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2024六安一中高二上学期期末考试数学含答案
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这是一份2024六安一中高二上学期期末考试数学含答案，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
2．已知数列是首项为3，公差为1的等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线上到直线距离最近的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．等比数列为递减数列，若，，则（ ）
A． B． C． D．6
5．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智。如南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关。如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ）
A．462 B．465 C．468 D．475
6．已知函数为连续可导函数，的图象如图所示，以下命题正确的是（ ）
A．是函数的最小值 B．是函数的极小值
C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0
7．设双曲线的左，右焦点为，，若双曲线右支上存在点，使得，，成等差数列，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为椭圆 B．若，则为双曲线
C．若为椭圆，则其长轴长一定大于2 D．曲线不能表示圆
10．已知函数，关于的性质，以下四个结论中正确的是（ ）
A．是奇函数 B．函数在区间上是增函数
C．有两个零点 D．函数在处取得极小值
11．设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列结论中正确的有（ ）
A．离心率 B．
C．面积的最大值为1 D．直线与以线段为直径的圆相切
12．对于数列，若，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是单调递增数列
C．数列是等差数列 D．数列是等差数列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知等差数列满足，则的值为_______．
14．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为_______．
15．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为_______．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，其离心率，和是椭圆上的点，且，的面积为，是坐标原点，则的最小值为_______．
四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
公差不为零的等差数列中，，，成等比数列，且该数列的前10项和为100．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和的最小值．
18．（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）求的单调区间与极值；
（2）求在区间上的最大值与最小值．
19．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且满足．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
20．（本小题满分12分）
已知函数，若有极大值，且极大值为2．
（1）求的值；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知函数，其最小值为．
（1）求的值；
（2）若关于的方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围。
22．（本小题满分12分）
已知在平面直角坐标系中，抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，点是椭圆上任意一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且的最大值为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过抛物线上在第一象限内的一点作抛物线的切线，交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为，过点作垂直于轴的直线，与直线OG交于点，求证：点在定直线上．
六安一中2023年秋学期高二年级期末考试
数学试卷参考答案
13．3 14． 15． 16．8
17．（1）设公差为，则，
∴，，∴； 5分
（2），∴，．
∴数列是等差数列，，，∴时，最小值为． 10分
18．（1）由题设，令，得或，
当时，即，解得或，单调递增区间为和．
当时，即，解得，单调递减区间为．
函数的极大值为，极小值为． 6分
（2）由，，，则且在区间上连续，函数在区间内的最大值为54，最小值为． 12分
19．（1）因为，①
则当时，得，解得．
当时，，②
①－②，得，即，
又，，满足上式，所以，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以． 6分
（2）由（1）知，
所以，
所以，
所以，所以． 12分
20．（1）易知函数的定义域为，
根据题意可得，令，得，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减；
所以，
解得 5分
（2）由（1）知，
因为，所以可化为，
设，
所以，则在上恒成立，
即可得在上单调递减，，
因此的取值范围是 12分
21．（1）因为，所以，
最小值在处取到，所以，， 5分
（2）因为，所以，又因为显然不是方程的根，所以。
令，则，所以在和上单调递增，在和上单调递减。要想有两个不同实根，即使与有两不同交点即可。结合的图象可知或． 12分
22．（1）∵ ∴，则为椭圆的上顶点，∴．
由题意知：当为椭圆的短轴端点时，取得最大值，
此时在中，，，
∴，则，∴，∴椭圆的标准方程为：． 4分
（2）设点，
对求导得， ∴直线AB的斜率，
∴直线AB的方程为，即．
设，，由得：，
由得：，∴，，
∴，∴，
∴，则直线OG的方程为．
又过点且垂直于轴的直线的方程为，
则由得：，∴点在定直线上 12分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
B
A
B
D
A
A
BC
CD
BCD
ACD
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
2．已知数列是首项为3，公差为1的等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线上到直线距离最近的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．等比数列为递减数列，若，，则（ ）
A． B． C． D．6
5．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智。如南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关。如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ）
A．462 B．465 C．468 D．475
6．已知函数为连续可导函数，的图象如图所示，以下命题正确的是（ ）
A．是函数的最小值 B．是函数的极小值
C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0
7．设双曲线的左，右焦点为，，若双曲线右支上存在点，使得，，成等差数列，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为椭圆 B．若，则为双曲线
C．若为椭圆，则其长轴长一定大于2 D．曲线不能表示圆
10．已知函数，关于的性质，以下四个结论中正确的是（ ）
A．是奇函数 B．函数在区间上是增函数
C．有两个零点 D．函数在处取得极小值
11．设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列结论中正确的有（ ）
A．离心率 B．
C．面积的最大值为1 D．直线与以线段为直径的圆相切
12．对于数列，若，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是单调递增数列
C．数列是等差数列 D．数列是等差数列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知等差数列满足，则的值为_______．
14．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为_______．
15．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为_______．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，其离心率，和是椭圆上的点，且，的面积为，是坐标原点，则的最小值为_______．
四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
公差不为零的等差数列中，，，成等比数列，且该数列的前10项和为100．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和的最小值．
18．（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）求的单调区间与极值；
（2）求在区间上的最大值与最小值．
19．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且满足．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
20．（本小题满分12分）
已知函数，若有极大值，且极大值为2．
（1）求的值；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知函数，其最小值为．
（1）求的值；
（2）若关于的方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围。
22．（本小题满分12分）
已知在平面直角坐标系中，抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，点是椭圆上任意一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且的最大值为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过抛物线上在第一象限内的一点作抛物线的切线，交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为，过点作垂直于轴的直线，与直线OG交于点，求证：点在定直线上．
六安一中2023年秋学期高二年级期末考试
数学试卷参考答案
13．3 14． 15． 16．8
17．（1）设公差为，则，
∴，，∴； 5分
（2），∴，．
∴数列是等差数列，，，∴时，最小值为． 10分
18．（1）由题设，令，得或，
当时，即，解得或，单调递增区间为和．
当时，即，解得，单调递减区间为．
函数的极大值为，极小值为． 6分
（2）由，，，则且在区间上连续，函数在区间内的最大值为54，最小值为． 12分
19．（1）因为，①
则当时，得，解得．
当时，，②
①－②，得，即，
又，，满足上式，所以，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以． 6分
（2）由（1）知，
所以，
所以，
所以，所以． 12分
20．（1）易知函数的定义域为，
根据题意可得，令，得，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减；
所以，
解得 5分
（2）由（1）知，
因为，所以可化为，
设，
所以，则在上恒成立，
即可得在上单调递减，，
因此的取值范围是 12分
21．（1）因为，所以，
最小值在处取到，所以，， 5分
（2）因为，所以，又因为显然不是方程的根，所以。
令，则，所以在和上单调递增，在和上单调递减。要想有两个不同实根，即使与有两不同交点即可。结合的图象可知或． 12分
22．（1）∵ ∴，则为椭圆的上顶点，∴．
由题意知：当为椭圆的短轴端点时，取得最大值，
此时在中，，，
∴，则，∴，∴椭圆的标准方程为：． 4分
（2）设点，
对求导得， ∴直线AB的斜率，
∴直线AB的方程为，即．
设，，由得：，
由得：，∴，，
∴，∴，
∴，则直线OG的方程为．
又过点且垂直于轴的直线的方程为，
则由得：，∴点在定直线上 12分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
B
A
B
D
A
A
BC
CD
BCD
ACD
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