专题30 圆锥曲线中的定值问题-备战2024年新高考数学之圆锥曲线专项高分突破（新高考专用）

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一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质．比如，双曲线有如下性质：A，B分别为双曲线的左、右顶点，从C上一点P（异于A，B）向实轴引垂线，垂足为Q，则为常数．若C的离心率为2，则该常数为（ ）
A．B．C．D．3
2．已知椭圆，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，，直线m经过点B且垂直于x轴，P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交m于点M，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知F为抛物线C：的焦点，O为坐标原点，过点F且斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点，则直线OA、OB的斜率之和为（ ）
A．－2B．－2PC．－4D．－4P
4．过抛物线的焦点作直线交抛物线于M，N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点P.已知是一个定值，则该定值为（ ）
A．2B．C．D．
5．已知点，在椭圆上，为坐标原点，记直线，的斜率分别为，，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．双曲线和椭圆的右焦点分别为，，，分别为上第一象限内不同于的点，若，，则四条直线的斜率之和为（ ）
A．1B．0C．D．不确定值
7．双曲线的左顶点为，右焦点为，离心率为，焦距为.设是双曲线上任意一点，且在第一象限，直线与的倾斜角分别为，，则的值为（ ）
A．B．C．D．与位置有关
8．已知P为椭圆上任意一点，点M，N分别在直线与上，且，，若为定值，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知抛物线与圆交于、两点，且，直线过的焦点，且与交于、两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．存在某条直线，使得
D．若点，则周长的最小值为
10．已知，是椭圆：的左右顶点，过点且斜率不为零的直线与 交于，两点，，，，分别表示直线，，，的斜率，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．直线与的交点的轨迹方程是
11．在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，且双曲线的左焦点在直线上，、分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记、的斜率分别为、 ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为B．双曲线的方程为
C．为定值D．存在点，使得
12．点分别为椭圆的左、右焦点且．点P为椭圆上任意一点，的面积的最大值是1，点M的坐标为，过点且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点，则下列结论成立的是（ ）
A．椭圆的离心率
B．的值与k相关
C．的值为常数
D．的值为常数-1
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点的直线交该抛物线于两点，则直线与直线的斜率之和为 ．
14．已知椭圆的左顶点为A，O为坐标原点，直线与椭圆C交于M，N两点，射线与椭圆C交于点P，设直线，的斜率分别为，，则 ．
15．已知点M、N分别是椭圆上两动点，且直线的斜率的乘积为，若椭圆上任一点P满足，则的值为 .
16．已知A，B是双曲线上的两个动点，动点P满足，O为坐标原点，直线OA与直线OB斜率之积为2，若平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知双曲线，渐近线方程为，点在上；

(1)求双曲线的方程；
(2)过点的两条直线，分别与双曲线交于，两点（不与点重合），且两条直线的斜率，满足，直线与直线，轴分别交于，两点，求证：的面积为定值.
18．已知双曲线：实轴长为4（在的左侧），双曲线上第一象限内的一点到两渐近线的距离之积为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设过的直线与双曲线交于，两点，记直线，的斜率为，，请从下列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明.
①为定值；
②为定值；
③为定值
19．已知椭圆的左、右焦点为，离心率为.点是椭圆上不同于顶点的任意一点，射线分别与椭圆交于点，的周长为8.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，，的面积分别为.求证：为定值.
20．如图3所示，点，分别为椭圆的左焦点和右顶点，点为抛物线的焦点，且（为坐标原点）.

(1)求椭圆的方程；
(2)过点作直线交椭圆于，两点，连接，并延长交抛物线的准线于点，，求证：为定值.
21．已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，且．
(1)求的值；
(2)若直线l与交于M，N两点，与交于P，Q两点，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且，证明：为定值．
22．设点F为抛物线C：的焦点，过点F且斜率为的直线与C交于A，B两点（O为坐标原点）
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点作两条斜率分别为，的直线，，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S.已知，问：是否存在实数，使得为定值?若存在，求的值，若不存在，请说明理由.