第5章 二次函数 苏科版九年级数学下册单元测试(含答案)

这是一份第5章 二次函数 苏科版九年级数学下册单元测试(含答案)，共20页。
二次函数单元测试 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________ 一、单选题（共9小题）1.对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）A．开口向下 B．顶点坐标是（1，﹣2） C．对称轴是直线 x＝﹣1 D．函数有最小值为 22.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a+b＝5，则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数关系式为（　　）A．S＝ B．S＝ C．S＝ D．S＝3.将抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线对应的函数表达式是（　　）A．y＝2（x+3）2+2 B．y＝2（x﹣3）2+2 C．y＝2（x+3）2﹣2 D．y＝2（x﹣3）2﹣24.据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　）A．y＝7.9（1+2x） B．y＝7.9（1﹣x）2 C．y＝7.9（1+x）2 D．y＝7.9+7.9（1+x）+7.9（1+x）25.已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（　　）A．x1＝﹣3，x2＝0 B．x1＝3，x2＝﹣1 C．x＝﹣3 D．x1＝﹣3，x2＝16.关于二次函数y＝x2﹣6x+a+27，下列说法错误的是（　　）A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a＝﹣5 B．当x＝12时，y有最小值a﹣9 C．x＝2对应的函数值比最小值大7 D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点7.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1，若2＜c＜3，则下列结论中错误的是（　　）A．abc＜0 B．4a+c＞0 C．﹣1＜a＜﹣ D．4a+2b+c＞08.已知点A（a﹣m，y1），B（a﹣n，y2），C（a+b，y3）都在二次函数y＝x2﹣2ax+1的图象上，若0＜m＜b＜n，则y1、y2，y3的大小关系是（　　）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y19.如图，抛物线y＝ax2﹣x+4与直线y＝x+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（　　）A．MN+BN＜AB B．∠BAC＝∠BAE C．∠ACB﹣∠ANM＝∠ABC D．四边形ACBM的最大面积为13 二、填空题（共7小题）10.如果函数y＝（k﹣3）+kx+1是二次函数，则k的值是　　．11.已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则y＞0时，对应的x的取值范围为　　．12.如果二次函数y＝﹣3x2+x﹣m+1的图象经过原点，那么m的值为　　．13.如果二次函数y＝（x﹣1）2的图象上有两点（2，y1）和（4，y2），那么y1　　y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2+b与y＝a（x﹣2）2+b+1交于点A．过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则线段BC的长为　　．15.如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移得到新抛物线C2，如果“平衡点”为（3，3），那么新抛物线C2的表达式为　　．16.已知抛物线y＝ax2+bx+c在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x＝1上的动点，根据图中提供的信息给出以下结论：①2a+b＝0；②x＝3是ax2+bx+c＝0的一个根；③若PA＝PB，PA⊥PB，则a+b+c＝4．其中正确的有　　个． 三、解答题（共9小题）17.已知二次函数的图象的顶点是（﹣1，﹣2），且经过点（0，﹣）．（1）求二次函数的解析式；（2）结合函数图象，当二次函数的图象位于x轴下方时，求自变量x的取值范围．18.如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0），B，且当x＝4时，二次函数的值为6．（1）求m的值和抛物线的解析式； （2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．19.如图，直线y＝x+n与抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）相交于A（1，2）和B（4，m）两点，点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．20.在平面直角坐标系中，记函数y＝的图象为G，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为（2，2），点B在第四象限．（1）当n＝1时．①求G的最低点的纵坐标；②求图象G上所有到x轴的距离为2的点的横坐标之和．（2）当图象G与正方形ABCD的边恰好有两个公共点时，直接写出n的取值范围．21.某水果商店以5元/千克的价格购进一批水果进行销售，运输过程中质量耗5%，运输费用是0.7元/千克，假设不计其他费用（1）商店要把水果售完至少定价为多少元才不会亏本？（2）在销售过科中，商店发现每天荔枝的销售量m（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足关系m＝﹣10x+120，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？（3）该商店决定每销售一千克水果就捐赠a元利润（a≥1）给希望工程，通过销售记录发现，销侮价格大于每千克11元时，扣除捐赠后每天的利润随x增大而减小，直接写出a的取值范围．22.如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数解析式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值；（3）已知M为抛物线对称轴上一动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标．23.如图，已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（3，0），B（4，4）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标．24.定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记[P]＝|x|+|y|．（1）已知M（p，2p）在反比例函数y＝的图象上，且[M]＝3，求反比例函数的解析式；（2）已知点A是直线y＝x+2上的点，且[A]＝4，求点A的坐标；（3）若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2≤[C]≤4，令t＝2b2﹣4a+2020，求t的取值范围．25.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点B且与直线相交于另一点C（，）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，当∠PAO＝∠BAO时，求点P的坐标；（3）点N（n，0）（0＜n＜）在x轴的正半轴上，点M（0，m）是y轴正半轴上的一动点，且满足∠MNC＝90°．①求m与n之间的函数关系式；②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？二次函数单元测试参考答案一、单选题（共9小题）1.【答案】 D 【解答】 解；A、由于a＝1＞0，所以开口向上，故A错误．B、由二次函数y＝（x﹣1）2+2可知顶点为（1，2），故B错误．C、由二次函数y＝（x﹣1）2+2可知对称轴为x＝1，故C错误．D、当x＝1时，函数有最小值2，故D正确．故选：D．2.【答案】 A 【解答】 解：∵∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，∴a2+b2＝c2，∵Rt△ABC的面积S，∴S＝ab，∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，∴a2+b2+2ab＝25，∴c2+4S＝25，∴S＝．故选：A．3.【答案】 A 【解答】 解：抛物线y＝2x2先向左平移3个单位得到解析式：y＝2（x+3）2，再向上平移2个单位得到抛物线的解析式为：y＝2（x+3）2+2．故选：A．4.【答案】 C 【解答】 解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是：y＝7.9（1+x）2．故选：C．5.【答案】 D 【解答】 解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点坐标为[﹣1×2﹣（﹣3），0]，即（1，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1．故选：D．6.【答案】 C 【解答】 解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，表达式为：，若过点（4，5），则，解得：a＝﹣5，故选项正确；B、∵，开口向上，∴当x＝12 时，y有最小值a﹣9，故选项正确；C、当x＝2时，y＝a+16，最小值为a﹣9，a+16﹣（a﹣9）＝25，即x＝2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；D、△＝，当a＜0时，9﹣a＞0，即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，故选：C．7.【答案】 B 【解答】 解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，正确，不符合题意；B．函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，∵从图象看，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，而a＜0，故4a+c＜0，故B错误，符合题意；C．④∵﹣＝1，故b＝﹣2a，∵x＝﹣1，y＝0，故a﹣b+c＝0，∴c＝﹣3a，∵2＜c＜3，∴2＜﹣3a＜3，∴﹣1＜a＜﹣，故C正确，不符合题意；D．从图象看，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故D正确，不符合题意；故选：B．8.【答案】 B 【解答】 解：抛物线开口向上，对称轴为x＝a，点A、B的情况：n＞m，故点B比点A离对称轴远，故y2＞y1；点A、C的情况：m＜b，故点C比点A离对称轴远，故y3＞y1；点B、C的情况：b＜n，故点B比点C离对称轴远，故y2＞y3；故y1＜y3＜y2，故选：B．9.【答案】 C 【解答】 解：将点A（2，0）代入抛物线y＝ax2﹣x+4与直线y＝x+b解得：a＝，b＝﹣，设：M点横坐标为m，则M（m，m2﹣m+4）、N（m，m﹣），其它点坐标为A（2，0）、B（5，4）、C（0，4），则AB＝BC＝5，则∠CAB＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．A、当MN过对称轴的直线时，此时点M、N的坐标分别为（，﹣）、（，），由勾股定理得：BN＝，而MN＝，BN+MN＝5＝AB，故本选项错误；B、∵BC∥x轴（B、C两点y坐标相同），∴∠BAE＝∠CBA，而△ABC是等腰三角形不是等边三角形，∠CBA≠∠BCA，∴∠BAC＝∠BAE不成立，故本选项错误；C、如上图，过点A作AD⊥BC、BE⊥AC，∵△ABC是等腰三角形，∴EB是∠ABC的平分线，易证：∠CAD＝∠ABE＝ABC，而∠ACB﹣∠ANM＝∠CAD＝ABC，故本选项正确；D、S四边形ACBM＝S△ABC+S△ABM，S△ABC＝10，S△ABM＝MN•（xB﹣xA）＝﹣m2+7m﹣10，其最大值为，故S四边形ACBM的最大值为10+＝12.25，故本选项错误．故选：C． 二、填空题（共7小题）10.【答案】 0 【解答】 解：由题意得：k2﹣3k+2＝2，且k﹣3≠0，解得：k＝0，故答案为：0．11.【答案】 x＜-1或x＞2 【解答】 解：由图象可知，当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞2，故答案是：x＜﹣1或x＞2．12.【答案】 1 【解答】 解：把原点（0，0）代入解析式，得1﹣m＝0，解得，m＝1，故答案为：1．13.【答案】 ＜ 【解答】 解：∵二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∵2＜4，∴y1＜y2．故选：＜．14.【答案】 6 【解答】 解：设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，如图所示．由抛物线的对称性，可知：BE＝AE，CF＝AF，∴BC＝BE+AE+AF+CF＝2（AE+AF）＝2×[2﹣（﹣1）]＝6．故答案为：6．15.【答案】 y=（x-3）2-1或y=（x-7）2-1 【解答】 解：设将抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y＝（x﹣1﹣m）2﹣1，将（3，3）代入，得（3﹣1﹣m）2﹣1＝3．整理，得4﹣m＝±2解得m1＝2，m2＝6．故新抛物线C2的表达式为y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣7）2﹣1．故答案是：y＝（x﹣3）2﹣1或y＝（x﹣7）2﹣1．16.【答案】 3 【解答】 解：①因为抛物线的对称轴x＝1，所以﹣＝1，即b+2a＝0，所以①正确；②因为A（﹣1，0），对称轴x＝1，所以设抛物线与x轴的另一个交点为E，所以E（3，0），所以x＝3时，y＝0，即x＝3是ax2+bx+c＝0的一个根．所以②正确；③如图：过点B作BD⊥对称轴于点D，设对称轴交x轴于点C，∵AP⊥BP，∴∠APB＝90°，∴∠APC+∠BPD＝90°，∵∠BPD+∠PBD＝90°，∴∠PBD＝∠APC，∵AP＝BP，∴Rt△APC≌Rt△PBD（AAS）∴PC＝BD＝1，DP＝AC＝2，∴DC＝3，∴OB＝3，∴B（0，3）．又E（3，0），A（﹣1，0）．设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把B（0，3）代入，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为﹣x2+2x+3，当x＝1时，y＝4，即a+b+c＝4．所以③正确．故答案为3． 三、解答题（共9小题）17.【解答】 解：（1）设该抛物线解析式是：y＝a（x+1）2﹣2（a≠0）．把点（0，﹣）代入，得a（0+1）2﹣2＝﹣，解得a＝．故该抛物线解析式是y＝（x+1）2﹣2．（2）由（1）知，抛物线解析式是y＝（x+1）2﹣2．由y＝（x+1）2﹣2＝（x﹣1）（x+3）＝0知，抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（﹣3，0），且抛物线开口向上，如图，所以，当二次函数的图象位于x轴下方时，自变量x的取值范围是：﹣3＜x＜1．18.【解答】 解：（1）∵直线y＝x+m和经过点A（1，0），∴1+m＝0，解得m＝﹣1；∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，0），且当x＝4时，二次函数的值为6，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+2；（2）∵由（1）知m＝﹣1，抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+2，∴直线的解析式为y＝x﹣1，∴，解得或，∴B（3，2）．∵由函数图象可知，当x＜1或x＞3时，二次函数的值大于一次函数的值，∴不等式x2+bx+c＞x+m的解集为x＜1或x＞3．19.【解答】 解：（1）把A（1，2）代入y＝x+n得1+n＝2，解得n＝1，∴一次函数解析式为y＝x+1；把B（4，m）代入y＝x+1得m＝4+1＝5，即B（4，5），把A（1，2），B（4，5）代入y＝ax2+bx+5得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+5；（2）存在．设P（t，t+1）（1≤t≤4），∵PC⊥x轴，∴C（t，t2﹣4t+5），∴PC＝t+1﹣（t2﹣4t+5）＝﹣t2+5t﹣4＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，PC的长有最大值，最大值为．20.【解答】 解：（1）①y＝，函数图象如图所示：函数最低点的坐标（3，﹣9），∴图象G的最低点的纵坐标为﹣9．②当y＝2时，x2+2x+2＝2，解得x＝﹣2或0（舍弃）x2﹣6x＝2时，解得x＝3+或3﹣（舍弃），当y＝﹣2时，x2﹣6x＝﹣2，解得x＝3+或3﹣，∴图象G上所有到x轴的距离为2的横坐标之和＝﹣2+3++3++3﹣＝7+．（2）当y＝x2+2nx+2n2的顶点落在AD边上时，n2＝2，解得n＝或﹣（舍弃）当n＝时，y＝x2+2nx+2n2（x＜0）与边AD有一个交点，y＝x2﹣6nx与边BC有一个交点，符合题意．当2n2≤2，解得n≤1或n≥﹣1，当y＝x2﹣6nx经过（2，﹣2）时，n＝，观察图象可知当＜n≤1时，满足条件，当y＝x2﹣6nx的顶点在BC边上时，﹣9n2＝﹣2，解得n＝或﹣（舍弃），当n＝﹣1时，y＝x2+2nx+2n2（x＜0）与正方形的边没有交点，观察图象可知当﹣1＜n＜时，满足条件，综上所述，满足条件的n的值为﹣1＜n＜或＜n≤1或n＝．21.【解答】 解：（1）设购进水果k千克，水果售价定为y元/千克时，水果商才不会亏本，由题意得y•k（1﹣5%）≥（5+0.7）k，由k＞0可解得：y≥6，所以，水果商要把水果售价至少定为6元/千克才不会亏本．（2）由（1）可知，每千克水果的平均成本为6元，由题意得w＝（x﹣6））m＝（x﹣6）（﹣10x+120）＝﹣10（x﹣9）2+90因此，当x＝9时，w有最大值．所以，当销售单价定为9元/千克时，每天可获利润w最大．（3）设扣除捐赠后的利润为P，则P＝（x﹣6﹣a）（﹣10x+120）＝﹣10x2+（10a+180）x﹣120（a+6），抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝，∵销售价格大于每千克11元时，扣除捐赠后每天的利润P随x增大而减小，∴≤11，解得：a≤4，故1≤a≤4．22.【解答】 解：（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（﹣x2+2x+3），即3a＝3，解得：a＝1，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，∵直线BC过点B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，设D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴，∵，∴当时，S有最大值，最大值；（3）设点M（1，m），则MB2＝m2+4，MC2＝1+（m﹣3）2，BC2＝18；①当MC是斜边时，1+（m﹣3）2＝m2+4+18；解得：m＝﹣2；②当MB是斜边时，同理可得：m＝4，故点M的坐标为：（1，﹣2），（1，4）．23.【解答】 解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）∴将A与B两点坐标代入得：，解得：，∴抛物线的解析式是y＝x2﹣3x．（2）设直线OB的解析式为y＝k1x，由点B（4，4），得：4＝4k1，解得：k1＝1∴直线OB的解析式为y＝x，∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x﹣m，∵点D在抛物线y＝x2﹣3x上，∴可设D（x，x2﹣3x），又∵点D在直线y＝x﹣m上，∴x2﹣3x＝x﹣m，即x2﹣4x+m＝0，∵抛物线与直线只有一个公共点，∴△＝16﹣4m＝0，解得：m＝4，此时x1＝x2＝2，y＝x2﹣3x＝﹣2，∴D点的坐标为（2，﹣2）．24.【解答】 解：（1）由题意|p|+|2p|＝3，∴p＝±1，∴M（1，2）或（﹣1，﹣2），∴k＝2，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）设点A（m，m+2）由题意可得：|m|+|m+2|＝4，当m≤﹣2时，﹣m﹣m﹣2＝4，∴m＝﹣3，∴点A（﹣3，﹣1）；当﹣2＜m＜0时，﹣m+m+2＝4，∴方程无解；当m≥0时，m+m+2＝4，∴m＝1，∴点A坐标（1，3）；（3）由题意方程组只有一组实数解，消去y得ax2+（b﹣1）x+1＝0，由题意△＝0，∴（b﹣1）2﹣4a＝0，∴4a＝（b﹣1）2，∴原方程可以化为（b﹣1）x2+4（b﹣1）x+4＝0，∴x1＝x2＝，∴C（，），∵2≤[C]≤4，∴1≤≤2或﹣2≤≤﹣1，解得：﹣1≤b≤0或2≤b≤3，∵点C在第一象限，∴﹣1≤b≤0，∵t＝2b2﹣4a+2020，∴t＝2b2﹣4a+2020＝2b2﹣（b﹣1）2+2020＝b2+2b+2019＝（b+1）2+2018，∵﹣1≤b≤0∴2018≤t≤2019．25.【解答】 解：（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，2），将点B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2①；（2）如图1，作点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′交抛物线于点P（P′），则∠PAO＝∠BAO，设直线AB'的解析式为y＝kx+m，∴，∴，直线AB′的表达式为：y＝x﹣2②，联立①②并解得：x＝3或﹣2，故点P的坐标为（3，﹣）或（﹣2，﹣3），当点P与B，C重合时，也满足条件，此时P（0，2）或（，），综上所述，满足条件的点P的坐标为（3，﹣）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（，）．（3）①过点C作CH⊥x轴于点H，∵∠MNC＝90°，∴∠MNO+∠CNH＝90°，又∵∠CNH+∠NCH＝90°，∴∠MNO＝∠NCH，∴tan∠MNO＝tan∠NCH，即，即，解得：m＝﹣n2+n；②m＝﹣n2+n，∵＜0，故m有最大值，当n＝时，m的最大值为，而m＞0，故0＜m＜时，符合条件的N点的个数有2个．