专题17 抛物线中的最值问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用）

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一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知抛物线的焦点为，若，是抛物线上一动点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．3
【解析】根据题意,作图如下：
设点P在其准线x=-1上的射影为A,由抛物线的定义得:.
所以要使取得最小值,只需最小.
因为(当且仅当M,P,A三点共线时取“=”),此时点P的纵坐标为1,设其横坐标为x0.
因为P(x0,1)为抛物线上的点,则有，解得：.
当P为(,1)时, 取得最小值2.故选：B．
2．抛物线上的点P到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设抛物线上一点为，，
点，到直线的距离，
当时，即当，时，抛物线上一点到直线的距离最短，为，
故选：C
3．已知是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【解析】依题意，设，，，由，在轴上方，故，，

因为抛物线为，所以，
则，所以，则，
注意到，故，即，
又，代入可得，
故，即，解得，
当且仅当时，等号成立，因而.故选：B.
4．已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（ ）
A．3B．4C．D．6
【解析】由消去得，
因为，所以方程无解，即直线与抛物线无交点；
过点作于点，于点，记抛物线的焦点为，连接，
因为点到直线的距离为,为抛物线的准线，根据抛物的定义可得，，则到直线和的距离之和为，
若，，三点不共线，则有，
当，，三点共线，且位于之间时，，则，
又，所以，即所求距离和的最小值为.
故选：.
5．设抛物线的准线为，定点，过准线上任意一点作抛物线的切线，为切点，过原点O作，垂足为H．则线段MH长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为抛物线的准线为，焦点为，
所以过点作抛物线的切线，设切点，
所以，则，所以直线的方程分别为；，联立可得，所以，即，
又因为点在准线上，则，，
设直线的方程为：代入抛物线的方程可得：，
所以，则，所以直线过定点，又因为焦点，，所以点在以为直径的圆上，又因为的中点为，所以，
所以，故选：C.
6．，是抛物线上的两个动点，为坐标原点，当时，的最小值为（ ）
A．B．4C．8D．64
【解析】设直线的方程为，，，直线的方程为，
由，解得，即，，则，
由，解得，即，则，
，当且仅当时取等号，
的最小值为8．故选：C．
7．已知过抛物线焦点的直线交抛物线于M、N两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．6
【解析】由题意可得焦点，且直线斜率存在，
设直线的方程为：，，，
由可得，所以，，
由抛物线的定义可得：，，
所以，
因为，所以
当且仅当即时等号成立，所以的最小值为，故选：A.
8．直线与抛物线：交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为-1，以线段的中点为圆心，为半径的圆与直线交于，两点，则的最小值为（ ）
A．16B．20C．32D．36
【解析】
设直线，联立则该直线与交点坐标，
直线，的斜率之积为-1，
所以直线，则该直线与交点坐标，
线段的中点，令，则
最小值为16，当或时取得最小值.
在和中，由余弦定理可得：
，两式相加可得：
其最小值为36，当或时取得最小值.故选：D
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线C的准线方程为
B．直线与C相切
C．若，则的最小值为4
D．若，则的周长的最小值为11
【解析】抛物线C：，即，，，设，
对选项A：抛物线C的准线方程为，正确；
对选项B：，整理得到，方程有唯一解，故相切，正确；
对选项C：，时取等号，错误；
对选项D：过点作垂直于准线于， ，当共线时等号成立，正确.
故选：ABD
10．已知抛物线C：的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．抛物线C的准线l的方程为
B．的最小值为4
C．若，点Q为抛物线C上的动点，则的最小值为6
D．的最小值
【解析】由焦点到准线的距离为4可得，所以抛物线的方程为，
A中，由抛物线的方程为，所以可得准线方程为，故A正确；
中，过焦点的直线为，则，整理可得，
可得，，所以， 时取等号， 最小值为8，所以不正确；
中，满足 ，可知点在抛物线内部， 过作准线的垂线，垂足为，则，
当且仅当，，三点共线时取等号，所以的最小值为6，故正确；
中，由B的解析可知： 由抛物线的方程可得：，
所以，当且仅当时取等号，所以正确；
故选：ACD．
11．已知点在抛物线C：上，过P作圆的两条切线，分别交C于A，B两点，且直线AB的斜率为，若F为C的焦点，为C上的动点，N是C的准线与坐标轴的交点，则（ ）
A．B．
C．的最大值是D．的最大值是
【解析】由题意可知，点与圆心同在上，
所以过P所作圆的两条切线关于直线对称，所以．
设，，，则，
同理可得，，则，得，
所以，由，得．
将代入抛物线C的方程，得，解得，故抛物线C的方程为，所以A错误，B正确．
设，作垂直准线于，如下图所示：

由抛物线的性质可得，所以，当最小时，的值最大，
所以当直线MN与抛物线C相切时，θ最大，即最小．
由题意可得，设切线MN的方程为，
联立方程组，消去x，得，由，可得，
将代入，可得，所以，即M的坐标为，
所以，，所以的最大值为，即C正确，D错误．
故选：BC
12．已知为坐标原点，为抛物线上一点，直线与交于两点，过作的切线交于点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若点为，且直线与倾斜角互补，则或
C．点在定直线上
D．设点为，则的最小值为3
【解析】对于选项A，设，联立抛物线和直线整理可得，
利用韦达定理可知，
则，
将代入整理可得，即A正确；
对于B，若点为，且直线与倾斜角互补，则可知与都不重合，即；
所以，即，整理得
整理得，解得或；
当时，直线过点，不合题意；所以，即B错误；
对于C，易知直线恒过定点，如下图所示：

不妨设在第一象限，则在曲线上，易得
则在处的切线方程为，又,
整理可得，在处的切线方程为，同理则在曲线上，易得
则在处的切线方程为，且；
所以在处的切线方程为，
联立，解得，即切线交点的横坐标恒为3；
即点在定直线上，所以C正确；
对于D，设，则，
当且仅当时，，即的最小值为，即D错误.
故选：AC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．在平面直角坐标系中，已知点，动点P满足：过点作直线的垂线，垂足为，且，则的最小值为 ．
【解析】设点坐标为，则，，又因为，所以，
由，得，所以，是抛物线上的点，
设，则,
因为，所以当时，取最小值，此时．
14．已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且点的坐标为，则的最大值是 .
【解析】，由抛物线的定义知等于到准线的距离，
记直线与准线的夹角为，可得，
①若斜率不存在，则原式，
②若斜率存在，当PA与抛物线相切时，最小，
设的直线方程为，联立得，由得，即，
故，此时
15．已知点P在抛物线上，P到的距离是，P到的距离是，则的最小值为 .
【解析】设，因为，所以，
，，
，
对称轴为，所以当时，取得最小值.
16．已知点，动点在函数的图像上，动点在以为圆心半径为2的圆上，则的最小值为 .
【解析】根据题意画出图像
动点满足，设，可得的轨迹为圆，
设，且，可得，
化简可得，，
所在方程又为，令，解得，此时满足，
可得，即，可得的最小值为的最小值，
当三点共线，且为抛物线的法线时，取得最小值，
设，的导数为，可得，解得
即，即有.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线，已知动点到点的距离等于点到直线的距离，设点的轨迹为.
(1)过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，求线段的长；
(2)求曲线上的点到直线的最短距离.
【解析】（1）已知动点到点的距离等于点到直线的距离，
所以曲线的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，其标准方程为①，
因为过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，则直线的方程为②，
联立①②，消去并整理得，设点，，由韦达定理得，
此时；
（2）不妨设点是抛物线上的点，则点到直线的距离，
易知当时，，故曲线上的点到直线的最短距离为．

18．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作抛物线的两条互相垂直的弦，，设弦，的中点分别为P，Q，求的最小值．
【解析】（1）依题意，设．由抛物线的定义得，解得：，
因为在抛物线上，所以，所以，解得：．
故抛物线的方程为．
（2）由题意可知，直线的斜率存在，且不为0．
设直线的方程为，，．
联立，整理得：，
则，从而．
因为是弦的中点，所以，同理可得．
则
，
当且仅当且，即时等号成立，故的最小值为8．
19．已知抛物线：的焦点为，过点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，．
(1)求抛物线的方程；
(2)若，是抛物线上两动点，以为直径的圆经过点，点，，三点都不重合，求的最小值
【解析】（1）由题知，∴，∴，抛物线的方程为．
（2）设直线的方程为，设点，，
由方程组得:，∴，
即，且，，
∴，
，∵以为直径的圆经过点，∴，∴，
∴，即，
∴，∴，
∴，∴或，若，
直线：过点，不合题意，舍去．，
∴．则，
所以当时，最小，且最小值为11.
20．已知抛物线C：，F为抛物线C的焦点，是抛物线C上点，且；
(1)求抛物线C的方程；
(2)过平面上一动点作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求的最大值.
【解析】（1）依题意得：，∴，∴，
所求抛物线的方程为；
（2）抛物线的方程为，即∴，
设，，则切线PA，PB的斜率分别为，.
所以切线PA：，∴，又，，
同理可得切线PB的方程为，
因为切线PA，PB均过点，所以，，
所以，为方程的两组解.
所以直线AB的方程为.
联立方程，消去x整理得，
∴，∴.
∴，，由抛物线定义可知，，
所以，∵，
∴，令，
∴原式，
即原式的最大值.
21．如图，已知点是焦点为F的抛物线上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为.
(1)求抛物线方程；
(2)证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值；
(3)令焦点F到直线AB的距离d，求的最大值.
【解析】（1）将点代入抛物线方程可得：，所以抛物线；
（2）证明：设，与抛物线方程联立可得：
，∴，
因为直线PA，PB的倾斜角互补，用代k可得：
因此，，即.
（3）解：由（2）可知，，，
因此，
到直线AB的距离，所以
∵，
∴，
令，由，得
∴
当且仅当时取等号.所以的最大值为.
22．如图，已知椭圆和抛物线，斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点，且线段的中点在抛物线上．
(1)求点的纵坐标的取值范围；
(2)设是抛物线上一点，且位于椭圆的左上方，求点的横坐标的取值范围，使得的面积存在最大值．
【解析】（1）由题意可设直线的方程为，则，
联立可得，
，可得，①
设点、，由韦达定理可得，，
设点，则，，
将点的坐标代入抛物线的方程得，则，
代入①可得，可得，解得，
因此.因此，点的纵坐标的取值范围是.
（2）解：设点，则点到直线的距离为，
，故的面积，②
将代入②得，
令，记，则，则，
因为在上单调递减，所以，函数在内有唯一的极值点，且为极大值点，
所以，，可得，③
因为点在椭圆的左上方，则，④
由③④可得，因此，点的横坐标的取值范围是.