2023-2024学年河北省石家庄市高邑县八年级（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年河北省石家庄市高邑县八年级（上）期末数学试卷(含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.根据分式的基本性质，分式−aa−b可变形为( )
A. aa−bB. aa+bC. a−a−bD. ab−a
3.要使式子 m+1m−1有意义，则m的取值范围是( )
A. m>−1B. m≥−1C. m>−1且m≠1D. m≥−1且m≠1
4.下列七个实数：0， 8，227，π3， 16，3.14159265，0.101001000100001…，其中无理数的个数是( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
5.关于 8的叙述正确的是( )
A. 在数轴上不存在表示 8的点B. 8= 2+ 6
C. 8=± 2D. 与 8最接近的整数是3
6.与 32−22−12结果相同的是( )
A. 3−2+1B. 3+2−1C. 3+2+1D. 3−2−1
7.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形的底角的度数为( )
A. 30°B. 30°或120°C. 80°D. 30°或80°
8.如图，若x为正整数，则表示
1−1x+1的值的点落在( )
A. 段①B. 段②C. 段③D. 段④
9.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( )
A. 三边长之比为3：4：5B. 三内角之比为3：4：5
C. 三内角之比为1：2：3D. 三边长的平方之比为1：2：3
10.若关于x的分式方程mxx−3−2=2mx−3无解，则m的值为( )
A. 0B. 2C. 0或2D. 无法确定
11.数轴上表示1， 2的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是( )
A. 2−1B. 1− 2C. 2− 2D. 2−2
12.如图，∠ACB=∠DBC，若只添加一个条件，不能使得△ABC与△DCB全等的是( )
A. AC=DB
B. AB=DC
C. ∠A=∠D
D. ∠ABC=∠DCB
13.如图，点I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，关于S1+S2与S3的大小关系，正确的是( )
A. S1+S2=S3B. S1+S2S3D. 无法确定
14.如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推6m至C处时(即水平距离CD=6m)，踏板离地的垂直高度CF=4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是( )
A. 212mB. 152mC. 6mD. 92m
15.如图，△ABC中，AB=AC，BC=6，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC的中点，点M为线段EF上一动点，当△CDM周长取得最小值为13时，△ABC的面积为( )
A. 30B. 39C. 60D. 78
16.如图：点C在AB上，△DAC、△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M，N，则下列结论①AE=DB，②CM=CN，③△CMN为等边三角形，④MN//BC.正确的有个．( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共3小题，共10分。
17.已知：最简二次根式 4a+b与a−b23的被开方数相同，则a+b=____．
18.如图，从一个大正方形中裁去面积为8cm2和18cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分面积和为______cm2．
19.如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,AB= 2，点M，N分别为直线BC，AC上的动点，过点A作AD//BC，且AD=AB．
(1)AM的最小值为______；
(2)AM+DM的最小值为______．
三、解答题：本题共7小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题10分)
(1)计算( 2− 3)2+2 13×3 2；
(2)解方程：2+x2−x+16x2−4=−1．
21.(本小题8分)
先化简再求值：2x2+2x2−2x+1÷(x−1+x2+2x+1x−1)，其中x= 3．
22.(本小题8分)
小明和爸爸妈妈在公园里荡秋千.如图，小明坐在秋千上的起始位置A处，起始位置OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2米高的B处接住他，然后用力一推，爸爸在C处接住他.若妈妈与爸爸到秋千起始位置OA的水平距离BF=1.8米，CG=2.2米，且∠BOC=90°，求爸爸接住小明的位置C距地面的高度．
23.(本小题9分)
同学们在学习完《轴对称》一节时，发现长方形ABCD是轴对称图形，但是沿着BD所在直线翻折，却不能重合(如图)，所以得出结论：BD所在的直线不是它的对称轴.聪明的嘉琪想想说：如果AB=3，BC=4就能求AE的长.请你也试着做做．
24.(本小题10分)
如图所示，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC上的一点且CE=3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB−BC−CD−DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，求t的值．
25.(本小题11分)
为了改善我县的交通现状，县政府决定扩建某段公路，甲、乙两工程队承包该段公路的修建工作，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的1.5倍；若由甲队先修建90天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为40万元，乙队每天的施工费用为52万元，工程预算的施工费用为6000万元，为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需增加多少万元？
26.(本小题12分)
如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
(1)求证：△COD是等边三角形；
(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】D
【解析】解：−aa−b=−a−(b−a)=ab−a，
故选：D．
先把分式的分母提取−1，再根据分式的基本性质进行变形即可．
本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行变形是解此题的关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，属于基础题．
根据分式有意义，分母不为0，二次根式的被开方数是非负数，可以求出m的范围．
【解答】
解：根据题意得：m+1≥0m−1≠0，
解得：m≥−1且m≠1．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】解：0， 16=4，是整数，属于有理数；
227是分数，属于有理数；
3.14159265是有限小数，属于有理数；
无理数有：， 8，π3，0.101001000100001…共3个．
故选：B．
无理数就是无限不循环小数，注意带根号且开不尽的为无理数．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
5.【答案】D
【解析】解：A、数轴上的点既可以表示有理数，也可以表示无理数，所以在数轴上存在表示 8的点，故该选项错误，不符合题意；
B、 8=2 2≠ 2+ 6，故该选项错误，不符合题意；
C、 8=2 2，故该选项错误，不符合题意；
D、与 8最接近的整数是3，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
根据数轴上的点与实数是一一对应的关系，实数的运算法则，算术平方根的定义计算即可．
本题涉及了数轴上的点与实数是一一对应的关系，实数的运算法则，算术平方根的定义等知识点，熟练掌握相关知识点是解本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解： 32−22−12= 9−4−1= 4=2，
∵3−2+1=2，故A符合题意；
∵3+2−1=4，故B不符合题意；
∵3+2+1=6，故C不符合题意；
∵3−2−1=0，故D不符合题意．
故选：A．
化简 32−22−12= 9−4−1= 4=2，再逐个选项判断即可．
本题考查了二次根式的运算性质，熟悉二次根式的运算性质是解题关键．
7.【答案】D
【解析】解：(1)当底角与顶角的比是1：4时，
设底角为x，顶角为4x，根据三角形内角和得，x+x+4x=180°，
解得：x=30°，
即底角为30°；
(2)当顶角与底角的比是1：4，设顶角为x，底角为4x，根据三角形内角和得，x+4x+4x=180°，
解得：x=20°，
∴4x=80°，
即底角为80°；
所以底角的度数为30°或80°．
故选：D．
题中没有说明是顶角与底角的比还是底角与顶角的比，则应该分两种情况进行分析，根据三角形的内角和定理即可求得其底角的度数．
此题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
先计算出原式=xx+1，再取特殊值x=1代入计算即可得出答案．
【解答】
解：1−1x+1=x+1x+1−1x+1=xx+1，
取x=1，则xx+1=12=0.5，
∴表示1−1x+1的值的点落在段②，
故选：B．
9.【答案】B
【解析】解：A、三边长之比为3：4：5时，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故A不符合题意；
B、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C=3：4：5，
∴最大角∠C=53+4+5×180°=75°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°×31+2+3=90°，
∴△ABC是直角三角形，故C不符合题意；
D、三边长的平方之比为1：2：3时，
设三边的平方为k2，2k2，3k2，因为k2+2k2=3k2，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故C不符合题意．
故选：B．
根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可．
本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理，属于中考常考题型．
10.【答案】C
【解析】解：方程两边同时乘(x−3)得：
mx−2(x−3)=2m，
解得：x=2m−6m−2，
∵关于x的分式方程mxx−3−2=2mx−3无解，
∴x−3=0或m−2=0，
即x=3或m=2，
∴2m−6m−2=3或m=2，
解得：m=0或2．
故选：C．
首先由方程两边同乘(x−3)，得：mx−2(x−3)=2m，又由关于x的分式方程mxx−3−2=2mx−3无解，即可得：x−3=0，继而求得m的值．
此题考查了分式方程的解的知识．注意若分式方程mxx−3−2=2mx−3无解，可得最简公分母x−3=0或m−2=0．
11.【答案】C
【解析】解：∵数轴上表示1， 2的对应点分别为A，B，
∴AB= 2−1，
∵点B关于点A的对称点为C，
∴AC=AB．
∴点C的坐标为：1−( 2−1)=2− 2．
故选：C．
首先根据数轴上表示1， 2的对应点分别为A，B可以求出线段AB的长度，然后由AB=AC利用两点间的距离公式便可解答．
本题考查的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．
12.【答案】B
【解析】解：A、AC=DB∠ACB=∠DBCBC=CB，
∴△ABC≌△DCB(SAS)；
B、SSA不能判断三角形全等，错误；
C、∠A=∠D∠ACB=∠DBCBC=CB，
∴△ABC≌△DCB(AAS)，
D、∠ABC=∠DCBBC=CB∠ACB=∠DBC，
∴△ABC≌△DCB(ASA)；
故选：B．
要使△ABC≌△DCB，已知BC=BC，∠ACB=∠DBC，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．
本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
13.【答案】C
【解析】解：∵点I是△ABC三条角平分线的交点，
∴△ABI和△BIC和△AIC的高相等，
∵△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，
∴S1+S2=12AB⋅h+12AC⋅h=12(AB+AC)⋅h，S3=12BC⋅h，
由△ABC的三边关系得：AB+AC>BC，
∴S1+S2>S3，
故选：C．
根据角平分线的性质和三角形三边关系和三角形的面积公式解答即可．
此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出△ABI和△BIC和△AIC的高相等解答．
14.【答案】B
【解析】解：设绳索AC的长是x m，则AB=x m，
∵DE=FC=4m，BE=1m，
∴AD=AB+BE−DE=x+1−4=(x−3)m，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC2=AD2+CD2，
即x2=(x−3)2+62，
解得：x=152，
即绳索AC的长是152m，
故选：B．
设绳索AC的长是x m，则AB=x m，求出AD=AB+BE−DE=(x−3)m，然后在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理得出方程是解题的关键．
15.【答案】A
【解析】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+12BC=13，
∵BC=6，
∴AD=10，
∴△ABC的面积为：12BC⋅AD=12×6×10=30，
故选：A．
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
16.【答案】D
【解析】解：∵△DAC、△EBC均是等边三角形，
∴CA=CD，∠ACD=60°，CE=CB，∠BCE=60°，
∴∠DCE=60°，∠ACE=∠BCD=120°，
在△ACE和△DCB中，
CA=CD∠ACE=∠DCBCE=CB，
∴△ACE≌△DCB(SAS)，
∴AE=DB，所以①正确；
∠CAE=∠CDB，
在△ACM和△DCN中，
∠MAC=∠NDCCA=CD∠ACM=∠DCN，
∴△ACM≌△DCN(ASA)，
∴CM=CN，所以②正确；
∵CM=CN，∠MCN=60°，
∴△CMN为等边三角形，所以③正确．
∴∠CMN=60°，
∴∠CMN=∠MCA，
∴MN/​/BC，所以④正确．
故选：D．
利用等边三角形的性质得CA=CD，∠ACD=60°，CE=CB，∠BCE=60°，所以∠DCE=60°，∠ACE=∠BCD=120°，则利用“SAS”可判定△ACE≌△DCB，所以AE=DB，∠CAE=∠CDB，则可对①进行判定；再证明△ACM≌△DCN得到CM=CN，则可对②进行判定；然后证明△CMN为等边三角形，对③进行判断；得到∠CMN=60°，则可对④进行判定．
本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等边三角形的判定与性质．
17.【答案】8
【解析】解：由题意，得：a−b=24a+b=23解得：a=5b=3，
∴a+b=8．
已知两个最简二次根式的被开方数相同，因此它们是同类二次根式，即：它们的根指数和被开方数相同，列出方程组求解即可．
本题考查了同类二次根式的定义及二元一次方程组的应用．
18.【答案】24
【解析】解：∵两个小正方形面积为8cm2和18cm2，
∴大正方形边长为： 8+ 18=2 2+3 2=5 2(cm)，
∴大正方形面积为(5 2)2=50(cm2)，
∴留下的阴影部分面积和为：50−8−18=24(cm2).
故答案为：24．
直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．
此题主要考查了二次根式的应用，正确得出大正方形的边长是解题关键．
19.【答案】1 6
【解析】解：(1)当AM⊥BC时，AM最小，此时，
∵AB=AC,∠BAC=90°,AB= 2，
∴∠ABC=45°，AM=BM，
则AB= 2AM= 2，
∴AM=1；
故答案为：1
(2)作点A关于BC的对称点E，连接DE，交BC于点M，此时，AM+DM=DE最小，由(1)得AP=PE=1，即AE=2，
∵AD/​/BC，
∴∠DAE=∠CPE=90°，
∵AD=AB= 2，
∴DE= AD2+AE2= 6，
故答案为： 6．
(1)根据垂线段最短即可求出AM的最小值；
(2)作点A关于BC的对称点E，连接DE，交BC于点M，此时，AM+DM最小，求出DE即可．
本题考查了轴对称和最短路径，解题关键是明确垂线段最短和利用轴对称确定最短路径，能够熟练运用勾股定理求出线段长．
20.【答案】解：(1)原式=2−2 6+3+2 33×3 2
=5−2 6+2 6
=5；
(2)去分母得−(x+2)2+16=−(x+2)(x−2)，
解得x=2，
检验：当x=2时，(x+2)(x−2)=0，
所以x=2为原方程的增根，
所以原方程无解．
【解析】(1)先利用完全平方公式计算，再把 13化简，接着利用二次根式的乘法法则运算，然后合并即可；
(2)先把方程两边乘以(x+2)(x−2)，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了解分式方程．
21.【答案】解：原式=2(x2+1)(x−1)2÷(x−1)2+x2+2x+1x−1
=2(x2+1)(x−1)2÷2x2+2x−1
=2(x2+1)(x−1)2⋅x−12(x2+1)
=1x−1，
当x= 3时，原式=1 3−1= 3+12．
【解析】先根据分式的加法法则算加法，再根据分式的除法法则进行计算，再算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
22.【答案】解：由题意可知，AF=1.2米，
∵∠BOC=90°，
∴∠GOC+∠FOB=90°，
∵CG⊥OA，BF⊥OA，
∴∠CGO=∠OFB=90°，
∴∠GOC+∠GCO=90°，
∴∠GCO=∠FOB，
在△GCO和△FOB中，
∠CGO=∠OFB∠GCO=∠FOBOC=BO，
∴△GCO≌△FOB(AAS)，
∴CG=OF=2.2米，OG=BF=1.8米，
∴GF=OF−OG=2.2−1.8=0.4(米)，
∴AG=AF+GF=1.2+0.4=1.6(米)，
答：爸爸接住小明的位置C距地面的高度是1.6米．
【解析】证△GCO≌△FOB(AAS)，得CG=OF=2.2米，OG=BF=1.8米，则GF=OF−OG=0.4米，然后求出AG的长即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
23.【答案】解：∵FD=DC=AB=3，
在△ABE和△FDE中，
∠A=∠F∠AEB=∠FEDAB=FD，
∴△ABE≌△FDE(AAS)，
∴AE=FE，BE=DE，
在Rt△ABE中，由勾股定理得BE2=AE2+32，
设AE=x，则(4−x)2=x2+32，
解之得x=78，
∴AE=78．
【解析】根据翻折和矩形的性质可证明△ABE≌△FDE(AAS)，可得AE=FE，BE=DE，在Rt△ABE中，由勾股定理得BE2=AE2+32，进而可计算出AE的长．
本题考查翻折和矩形的性质，及全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用全等三角形的判定和性质证明AE=FE，BE=DE是解决问题的关键．
24.【答案】解：如图，
①当点M在BC上时，
∵△ABM′≌△DCE，
∴CE=BM′=3，
由题意可得：2t−4=3，
所以t=3.5(秒)；
②当点M在AD上时，
∵△ABM″≌△CDE，
∴AM″=CE=3，
由题意得：16−2t=3，解得t=6.5(秒)．
综上所述：当t的值为3.5秒或6.5秒时，△ABM和△DCE全等．
【解析】分两种情况讨论，由全等三角形的性质列出等式，可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工程所需天数是1.5x天，
依题意得：901.5x+301.5x+30x=1，
解得x=110，
检验，当x=110时，1.5x=165≠0，
所以原方程的解为x=110．
所以1.5x=1.5×110=165(天)．
答：乙队单独完成这项工程需110天，甲队单独完成这项工程需165天．
(2)设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，
则有y110+y165=1，
解得y=66，
需要施工的费用：66×(40+52)=6072(万元)，
∵6072>6000，6072−6000=72(万元)，
∴工程预算的费用不够用，需要追加预算72万元．
【解析】(1)设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工程所需天数是1.5x天，则乙队的效率为1x，甲队的效率为11.5x，由已知得乙队工作了30天，甲队一共工作了120天，列方程901.5x+301.5x+30x=1，解出即可，要注意检验；
(2)根据(1)中所求得出甲、乙单独完成需要的天数，进而求出总费用，即可得出答案．
本题考查了分式方程的应用，属于工程问题，明确三个量：工作总量、工作效率、工作时间，根据等量关系列出方程是解题的关键．
26.【答案】解：(1)证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形；
(2)当α=150°时，△AOD是直角三角形．
理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=90°，
∵∠α=150°，∠AOB=110°，∠COD=60°，
∴∠AOD=360°−∠α−∠AOB−∠COD=360°−150°−110°−60°=40°，
∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形；
(3)①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∵∠AOD=360°−110°−60°−α=190°−α，∠ADO=α−60°，
∴190°−α=α−60°，
∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．
∵∠OAD=180°−(∠AOD+∠ADO)=180°−(190°−α+α−60°)=50°，
∴α−60°=50°，
∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．
∵∠AOD=360°−110°−60°−α=190°−α，
∠OAD=180°−(α−60°)2=120°−α2，
∴190°−α=120°−α2，
解得α=140°．
综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【解析】本题以“空间与图形”中的核心知识(如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等)为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法(如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等)，能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．
(1)根据旋转的性质可得出OC=OD，结合题意即可证得结论；
(2)结合(1)的结论可作出判断；
(3)找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．