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专题26 圆锥曲线中的弦长问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用）
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这是一份专题26 圆锥曲线中的弦长问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用），文件包含专题26圆锥曲线中的弦长问题原卷版docx、专题26圆锥曲线中的弦长问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知抛物线的焦点为，若直线与交于，两点，且，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解析】令，则，故，所以，
所以，故准线为，则.故选：B
2．过抛物线的焦点F作倾斜角为的弦AB，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】根据抛物线方程得：焦点坐标，
直线的斜率为，由直线方程的点斜式方程，设，
将直线方程代入到抛物线方程中，得：，
整理得：，设，，，，
由一元二次方程根与系数的关系得：，，
所以弦长．故选：B．
3．直线被椭圆截得最长的弦为（ ）
A．B．C．D．
【解析】联立直线和椭圆，可得，
解得或，则弦长，
令，则，
当，即，取得最大值，故选：B
4．已知椭圆的左、右顶点分别为，点为上一点，且不在坐标轴上，直线与直线交于点，直线与直线将于点．设直线的斜率为，则满足的的所有值的和为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，， 则，，
则，因为，所以，
直线的方程为，则的横坐标为，
直线的方程为，则的横坐标为，
所以，整理得或，
解得或或.
所以的所有值的和为，故选：A
5．已知椭圆的左､右顶点分别为，点为上一点，且不在坐标轴上，直线与直线交于点，直线与直线将于点.设直线的斜率为，则满足的的所有值的和为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，， 则，，
则，因为，所以，
直线的方程为，则的横坐标为，
直线的方程为，则的横坐标为，
所以，整理得或，
解得或或.
所以的所有值的和为，故选：A
6．已知圆，若直线m过且与圆交于两点，则弦长的最小值是（ ）
A．B．4C．D．
【解析】由圆的圆心坐标，半径，
因为直线m过，所以圆心到直线的最大距离就是圆心到点的距离
可得，
由圆的弦长公式，可得，此时弦长的最小，
即弦长的最小值为，故选：D.
7．已知抛物线：()的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于，两点，作，，垂足分别为，，若，，则（ ）
A．B．4C．5D．
【解析】如图所示，
由题意知：：，，设，，直线：，
则，，由，得：，
，，，，
，解得：，设抛物线准线交轴于，
则，在中，可得，，
是等边三角形，，，
.故选：D.
8．过椭圆上的焦点作两条相互垂直的直线，交椭圆于两点，交椭圆于两点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】当直线有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则直线斜率为0，
此时，，所以，
当直线的斜率都存在且不为0时，不妨设直线的斜率为k，则直线的斜率为，
不妨设直线都过椭圆的右焦点，所以直线，直线，
联立与椭圆T，可得，
，，
所以，
同理，所以，
令，因为，所以，
所以=，
令，因为，所以，
所以，所以，所以，
综上的取值范围是.故选：C
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知椭圆：内一点，直线与椭圆交于，两点，且点是线段的中点，则（ ）
A．椭圆的焦点坐标为，
B．椭圆的长轴长为4
C．直线的方程为
D．
【解析】由椭圆方程，所以，，所以，故，
所以椭圆的焦点坐标为，，故A错误；
因为，所以椭圆的长轴长为，故B正确；
设点，，则，两式相减可得，
整理得，因为点是线段的中点，且，
所以，所以，所以直线的方程为，即，故C正确；
由，得，
所以，，所以，故D正确．
故选：BCD
10．已知为坐标原点，，，是抛物线上两点，为其焦点，则下列说法正确的有（ ）
A．周长的最小值为
B．若，则最小值为
C．若直线过点，则直线，的斜率之积恒为
D．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为
【解析】因为抛物线，，，
所以，准线，
对于A，过作，垂足为，则，
所以周长的最小值为，故A正确；
对于B，若，则弦过，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，设的中点为，过作，垂足为，
则，即最小值为4，故B不正确；
对于C，若直线过点F，设直线，联立，消去得，
设、，则，，
所以，故C正确；
对于D，因为为外接圆的弦，所以圆心的横坐标为，
因为外接圆与抛物线C的准线相切，所以圆的半径为，
所以该圆面积为，故D正确.
故选：ACD.
11．已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过的直线与在第一象限内自下而上依次交于两点，过作于，则（ ）
A．的方程为
B．当三点共线时，
C．
D．当时，
【解析】由题意，在中，准线与轴交于点
∴，解得：，∴抛物线的方程为，A项错误；
设的方程为，
联立得，
则，即，
由题意可知，，当三点共线时，，
则，解得，则，
代入的方程可知，，
根据抛物线的定义可知，∴，B项正确；
由定义可知，，
∵，∴，C项正确；
当时，则，
解得（负值舍去），，则，
由，则，
∴，①
假设，则，则，显然不符合①，所以D项错误．
故选：BC．
12．已知抛物线的焦点为，定点和动点，都在抛物线上，且（其中为坐标原点）的面积为3，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的标准方程为
B．设点是线段的中点，则点的轨迹方程为
C．若（点在第一象限），则直线的倾斜角为
D．若弦的中点的横坐标2，则弦长的最大值为7
【解析】A．，抛物线的标准方程为，故A错误；
B．抛物线的焦点为，，，则，，
代入，得，整理得，
所以点的轨迹方程为，B正确；
C．由于，所以三点共线，设直线的倾斜角为，
，，解得，
同理可得，依题意，即，
，所以为锐角，所以，C正确；
D．设直线的方程为，由消去并化简得，
设，则 ，
，则，
，
所以当时，，，
满足.所以D正确．
故选：BCD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知直线与椭圆交于、两点，则线段的长为 ．
【解析】设，联立，
，，∴．
14．已知抛物线C：（）的焦点F与的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为4，则弦长 ．
【解析】因为抛物线C：（）的焦点F与的一个焦点重合，
所以 ，则，抛物线方程为，设，直线AB的方程为，
则 ，由 ，得，
则在点A处的切线方程为 ，即 ，
同理在点B处的切线方程为： ，
两切线方程联立解得：，即，
由，得，所以，解得，
所以，所以.
15．如果分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线左支上过点的弦，且，则的周长是
【解析】由题意知：，故.由双曲线的定义知①，②，
①＋②得：，所以，
所以的周长是.
16．已知斜率为的直线经过抛物线的焦点且与此抛物线交于，两点，．直线与抛物线交于两点，且两点在轴的两侧．若，则 ．
【解析】抛物线的焦点为 ，设直线的方程为 ，
由 得 ，
所以 ，则，
，即，所以或，
由，得，设，
由两点在轴的两侧，则 ，所以 ，，
，
所以，即，解得：或，由上可知取
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆的标准方程为.
(1)求椭圆被直线截得的弦长；
(2)若直线与椭圆交于，两点，当（O为坐标原点）时，求的值.
【解析】（1）联立方程： ，整理可得：
根据韦达定理：，
根据弦长公式椭圆被直线截得的弦长为：
（2）设，，，
联立方程：，整理可得：
因为存在两个交点，故，解得
根据韦达定理：，，，
因为，所以，
即 ，解得
18．已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线：的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且的重心为G在曲线上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)记曲线与y轴的交点为D，且直线AB与x轴相交于点E，弦AB的中点为M，求四边形DEMG的面积最小值.
【解析】（1）焦点，显然直线AB的斜率存在，设：，
联立，消去y得，，设，，，
则，，所以，
所以，且，故，
即，整理得对任意的恒成立，故，
所求抛物线的方程为.
（2）解：
由（1）知，，，，，，
则，又弦AB的中点为M，的重心为G，则，
故，所以，D点到直线AB的距离，
，，
所以四边形的面积，
当且仅当，即时取等号，
此时四边形的面积最小值为.
19．已知椭圆的离心率为，右焦点为F，且E上一点P到F的最大距离3．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若A，B为椭圆E上的两点，线段AB过点F，且其垂直平分线交x轴于H点，，求．
【解析】（1）椭圆的离心率为，右焦点为F，且E上一点P到F的最大距离3，所以，所以，所以椭圆E的方程；
（2）A，B为椭圆E上的两点，线段AB过点F，且其垂直平分线交x轴于H点，
所以线段AB所在直线斜率一定存在，所以设该直线方程代入，
整理得：，设，
，，
，整理得：，
当时，线段中点坐标，
中垂线方程：，；
当时，线段中点坐标，
中垂线方程：，，
综上所述：.
20．已知点在圆上运动，过点作轴的垂线段为垂足，为线段的中点（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）．
(1)求点的轨迹方程；
(2)经过点作直线，与圆相交于两点，与点的轨迹相交于两点，若，求直线的方程．
【解析】（1）点，点，则点，由点是的中点，得，，
因为在圆上，所以，
可得，即，所以点的轨迹是椭圆。
（2）若直线的斜率不存在，则，
将代入中，解得，则，
将代入中，解得，则，而，舍去；
若直线的斜率存在，设为，则，
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，则，
联立得，
设，，则，，
，由，
得，解之得．
综上所述，直线的方程为或．
21．已知椭圆的左，右焦点分别为，，E的离心率为，斜率为k的直线l过E的左焦点，且直线l与椭圆E相交于A，B两点.
(1)若，，求椭圆E的标准方程；
(2)若，，，求k的值.
【解析】（1）因为，所以，由，得.
因为，，所以直线l的方程为，
将直线方程代入椭圆方程并整理得.
设，，则，，
所以，解得，
所以椭圆E的标准方程为.
（2）由（1）知，，，，
易得直线l的方程为，椭圆E的方程为，
将直线方程代入椭圆方程并整理得.
由，，得，，
又因为，，
可得，，所以.
设，，则，，
因为，
所以，
整理得，又因为，所以.
22．已知椭圆:过点，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且互相垂直的直线,分别交椭圆于,两点及两点.求的取值范围.
【解析】（1）椭圆:过点，且离心率为
所以，解得，所以椭圆的方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，则直线：，代入椭圆方程得，
所以；直线：，代入椭圆方程得，所以，
所以；
当直线的斜率不存在时，同理可得；
当直线,的斜率均存在，不妨设直线的方程为，则直线的方程为，，
则，消去得，
恒成立，所以，
所以
；
同理可得，将换成可得
所以，
综上所述，的取值范围是.
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知抛物线的焦点为，若直线与交于，两点，且，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【解析】令，则，故，所以，
所以，故准线为，则.故选：B
2．过抛物线的焦点F作倾斜角为的弦AB，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】根据抛物线方程得：焦点坐标，
直线的斜率为，由直线方程的点斜式方程，设，
将直线方程代入到抛物线方程中，得：，
整理得：，设，，，，
由一元二次方程根与系数的关系得：，，
所以弦长．故选：B．
3．直线被椭圆截得最长的弦为（ ）
A．B．C．D．
【解析】联立直线和椭圆，可得，
解得或，则弦长，
令，则，
当，即，取得最大值，故选：B
4．已知椭圆的左、右顶点分别为，点为上一点，且不在坐标轴上，直线与直线交于点，直线与直线将于点．设直线的斜率为，则满足的的所有值的和为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，， 则，，
则，因为，所以，
直线的方程为，则的横坐标为，
直线的方程为，则的横坐标为，
所以，整理得或，
解得或或.
所以的所有值的和为，故选：A
5．已知椭圆的左､右顶点分别为，点为上一点，且不在坐标轴上，直线与直线交于点，直线与直线将于点.设直线的斜率为，则满足的的所有值的和为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设，， 则，，
则，因为，所以，
直线的方程为，则的横坐标为，
直线的方程为，则的横坐标为，
所以，整理得或，
解得或或.
所以的所有值的和为，故选：A
6．已知圆，若直线m过且与圆交于两点，则弦长的最小值是（ ）
A．B．4C．D．
【解析】由圆的圆心坐标，半径，
因为直线m过，所以圆心到直线的最大距离就是圆心到点的距离
可得，
由圆的弦长公式，可得，此时弦长的最小，
即弦长的最小值为，故选：D.
7．已知抛物线：()的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于，两点，作，，垂足分别为，，若，，则（ ）
A．B．4C．5D．
【解析】如图所示，
由题意知：：，，设，，直线：，
则，，由，得：，
，，，，
，解得：，设抛物线准线交轴于，
则，在中，可得，，
是等边三角形，，，
.故选：D.
8．过椭圆上的焦点作两条相互垂直的直线，交椭圆于两点，交椭圆于两点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】当直线有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则直线斜率为0，
此时，，所以，
当直线的斜率都存在且不为0时，不妨设直线的斜率为k，则直线的斜率为，
不妨设直线都过椭圆的右焦点，所以直线，直线，
联立与椭圆T，可得，
，，
所以，
同理，所以，
令，因为，所以，
所以=，
令，因为，所以，
所以，所以，所以，
综上的取值范围是.故选：C
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知椭圆：内一点，直线与椭圆交于，两点，且点是线段的中点，则（ ）
A．椭圆的焦点坐标为，
B．椭圆的长轴长为4
C．直线的方程为
D．
【解析】由椭圆方程，所以，，所以，故，
所以椭圆的焦点坐标为，，故A错误；
因为，所以椭圆的长轴长为，故B正确；
设点，，则，两式相减可得，
整理得，因为点是线段的中点，且，
所以，所以，所以直线的方程为，即，故C正确；
由，得，
所以，，所以，故D正确．
故选：BCD
10．已知为坐标原点，，，是抛物线上两点，为其焦点，则下列说法正确的有（ ）
A．周长的最小值为
B．若，则最小值为
C．若直线过点，则直线，的斜率之积恒为
D．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为
【解析】因为抛物线，，，
所以，准线，
对于A，过作，垂足为，则，
所以周长的最小值为，故A正确；
对于B，若，则弦过，过作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为，设的中点为，过作，垂足为，
则，即最小值为4，故B不正确；
对于C，若直线过点F，设直线，联立，消去得，
设、，则，，
所以，故C正确；
对于D，因为为外接圆的弦，所以圆心的横坐标为，
因为外接圆与抛物线C的准线相切，所以圆的半径为，
所以该圆面积为，故D正确.
故选：ACD.
11．已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过的直线与在第一象限内自下而上依次交于两点，过作于，则（ ）
A．的方程为
B．当三点共线时，
C．
D．当时，
【解析】由题意，在中，准线与轴交于点
∴，解得：，∴抛物线的方程为，A项错误；
设的方程为，
联立得，
则，即，
由题意可知，，当三点共线时，，
则，解得，则，
代入的方程可知，，
根据抛物线的定义可知，∴，B项正确；
由定义可知，，
∵，∴，C项正确；
当时，则，
解得（负值舍去），，则，
由，则，
∴，①
假设，则，则，显然不符合①，所以D项错误．
故选：BC．
12．已知抛物线的焦点为，定点和动点，都在抛物线上，且（其中为坐标原点）的面积为3，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的标准方程为
B．设点是线段的中点，则点的轨迹方程为
C．若（点在第一象限），则直线的倾斜角为
D．若弦的中点的横坐标2，则弦长的最大值为7
【解析】A．，抛物线的标准方程为，故A错误；
B．抛物线的焦点为，，，则，，
代入，得，整理得，
所以点的轨迹方程为，B正确；
C．由于，所以三点共线，设直线的倾斜角为，
，，解得，
同理可得，依题意，即，
，所以为锐角，所以，C正确；
D．设直线的方程为，由消去并化简得，
设，则 ，
，则，
，
所以当时，，，
满足.所以D正确．
故选：BCD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知直线与椭圆交于、两点，则线段的长为 ．
【解析】设，联立，
，，∴．
14．已知抛物线C：（）的焦点F与的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为4，则弦长 ．
【解析】因为抛物线C：（）的焦点F与的一个焦点重合，
所以 ，则，抛物线方程为，设，直线AB的方程为，
则 ，由 ，得，
则在点A处的切线方程为 ，即 ，
同理在点B处的切线方程为： ，
两切线方程联立解得：，即，
由，得，所以，解得，
所以，所以.
15．如果分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线左支上过点的弦，且，则的周长是
【解析】由题意知：，故.由双曲线的定义知①，②，
①＋②得：，所以，
所以的周长是.
16．已知斜率为的直线经过抛物线的焦点且与此抛物线交于，两点，．直线与抛物线交于两点，且两点在轴的两侧．若，则 ．
【解析】抛物线的焦点为 ，设直线的方程为 ，
由 得 ，
所以 ，则，
，即，所以或，
由，得，设，
由两点在轴的两侧，则 ，所以 ，，
，
所以，即，解得：或，由上可知取
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆的标准方程为.
(1)求椭圆被直线截得的弦长；
(2)若直线与椭圆交于，两点，当（O为坐标原点）时，求的值.
【解析】（1）联立方程： ，整理可得：
根据韦达定理：，
根据弦长公式椭圆被直线截得的弦长为：
（2）设，，，
联立方程：，整理可得：
因为存在两个交点，故，解得
根据韦达定理：，，，
因为，所以，
即 ，解得
18．已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线：的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且的重心为G在曲线上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)记曲线与y轴的交点为D，且直线AB与x轴相交于点E，弦AB的中点为M，求四边形DEMG的面积最小值.
【解析】（1）焦点，显然直线AB的斜率存在，设：，
联立，消去y得，，设，，，
则，，所以，
所以，且，故，
即，整理得对任意的恒成立，故，
所求抛物线的方程为.
（2）解：
由（1）知，，，，，，
则，又弦AB的中点为M，的重心为G，则，
故，所以，D点到直线AB的距离，
，，
所以四边形的面积，
当且仅当，即时取等号，
此时四边形的面积最小值为.
19．已知椭圆的离心率为，右焦点为F，且E上一点P到F的最大距离3．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若A，B为椭圆E上的两点，线段AB过点F，且其垂直平分线交x轴于H点，，求．
【解析】（1）椭圆的离心率为，右焦点为F，且E上一点P到F的最大距离3，所以，所以，所以椭圆E的方程；
（2）A，B为椭圆E上的两点，线段AB过点F，且其垂直平分线交x轴于H点，
所以线段AB所在直线斜率一定存在，所以设该直线方程代入，
整理得：，设，
，，
，整理得：，
当时，线段中点坐标，
中垂线方程：，；
当时，线段中点坐标，
中垂线方程：，，
综上所述：.
20．已知点在圆上运动，过点作轴的垂线段为垂足，为线段的中点（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）．
(1)求点的轨迹方程；
(2)经过点作直线，与圆相交于两点，与点的轨迹相交于两点，若，求直线的方程．
【解析】（1）点，点，则点，由点是的中点，得，，
因为在圆上，所以，
可得，即，所以点的轨迹是椭圆。
（2）若直线的斜率不存在，则，
将代入中，解得，则，
将代入中，解得，则，而，舍去；
若直线的斜率存在，设为，则，
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，则，
联立得，
设，，则，，
，由，
得，解之得．
综上所述，直线的方程为或．
21．已知椭圆的左，右焦点分别为，，E的离心率为，斜率为k的直线l过E的左焦点，且直线l与椭圆E相交于A，B两点.
(1)若，，求椭圆E的标准方程；
(2)若，，，求k的值.
【解析】（1）因为，所以，由，得.
因为，，所以直线l的方程为，
将直线方程代入椭圆方程并整理得.
设，，则，，
所以，解得，
所以椭圆E的标准方程为.
（2）由（1）知，，，，
易得直线l的方程为，椭圆E的方程为，
将直线方程代入椭圆方程并整理得.
由，，得，，
又因为，，
可得，，所以.
设，，则，，
因为，
所以，
整理得，又因为，所以.
22．已知椭圆:过点，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且互相垂直的直线,分别交椭圆于,两点及两点.求的取值范围.
【解析】（1）椭圆:过点，且离心率为
所以，解得，所以椭圆的方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，则直线：，代入椭圆方程得，
所以；直线：，代入椭圆方程得，所以，
所以；
当直线的斜率不存在时，同理可得；
当直线,的斜率均存在，不妨设直线的方程为，则直线的方程为，，
则，消去得，
恒成立，所以，
所以
；
同理可得，将换成可得
所以，
综上所述，的取值范围是.
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