湖南省衡阳市第八中学2023-2024学年高二创新班上学期第四阶段测试数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省衡阳市第八中学2023-2024学年高二创新班上学期第四阶段测试数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单选题：本题共8题，每题3分，共24分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则=
A．B．C．D．
2．设，“”是“复数是纯虚数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
4．设函数是定义在上的偶函数，，当时，单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．或 B． C． D．
5．把满足条件（1），，（2），，使得的函数称为“D函数”，下列函数是“D函数”的个数为（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
7．设函数的定义域为R，满足，且当时，. 若对任意，都有，则m的最小值是（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义在上的奇函数满足：当时，. 若不等式对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．B．
C．D．
二、多选题：每小题4分，共16分.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．如图是函数导函数的图象，下列选项中正确的是（ ）
A．在处函数有极大值B．在，处导函数有极小值
C．在处函数有极大值D．在处函数有极小值
10．已知函数，若过点（其中是整数）可作曲线的三条切线，则的所有可能取值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
11．已知符号函数，则（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．函数的值域为（﹣∞，1）
12．已知是定义在上的函数，是的导函数，给出如下四个结论，其中正确的是（ ）
A．若，且，则的解集为
B．若，且，则函数有极小值0
C．若，且，则不等式的解集为
D．若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.
13．已知，设函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为 ．
14. 已知函数，则_______，的最小值是______．
15. 已知函数（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是 ．
16. 已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数.
若，则实数的取值范围为_________.
四、解答题：本题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）函数在区间上是单调递减函数，求的取值范围.
18. （10分）已知函数
（I）讨论的单调性；
（II）设有两个极值点若过两点的直线与轴的交点在曲线上，求的值．
19. （12分）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率（）.
A公司生产万件防护服还需投入成本(万元).
（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；
（2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？
（3）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.
20. （12分）已知函数．
（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；
（2）若有两个零点，且，证明：．
2021年上学期高二创新班“周周考”第四轮——数学试卷(5.15)
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单选题：本题共8题，每题3分，共24分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、多选题：每小题4分，共16分.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
1．已知集合，则=
A．B．C．D．
解析：依题意可得，
所以 故选C．
2．设，“”是“复数是纯虚数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】时不一定是纯虚数，但是纯虚数一定成立，故“”是“复数是纯虚数”的必要而不充分条件．
3．函数的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C；当时，，，故，故排除A、D，
4．设函数是定义在上的偶函数，，当时，单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，函数单调递增，且函数是上的偶函数， ，
由，得，故，得或.
5．把满足条件（1），，（2），，使得的函数称为“D函数”，下列函数是“D函数”的个数为（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，①不满足（2）；②不满足（1）；
③不满足（2）；④⑤均满足（1）（2）.
6．已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】详解： ，
将代入得，故选D．
7．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，∴
当时，，
时，，，
时，，，
将函数大致图象绘制如下：
时，令，解得：，，
若对于任意，都有，所以，
故选：A.
8．已知定义在上的奇函数满足：当时，.若不等式对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意知，时，，则，
因为是上的奇函数，所以，
所以当时，.
因为函数为上的减函数，所以为上的增函数，故为上的增函数，
由，可得，即对任意恒成立，
当时，不等式可化为，显然不符合题意，
所以，可得，解得.
9．（多选题）如图是函数导函数的图象，下列选项中正确的是（ ）
A．在处函数有极大值B．在，处导函数有极小值
C．在处函数有极大值D．在处函数有极小值
【答案】BCD
【解析】根据导函数的图像可知：的两侧左减右增，所以在，处导函数有极小值；的两侧左增右减，所以在处导函数有极大值.
根据导函数的图像可知：的左侧导数大于零，右侧导数小于零，所以在处函数有极大值.的左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以在处函数有极小值.而左右两侧导函数符号相同，原函数不取得极值.
故选：BCD
10．（多选题）已知函数，若过点（其中是整数）可作曲线的三条切线，则的所有可能取值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】ABC
【解析】解：由题知，设切点为，则切线方程为，将，代入得；
令，则，
或时，；时，，
的极大值为，极小值为，由题意知，又为整数，
.
11．（多选题）已知符号函数，则（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．函数的值域为（﹣∞，1）
【答案】BC
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，lg23＞0而lg3＜0，则lg23•lg3＜0，故sgn（lg23•lg3）＝﹣1，A错误；
对于B，＝﹣2＜0，则sgn（）＝﹣1，B正确；
对于C，sgn（x）＝，当x＞0时，sgn（﹣x）＝﹣sgn（x）＝﹣1，当x＜0时，sgn（﹣x）＝﹣sgn（x）＝1，当x＝0时，sgn（﹣x）＝﹣sgn（x）＝0，则对于任意的x，都有sgn（﹣x）＝﹣sgn（x），故sgn（x）是奇函数，C正确；
对于D，函数y＝2x•sgn（﹣x）＝，其图象大致如图，值域不是（﹣∞，1），D错误；
故选：BC．
12．（多选题）已知是定义在上的函数，是的导函数，给出如下四个结论，其中正确的是（ ）
A．若，且，则的解集为
B．若，且，则函数有极小值0
C．若，且，则不等式的解集为
D．若，则
【答案】ABD
【解析】对选项A：设，因为，且，
则，所以在上增函数，
又因为，所以当时，，
即的解集为，故A正确.
对选项B，设，
因为
所以当时， ，为减函数，
当时， ，为增函数，
故当，取得极小值，极小值为，故B正确.
对选项C，设，.
因为，，所以，在上增函数.
又因为，所以.所以当时，，故C错误.
对选项D，设，
因为，所以，在上增函数.
所以，，即.
故D正确.
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.
13．已知a∈R，设函数f（x）＝ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为 ．
【答案】1
【解析】函数f（x）＝ax﹣lnx，可得f′（x）＝a﹣，切线的斜率为：k＝f′（1）＝a﹣1，
切点坐标（1，a），切线方程l为：y﹣a＝（a﹣1）（x﹣1），
l在y轴上的截距为：a+（a﹣1）（﹣1）＝1．故答案为：1．
14．已知函数，则_______，的最小值是______．
【答案】0，
【解析】∵，，即．又在
上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以．
15. 已知函数（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是 ．
【解答】解： ， ，
由函数有两个极值点可得和在上有两个交点，
，令 ，则，
在上单调递减且（1），
当，时，，即，在，上单调递增，（1），
当时，，即，在上单调递减．
故（1），
而当时，，当时，；
若和的图象在上有两个交点，只需，故．
故答案为：，．
16. 已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数.
若，则实数的取值范围为_________.
【答案】
【分析】令，求得函数的导数，根据函数的单调性，把题设中的不等式转化为，即可求解.
【详解】令，则，
因为，所以，所以函数在为单调递减函数，
又由，
所以，即，所以，
即，所以，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
四、解答题：本题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）函数在区间上是单调递减函数，求的取值范围.
【解析】（1），，，
因此，曲线在点处的切线方程，即；…………………4分
（2），
，
令，得或，
由于函数在区间上是单调递减函数，则，解得.
因此，实数的取值范围是. …………………………………10分
18．（10分）已知函数
（I）讨论的单调性；
（II）设有两个极值点若过两点的直线与轴的交点在曲线上，求的值．
【解析】（I），
当时，，当且仅当时，，所以是上增函数；
当时，的两个根为，
，，
，
综上所述，当时，单调递增区间是；
当时，单调递增区间是，
单调递减区间是；…………………………………4分
（II）由题设知，是方程的两个根，
故有，，
因此
，
同理，
因此直线的方程为， 设直线与轴的交点为，得，
，
由题设知，点在曲线上，故，解得或或
所以的值为. …………………………………10分
19．（12分）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率（）.A公司生产万件防护服还需投入成本(万元).
（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；
（2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？
（3）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.
【解析】
（1）由题意，，即，，.……………4分
（2），
因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.
所以，
故政府补贴为万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大为万元. …………………………………8分
（3）对任意的(万元)，A公司都不产生亏损，则在上恒成立，不等式整理得，，
令，则，则，
由函数在上单调递增，可得，
所以，即.
所以当复工率达到时，对任意的(万元)，A公司都不产生亏损. ……………………12分
20．（12分）已知函数．
（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；
（2）若有两个零点，且，证明：．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
B
A
B
D
A
A
题号
9
10
11
12
答案
BCD
ABC
BC
ABD
题号
13
14
15
16
答案
0，