06 三角形中的导角模型-平行线+拐点模型-2024年中考数学几何模型归纳讲练（全国通用）

专题06 三角形中的导角模型-平行线+拐点模型近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模型(M型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。模型1：猪蹄模型（M型）【模型解读】 图1 图2 图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.例1．（2022·河南洛阳·统考二模）如图，，，，则的度数为（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点作，从而可得，则有，，即可求的度数．【详解】解：过点作，如图，，，，，．故选：C．【点睛】本题考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．例2．（2023春·安徽蚌埠·九年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线，反射后沿着与平行的方向射出，已知图中，，则的度数为（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平行线的性质即可得出，，再根据即可求解．【详解】由题意知∴，∴故选：C．【点睛】题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，牢记性质是解决问题的关键．例3．（2023春·四川泸州·七年级校考期末）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，∴=∠BCD+∠DCM=，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．例4．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，当人脚与地面的夹角时，求出此时上身与水平线的夹角的度数为（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】延长交直线于点，利用平行线的性质得出，再由两直线平行，内错角相等即可得出结果．【详解】解：延长交直线于点，，，  根据题意得，，故选：A．【点睛】题目考查平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．例5．（2023春·河南驻马店·九年级专题练习）已知， ， ，若，则为（   ）A．23° B．33° C．44° D．46°【答案】C【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得 ，同样的方法可得，再根据角的倍分可得 ，由此即可得出答案．【详解】如图，过点E作，则，∴ ， ，同理可得：， ，∴， ，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键．例6．（2022·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∠E=∠B+∠D，理由如下：过点E作直线a∥AB，则a∥AB∥CD，则∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D . （2）∠E+∠B+∠D =360°，理由如下：过点E作直线b∥AB，则b∥AB∥CD∴∠B+∠3=180°，∠4+∠D=180°∴∠B+∠3+∠4+∠D =360°即∠E+∠B+∠D =360°.（3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，理由如下：过点E，F，G作直线c∥AB，d∥AB，e∥AB，则c∥AB∥d∥e∥CD，则∠B=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D∴∠B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD.模型2：铅笔头模型 图1 图2 图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.例1．（2023·广东·统考二模）如图所示，已知，那么（    ）  A．180° B．270° C．360° D．540°【答案】C【分析】先根据平行线的性质得出，进而可得出结论．【详解】过点C作，  ，，∴由得，，即．故选：C．【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．例 2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若，，则的度数为（　　）  A． B． C． D．【答案】C【分析】过点作工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可．【详解】解：如图，过点作工作篮底部，，  工作篮底部与支撑平台平行，工作篮底部支撑平台，，，，，，故选：．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．例3．（2023·河南三门峡·校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2所示的数学图形．已知垂直地面上的直线于点，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即始终平行于）．在该运动过程中，当时，的度数是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图所示，过点C作，利用平行线的性质得到，进而求出，则．【详解】解：如图所示，过点C作，∵，∴，∴，∵，即，∴，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．例4．（2023春·新疆·七年级校考阶段练习）如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °．【答案】540【分析】过点E作，过点F作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答．【详解】过点E作，过点F作，如图，∵，，，∴，，∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，故答案为：540．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补．构造辅助线，是解答本题的关键．例5．（2022春·河北保定·七年级校考期中）如图，已知，则 ，则等于 （用含的式子表示）．  【答案】 /360度 【分析】过点向右作，过点向右作，得到，根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案．【详解】解：如图，过点向右作，过点向右作，  ∵，∴，∴，，，∴，当时， 故答案为：；．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，根据题意作合适的辅助线是解题的关键．模型3：牛角模型 图1 图2如图1，已知：AB∥DE，结论：.如图2，已知：AB∥DE，结论：.例1．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，若，则（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】如图所示，过点E作，则，由平行线的性质得到，进一步推出．【详解】解：如图所示，过点E作，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．例2．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为 【答案】180°【分析】延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据可得∠1=∠EFD，最后根据领补角及等量代换可求解．【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示：，∠1=∠EFD，∠2+∠EFC=∠3，，，；故答案为180°．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键例3．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为______．【答案】∠P＝360°﹣2a【分析】根据角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，平行线的性质得出∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，进而根据三角形内角和得出∠5、∠FED，再得到∠P和a的关系，然后即可用 a表示∠P．【详解】解：延长AB交PD于点G，延长FE交CD于点H，∵BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵AB∥CD，∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，∵∠PBG＝180°﹣2∠1，∴∠PBG＝180°﹣2∠5，∴∠5＝90°﹣∠PBG，∵∠FED＝180°﹣∠HED，∠5＝180°﹣∠EHD，∠EHD＋∠HED＋∠3＝180°，∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED＋∠3＝180°，∴∠FED＝180°﹣∠5＋∠3，∴∠FED＝180°﹣（90°﹣∠PBG）＋∠6＝90°＋（∠PBG＋∠6）＝90°＋（180°﹣∠P）＝180°﹣∠P，∵∠FED＝a，∴a＝180°﹣∠P∴∠P＝360°﹣2a．故答案为：∠P＝360°﹣2a．【点睛】此题考查了角平分线的性质和平行线的性质及三角形内角和，有一定的综合性，认真找出角的关系是关键．例4．（2023春·广东深圳·九年级校校考期中）已知直线，点为直线，所确定的平面内的一点，(1)问题提出：如图1，，．求的度数：(2)问题迁移：如图2，写出，，之间的数量关系，并说明理由：(3)问题应用：如图3，，，，求的值．【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)【分析】（1）过点作，易得，由平行线的性质可得，，即可求出；（2）过点作，易得，根据平行线的性质可得；（3）过点作，过点作，易得，，根据平行线的性质可得，，再由已知等量代换，即可求得的值．【详解】（1）解：如图1所示，过点作，， ，，，，．，，；（2）解：，理由如下：如图2，过点作，，，，，，；（3）解：如图3，过点作，过点作，，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，正确构造辅助线是解题的关键．例5．（2023·余干县八年级期末）已知直线AB∥CD，（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　 　；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则 =　 　．【答案】(1) ∠E=∠END﹣∠BME (2) ∠E+2∠NPM=180°（3） 【分析】（1）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.（2）根据平行线的性质，三角形外角定理，角平分线的性质即可解答.（3）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.【详解】（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠END=∠EFB， ∵∠EFB是△MEF的外角，∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME，（2）如图2，∵AB∥CD，∴∠CNP=∠NGB，∵∠NPM是△GPM的外角，∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，∵AB∥CD，∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）=180°，∴∠E+2∠NPM=180°；（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，∵AB∥CD，∴∠CDG=∠AGE，∵∠ABE是△BEG的外角，∴∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE，①∵∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，∴∠ABM=∠ABE=∠CHB，∠CDN=∠CDE=∠FDH，∵∠CHB是△DFH的外角，∴∠F=∠CHB﹣∠FDH=∠ABE﹣∠CDE=（∠ABE﹣∠CDE），②由①代入②，可得∠F=∠E，即.点睛：本题考查了三角形外角定理，平行线的性质，角平分线的定义.模型4：羊角模型 图1 图2如图1，已知：AB∥DE，结论：.如图2，已知：AB∥DE，结论：.例1．（2023春·上海·七年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为 ．【答案】57°【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可．【详解】解：设AE、CD交于点F，∵∠E＝37°，∠C＝ 20°，∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，∴∠AFD=123°，∵AB∥CD，∴∠AFD+∠EAB=180°，∴∠EAB=180°-123°=57°，故答案为：57°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键．例2．（2022·江苏七年级期中）如图所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C等于（   ）A．20° B．25° C．30° D．40°【答案】B【分析】根据AB∥CD，∠A=50°，所以∠A=∠AOC．又因为∠C=∠E，∠AOC是外角，所以可求得∠C．【详解】解：∵AB∥CD，∠A=50°，∴∠A=∠AOC（内错角相等），又∵∠C=∠E，∠AOC是外角，∴∠C=50°÷2=25°．故选B．例3．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D【答案】见解析【分析】过点E作EF∥CD，根据平行线的性质即可得出∠B=∠BOD，根据平行线的性质即可得出∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，结合角之间的关系即可得出结论．【详解】证明：过点E作EF∥CD，如图∵AB∥CD， ∴∠B=∠BOD，∵EF∥CD（辅助线）， ∴∠BOD=∠BEF（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）； ∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代换）， ∴∠BOD=∠E+∠D（等量代换）， 即∠B=∠E+∠D．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角．例4．（2023·河南·统考三模）如图，已知，，，则的度数为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点作，则，根据平行线的性质可得到，，即可求得．【详解】如图，过点作，∵，，∴．∴，．∵，∴．∴．故选C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键．例5．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，，，，，点是上一点．  （1）的度数为 ；（2）若．则与 （填“平行”或“不平行”）．【答案】 /度 平行【分析】（1）根据平分线的判定可得，根据平行线的性质可得的度数；（2）根据对顶角相等可得的度数，根据平分线的判定可得．【详解】解：（1）∵，，∴，∴，∵，，∴，∴；故答案为：．（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：平行．【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．模型5：蛇形模型（“5”字模型）基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°. 图1 图2如图1，已知：AB∥DE，结论：.如图2，已知：AB∥DE，结论：.例1．（2023·四川广元·统考三模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，则等于（    ）A．50° B．40° C．30° D．20°【答案】D【分析】过点C作，根据平行线的性质即可求出的度数．【详解】解：过点C作，∴，∵∴；∵，∴；由题意，∴，∴．故选：D【点睛】本题考查平行线的判断和性质，作出辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键．例2．（2023·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，若，，，则的度数是（）A．115° B．130° C．140° D．150°【答案】C【分析】利用平行线的传递性作出辅助线，再通过平行线的性质即可解决问题．【详解】解：过作的平行线，如图所示；，∴故选C．【点睛】本题考查了平行线的基本性质与平行的传递性，两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，根据传递性做出辅助线是解决问题的关键．例3．（2023·河南周口·校联考三模）如图，，，，则的度数是（　　）  A． B． C． D．【答案】D【分析】作，则，根据平行线的性质分别求出和，则．【详解】解：如图，作，则，  ，，，，，故选D．【点睛】本题考查根据平行线的性质求角的度数，解题的关键是正确添加辅助线．例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，，，平分，若，则的度数为（     ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平行线的性质可知，．再由角平分线的定义即可求解．【详解】∵，∴．∵平分，∴．∵，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义．利用数形结合的思想是解题关键．例5．（2023·江西·九年级校考阶段练习）如图于点D，将绕点A逆时针旋转，使，则的最小值为 ．【答案】/25度【分析】过点C作，过点A作，利用平行线的性质即可求解．【详解】解：如图，过点C作，则，∴．过点A作，则．∴，故的最小值为．故答案为：【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．课后专项训练1．（2023·山东临沂·统考二模）如图，，则的度数为（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据平行线的性质可得，再根据邻补角的定义即可得．【详解】解：如图，，，，故选：C．  【点睛】本题考查了平行线的性质、邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题关键．2．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，已知：，，求证：．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（    ）  A．延长交的延长线于点B．连接C．分别作，的平分线，D．过点作（点在点左侧），过点作（点在点左侧）【答案】C【分析】根据平行线的性质与判定逐一判断即可．【详解】解：A、如图，∵，∴，∵，∴，∴，故此选项不符合题意；     B、如图，∵，∴，∵，∴，∴，故此选项不符合题意；C、如图，由平分，平分，没有条件说明与相等，也没有条件说明与平行，∴此辅助线的作法不能说明与平行，故此选项符合题意；     D、如图，延长交于点，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理的推论．掌握平行线的判定和性质是解题的关键．3．（2023·浙江台州·统考一模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（    ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】过顶点作直线l支撑平台，直线l将分成两个角即、，根据平行线的性质即可求解．【详解】如图所示，过顶点作直线l支撑平台，直线l将分成两个角即、∵工作篮底部与支撑平台平行、直线l支撑平台∴直线l支撑平台工作篮底部∴、∵∴∴故选D．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．4．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，两直线、平行，则（    ）．A． B． C． D．【答案】D【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB观察图形可知，图中有5组同旁内角，则故选D【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键5．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，若，，那么（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行线的性质分别求出的度数即可得到答案．【详解】解：∵，，∴，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．6．（2022·安徽芜湖·七年级期中）如图，AB∥CD，BF,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE，BF∥DE，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的度数为A．30° B．35° C．36° D．45°【答案】C【分析】延长BG交CD于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可.【详解】解：如图延长BG交CD于G∵BF∥ED∴∠F=∠EDF又∵DF 平分∠CDE，∴∠CDE=2∠F，∵BF∥ED∴∠CGF=∠EDF=2∠F，∵AB∥CD∴∠ABF=∠CGF=2∠F，∵BF平分∠ABE∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，又∵∠F 与∠ABE 互补∴∠F +∠ABE =180°即5∠F=180°，解得∠F=36°故答案选C.【点睛】本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键.7．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考三模）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（    ）A．56 B．66 C．98 D．104【答案】A【分析】如图，在处作，根据平行线的性质可得，，由对顶角相等可得，根据计算求解即可．【详解】解：如图，在处作，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故选：A．【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．8．（2023春·重庆江津·七年级校联考期中）如图，ABCD，∠ABE＝∠EBF，∠DCE＝∠ECF，设∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ的数量关系是（　　）A．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360° C．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β﹣2α﹣γ＝360°【答案】A【分析】过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，根据已知条件得出∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，求出AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，根据平行线的性质得出∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，求出α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，再求出答案即可．【详解】解：过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，∵∠ABE＝∠EBF，∠DCE＝∠ECF，∠ABE＝α，∴∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，∵AB∥CD，∴AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，∴∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，∴∠ABE+∠ECD＝∠BEN+∠CEN＝∠BEC，∠ABF+∠BFQ+∠CFQ+∠DCF＝180°+180°＝360°，即α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，∴∠ECD＝β﹣α，∴3α+γ+4（β﹣α）＝360°，即4β﹣α+γ＝360°，故选A．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．9．（2022·江苏七年级期末）如图，AB∥CD，则∠1+∠3－∠2的度数等于 __________．【答案】180°.【解析】解：∵AB∥CD∴∠1=∠EFD∵∠2+∠EFC=∠3，∠EFD=180°－∠EFC∴∠1+∠3－∠2=180°故答案为：180°.10．（2023·湖南长沙·校联考二模）如图所示，，，，则 度．【答案】86【分析】过点作的平行线，根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如图，过点作的平行线，，，，，，，，，，，故答案为：86．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论，解题关键是在点处构造出一条平行线．11．（2022·四川成都·七年级期末）已知直线，射线、分别平分，，两射线反向延长线交于点，请写出，之间的数量关系：________．【答案】【分析】分别过点，作，，根据，可得，根据平行线性质可得，，根据角平分线定义可得，进而证出，同理，根据平角定义可得，，由此证出，进而证出结论．【详解】分别过点，作，∵，∴∵射线平分∴∵∴∴∵∴∴∵射线平分∴∵，，∴∴∴∴ ∴∵∴同理：∴∴ 故答案为：【点睛】本题考查平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识点，能熟记平行线的性质是解本题的关键．12．（2022·黑龙江·七年级月考）如图，，E是上的点，过点E作，若，平分，，，则_______．【答案】【分析】延长AB交HP于点M；根据平分，得；根据，得，从而推导得；结合，得；再根据以及，结合三角形内角和性质，即可完成求解．【详解】如图，延长AB交HP于点M∵平分∴ ∴∵∴∵∴ ∴∵∴ ∴∵∴∴ ∵∴ ∴ 故答案为：．【点睛】本题考查了三角形内角和、平行线、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握了三角形内角和、平行线、角平分线的性质，从而完成求解．13．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知，，求的度数．【答案】72°【分析】如图所示，过点C作，则，根据平行线的性质求出，进而求出，再由，即可得到．【详解】解：如图所示，过点C作．∵，∴．∴．∴．又∵，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．14．（2023春·重庆南岸·九年级校考期中）在数学课上老师提出了如下问题：如图，，当与满足什么关系时，?小明认为时，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作图与填空：解：用直尺和圆规，在的右侧找一点M，使（只保留作图痕迹）．∵，∴①_____________∵∴②_________，∵，∴③__________，∴④_____________∴．所以满足的关系为：当时，．【答案】①，②，③，④【分析】首先根据作一个角等于已知角进行尺规作图，然后再题目步骤的引导下，将空白处补充完整即可．【详解】解：如图，通过尺规作图得：，∵，∴①，∵，∴②，∵，∴③，∴④，∴．所以满足的关系为：当时，．故答案为：①，②，③，④．【点睛】本题考查了平行线的判定方法、尺规作图（作一个角等于已知角）等知识点，平行线判定方法的熟练掌握是解题关键．15．（2023春·河北廊坊·七年级校考阶段练习）（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．  【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）图（3），图（4）【分析】（1）过点P作，得到，由，，得到，得到，由此得到；（2）过点P作，由，得到，从而得到结论；（3）由，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得与的关系．【详解】（1）解：猜想．理由：过点P作，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；（2）．理由：如图，过点P作，  ∵，∴，∴，∴；（3）如图（3）：．理由：∵，∴，  ∵，∴，即；如图（4）：．理由：∵，∴，  ∵，∴，即．【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键．16．（2023秋·广东江门·八年级校考阶段练习）（1）如图①，如果，求证：．（2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________．（3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）过P作，利用平行线的判定与性质证明即可；（2）过点P作，过点Q作，根据平行线的性质即可求解；（3）过点P作，过点Q作，根据平行线的性质求解即可．【详解】（1）证明：过P作，如图，    ∴，∵（已知），∴，∴，∵，∴；（2）如图，过点P作，过点Q作，∵，，，∴，∴，，，∴，故答案为：；  （3）过点P作，过点Q作，∵，，，∴，∴，，，∴，即，∴，故答案为：．  【点睛】本题考查平行线的判定与性质，灵活运用平行线的性质和判定是解题的关键．17．（2023春·山东淄博·九年级校考期中）如图，，点E为两直线之间的一点．(1)如图1，若，，则　 　；如图1，若，，则　 　；(2)如图2，试说明，；(3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由．【答案】(1)55°，α+β(2)见解析(3)，理由见解析【分析】（1）过点E作直线，利用平行线的性质证明，，即可得到；（2）过点E作，利用平行线的性质证明，，即可证明，即；（3）由（1）可得，再证明，由（2）可知，，即可证明．【详解】（1）解：如图1，过点E作，∵，∴，∴，，∵，  当，时，∴；当，时，∴．故答案为：55°，α+β；（2）解：如图2，过点E作，∵，∴，∴，，  ∴，即；（3）解：，理由如下：由（1）可得，∵平分，平分，∴，，∴，由（2）可知，，∴．【点睛】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的性质，利用平行线的性质探索角之间的关系．18．（2022·湖南株洲市八年级期末）已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．（1）如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1+∠3=∠2；（提示：过点P作PM∥a）（2）当点P在线段EF外运动时有两种情况，①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明．②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．【答案】（1）见解析；（2）①∠2＝∠3-∠1；②∠2＝∠3-∠1.【解析】解：（1）证明：作PM∥a，则∠1＝∠APM， ∵PM∥a，a∥b，∴PM∥b，∴∠MPB＝∠3，∴∠APB＝∠APM＋∠MPB＝∠1＋∠3，即∠1+∠3=∠2；（2）①结论：∠2＝∠3−∠1．理由：作PM∥a，则∠1＝∠APM，∵PM∥a，a∥b，∴PM∥b，∴∠MPB＝∠3，∴∠APB＝∠MPB−∠MPA＝∠3−∠1，即∠2＝∠3-∠1；②结论：∠2＝∠3−∠1.19．（2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）问题探究：如下面四个图形中， ABCD．（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．（2）请你从中任选一个加以说明理由．解决问题：（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．【答案】(1) 图1：∠1+∠2＝∠3；  图2：∠1+∠2+∠3＝； 图3：∠1＝∠2+∠3；  图4：∠1+∠3＝∠2；(2)见解析；(3)【分析】(1) 图1：首先过点P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；图2：首先过点P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案；图3：由ABCD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案；图4：由ABCD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案．（2）选图1，过点P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；（3）利用图1结论进行求解【详解】(1)图1：∠1+∠2＝∠3；  图2：∠1+∠2+∠3＝ 图3：∠1＝∠2+∠3；图4：∠1+∠3＝∠2；(2)选择图1，如图所示：过点P作EP//AB∵ABCD，EPAB∴ABEPCD∴∠1=∠APE，∠2=∠EPC又∵∠3＝∠APE+∠EPC∴∠1+∠2＝∠3；(3)由图1可得：∠BOC＝∠ABO+∠DCO，又∵∠ABO=57°，∠DCO=44°，∴∠BOC=57°+44°＝101°【点睛】考查了平行线的性质与三角形外角的性质．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等以及两直线平行，同位角相等定理的应用与辅助线的作法．20．（2023春·湖北黄冈·七年级校考期中）如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，  (1)求证：：(2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系；(3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)【分析】（1）过点C作，则，根据平行线的性质可得出、，据此可得；（2）过点Q作，则，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出，结合（1）的结论可得出；（3）由（2）的结论可得出①，由可得出②，联立①②可求出的度数，再结合（ 1）的结论可得出的度数，将其代入中可求出结论．【详解】（1）在图①中，过点C作，则．  ∵，∴，∴．（2）在图2中，过点Q作，则．  ∵，∴．∵平分，平分，∴，∴．∵，∴．（3）∵，∴，∴．∵，∴．又∵，∴，即，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查平行线的的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线．21．（2023春·广东·七年级专题练习）（1）如图1，，，，直接写出的度数．（2）如图2，，点为直线间的一点，平分，平分，写出与之间的关系并说明理由．（3）如图3，与相交于点，点为内一点，平分，平分，若，，直接写出的度数．【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）【分析】（1）过点作，可得，，根据即可求解；（2）过点作，可求出，过点作，可求出，由此即可求解；（3）延长交于点，可得，，平分，平分，可得，由此即可求解．【详解】解：（1）如图，过点作， ∵，∴，∴，，∵，，∴，，∴．（2），理由如下：过点作，∵，∴，∴，，∵平分，平分，∴，，∴，同理，过点作， ∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即．（3）如图，延长交于点，∴，，∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查平行线的性质，理解平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键．22．（2023春·福建三明·七年级校考期中）探索：小明在研究数学问题：已知，AB和CD都不经过点P，探索与、的数量关系．发现：在图1中，；如图5小明是这样证明的：过点Р作∴___________∵，．∴__________∴∴即（1）为小明的证明填上推理的依据；（2）理解：①在图2中，与、的数量关系为_____________________；②在图3中，若，，则的度数为_________________；（3）拓展：在图4中，探究与、的数量关系，并说明理由．【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；（2）①；②40°；（3），理由见解析．【分析】（1）过点作，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；（2）①过点作，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；②根据平行线的性质得出，根据三角形外角性质得出即可；（3）根据平行线的性质得出，求出，根据得出，即可得出答案．【详解】（1）证明：过点作，∴（两直线平行，内错角相等），．（平行于同一直线的两直线平行）即故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；（2）①解：过点作，所以，，．，，，，即，故答案为：；②解：，，，，，故答案为：；（3）解：．理由是：如图4，过点作，，，，，（平行于同一直线的两直线平行），，．【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键．23．（2023春·山东·七年级专题练习）如图1，直线ABCD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F在CD上，连接PE，PF． （1）若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．（请写出必要的步骤，并说明理由）（2）如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4= ．（不需说明理由，请直接写出答案）（3）如图3，在图1的基础上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB＝x°，∠PFD＝y°，则∠P1= （用含x，y的式子表示）．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3…，依次平分下去，则∠Pn＝ ．（用含x，y的式子表示）【答案】（1）110°；（2）80°；（3）【分析】（1）过点P作PH∥AB∥CD，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得；（2）同理依据两直线平行，内错角相等即可证得∠1+∠4=∠2+∠3，求得∠4=80°；（3）利用（1）的结论和角平分线的性质即可写出结论．【详解】解：（1）如图1， 过点P作PH∥AB∥CD，∴∠1=∠EPH，∠2=∠FPH，而∠EPF=∠EPH+∠FPH，∴∠EPF=∠1+∠2=110°；（2）过点P作,，，，，，，，，，∴∠1+∠4=∠2+∠3，∵∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，∴∠4=80°，故答案为：80°；（3）过点P作，平分，，同理，∴ ，同理，故答案为：，．【点睛】本题考查了平行线性质的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题．