2023年辽宁省鞍山市中考数学真题试卷(解析版)

这是一份2023年辽宁省鞍山市中考数学真题试卷(解析版)，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，解簎题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共24分）
1. 实数﹣2023的绝对值是（ ）
A. 2023B. ﹣2023C. D.
【答案】A
【解析】
根据绝对值的代数意义即可得出答案．
解：因为负数的绝对值等于它的相反数，
所以，﹣2023的绝对值等于2023．
故选：A．
【点拨】本题考查了绝对值的代数意义，熟练掌握知识点是本题的关键．
2. 如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成的，它的左视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
根据左视图是从左面看到的视图，进行判断即可．
解：几何体的左视图为：

故选D．
【点拨】本题考查三视图，熟练掌握左视图是从左往右看到的图形，是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
根据积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，逐一计算判断即可．
解：A.，选项计算错误，不符合题意；
B.，选项计算错误，不符合题意；
C.，选项计算正确，符合题意；
D.，选项计算错误，不符合题意；
故选C．
【点拨】本题考查积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
4. 九（1）班30名同学在一次测试中，某道题目（满分4分）的得分情况如下表：
则这道题目得分的众数和中位数分别是（ ）
A. 8，3B. 8，2C. 3，3D. 3，2
【答案】C
【解析】
根据众数：出现次数最多的数据，中位线：数据排序后位于中间一位，或中间两位的平均数，进行求解即可．
解：得分为3分的人数有14人，次数最多，
∴众数为3；
将数据排序后，第15个和第16个数据均为3，
∴中位数为：3；
故选C．
【点拨】本题考查求众数和中位数，解题的关键是熟练掌握众数和中位数的确定方法．
5. 甲、乙两台机器运输某种货物，已知乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，求甲、乙两台机器每小时分别运输多少千克货物．设甲每小时运输xkg货物，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
根据乙比甲每小时多运60kg，甲运输500kg所用的时间与乙运输800kg所用的时间相等，列出方程即可．
解：设甲每小时运输xkg货物，则乙每小时运输kg货物，由题意，得：
；
故选A．
【点拨】本题考查根据实际问题列分式方程．解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程．
6. 如图，直线，将含有角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
根据含有角的直角三角尺，得到的值，再利用平行线的性质得到的值，即可解答．
解：图中是含有角的直角三角尺，
，
，
，
，
故选：B．

【点拨】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
7. 如图，为的两条弦，D，G分别为的中点，的半径为2．若，则的长为（ ）

A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
连接，圆周角定理得到，勾股定理求出，三角形的中位线定理，即可求出的长．
解：连接，

∵的半径为2．，
∴，
∴，
∵D，G分别为的中点，
∴为的中位线，
∴．
故选D．
【点拨】本题考查圆周角定理和三角形中位线定理．熟练掌握相关定理，并灵活运用，是解题的关键．
8. 如图，在矩形中，对角线交于点O，，，垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移，当直线与重合时停止运动，运动过程中分别交矩形的对角线于点E，F，以为边在左侧作正方形，设正方形与重叠部分的面积为S，直线的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
求出在点左侧时的两段图象，即可得出结论．
解：当在点左侧，即：时：
①当正方形的边在的外部时，重叠部分为矩形，如图：

设分别交于点，
∵垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移，
∴，
∵矩形中，，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，图象为开口向下的一段抛物线；
②当正方形的边在的内部时，与重叠部分即为正方形，如图：

由①可知：，
∴，图象是一段开口向上的抛物线；
当过点时，即时，重合，此时，；
综上：满足题意的只有B选项，
故选B．
【点拨】本题考查动点的函数图象问题．解题的关键是确定动点的位置，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9. 2023年5月3日，被誉为近五年最火的“五一”假期圆满收官，据文旅部发布的数据显示，2023年“五一”假期5天，全国国内旅游出游合计约为274000000人次．将数据274000000用科学记数法可表示为______．
【答案】
【解析】
科学记数法表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
解：；
故答案为：．
【点拨】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10. 因式分解：________.
【答案】
【解析】
利用提取公因式法，分解因式，即可.
【点拨】本题主要考查提取公因式法因式分解，准确找到各项的公因式，是解题的关键；注意，因式分解时，要分解到不能分解为止.
11. 在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有________个．
【答案】
【解析】
利用频率估计随机摸出1个球是红球的概率为，根据概率公式即可求出答案．
解：设红球有个，
则，
答：红球的个数约为个．
故答案为：．
【点拨】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的红球个数．
12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．
解：∵有两个不相等的实数根，
∴，
解得：
故答案为：．
【点拨】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是________．

【答案】
【解析】
根据折叠的性质得出，在中，勾股定理求得，进而得出，在中，勾股定理建立方程，求得的长，即可求解．
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵折叠，
∴，
在中，
∴，
∴设，则，
∵折叠，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴的坐标为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
14. 如图，中，在，上分别截取，，使，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点，过点作，垂足为点，若，，，则的长为____．

【答案】
【解析】
由线段垂直平分线的性质定理得到，因此，由角平分线定义推出，又，推出，得到，代入有关数据，即可求出的长．
由题中作图可知：平分，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】此题考查了尺规作图，角平分线定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明，得到 ，从而求出的长，
15. 如图，在中，，顶点C，B分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象限，经过点A的反比例函数的图象交AC于点E，过点E作轴，垂足为点F．若点E为的中点，，，则k的值为________．

【答案】4
【解析】
过点作轴于点，证明，得，再根据，可得，再证明，得到的长，设，，得到的坐标，根据两点在同一反比例函数上，可解得的值，从而可得，再利用勾股定理解得，从而求得的值．
解：如图，过点作轴于点，

轴，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
即，
同理可得，
，
，
，
设，则，，
，
都在反比例函数上，
，
解得，
，
在中，，
，
，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了反比例函数的图像，相似三角形的判定及性质，勾股定理，理解反比例函数图像上的点横坐标与纵坐标的乘积相同，是解题的关键．
16. 如图，在正方形中，点M为边上一点，连接，将绕点顺时针旋轮得到，在、上分别截取、，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点H．若，，则的长为________．

【答案】##
【解析】
根据题干条件可得，所以≌，得到，又证明得≌，，所以≌，；设正方形的边长为，列双勾股方程解得正方形的边长，再根据∽，即可求出答案．
解：由题意可得，≌，
，
,
，
、是等腰直角三角形，
；
连接、,
≌，
，
连接，
，，
≌，
，
，
又，，
≌，，
连接、，
，，
≌，，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
得，，
解得（舍），，
，，，
又∽，
，
，

故答案是．
【点拨】本题考查三角形的全等，勾股定理的运用，三角形相似计算等知识点，利用条件推理证明、列出双勾股方程计算求解是解题的关键．
三、解答题（每小题8分，共16分）
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
解：
当时，原式
【点拨】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
18. 如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．

【答案】证明见解析.
【解析】
根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE≌△BOF，得到OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形．
∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）,
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE为菱形．
【点拨】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出OE=OF是解题关键．
四、解答题（每小题10分，共20分）
19. 在第六十个学雷锋纪念日到来之际，习近平总书记指出：实践证明，无论时代如何变迁，雷锋精神永不过时．某校为弘扬雷锋精神，组织全校学生开展了手抄报评比活动．评比结果共分为四项：．非凡创意；．魅力色彩；．最美设计；．无限潜力．参赛的每名学生都恰好获得其中一个奖项．活动结束后，学校数学兴趣小组随机调查了部分学生的获奖情况，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了________名学生．
（2）请补全条形统计图．
（3）本次评比活动中，全校有名学生参加，根据调查结果，请你估计在评比中获得“．非凡创意”奖的学生人数．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）人
【解析】
（1）从两个统计图可知，样本中获得“．无限潜力”的有人，占调查人数的，由频率等于频数除以总数可求出调查人数；
（2）求出样本中获得“．魅力色彩”的人数即可补全条形统计图；
（3）求出样本中获得“．非凡创意”奖的学生所占的百分比，估计总体中获得“A．非凡创意”奖的学生所占的百分比，进而求出相应的人数．
（1）
解： (名)，
故答案为：；
（2）
样本中获得“．魅力色彩”的人数为：(名)，
补全条形统计图如下：

（3）
解：(人)．
答：全校有名学生中获得“．非凡创意”奖的学生大约有人．
【点拨】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，从统计图中获取信息，是解题的关键．
20. 二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．
（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是________．
（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率．
【答案】（1） （2）
（1）共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，由概率的定义可得答案；
（2）用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
（1）
解：共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，
所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是，
故答案为：；
（2）
解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B．夏至”的有6种，
所以两人都没有抽到“B．夏至”的概率为．
【点拨】本题考查列表法或树状图法，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键．
五、解答题（每小题10分，共20分）
21. 某商店窗前计划安装如图1所示的遮阳棚，其截面图如图2所示．在截面图中，墙面垂直于地面，遮阳棚与墙面连接处点距地面高，即，遮阳棚与窗户所在墙面垂直，即．假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为(若经过点的光线恰好照射在地面点处，则)，为使正午时窗前地面上能有宽的阴影区域，即，求遮阳棚的宽度．(结果精确到．参考数据：)

【答案】遮阳棚的宽度约为
【解析】
过点作，垂足为，根据垂直定义可得，从而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，，，从而可得，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
解：过点作，垂足为，

，
，
四边形是矩形，
，，，
，
在中，，
，
遮阳棚的宽度约为
【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，，过点A作轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使，连接，．若的面积是6．

（1）求反比例函数的解析式．
（2）点P为第一象限内直线上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标．
【答案】（1）； （2）
（1）根据，可得三角形面积之比，计算出的面积，面积乘2即为，解析式可得；
（2）根据点的坐标求出直线的解析式为，设符合条件的点，利用面积的倍数关系建立方程解出即可．
（1）
解：∵，的面积是6，
∴，
∴，
∵图象在第二象限，
∴，
∴反比例函数解析式为：；
（2）
∵点，，在的图象上，
∴，，
∴，，
设直线的解析式为，
， 解得：，
∴直线解析式为，
∵轴交x轴于点C，
∴，
∴，
设直线上在第一象限的点，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式．
六、解簎题（每小题10分，共20分）
23. 如图，四边形内接于，为的直径，过点D作，交的延长线于点F，交的延长线于点E，连接．若．

（1）求证：为的切线．
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）的半径为
【解析】
（1）连接，根据同角的补角相等，得到，等角的余角相等，得到，等边对等角，得到，推出，得到，即可得证；
（2）连接，推出，利用锐角三角函数求出的长，设的半径为，证明，列出比例式进行求解即可．
（1）
证明：连接，

∵，，
∴，
∵为的直径，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即：，
又为的半径，
∴为的切线；
（2）
连接，则：，

∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
设的半径为，则：，
∵，
∴，
∴，即：，
∴；
∴的半径为．
【点拨】本题考查圆与三角形的综合应用，重点考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．题目的综合性较强，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
24. 网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝．已知该荔枝的成本为6元/kg，销售价格不高于18元/kg，且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系．

（1）求与的函数解析式．
（2）当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？
【答案】（1）
（2）当销售单价定为元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为元
【解析】
（1）根据函数图象，待定系数法求解析式即可求解；
（2）设销售销这种荔枝日获利元，由二次函数性质求出的最大利润，即可求解．
（1）
解：设与的函数解析式为，
∵改函数图象经过点和点
∴ 解得：
∴与的函数解析式为；
（2）
解：设销售销这种荔枝日获利元，
根据题意，得，
，对称轴为直线，
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∵销售价格不高于18元/kg，
当时，有最大值为元，
当销售单价定为时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为元．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，求出函数关系式是本题的关键．
七、解答题（本题满分12分）
25. 如图，在中，，，点D是射线上的动点（不与点B，C重合），连接，过点D在左侧作，使，连接，点F，G分别是，的中点，连接，，．

（1）如图1，点D在线段上，且点D不是的中点，当，时，与的位置关系是________，________．
（2）如图2，点D在线段上，当，时，求证：．
（3）当，时，直线与直线交于点N．若，，请直接写出线段的长．
【答案】（1）垂直，
（2）见解析 （3）或
【解析】
（1）连接并延长交于，根据等腰三角形的判定和性质，推出，四点共圆，进而得到，推出与垂直，利用斜边上的中线以及等腰三角形三线合一，得到，证明，得到，即可得出结果；
（2）作于，作，交的延长线于点，连接，同（1）推出，得到，进而得到，变形得到，再根据等腰三角形三线合一，以及含30度角的直角三角形的性质，利用线段之间的等量代换，即可得证；
（3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解．
（1）
解：连接并延长交于，

∵，
∴，
同理：，
∴，
∴，四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴与垂直；
∵是的中点，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：垂直，；
（2）
作于，作，交的延长线于点，连接，

∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，四点共圆，
∴，
∵是的中点，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是梯形的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）
①当点在上时，作于，作，交的延长线于点，作，交的延长线与点，

由（2）知：为等边三角形，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴；
②当点D在的延长线上时，作于，作于点，作，交的延长线与点，

同①可知：，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴；
综上：或．
【点拨】本题考查几何的综合应用，难度大，属于中考压轴题，重点考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，斜边上的中线，全等三角形和相似三角形的判定和性质，解直角三角形．解题的关键是添加合适的辅助线，构造特殊图形．
八、解答题（本题满分14分）
26. 如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第一象限内抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式．
（2）直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接．当时，求点E的横坐标．
（3）如图2，点N为x轴正半轴上一点，与交于点M．若，，求点E的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
（1）利用待定系数法，把已知点坐标代入解析式即可求解函数的解析式；
（2）分别过，向轴作垂线，垂足为，，根据证得 ，从而，设点坐标，分别表示出，坐标，再列方程求解即可；
（3）将平移到，连接，则；过作于，过作轴于，过作交延长线于，延长交轴于，设，则，，，由可得，从而，设由 可得，， ，再求出点坐标为，代入抛物线解析式中即可求得或，从而可得点坐标 ．
（1）
解：把和代入到解析式中可得
，解得，
抛物线的解析式为：；
（2）
直线中，令，则，所以，
直线中，令，则，所以，
分别过，向轴作垂线，垂足为，，

根据题意可得，
轴，轴，
和为直角三角形，
在和中，
，
，
，
设，
则，
，，
从而，，
则有，解得（舍去），或，
故点的横坐标为：；
（3）
将平移到，连接，则四边形为平行四边形，，过作于，过作轴于，过作交延长线于，延长交轴于，
，
可设，则，
∴，
则，

设，
轴，
，
，
，，，
，，，
，
，，
，
，
，，则，
，，
，
代入抛物线解析式中有：，
解得：或，
当时，，
当时，．
【点拨】本题是二次函数与相似三角形综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正切的定义等知识，解题关键是在坐标系中利用等线段构造全等进行计算，构造相似三角形解决问题．得分/分
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人数
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4
14
8