专题15 直线与抛物线的位置关系-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用）

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一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知抛物线，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（ ）
A．B．3C．D．6
2．已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．过抛物线上定点作圆的两条切线，分别交抛物线于另外两点、，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知抛物线的焦点为F，直线l过点F且与C交于M，N两点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知点为抛物线：的焦点，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B两点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
6．抛物线上一点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知点和抛物线，过抛物线的焦点有斜率存在且不为0的直线与交于，两点.若，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
8．已知抛物线：和圆：，过点作直线与上述两曲线自左而右依次交于点，，，，则的最小值为（ ）
A．B．2C．3D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．若直线与抛物线只有一个公共点，则实数k的值可以为（ ）
A．B．0C．8D．-8
10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，直线l的倾斜角为60°且经过点F.若l与C相交于两点，则（ ）
A．B．
C．D．△AOB的面积为
11．过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于、两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．不存在
12．在平面直角坐标系中，已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，，则（ ）
A．B．直线过点
C．的面积最小值是D．与面积之和的最小值是
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知抛物线的顶点为坐标原点，准线为，直线与抛物线交于两点，若线段的中点为，则直线的方程为 ．
14．已知抛物线上的两个不同的点，的横坐标恰好是方程的根，则直线的方程为 ．
15．已知O为坐标原点，A，B为抛物线上异于点O的两个动点，且．若点O到直线AB的距离的最大值为8，则p的值为 ．
16．已知抛物线C：的焦点为F，过F点倾斜角为的直线与曲线C交于A、B两点（A在B的右侧），则 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．点为抛物线上一点，为其焦点，已知．
(1)求与的值；
(2)以点为切点作抛物线的切线，交y轴于点N，求的面积．
18．已知直线上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且，记点P的轨迹为C．

(1)求曲线C的方程．
(2)设直线l与x轴交于点A，且．试判断直线PB与曲线C的位置关系，并证明你的结论．
19．已知点在抛物线：上
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线交于，两点，，且（其中为坐标原点），求的最小值
20．已知抛物线上的点到其焦点的距离为．
(1)求和的值；
(2)若直线交抛物线于、两点，线段的垂直平分线交抛物线于、两点，求证：、、、四点共圆．
21．已知点A是抛物线x2＝2py（p＞0）上的动点，过点M（－1，2）的直线AM与抛物线交于另一点B．
(1)当A的坐标为（－2，1）时，求点B的坐标；
(2)已知点P（0，2），若M为线段AB的中点，求面积的最大值．
22．在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小2．
(1)求的轨迹的方程；
(2)设动点的轨迹为曲线，过点作斜率为，的两条直线分别交于M，N两点和P，Q两点，其中．设线段和的中点分别为A，B，过点作，垂足为．试问：是否存在定点，使得线段的长度为定值．若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，说明理由．