河南省洛阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份河南省洛阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列式子中，不属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．某商家搞营销活动，顾客买商品后抽奖券，中奖概率为．对“中奖概率为．”这句话，下列理解正确的是（ ）
A．抽1张奖券肯定不会中奖B．抽100张奖券肯定会中2张奖
C．抽1张奖券也可能会中奖D．抽100张奖券至少中1张奖
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．方程的根是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知一个袋子中装有2个红球和个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该袋子中任意摸出一个球是红球的概率为，则等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，若csB＝，则sinB的值是（ ）
A．B．C．D．
7．关于的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
8．水果店花1000元进了一批水果，按利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，于是又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利400元．若两次打折的折扣相同，设每次打折，（打折，即按原价的十分之出售．）根据题意列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在每个小方格均为小正方形的网格中，点都在格点上，则的正切值是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在中，分别是和上的中点，是所在直线上任一点，当点在所在直线上移动时，下列结论不正确的（ ）
A．的周长总等于的周长B．可能等于
C．D．
二、填空题
11．写一个实数，使运算的结果为有理数，可以是 （写出一个即可）．
12．如图，顺次连接等边三角形三边中点得到四个全等等边三角形．任意给其中两个涂色，涂色部分正好是菱形的概率是 ．
13．如图，是可折叠的简易凳子侧面示意图，与相交于点，根据图中的数据可得凳子高度是 米．
14．如图，中，A，B两个顶点在轴的上方，点C的坐标是(−1，0)．以点C为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，记所得的像是．设点A的横坐标是，则点A对应的点的横坐标是 ．
15．在中，平分于点是的中点，，则的长度是 ．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）解方程：．
17．暴雨过后，校园的两棵风景柏树同时侧倾在一起，如图，较低的正好抵着高树的中点．救援的小明等想知道高树比低树高多少（即的值），就通过测量得到了以下数据并进行计算：
(1)米，，取，他们设米，则用含的代数式表示______米，______米．由此列方程求解得______．
(2)应用（1）的数据，求高树比低树高多少米（取1.4）．
18．如图，在中，为直角，于．在中，是的中点．的延长线与的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
19．为提高学生的爱国情感，某学校组织学生参加了“爱国知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
学生答题成绩条形统计图 学生答题成绩扇形统计图
根据图中所给信息解答下列问题：
(1)这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______；
(2)将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求等所在扇形圆心角的度数；
(3)该校有1000名学生，估计该校学生答题成绩良好以上的有多少人；
(4)答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中有两名男生两名女生，学校从中随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好都是男生的概率．
20．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若时，求方程两根的值．
21．如图，某项绿化工程中有一块长为60米，宽为40米的矩形空地，计划在其中修建四块相同的矩形绿地，四块绿地之间及周边都留有人行通道．
(1)计划要求四块相同的矩形绿地面积之和为1836平方米，且四块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度是多少米？（参考数据：）
(2)实际绿化时修改方案为：①保证横向人行通道与原计划设计的宽度一样；②四块相同的矩形绿地都与整个空地相似；③三条纵向人行通道宽度相等．请你设计一种纵向人行通道的宽度，恰能满足上述方案．
22．风力发电是风靡全球的自然能源应用绿色设备，在我国应用更加广泛．如图是某风力发电设备示意图，其相同的三个叶片均匀分布，水平地面上的点在旋转中心的正下方．某一时刻，太阳光线恰好与扇叶在同一平面上，在地上设置高的标杆影长．此时太阳光垂直照射叶片（如左图），整个风力发电设备的影子最长达到．已知风力发电杆高为，求扇叶的长和此时点到地面的距离．
23．小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常有比较简明的结论．下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题．
(1)如图1，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于，则与的数量关系是：______（填“”“”“”号）．
(2)①如图2，在矩形中，为上的点，连接，过点作于点，交于．小明发现，过作于点，可以得到与的数量关系．这个数量关系是什么？请说明理由；
②填空：由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上且互相垂直的两条线段的比等于______；
③应用上述结论解决问题：在中，，点是的中点，连接，过作的垂线，交直线于，垂足是点，直接写出的长度．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数小于2，判断即可．
【详解】A. ，是最简二次根式，不符合题意；
B. ，是最简二次根式，不符合题意；
C. ，不是最简二次根式，符合题意；
D. ，是最简二次根式，不符合题意；
故选Ｃ．
2．C
【分析】本题考查了对概率概念的理解．概率表明事件发生的可能性的大小，据此回答即可．
【详解】解：概率即事件发生的可能性大小，抽奖一次，中奖事件可能发生，也可能不发生；抽100张奖券也可能一次不中，也可能多次中奖，具有不确定性．
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了二次根式的加法、除法、乘法及二次根式的化简，掌握运算法则及性质是关键．
分别利用二次根式的加法、除法、乘法、二次根式的性质进行判断即可．
【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B、，故正确；
C、，故错误；
D、，故错误；
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，因式分解法求解即可．
【详解】∵，
∴
∴，
解得．
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了概率，根据概率列方程即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
经检验知，是方程的解；
故选：B．
6．A
【详解】∵sin2B+cs2B=1，csB＝ ，
∴sin2B=1-（ ）2= ，
∵∠B为锐角，∴sinB= ，
故选A．
7．B
【分析】根据方程的根的判别式判断即可．
可，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
【详解】∵方程，，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，
故选：B．
8．D
【分析】利用，即可得出关于的一元二次方程，即可得到答案．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：，
故选：D．
9．A
【分析】本题考查了正切函数的定义，勾股定理及其逆定理，正确理解正切函数的定义和勾股定理及其逆定理是解答本题的关键，先根据勾股定理计算，，的值，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据正切函数的定义，即可得到答案．
【详解】根据勾股定理计算得
，
，
，
，
，
，
故选A．
10．A
【分析】题目主要考查三角形中位线的性质及三角形面积的计算，结合图形，利用三角形中位线的性质分别计算判断即可，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键
【详解】解：当P是的中点时，
∵分别是和上的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴此时的周长总等于的周长，
若P不是中点，则的周长不等于的周长，
故A错误，符合题意；B正确，不符合题意；
过点A作于N交于点M，
∵是的中位线，
∴，，
∴,
∵，
∴，
∴，故D不符合题意；
∵，
∴，
∴，故C不符合题意．
故选：A．
11．（答案不唯一）．
【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．根据平方差公式计算即可．
【详解】解：．
可以是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
12．
【分析】本题考查了几何概率；根据概率公式即可求得结果．
【详解】解：任意两个涂色，总的涂色结果有6种，其中涂色部分正好是菱形的结果有3种，则
涂色部分正好是菱形的概率是；
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，根据得到，利用相似三角形对应高的比等于相似比，列式计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
故凳子高度是(米)，
故答案为：．
14．
【分析】△A′B′C的边长是△ABC的边长的2倍，过A点和A′点作x轴的垂线，垂足分别是D和E，因为点A的横坐标是a，则DC=-1-a．可求EC=-2-2a，则OE=CE-CO=-2-2a-1=-3-2a
【详解】解：如图，
过A点和A′点作x轴的垂线，垂足分别是D和E，
∵点A的横坐标是a，点C的坐标是（-1，0）．
∴DC=-1-a，OC=1
又∵△A′B′C的边长是△ABC的边长的2倍,
CE=2CD=-2-2a，
OE=CE-OC=2-2a-1=-3-2a
故答案为：-3-2a
【点睛】本题主要考查了相似的性质，相似于点的坐标相联系，把点的坐标的问题转化为线段的长的问题．
15．12或8
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理；如图，分两种情况：在内部时；在外部时；证明，得，再由E为中点，利用三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：当在内部时，如图；延长交于F，
∵平分，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即点D为的中点，
∵E为中点，且，
∴，
∴；
当在外部时，如图，延长交延长线于F；
同理得，
∴，
即点D为的中点，
∵E为中点，且，
∴，
∴；
综上，的长为12或8．
16．（1）；（2）；
【分析】本题考查了实数的混合运算，因式分解法解一元二次方程；
（1）分别计算零指数幂、绝对值、化简二次根式，最后进行加减运算即可；
（2）化为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）移项得：，
分解因式得：，
即，
∴．
17．(1)
(2)高树比低树高米
【分析】本题考查解直角三角形的应用；
（1）由正切关系求得，由列出方程即可求解；
（2）由勾股定理求得，可求得，即可求得结果．
【详解】（1）解：由题意知，，
∴（米），米，
∵，
∴，
解得：；
故答案为：；
（2）解：由（1）知，米，米，
在中，由勾股定理得：米，（米）
∴米，
∴（米）
即高树比低树高米．
18．(1)见解析
(2)的长为8
【分析】此题重点考查同角的余角相等、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键．
（1）先证明，则，再由是的中点，证明，则，所以，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明；
（2）由相似三角形的性质得，则，所以．
【详解】（1）证明：为直角，于点，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
．
（2）解：
，
，，
，
，
的长为8．
19．(1)50，7
(2)条形统计图见解析，
(3)该校学生答题成绩为A等和B等共有672人
(4)
【分析】（1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出m的值；
（2）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；先求出成绩为C等级的人数所占百分比，再用360度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数；
（3）用全校人数乘以成绩为A等级和B等级人数所占百分比，即可求解；
（4）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：（人），
，
故答案为：50，7；
（2）解：成绩为C等级人数所占百分比：，
∴C等级所在扇形圆心角的度数：，
成绩为A等级的人数：（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：（人），
答：该校学生答题成绩为A等级和B等级共有672人；
（4）解：根据题意，假设甲乙是男生，丙丁是女生，列出表格如下：
由表可知，一共有12种情况，抽出的两名学生恰好是甲乙的有2种情况，
∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
【点睛】题目主要考查条形及扇形统计图，通过树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系；掌握这两个知识点是关键．
（1）计算出一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号即可作出判断；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴总有两个实数根；
（2）解：由一元二次方程根与系数的关系知：，
而，
∴．
21．(1)人行通道的宽度为2米
(2)纵向人行通道的宽度为3米时，恰能满足上述方案
【分析】本题考查了一元二次方程及一元一次方程的应用，关键是找到等量关系并列出方程．
（1）设人行通道的宽度是x米，则四块绿地可拼成长为米，宽为米的长方形，根据面积列出方程并解之即可；
（2）设纵向人行通道的宽度是y米，则每块矩形绿地的长为米，宽为米，根据四块相同长方形绿地都与整个空地相似，列出方程即可．
【详解】（1）解：设人行通道的宽度是x米，
由题意得：，
整理得：，
即，
解得：（舍去），
答：人行通道的宽度是2米；
（2）解：设纵向人行通道的宽度是y米，则每块矩形绿地的长为米即为米，宽为米，即为17米，
由题意得：，
解得：，
答：纵向人行通道的宽度为3米时，恰能满足上述方案．
22．扇叶的长为，点到地面的距离为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键；过B作于N，过O作于G；则可得四边形是矩形，有；由同一时刻物高与影长的比相等，得，设，则可表示出，由，得，其正切值相等，得到关于x的方程，求得x，即可求得结果．
【详解】解：如图，过B作于N，过O作于G；
∵，
∴四边形是矩形，
∴；
∵同一时刻物高与影长的比相等，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：，
∴，，，
由勾股定理得：；
∴扇叶的长为，点到地面的距离为．
23．(1)
(2)①数量关系为，理由见解析；②矩形两邻边的比；③；
【分析】（1）证明即可；
（2）①证明，由相似的性质即可得到与的数量关系；②由①的解答即可完成；③延长到N，使，分别连接，则可得四边形是矩形，且，由①的结论即可求得长度．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：①数量关系为
理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，；
∵，
∴四边形是矩形，
；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
即；
②由①知，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上且互相垂直的两条线段的比等于矩形两邻边的比；
故答案为：矩形两邻边的比；
③如图，延长到N，使，分别连接，
∵D为的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由勾股定理得：；
∵，
∴由①的结论知：，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，有一定的综合性．
第一名第二名
甲
乙
丙
丁
甲
甲乙
甲丙
甲丁
乙
乙甲
乙丙
乙丁
丙
丙甲
丙乙
丙丁
丁
丁甲
丁乙
丁丙