专题16 抛物线的焦点弦、中点弦、弦长问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用）

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一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知抛物线的焦点为，则过点且斜率为的直线截抛物线所得弦长为（ ）
A．B．C．D．
2．设为抛物线的焦点，过点的直线交于两点，若，则（ ）
A．8B．12C．16D．24
3．过抛物线的焦点的直线交于两点，若直线过点，且，则抛物线的准线方程是（ ）
A．B．C．D．
4．过点作抛物线的弦AB，恰被点Q平分，则弦AB所在直线的方程为 （ ）
A．B．
C．D．
5．已知直线与抛物线：交于，两点，过，分别作的切线交于点，若的面积为，则（ ）
A．1B．C．D．2
6．已知抛物线：的焦点为F，过F且斜率大于零的直线l与及抛物线：的所有公共点从右到左分别为点A，B，C，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
7．已知斜率为的直线过抛物线C：的焦点F且与抛物线C相交于A，B两点，过A，B分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，，若与的面积之比为3，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知抛物线的焦点与的一个焦点重合，过焦点的直线与交于，两不同点，抛物线在，两点处的切线相交于点，且的横坐标为4，则弦长（ ）
A．16B．26C．14D．24
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知是抛物线内一动点，直线过点且与抛物线相交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．时，的最小值为
B．的取值范围是
C．当点是弦的中点时，直线的斜率为
D．当点是弦的中点时，轴上存在一定点，都有
10．已知A，B是抛物线：上两动点，为抛物线的焦点，则（ ）
A．直线AB过焦点F时，最小值为4
B．直线AB过焦点F且倾斜角为时，
C．若AB中点M的横坐标为2，则最大值为5
D．
11．过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与的另外两个交点分别为，则（ ）
A．的准线方程是
B．过的焦点的最短弦长为2
C．直线过定点
D．若直线过点，则的面积为24
12．已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．若，则的面积为
C．若直线过焦点，且，则到直线的距离为
D．若，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．抛物线截直线所得弦长等于 .
14．若抛物线的弦被点平分，则此弦所在直线的斜率为 ．
15．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点（在的左侧），又为坐标原点，点（异于）也为抛物线上一点，且，则实数的值为 .
16．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于点，，，且，则 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与交于两点，与轴交点为P.
(1)若，求的方程；
(2)若，求.
18．已知直线与抛物线相交于、两点.
(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；
(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.
19．已知直线轴，垂足为x轴负半轴上的点E，点E关于原点O的对称点为F，且，直线，垂足为A，线段AF的垂直平分线与直线交于点B，记点B的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知点，不过点P的直线l与曲线C交于M，N两点，以线段MN为直径的圆恒过点P，点P关于x轴的对称点为Q，若的面积是，求直线的斜率.
20．设抛物线C：的焦点为F，P是抛物线外一点，直线PA，PB与抛物线C切于A，B两点，过点P的直线交抛物线C于D，E两点，直线AB与DE交于点Q.
(1)若AB过焦点F，且，求直线AB的倾斜角；
(2)求的值.
21．已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，当平行于轴时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与抛物线的另一交点为的中点为，证明：三点共线.
22．已知抛物线：上一点到焦点的距离为2.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线交抛物线于，两点，点，连接交抛物线于另一点，连接交抛物线于另一点，且与的面积之比为，求直线的方程.