线的右顶点､右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线与C的一个交点为B，若，且，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【解析】∵，整理得：，即，∴，
不妨设，根据结合比例易得，则，解得
∴，故选：B．
3．已知点P为双曲线C：（，）上位于第一象限内的一点，过点P向双曲线C的一条渐近线l作垂线，垂足为A，为双曲线C的左焦点，若，则渐近线l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，渐近线l的方程为，①
直线的方程为，②
联立①②可得，，即有，
由，可得，，
解得，，即，由P在双曲线上，可得，
化为，即，可得，所以直线l的斜率为．故选：D．
4．已知双曲线右支上的一点P，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点．当点P为AB的中点时，（ ）
A．B．9C．D．
【解析】设，，，，，
由点P为AB的中点，得，，
将P点代入双曲线方程可得，化简得，
所以，故选：B．
5．过双曲线的右焦点且斜率为的直线分别交双曲线的渐近线于，两点，在第一象限，在第二象限，若，则（ ）
A．1B．C．D．2
【解析】由题意得：由双曲线的方程，可知，
过双曲线的右焦点且斜率为的直线方程为
联立，得：，联立，得：，
则 ，，，
，整理得：，解得：，故选：A
6．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线的右支于、两点．点满足，且，者，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【解析】如下图所示，取线段的中点，连接，
因为，则，
因为为的中点，则，且，
由双曲线的定义可得，
所以，，则，
由余弦定理可得，
所以， ，因此，该双曲线的离心率为.故选：C.
7．已知双曲线的左､右焦点分别为、，过的左顶点作一条与渐近线平行的直线与轴相交于点，点为线段上一个动点，当分别取得最小值和最大值时，点的纵坐标分别记为、，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意可得，，、，双曲线的渐近线方程为，
不妨设直线的斜率为，则直线的方程为，易得，
设点的坐标为，其中，
，，
所以，，
故当时，取得最小值，此时，
当时，取得最大值，此时，因此，.故选：D.
8．已知椭圆与双曲线有相同的左焦点、右焦点，点是两曲线的一个交点，且.过作倾斜角为45°的直线交于，两点（点在轴的上方），且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】不妨设为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，椭圆方程为，，由双曲线定义可知：，又因为，所以，，所以，所以，
所以，所以，所以，所以椭圆方程为，
又因为，所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以，所以，解得，故选：A.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，且C的一条渐近线经过点，直线与C的另一条渐近线在第四象限交于点A，则下列结论正确的是（ ）
A．C的离心率为2
B．若，则C的方程为
C．若，则（O为坐标原点）的面积为
D．若，则C的焦距为
【解析】对A，双曲线C的渐近线方程为，因为C的一条渐近线经过点，所以，即，所以，所以，故选项A正确；
对B，因为，所以点P在圆上，所以. 又离心率，所以，则，所以C的方程为，故选项B正确；
对C，由Ｂ得，的面积为，故选项C错误；
对D，设，，由，得，所以，，代入渐近线方程，得，解得，所以C的焦距为，故选项D正确.
故选：ABD.
10．已知双曲线，，O为坐标原点，M为双曲线上任意一点，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设点，则或，且有，可得，
，，，
令，其中或，
二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.
①当时，函数单调递减，此时；
②当时，函数单调递增，此时.
综上所述，函数在上的值域为.
因此，的值可以是、、.故选：BCD.
11．已知双曲线的右顶点、右焦点分别为、，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与轴垂直B．的离心率为
C．的渐近线方程为D．（其中为坐标原点）
【解析】由已知得，设，由，得，所以轴，即，A正确；
不妨设点在第一象限，易知，，，即点，
设，由，得，所以，
所以，即．因为点在双曲线上，所以，整理得，所以，解得或（负值舍去），B正确；
，故C的渐近线的斜率的平方为，C错误；
不妨设点在第一象限，则，所以，D错误．
故选：AB．
12．已知双曲线且成等差数列，过双曲线的右焦点F（c，0）的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，，则直线l的斜率的可能取值为（ ）
A．B．－C．D．－
【解析】因为成等差数列，所以，所以．
设左焦点为，则．
令，则，即，将代入解得，从而解得，故，而是直线l的倾斜角或倾斜角的补角，所以直线l的斜率的值为－或．故选：AB.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．设双曲线C的左、右焦点分别为，，且焦距为，P是C上一点，满足，，则的周长为 ．
【解析】
因为，所以.设，，
因为，所以.
在中，根据余弦定理有，
所以，整理可得，，解得（负值舍去），所以，
所以，，故周长为.
14．已知，点P满足，动点M，N满足，，则的最小值是 ．
【解析】以的中点O为坐标原点，的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则，由双曲线定义可知，点P的轨迹是以，为焦点，实轴长为6的双曲线的左支，即点P的轨迹方程为．，由，
可得．
因为的最小值为，所以的最小值是3．
15．已知双曲线的左右焦点分别为､，实轴长为1，是双曲线右支上的一点，满足，是轴上的一点，则 .
【解析】设，由题意知，,
因为是双曲线右支上的一点，满足，所以,解得.
所以 ，两式相减可得，即.设，则，
又，所以.
16．设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为 .
【解析】如图，设为的中点，连接，
易知，， ，
又为的中点，，，，
为等腰直角三角形，设，由双曲线的定义知，解得，
，又，.
在中，，，，化简得，即，
又，.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知双曲线C的渐近线为，右焦点为，右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当时，求直线l的方程.
【解析】（1）双曲线的渐近线化为，设双曲线的方程为，
即，又双曲线的右焦点，则，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）由（1）知，，设直线的方程为，显然，
由消去整理得，显然，，
而，则
，
化简得，即，而，解得，
所以直线的方程为，即.
18．已知，，点满足，记点的轨迹为，
(1)求轨迹的方程；
(2)若直线过点，且与轨迹交于、两点．在轴上是否存在定点，无论直线绕点怎样转动，使恒成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）由知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支．
且，即，，故， 轨迹方程为．
（2）若直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得得，
设，，由条件得 ，解得．
设存在点满足条件，
由
，得
对任意恒成立，所以解得， 因此存在定点满足条件．
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，联立得，，
将验证，结果也成立.
综上所述，轴上存在定点，使恒成立.
19．已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为.
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由已知C：，点A的坐标为，得，
焦点，，.
所以，，故C：.
（2）设l的方程为，则，故，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，故.
与双曲线方程联立得：，
由已知得，，设，，则，①
由，得：，，
消去得：，即②
由①②得：，由已知，故存在定直线l：满足条件.
20．已知双曲线的虚轴长为，左焦点为F．
(1)设O为坐标原点，若过F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当时，求的面积；
(2)设过F的直线l与C交于M，N两点，若x轴上存在一点P，使得为定值，求出点P的坐标及该定值．
【解析】（1）由题意可知，，得，所以双曲线C的标准方程为，
则，双曲线C的渐近线方程为，
由对称性可知，直线l与垂直和直线l与垂直这两种情况下的面积是相等，
不妨设直线l与垂直，则直线l的方程为，
则点A在渐近线上，点B在渐近线上，
由，解得，则，所以，
易知，所以，故的面积．
（2）设，当轴时，直线l的方程为，代入，解得，
不妨取，，则，
当轴时，直线l的方程为，代入，解得，
不妨取，，则，
令，解得，此时，
当直线l与坐标轴不垂直时，设直线l的方程为，
代入，得，，
设，，则，，
当点P的坐标为时，
．
综上可知，当点P的坐标为时，为定值0．
21．点在以、为焦点的双曲线上，已知，，为坐标原点．
(1)求双曲线的离心率；
(2)过点作直线分别与双曲线渐近线相交于、两点，且，，求双曲线的方程；
(3)若过点（为非零常数）的直线与（2）中双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且（为非零常数），问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这种定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为，则，可得，
因为，由勾股定理可得，即，
所以，，因此，该双曲线的离心率为.
（2）因为，则，
所以，双曲线的方程为，即，
双曲线的渐近线方程为，设点、、，
，可得，
因为，即，可得，
即点，将点的坐标代入双曲线的方程可得，
可得，所以，，所以，，因此，双曲线的方程为.
（3）假设在轴上存在定点 使得，
设直线的方程为，设点、，
联立，可得，
由题意可得，可得，
由韦达定理可得，，易知、，
所以，，，
因为，所以，，
即，即，
即，（*）
由可得，则，
将代入（*）可得，（**）
将代入韦达定理可得，所以，，
将代入（**）式可得，
故在轴上存在定点使得．
22．已知分别为双曲线左、右焦点，在双曲线上，且．
(1)求此双曲线的方程；
(2)若双曲线的虚轴端点分别为（在轴正半轴上），点在双曲线上，且，，试求直线的方程．
【解析】（1）设，，则，，
，解得：，；
又在双曲线上，则，，，双曲线的方程为：.
（2）由（1）得：，，，三点共线，
直线斜率显然存在，可设，，，
由得：，，即且，
，，
，，又，，
，
解得：，满足且，
直线方程为：或.
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若斜率为（）的直线过双曲线：的上焦点，与双曲线的上支交于，两点，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为双曲线：，所以，设直线方程为，
代入双曲线方程消去y得，
判别式，且，
由韦达定理得，因为，所以，
所以，两式联立解得，故选：D．
2．已知双曲线的右顶点､右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线与C的一个交点为B，若，且，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【解析】∵，整理得：，即，∴，
不妨设，根据结合比例易得，则，解得
∴，故选：B．
3．已知点P为双曲线C：（，）上位于第一象限内的一点，过点P向双曲线C的一条渐近线l作垂线，垂足为A，为双曲线C的左焦点，若，则渐近线l的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，渐近线l的方程为，①
直线的方程为，②
联立①②可得，，即有，
由，可得，，
解得，，即，由P在双曲线上，可得，
化为，即，可得，所以直线l的斜率为．故选：D．
4．已知双曲线右支上的一点P，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点．当点P为AB的中点时，（ ）
A．B．9C．D．
【解析】设，，，，，
由点P为AB的中点，得，，
将P点代入双曲线方程可得，化简得，
所以，故选：B．
5．过双曲线的右焦点且斜率为的直线分别交双曲线的渐近线于，两点，在第一象限，在第二象限，若，则（ ）
A．1B．C．D．2
【解析】由题意得：由双曲线的方程，可知，
过双曲线的右焦点且斜率为的直线方程为
联立，得：，联立，得：，
则 ，，，
，整理得：，解得：，故选：A
6．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线的右支于、两点．点满足，且，者，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【解析】如下图所示，取线段的中点，连接，
因为，则，
因为为的中点，则，且，
由双曲线的定义可得，
所以，，则，
由余弦定理可得，
所以， ，因此，该双曲线的离心率为.故选：C.
7．已知双曲线的左､右焦点分别为、，过的左顶点作一条与渐近线平行的直线与轴相交于点，点为线段上一个动点，当分别取得最小值和最大值时，点的纵坐标分别记为、，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意可得，，、，双曲线的渐近线方程为，
不妨设直线的斜率为，则直线的方程为，易得，
设点的坐标为，其中，
，，
所以，，
故当时，取得最小值，此时，
当时，取得最大值，此时，因此，.故选：D.
8．已知椭圆与双曲线有相同的左焦点、右焦点，点是两曲线的一个交点，且.过作倾斜角为45°的直线交于，两点（点在轴的上方），且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】不妨设为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，椭圆方程为，，由双曲线定义可知：，又因为，所以，，所以，所以，
所以，所以，所以，所以椭圆方程为，
又因为，所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以，所以，解得，故选：A.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，且C的一条渐近线经过点，直线与C的另一条渐近线在第四象限交于点A，则下列结论正确的是（ ）
A．C的离心率为2
B．若，则C的方程为
C．若，则（O为坐标原点）的面积为
D．若，则C的焦距为
【解析】对A，双曲线C的渐近线方程为，因为C的一条渐近线经过点，所以，即，所以，所以，故选项A正确；
对B，因为，所以点P在圆上，所以. 又离心率，所以，则，所以C的方程为，故选项B正确；
对C，由Ｂ得，的面积为，故选项C错误；
对D，设，，由，得，所以，，代入渐近线方程，得，解得，所以C的焦距为，故选项D正确.
故选：ABD.
10．已知双曲线，，O为坐标原点，M为双曲线上任意一点，则的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设点，则或，且有，可得，
，，，
令，其中或，
二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.
①当时，函数单调递减，此时；
②当时，函数单调递增，此时.
综上所述，函数在上的值域为.
因此，的值可以是、、.故选：BCD.
11．已知双曲线的右顶点、右焦点分别为、，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与轴垂直B．的离心率为
C．的渐近线方程为D．（其中为坐标原点）
【解析】由已知得，设，由，得，所以轴，即，A正确；
不妨设点在第一象限，易知，，，即点，
设，由，得，所以，
所以，即．因为点在双曲线上，所以，整理得，所以，解得或（负值舍去），B正确；
，故C的渐近线的斜率的平方为，C错误；
不妨设点在第一象限，则，所以，D错误．
故选：AB．
12．已知双曲线且成等差数列，过双曲线的右焦点F（c，0）的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，，则直线l的斜率的可能取值为（ ）
A．B．－C．D．－
【解析】因为成等差数列，所以，所以．
设左焦点为，则．
令，则，即，将代入解得，从而解得，故，而是直线l的倾斜角或倾斜角的补角，所以直线l的斜率的值为－或．故选：AB.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．设双曲线C的左、右焦点分别为，，且焦距为，P是C上一点，满足，，则的周长为 ．
【解析】
因为，所以.设，，
因为，所以.
在中，根据余弦定理有，
所以，整理可得，，解得（负值舍去），所以，
所以，，故周长为.
14．已知，点P满足，动点M，N满足，，则的最小值是 ．
【解析】以的中点O为坐标原点，的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则，由双曲线定义可知，点P的轨迹是以，为焦点，实轴长为6的双曲线的左支，即点P的轨迹方程为．，由，
可得．
因为的最小值为，所以的最小值是3．
15．已知双曲线的左右焦点分别为､，实轴长为1，是双曲线右支上的一点，满足，是轴上的一点，则 .
【解析】设，由题意知，,
因为是双曲线右支上的一点，满足，所以,解得.
所以 ，两式相减可得，即.设，则，
又，所以.
16．设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为 .
【解析】如图，设为的中点，连接，
易知，， ，
又为的中点，，，，
为等腰直角三角形，设，由双曲线的定义知，解得，
，又，.
在中，，，，化简得，即，
又，.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知双曲线C的渐近线为，右焦点为，右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当时，求直线l的方程.
【解析】（1）双曲线的渐近线化为，设双曲线的方程为，
即，又双曲线的右焦点，则，解得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）由（1）知，，设直线的方程为，显然，
由消去整理得，显然，，
而，则
，
化简得，即，而，解得，
所以直线的方程为，即.
18．已知，，点满足，记点的轨迹为，
(1)求轨迹的方程；
(2)若直线过点，且与轨迹交于、两点．在轴上是否存在定点，无论直线绕点怎样转动，使恒成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）由知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支．
且，即，，故， 轨迹方程为．
（2）若直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得得，
设，，由条件得 ，解得．
设存在点满足条件，
由
，得
对任意恒成立，所以解得， 因此存在定点满足条件．
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，联立得，，
将验证，结果也成立.
综上所述，轴上存在定点，使恒成立.
19．已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为.
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由已知C：，点A的坐标为，得，
焦点，，.
所以，，故C：.
（2）设l的方程为，则，故，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，故.
与双曲线方程联立得：，
由已知得，，设，，则，①
由，得：，，
消去得：，即②
由①②得：，由已知，故存在定直线l：满足条件.
20．已知双曲线的虚轴长为，左焦点为F．
(1)设O为坐标原点，若过F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当时，求的面积；
(2)设过F的直线l与C交于M，N两点，若x轴上存在一点P，使得为定值，求出点P的坐标及该定值．
【解析】（1）由题意可知，，得，所以双曲线C的标准方程为，
则，双曲线C的渐近线方程为，
由对称性可知，直线l与垂直和直线l与垂直这两种情况下的面积是相等，
不妨设直线l与垂直，则直线l的方程为，
则点A在渐近线上，点B在渐近线上，
由，解得，则，所以，
易知，所以，故的面积．
（2）设，当轴时，直线l的方程为，代入，解得，
不妨取，，则，
当轴时，直线l的方程为，代入，解得，
不妨取，，则，
令，解得，此时，
当直线l与坐标轴不垂直时，设直线l的方程为，
代入，得，，
设，，则，，
当点P的坐标为时，
．
综上可知，当点P的坐标为时，为定值0．
21．点在以、为焦点的双曲线上，已知，，为坐标原点．
(1)求双曲线的离心率；
(2)过点作直线分别与双曲线渐近线相交于、两点，且，，求双曲线的方程；
(3)若过点（为非零常数）的直线与（2）中双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且（为非零常数），问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这种定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为，则，可得，
因为，由勾股定理可得，即，
所以，，因此，该双曲线的离心率为.
（2）因为，则，
所以，双曲线的方程为，即，
双曲线的渐近线方程为，设点、、，
，可得，
因为，即，可得，
即点，将点的坐标代入双曲线的方程可得，
可得，所以，，所以，，因此，双曲线的方程为.
（3）假设在轴上存在定点 使得，
设直线的方程为，设点、，
联立，可得，
由题意可得，可得，
由韦达定理可得，，易知、，
所以，，，
因为，所以，，
即，即，
即，（*）
由可得，则，
将代入（*）可得，（**）
将代入韦达定理可得，所以，，
将代入（**）式可得，
故在轴上存在定点使得．
22．已知分别为双曲线左、右焦点，在双曲线上，且．
(1)求此双曲线的方程；
(2)若双曲线的虚轴端点分别为（在轴正半轴上），点在双曲线上，且，，试求直线的方程．
【解析】（1）设，，则，，
，解得：，；
又在双曲线上，则，，，双曲线的方程为：.
（2）由（1）得：，，，三点共线，
直线斜率显然存在，可设，，，
由得：，，即且，
，，
，，又，，
，
解得：，满足且，
直线方程为：或.
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