还剩12页未读，
继续阅读
2023-2024学年度江西省萍乡市高一第一学期期末考试数学试卷(含解析）
展开
这是一份2023-2024学年度江西省萍乡市高一第一学期期末考试数学试卷(含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={−1,a2−2a+1,a−4}，若4∈A，则a的值可能为( )
A. −1，3B. −1C. −1，3，8D. −1，8
2.下列说法正确的是( )
A. 若f(x)是奇函数，则f(0)=0
B. 若f(x)=2mx−m(m为常数)是幂函数，则不等式f(x+1)C. 函数y=2x在(−∞,0)∪(0,+∞)上是减函数
D. y= x2与y=x为同一函数
3.下列命题为真命题的是( )
A. 若a>b，则1a<1b
B. 若a>b，则b+1a+1>ba
C. 若a−cD. 若a>b>0，则a+1a>b+1b
4.太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊净水器处理成饮用水循环使用.净化过程中，每过滤一次可减少水中杂质10%，要使水中杂质减少到原来的1%以下，至少需要过滤的次数为(参考数据：lg3≈0.477)( )
A. 42次B. 43次C. 44次D. 45次
5.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且在(−∞,0)上单调递减，若a=f(3−0.5)，b=f(lg13 22)，c=f(− 22)，则( )
A. b6.甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则乙最终获胜的概率为( )
A. 0.36B. 0.352C. 0.288D. 0.648
7.若把函数f(x)=(x+1)ax+1|x+1|+2(0A. B.
C. D.
8.已知x，y∈R，且满足(x−2)2023+2023x=4045(y−2)2023+2023y=4047，则x+y的值为
( )
A. 0B. 2C. 4D. 8
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除”
B. “菱形是正方形”是全称命题
C. 式子a −1a化简后为− −a
D. “a≥8”是“∀x∈[1,3]，有x2−a≤0为真命题”的充分不必要条件
10.已知定义在R的函数f(x)满足f(x+1)+f(1−x)=0，且在区间(−∞,1)上单调递减，若f(2)=0，则下列说法正确的是( )
A. f(1)=1
B. f(x)的对称中心为(1,0)
C. f(x)在区间(1,+∞)上单调递减
D. 满足xf(x)≤0的x的取值范围是(−∞,1]∪[2,+∞)
11.已知样本甲：x1，x2，x3，⋯，xn与样本乙：y1y2，y3，⋯，yn满足关系yi=(13)xi(i=1,2,⋯,n)，则下列结论错误的是( )
A. 样本乙的极差等于样本甲的极差
B. 若某个xi为样本甲的中位数，则yi是样本乙的中位数
C. 样本乙的众数小于样本甲的众数
D. 若某个xi为样本甲的平均数，则yi是样本乙的平均数
12.已知函数f(x)=a(3x+3)+x2−2bx，若函数y=f(x)与函数y=f(f(x))的零点相同，则a−2b的取值可能是( )
A. 2B. −2C. 0D. 4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某班拟从2名男学生和1名女学生中随机选派2名学生去参加一项活动，则恰有一名女学生和一名男学生去参加活动的概率是 ．
14.在一次篮球比赛中，某球队共进行了9场比赛，得分分别26，37，23，45，32，36，40，42，51，则这组数据的60%分位数为 ．
15.已知关于x的一元二次不等式mx2−2x+1<0的解集为(a,b)，则3a+b的最小值为 ．
16.记[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.3]=1，[−2.5]=−3.已知函数f(x)=3x,x⩽0x,x>0，若函数g(x)=f(x)−lga|x|恰有2个零点，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知a∈R，集合A={x|a−1≤x≤2a+1}，B={x|−3≤x≤3}．
(1)若a=2，求(∁RA)∩B;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x+1x−3．
(1)判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性，并用定义证明;
(2)用二分法求方程f(x)=0在区间(1,+∞)上的一个近似解(精确度为0.1)．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=lgax(a>0，且a≠1)，从下面两个条件中选择一个进行解答．
①f(x)的反函数经过点(1,12); ②[f(x)]2−f(x)=0的解集为{12}.
(1)求实数a的值;
(2)若g(x)=f(x2)⋅f(x4)，x∈[2,8]，求g(x)的最值及对应x的值．
20.(本小题12分)
从某学校800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，⋯，第八组[190,195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为4．
(1)求第七组的频率;
(2)估计该校800名男生身高的中位数;
(3)从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为x，y，记|x−y|≤5为事件E，求P(E)．
21.(本小题12分)
已知a∈R，函数f(x)=2x2−ax+a2，g(x)=x2−x+a2−4．
(1)若a=4，求不等式f(lg2x)>22的解集;
(2)求不等式f(x)<2a2的解集;
(3)∀x∈[1,3]，不等式f(x)>g(x)恒成立，求a的取值范围．
22.(本小题12分)
近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱.某平台从2020年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加.已知从2020到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示(注：第4年数据为截止到2023年10月底的数据)．
(1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立x(x∈N∗)年后会员人数y(千人)，求出你所选择模型的解析式，并预测2023年年末的会员人数;
①y=bx+c(b>0); ②y=dlgrx+e(r>0且r≠1); ③y=tax+s(a>0且a≠1);
(2)为了更好的维护管理平台，该平台规定第x年的会员人数上限为k⋅4x(k>0)千人，请根据(1)中得到的函数模型，求k的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了元素与集合的关系，属于基础题．
根据题意即可得到答案．
【解答】解：4∈A，可令a−4=4，故a=8;
若a2−2a+1=4，即(a−1)2=4，故a=−1或3，当a=3时不符合题意，故a的值可能为−1，8．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性，幂函数，利用单调性解不等式，及判断两个函数是否为同一函数，属于基础题．
对各选项逐一进行分析判断即可．
【解答】
解：对于A，若f(x)在x=0时没有定义，则结论不成立，故A错误；
对于B，因为f(x)是幂函数，所以2m=1，即m=12，
所以f(x)=x−12，在0,+∞上单调递减，
所以x+1>010−2x>0x+1>10−2x，解得：3对于C，对于函数y=2x，单调区间不能用并，故C错误；
对于D，两函数定义域不同，故D错误．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题．
根据不等式性质证明C正确，举反例说明A，B，D错误．
【解答】
解：对于A：取a=1，b=−1，则 a>b， 1a>1b，故A错误;
对于B：取a=−1，b=−2，则b+1a+1无意义，故B错误；
对于C：因为a−c因为a对于D：取a=12,b=13，则a+1a=524.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了利用指数函数模型解决实际问题，属于基础题．
根据题意建立指数函数关系，然后进行求解即可．
【解答】
解：假设至少需要过滤的次数为x，设原始为a，则a910x−22lg3−1≈43.478，故至少需要过滤的次数为44次．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性和单调性的运用，涉及指数函数与对数函数的性质，属于中档题．
根据奇偶性得到函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，结合指数、对数函数的性质推出0【解答】
解：因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，且在(−∞,0)上单调递减，
则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，
因为12<3−0.5=1 3< 22，lg13 22=lg131 2=lg3 2则0可得flg13 22即b6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，属于基础题．
最终乙胜是指乙连胜两局或前两局乙一胜一负第三局乙胜，由此能求出结果．
【解答】解：甲、乙两人进行三局二胜制象棋比赛，
每局甲取胜的概率为0.6，乙取胜的概率为0.4，
∴最终乙胜甲记作事件A，
则P(A)=0.42+C21×0.4×0.6×0.4=0.352．
故选：B．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查求函数解析式，函数平移，函数的图像，属于中档题．
由f(−2)=0求出f(x)的解析式，再由函数平移得到平移后的函数解析式，通过解析式画出函数图像再作判断即可．
【解答】
由题意，f(−2)=0，即−a−11+2=0，解得a=12，故f(x)=(x+1)·(12)x+1|x+1|+2
由于平移使得P(−2,0)变换成点Q(−1,−2)，故将f(x)向右平移1个单位，向下平移2个单位，从而平移后的函数解析式为g(x)=f(x−1)−2=x|x|·(12)x
故g(x)=(12)x,x>0−(12)x,x<0，根据解析式可以得到，g(x)的函数图像为D选项．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了幂函数单调性的应用，解题的关键是由已知方程组合理的构造函数，属于中档题．
等式整理成(x−2)，(y−2)表达式．构造函数，判断单调性与奇偶性找(x−2)，(y−2)的关系．
【解答】
解：∵(x−2)2023+2023x=4045，即(x−2)2023+2023(x−2)=4045−4046=−1，
即(x−2)2023+2023(x−2)=−1，同理(y−2)2023+2023(y−2)=1，
又因为x，y∈R，所以(x−2)，(y−2)∈R，
构造函数f(t)=t 2023+2023t，t∈R，
所以f(x−2)=−1，f(y−2)=1，即f(y−2)=−f(x−2)(∗)，
又因为f(−t)=(−t) 2023+2023(−t)=−t 2023−2023t=−(t 2023+2023t)=−f(t)，
即f(−t)=−f(t)，所以f(t)=t 2023+2023t是定义在R上的奇函数．
所以(∗)式变为：f(y−2)=−f(x−2)=f[−(x−2)]=f(2−x)，
即f(y−2)=f(2−x)，
又f(t)=t 2023+2023t在R上单调递增，
所以，y−2=2−x，即x+y=4．
故选C．
9.【答案】AD
【解析】【分析】
【分析】本题考查了存在量词命题的否定，全称量词命题，充分必要充要条件的判断，属于中档题．
对于A和B直接进行判断即可；对于C，化简求值即可判断；对于D，求出真命题时a的取值范围，即可判断．
【解答】
【解答】解：对于A，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“任何一个奇数都能被3整除”，故A错误；对于B，“菱形是正方形”是全称命题，故B正确；对于C，由 −1a可得，a<0，则a=− a2，所以a −1a=− a2 −1a=− −a，故C正确；对于D，“∀x∈[1,3]，有x2−a≤0为真命题”，则a⩾x2max，即a≥9，故“a≥8”是“∀x∈[1,3]，有x2−a≤0为真命题”的必要不充分条件，故D错误．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了抽象函数的单调性和对称性，属于较难题。
利用函数的单调性和对称性，逐一判断即可。
【解答】
解：∵f(x+1)+f(1−x)=0，∴f(x)的对称中心为(1,0)，f(1)=0，
故A不正确，B正确;
∵f(x)在区间(−∞,1)上单调递增，且f(x)的对称中心为(1,0)，
∴f(x)在区间(1,+∞)上单调递减，故C正确;
由题意知，当x<0时，f(x)>0;f(0)=0;当0当10;f(2)=0;当x>2时，f(x)<0．
又xf(x)≤0，∴x≤0或0≤x≤1或x≥2，故D正确．
故选BCD．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查平均数、中位数、众数、极差的知识，属于中档题．
yi=(13)xi是关于x的减函数，所以若某个xi为样本甲的中位数，则yi是样本乙的中位数，但是样本乙的极差不一定等于样本甲的极差，样本乙的众数不一定小于样本甲的众数；若某个xi为样本甲的平均数，但yi不一定是样本乙的平均数．
【解答】解：由题意知，样本乙的极差不等于样本甲的极差，故 A中说法错误;
∵yi=(13)xi，∴yi关于xi递减，∴若xi为样本甲的中位数，则yi也为样本乙的中位数，故B中说法正确;
样本乙的众数不一定小于样本甲的众数，故C中说法错误;
若某个xi为样本甲的平均数，则yi不一定是样本乙的平均数，故D中说法错误．
12.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查了函数的零点问题，考查了运算能力，属于中档题．
设函数f(x)的零点为x0，则f0=0，可得a=0，由题得到方程x2−2bx−2b=0无解或者与方程x2−2bx=0的解相同，从而求出b即可．
【解答】
解：设函数f(x)=a(3x+3)+x2−2bx的零点为x0，
则fx0=0，又ffx0=0，即f0=0，可得a=0，
则fx=x2−2bx=xx−2b，
ffx=x2−2bxx2−2bx−2b，
因为函数y=f(x)与函数y=f(f(x))的零点相同，
所以方程x2−2bx−2b=0无解或者与方程x2−2bx=0的解相同，
则Δ=−2b2−4−2b<0或b=0，
可得−2则0⩽a−2b<4．
则a−2b的取值可能是2，0，不可能为−2，4．
13.【答案】23
【解析】【分析】本题考查了古典概型及其计算，属于基础题．
基本事件总数为3，恰有一名女学生和一名男学生去参加活动包含的基本事件总数为2，由此能求出概率．
【解答】
解：设男生为A，B，女生为a，则总的基本事件为(A,B)，(A,a)，(B,a)共3个，恰有一名女学生和一名男学生去参加活动包含的基本事件为(A,a)，(B,a)共2个，
则恰有一名女学生和一名男学生去参加活动的概率为：P=23．
14.【答案】40
【解析】【分析】
本题考查了百分位数，属于基础题．
利用百分位数的定义求解即可．
【解答】
解：该球队得分分别为23，26，32，36，37，40，42，45，51，
又9×60%=5.4，
所以这组数据的第60百分位数为第6个数，即40．
15.【答案】2+ 3
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值，属于基础题.由题意得到1a+1b=2，再由基本不等式得到3a+b=12(3a+b)(1a+1b)⩾12(4+2 3ab·ba)=2+ 3，可得结果．
【解答】
解：由于一元二次不等式mx2−2x+1<0的解集是a,b，
可知m>0，所以a+b=2mab=1m，可得a，b为正数，
两式相除得到a+bab=2，即1a+1b=2，
所以3a+b=12(3a+b)(1a+1b)=12(3+3ab+ba+1)⩾12(4+2 3ab·ba)=2+ 3，
当且仅当1a+1b=23ab=ba即a=3+ 36，b= 3+12时取等号，
故3a+b的最小值为2+ 3，
故答案为2+ 3．
16.【答案】[ 3,2)
【解析】【分析】
本题考查了函数的零点及求分段函数的函数值，属于中档题．
根据题意得到f(x)−lga|x|有2个零点⇔方程f(x)=lga|x|有2个不同的实数根，画出图象分析即可得答案．
【解答】
解：g(x)=f(x)−lga|x|有2个零点⇔方程f(x)=lga|x|有2个不同的实数根，
即f(x)的图象与函数y=lga|x|的图象有2个交点，
分析可知当01．
作出函数f(x)与y=lga|x|的图象如图．
两函数图象在y轴的左侧只有1个交点，故在y轴右边有1个交点，
则1解得 3⩽a<2.
17.【答案】解：(1)当a=2时，集合A={x|1≤x≤5}，可得CRA={x|x<1或x>5}，
所以(∁RA)∩B={x|−3≤x<1};
(2)由题知，集合A是集合B的真子集，
当A=⌀时，a−1>2a+1，即a<−2，符合题意，
当A≠⌀时，则2a+1≥a−1，即a≥−2，且满足2a+1≤3a−1≥−3，两式不能同时取等号，解
综上，实数a的取值范围为(−∞,1]．
【解析】本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，根据定义转化为集合关系是解决本题的关键，是基础题．
(1)根据集合的基本运算进行求解即可；
(2)根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可．
18.【答案】解：(1) y=f(x)在(1,+∞)单调递增;证明如下：
任取x1，x2∈(1,+∞)，不妨设x1f(x2)−f(x1)=x2−x1+1x2−1x1=(x2−x1)(x1x2−1)x1x2，
因为10，x1x2−1>0，x1x2>0，所以f(x2)−f(x1)>0，
即f(x2)>f(x1)，所以y=f(x)在(1,+∞)上单调递增;
(2)函数f(x)=x+1x−3在区间(1,+∞)上是连续且单调的，
其在区间(1,+∞)上的零点即为方程f(x)=0在区间(1,+∞)上的解，
已知f(2)<0，f(3)>0，在区间(1,+∞)上利用二分法列表如下：
此时解在区间(4116,218)，此区间长度为116，116<110，满足精确度为0.1，
故区间(4116,218)即(2.5625,2.625)内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，
比如2.6是方程f(x)=0在(1,+∞)上的一个近似解．
【解析】本题考查利用定义证明函数的单调性及利用二分法求方程的近似解，属于基础题．
(1)根据函数单调性的定义进行证明即可；
(2)利用二分法积型求解即可．
19.【答案】解：(1)若选①：由题意可得函数f(x)=lgax(a>0，且a≠1)的反函数为：y=ax，
∴a1=12，可得a=12；
若选②：由题意得，f(x)[f(x)−1]=0的解集是{12}，
因为f(12)=lga12≠0，所以f(12)=lga12=1，即a=12;
(2)由(1)知fx=lg12x，则g(x)=lg12x2lg12x4=(lg12x+1)(lg12x+2)，
令t=lg12x，x∈[2,8]，所以t∈[−3,−1]，
则g(x)=ℎ(t)=(t+1)(t+2)=t2+3t+2=(t+32)2−14，
当t=−3，即x=8时，g(x)max=2；当t=−32，即x=2 2时，g(x)min=−14；
综上，当x=8时，g(x)max=2；当x=2 2时，g(x)min=−14．
【解析】本题考查了对数函数的性质、反函数、二次函数的性质，属于中档题．(1)根据所选的条件，利用指数和对数的性质解方程求参数a即可；
(2)由(1)得g(x)=(lg12x+1)(lg12x+2)，换元法有t=lg12x∈[−3,−1]，则g(x)=ℎ(t)=t2+3t+2，结合二次函数性质求最值，并确定对应x的值．
20.【答案】(1)解：第六组的频率为450=0.08，
故第七组的频率为1−0.08−5×0.008×2+0.016+0.04×2+0.06=0.06
(2)解：由直方图得，身高在第一组155,160的频率为0.008×5=0.04，
身高在第二组160,165的频率为0.016×5=0.08，
身高在第三组165,170的频率为0.04×5=0.2，
身高在第四组170,175的频率为0.04×5=0.2，
由于0.04+0.08+0.2=0.32<0.5,0.04+0.08+0.2+0.2=0.52>0.5
设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则170由于0.04+0.08+0.2+m−170×0.04=0.5得m=174.5
所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5 ．
(3)解：第六组180,185的人数为4，设为a,b,c,d，
第八组190,195的人数为0.008×5×50=2，设为A,B，
则从中随机抽取两名男生有ab,ac,ad,bc,bd,cd,aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB,AB共有15种情况，
因事件|x−y|⩽5发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab,ac,ad,bc,bd,cd,AB共7种情况．
所以P(E)=715．
【解析】本题主要考查频率分布直方图，考查古典概率，属于中档题．
(1)由频率分布直方图的性质求第七组的频率；
(2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数；
(3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率．
21.【答案】解：(1)令t=lg2x，f(t)=2t2−4t+16>22，
即t2−2t−3>0，解得t<−1或t>3，
所以lg2x<−1或lg2x>3，
解得x∈(0,12)∪(8,+∞);
(2)依题意得，2x2−ax−a2<0，即(x−a)(2x+a)<0，
当a>0时，x∈(−a2,a);当a=0时，x的解集为空集;当a<0时，x∈(a,−a2);
(3)依题意得x2+x−ax+4>0，因为x∈[1,3]，所以a−1又x∈[1,3]，x+4x≥4，当且仅当x=2时，取得等号，
所以a−1<4，即a<5．
【解析】本题考查了一元二次不等式的解集，基本不等式求最值，属于基础题．
(1)利用换元法求解即可；
(2)2x2−ax−a2<0，即(x−a)(2x+a)<0，再对a进行讨论即可得到答案；
(3)依题意得x2+x−ax+4>0，根据基本不等式即可求解．
22.【答案】解：(1)由数据可知，函数是一个增函数，且增长越来越快，故选择模型 ③，
由表格中的数据可得ta+s=28，ta2+s=36，ta3+s=52，解得a=2，t=4，s=20，
故函数模型的解析式为y=4⋅2x+20=2x+2+20(x∈N∗)，
当x=4时，预测2023年年末的会员人数为4×24+20=84千人;
(2)由题知，对∀x∈N∗，都有4⋅2x+20≤k⋅4x，令t=2x≥2，则k≥20t2+4t，令
m=1t∈(0,12]，则不等式右边等价于函数f(m)=20m2+4m，
因为函数f(m)在区间(0,12]上单调递增，
所以f(m)max=f(12)=20×14+4×12=7，
故k≥7，即k的最小值为7．
【解析】本题考查函数模型的应用，涉及二次函数的性质，不等式恒成立问题，属于中档题．
(1)根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快，故选择模型③；代入表格中三个点即可构造方程组求得未知数，进而得到所求模型；
(2)根据(1)中结论可得4⋅2x+20≤k⋅4x，采用换元法，结合二次函数的性质可求得k的最小值．
建立平台第x年
1
2
3
4
会员人数y(千人)
28
36
52
82
区间
中点x0
中点函数值f(x0)
区间长度
(2,3)
52=2.5
f(52)<0
1
(52,3)
114=2.75
f(114)>0
12
(52,114)
218=2.625
f(218)>0
14
(52,218)
4116=2.5625
f(4116)<0
18
1.已知集合A={−1,a2−2a+1,a−4}，若4∈A，则a的值可能为( )
A. −1，3B. −1C. −1，3，8D. −1，8
2.下列说法正确的是( )
A. 若f(x)是奇函数，则f(0)=0
B. 若f(x)=2mx−m(m为常数)是幂函数，则不等式f(x+1)
D. y= x2与y=x为同一函数
3.下列命题为真命题的是( )
A. 若a>b，则1a<1b
B. 若a>b，则b+1a+1>ba
C. 若a−c
4.太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊净水器处理成饮用水循环使用.净化过程中，每过滤一次可减少水中杂质10%，要使水中杂质减少到原来的1%以下，至少需要过滤的次数为(参考数据：lg3≈0.477)( )
A. 42次B. 43次C. 44次D. 45次
5.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且在(−∞,0)上单调递减，若a=f(3−0.5)，b=f(lg13 22)，c=f(− 22)，则( )
A. b
A. 0.36B. 0.352C. 0.288D. 0.648
7.若把函数f(x)=(x+1)ax+1|x+1|+2(0
C. D.
8.已知x，y∈R，且满足(x−2)2023+2023x=4045(y−2)2023+2023y=4047，则x+y的值为
( )
A. 0B. 2C. 4D. 8
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除”
B. “菱形是正方形”是全称命题
C. 式子a −1a化简后为− −a
D. “a≥8”是“∀x∈[1,3]，有x2−a≤0为真命题”的充分不必要条件
10.已知定义在R的函数f(x)满足f(x+1)+f(1−x)=0，且在区间(−∞,1)上单调递减，若f(2)=0，则下列说法正确的是( )
A. f(1)=1
B. f(x)的对称中心为(1,0)
C. f(x)在区间(1,+∞)上单调递减
D. 满足xf(x)≤0的x的取值范围是(−∞,1]∪[2,+∞)
11.已知样本甲：x1，x2，x3，⋯，xn与样本乙：y1y2，y3，⋯，yn满足关系yi=(13)xi(i=1,2,⋯,n)，则下列结论错误的是( )
A. 样本乙的极差等于样本甲的极差
B. 若某个xi为样本甲的中位数，则yi是样本乙的中位数
C. 样本乙的众数小于样本甲的众数
D. 若某个xi为样本甲的平均数，则yi是样本乙的平均数
12.已知函数f(x)=a(3x+3)+x2−2bx，若函数y=f(x)与函数y=f(f(x))的零点相同，则a−2b的取值可能是( )
A. 2B. −2C. 0D. 4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某班拟从2名男学生和1名女学生中随机选派2名学生去参加一项活动，则恰有一名女学生和一名男学生去参加活动的概率是 ．
14.在一次篮球比赛中，某球队共进行了9场比赛，得分分别26，37，23，45，32，36，40，42，51，则这组数据的60%分位数为 ．
15.已知关于x的一元二次不等式mx2−2x+1<0的解集为(a,b)，则3a+b的最小值为 ．
16.记[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.3]=1，[−2.5]=−3.已知函数f(x)=3x,x⩽0x,x>0，若函数g(x)=f(x)−lga|x|恰有2个零点，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知a∈R，集合A={x|a−1≤x≤2a+1}，B={x|−3≤x≤3}．
(1)若a=2，求(∁RA)∩B;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x+1x−3．
(1)判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性，并用定义证明;
(2)用二分法求方程f(x)=0在区间(1,+∞)上的一个近似解(精确度为0.1)．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=lgax(a>0，且a≠1)，从下面两个条件中选择一个进行解答．
①f(x)的反函数经过点(1,12); ②[f(x)]2−f(x)=0的解集为{12}.
(1)求实数a的值;
(2)若g(x)=f(x2)⋅f(x4)，x∈[2,8]，求g(x)的最值及对应x的值．
20.(本小题12分)
从某学校800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，⋯，第八组[190,195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为4．
(1)求第七组的频率;
(2)估计该校800名男生身高的中位数;
(3)从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为x，y，记|x−y|≤5为事件E，求P(E)．
21.(本小题12分)
已知a∈R，函数f(x)=2x2−ax+a2，g(x)=x2−x+a2−4．
(1)若a=4，求不等式f(lg2x)>22的解集;
(2)求不等式f(x)<2a2的解集;
(3)∀x∈[1,3]，不等式f(x)>g(x)恒成立，求a的取值范围．
22.(本小题12分)
近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱.某平台从2020年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加.已知从2020到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示(注：第4年数据为截止到2023年10月底的数据)．
(1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立x(x∈N∗)年后会员人数y(千人)，求出你所选择模型的解析式，并预测2023年年末的会员人数;
①y=bx+c(b>0); ②y=dlgrx+e(r>0且r≠1); ③y=tax+s(a>0且a≠1);
(2)为了更好的维护管理平台，该平台规定第x年的会员人数上限为k⋅4x(k>0)千人，请根据(1)中得到的函数模型，求k的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了元素与集合的关系，属于基础题．
根据题意即可得到答案．
【解答】解：4∈A，可令a−4=4，故a=8;
若a2−2a+1=4，即(a−1)2=4，故a=−1或3，当a=3时不符合题意，故a的值可能为−1，8．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性，幂函数，利用单调性解不等式，及判断两个函数是否为同一函数，属于基础题．
对各选项逐一进行分析判断即可．
【解答】
解：对于A，若f(x)在x=0时没有定义，则结论不成立，故A错误；
对于B，因为f(x)是幂函数，所以2m=1，即m=12，
所以f(x)=x−12，在0,+∞上单调递减，
所以x+1>010−2x>0x+1>10−2x，解得：3
对于D，两函数定义域不同，故D错误．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题．
根据不等式性质证明C正确，举反例说明A，B，D错误．
【解答】
解：对于A：取a=1，b=−1，则 a>b， 1a>1b，故A错误;
对于B：取a=−1，b=−2，则b+1a+1无意义，故B错误；
对于C：因为a−c
【解析】【分析】
本题考查了利用指数函数模型解决实际问题，属于基础题．
根据题意建立指数函数关系，然后进行求解即可．
【解答】
解：假设至少需要过滤的次数为x，设原始为a，则a910x
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性和单调性的运用，涉及指数函数与对数函数的性质，属于中档题．
根据奇偶性得到函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，结合指数、对数函数的性质推出0
解：因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，且在(−∞,0)上单调递减，
则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，
因为12<3−0.5=1 3< 22，lg13 22=lg131 2=lg3 2
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，属于基础题．
最终乙胜是指乙连胜两局或前两局乙一胜一负第三局乙胜，由此能求出结果．
【解答】解：甲、乙两人进行三局二胜制象棋比赛，
每局甲取胜的概率为0.6，乙取胜的概率为0.4，
∴最终乙胜甲记作事件A，
则P(A)=0.42+C21×0.4×0.6×0.4=0.352．
故选：B．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查求函数解析式，函数平移，函数的图像，属于中档题．
由f(−2)=0求出f(x)的解析式，再由函数平移得到平移后的函数解析式，通过解析式画出函数图像再作判断即可．
【解答】
由题意，f(−2)=0，即−a−11+2=0，解得a=12，故f(x)=(x+1)·(12)x+1|x+1|+2
由于平移使得P(−2,0)变换成点Q(−1,−2)，故将f(x)向右平移1个单位，向下平移2个单位，从而平移后的函数解析式为g(x)=f(x−1)−2=x|x|·(12)x
故g(x)=(12)x,x>0−(12)x,x<0，根据解析式可以得到，g(x)的函数图像为D选项．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了幂函数单调性的应用，解题的关键是由已知方程组合理的构造函数，属于中档题．
等式整理成(x−2)，(y−2)表达式．构造函数，判断单调性与奇偶性找(x−2)，(y−2)的关系．
【解答】
解：∵(x−2)2023+2023x=4045，即(x−2)2023+2023(x−2)=4045−4046=−1，
即(x−2)2023+2023(x−2)=−1，同理(y−2)2023+2023(y−2)=1，
又因为x，y∈R，所以(x−2)，(y−2)∈R，
构造函数f(t)=t 2023+2023t，t∈R，
所以f(x−2)=−1，f(y−2)=1，即f(y−2)=−f(x−2)(∗)，
又因为f(−t)=(−t) 2023+2023(−t)=−t 2023−2023t=−(t 2023+2023t)=−f(t)，
即f(−t)=−f(t)，所以f(t)=t 2023+2023t是定义在R上的奇函数．
所以(∗)式变为：f(y−2)=−f(x−2)=f[−(x−2)]=f(2−x)，
即f(y−2)=f(2−x)，
又f(t)=t 2023+2023t在R上单调递增，
所以，y−2=2−x，即x+y=4．
故选C．
9.【答案】AD
【解析】【分析】
【分析】本题考查了存在量词命题的否定，全称量词命题，充分必要充要条件的判断，属于中档题．
对于A和B直接进行判断即可；对于C，化简求值即可判断；对于D，求出真命题时a的取值范围，即可判断．
【解答】
【解答】解：对于A，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“任何一个奇数都能被3整除”，故A错误；对于B，“菱形是正方形”是全称命题，故B正确；对于C，由 −1a可得，a<0，则a=− a2，所以a −1a=− a2 −1a=− −a，故C正确；对于D，“∀x∈[1,3]，有x2−a≤0为真命题”，则a⩾x2max，即a≥9，故“a≥8”是“∀x∈[1,3]，有x2−a≤0为真命题”的必要不充分条件，故D错误．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了抽象函数的单调性和对称性，属于较难题。
利用函数的单调性和对称性，逐一判断即可。
【解答】
解：∵f(x+1)+f(1−x)=0，∴f(x)的对称中心为(1,0)，f(1)=0，
故A不正确，B正确;
∵f(x)在区间(−∞,1)上单调递增，且f(x)的对称中心为(1,0)，
∴f(x)在区间(1,+∞)上单调递减，故C正确;
由题意知，当x<0时，f(x)>0;f(0)=0;当0
又xf(x)≤0，∴x≤0或0≤x≤1或x≥2，故D正确．
故选BCD．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查平均数、中位数、众数、极差的知识，属于中档题．
yi=(13)xi是关于x的减函数，所以若某个xi为样本甲的中位数，则yi是样本乙的中位数，但是样本乙的极差不一定等于样本甲的极差，样本乙的众数不一定小于样本甲的众数；若某个xi为样本甲的平均数，但yi不一定是样本乙的平均数．
【解答】解：由题意知，样本乙的极差不等于样本甲的极差，故 A中说法错误;
∵yi=(13)xi，∴yi关于xi递减，∴若xi为样本甲的中位数，则yi也为样本乙的中位数，故B中说法正确;
样本乙的众数不一定小于样本甲的众数，故C中说法错误;
若某个xi为样本甲的平均数，则yi不一定是样本乙的平均数，故D中说法错误．
12.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查了函数的零点问题，考查了运算能力，属于中档题．
设函数f(x)的零点为x0，则f0=0，可得a=0，由题得到方程x2−2bx−2b=0无解或者与方程x2−2bx=0的解相同，从而求出b即可．
【解答】
解：设函数f(x)=a(3x+3)+x2−2bx的零点为x0，
则fx0=0，又ffx0=0，即f0=0，可得a=0，
则fx=x2−2bx=xx−2b，
ffx=x2−2bxx2−2bx−2b，
因为函数y=f(x)与函数y=f(f(x))的零点相同，
所以方程x2−2bx−2b=0无解或者与方程x2−2bx=0的解相同，
则Δ=−2b2−4−2b<0或b=0，
可得−2
则a−2b的取值可能是2，0，不可能为−2，4．
13.【答案】23
【解析】【分析】本题考查了古典概型及其计算，属于基础题．
基本事件总数为3，恰有一名女学生和一名男学生去参加活动包含的基本事件总数为2，由此能求出概率．
【解答】
解：设男生为A，B，女生为a，则总的基本事件为(A,B)，(A,a)，(B,a)共3个，恰有一名女学生和一名男学生去参加活动包含的基本事件为(A,a)，(B,a)共2个，
则恰有一名女学生和一名男学生去参加活动的概率为：P=23．
14.【答案】40
【解析】【分析】
本题考查了百分位数，属于基础题．
利用百分位数的定义求解即可．
【解答】
解：该球队得分分别为23，26，32，36，37，40，42，45，51，
又9×60%=5.4，
所以这组数据的第60百分位数为第6个数，即40．
15.【答案】2+ 3
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值，属于基础题.由题意得到1a+1b=2，再由基本不等式得到3a+b=12(3a+b)(1a+1b)⩾12(4+2 3ab·ba)=2+ 3，可得结果．
【解答】
解：由于一元二次不等式mx2−2x+1<0的解集是a,b，
可知m>0，所以a+b=2mab=1m，可得a，b为正数，
两式相除得到a+bab=2，即1a+1b=2，
所以3a+b=12(3a+b)(1a+1b)=12(3+3ab+ba+1)⩾12(4+2 3ab·ba)=2+ 3，
当且仅当1a+1b=23ab=ba即a=3+ 36，b= 3+12时取等号，
故3a+b的最小值为2+ 3，
故答案为2+ 3．
16.【答案】[ 3,2)
【解析】【分析】
本题考查了函数的零点及求分段函数的函数值，属于中档题．
根据题意得到f(x)−lga|x|有2个零点⇔方程f(x)=lga|x|有2个不同的实数根，画出图象分析即可得答案．
【解答】
解：g(x)=f(x)−lga|x|有2个零点⇔方程f(x)=lga|x|有2个不同的实数根，
即f(x)的图象与函数y=lga|x|的图象有2个交点，
分析可知当0
作出函数f(x)与y=lga|x|的图象如图．
两函数图象在y轴的左侧只有1个交点，故在y轴右边有1个交点，
则1
17.【答案】解：(1)当a=2时，集合A={x|1≤x≤5}，可得CRA={x|x<1或x>5}，
所以(∁RA)∩B={x|−3≤x<1};
(2)由题知，集合A是集合B的真子集，
当A=⌀时，a−1>2a+1，即a<−2，符合题意，
当A≠⌀时，则2a+1≥a−1，即a≥−2，且满足2a+1≤3a−1≥−3，两式不能同时取等号，解
综上，实数a的取值范围为(−∞,1]．
【解析】本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，根据定义转化为集合关系是解决本题的关键，是基础题．
(1)根据集合的基本运算进行求解即可；
(2)根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可．
18.【答案】解：(1) y=f(x)在(1,+∞)单调递增;证明如下：
任取x1，x2∈(1,+∞)，不妨设x1
因为1
即f(x2)>f(x1)，所以y=f(x)在(1,+∞)上单调递增;
(2)函数f(x)=x+1x−3在区间(1,+∞)上是连续且单调的，
其在区间(1,+∞)上的零点即为方程f(x)=0在区间(1,+∞)上的解，
已知f(2)<0，f(3)>0，在区间(1,+∞)上利用二分法列表如下：
此时解在区间(4116,218)，此区间长度为116，116<110，满足精确度为0.1，
故区间(4116,218)即(2.5625,2.625)内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，
比如2.6是方程f(x)=0在(1,+∞)上的一个近似解．
【解析】本题考查利用定义证明函数的单调性及利用二分法求方程的近似解，属于基础题．
(1)根据函数单调性的定义进行证明即可；
(2)利用二分法积型求解即可．
19.【答案】解：(1)若选①：由题意可得函数f(x)=lgax(a>0，且a≠1)的反函数为：y=ax，
∴a1=12，可得a=12；
若选②：由题意得，f(x)[f(x)−1]=0的解集是{12}，
因为f(12)=lga12≠0，所以f(12)=lga12=1，即a=12;
(2)由(1)知fx=lg12x，则g(x)=lg12x2lg12x4=(lg12x+1)(lg12x+2)，
令t=lg12x，x∈[2,8]，所以t∈[−3,−1]，
则g(x)=ℎ(t)=(t+1)(t+2)=t2+3t+2=(t+32)2−14，
当t=−3，即x=8时，g(x)max=2；当t=−32，即x=2 2时，g(x)min=−14；
综上，当x=8时，g(x)max=2；当x=2 2时，g(x)min=−14．
【解析】本题考查了对数函数的性质、反函数、二次函数的性质，属于中档题．(1)根据所选的条件，利用指数和对数的性质解方程求参数a即可；
(2)由(1)得g(x)=(lg12x+1)(lg12x+2)，换元法有t=lg12x∈[−3,−1]，则g(x)=ℎ(t)=t2+3t+2，结合二次函数性质求最值，并确定对应x的值．
20.【答案】(1)解：第六组的频率为450=0.08，
故第七组的频率为1−0.08−5×0.008×2+0.016+0.04×2+0.06=0.06
(2)解：由直方图得，身高在第一组155,160的频率为0.008×5=0.04，
身高在第二组160,165的频率为0.016×5=0.08，
身高在第三组165,170的频率为0.04×5=0.2，
身高在第四组170,175的频率为0.04×5=0.2，
由于0.04+0.08+0.2=0.32<0.5,0.04+0.08+0.2+0.2=0.52>0.5
设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则170
所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5 ．
(3)解：第六组180,185的人数为4，设为a,b,c,d，
第八组190,195的人数为0.008×5×50=2，设为A,B，
则从中随机抽取两名男生有ab,ac,ad,bc,bd,cd,aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB,AB共有15种情况，
因事件|x−y|⩽5发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab,ac,ad,bc,bd,cd,AB共7种情况．
所以P(E)=715．
【解析】本题主要考查频率分布直方图，考查古典概率，属于中档题．
(1)由频率分布直方图的性质求第七组的频率；
(2)根据平均数和中位数的定义利用频率分布直方图求平均数和中位数；
(3)确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率．
21.【答案】解：(1)令t=lg2x，f(t)=2t2−4t+16>22，
即t2−2t−3>0，解得t<−1或t>3，
所以lg2x<−1或lg2x>3，
解得x∈(0,12)∪(8,+∞);
(2)依题意得，2x2−ax−a2<0，即(x−a)(2x+a)<0，
当a>0时，x∈(−a2,a);当a=0时，x的解集为空集;当a<0时，x∈(a,−a2);
(3)依题意得x2+x−ax+4>0，因为x∈[1,3]，所以a−1
所以a−1<4，即a<5．
【解析】本题考查了一元二次不等式的解集，基本不等式求最值，属于基础题．
(1)利用换元法求解即可；
(2)2x2−ax−a2<0，即(x−a)(2x+a)<0，再对a进行讨论即可得到答案；
(3)依题意得x2+x−ax+4>0，根据基本不等式即可求解．
22.【答案】解：(1)由数据可知，函数是一个增函数，且增长越来越快，故选择模型 ③，
由表格中的数据可得ta+s=28，ta2+s=36，ta3+s=52，解得a=2，t=4，s=20，
故函数模型的解析式为y=4⋅2x+20=2x+2+20(x∈N∗)，
当x=4时，预测2023年年末的会员人数为4×24+20=84千人;
(2)由题知，对∀x∈N∗，都有4⋅2x+20≤k⋅4x，令t=2x≥2，则k≥20t2+4t，令
m=1t∈(0,12]，则不等式右边等价于函数f(m)=20m2+4m，
因为函数f(m)在区间(0,12]上单调递增，
所以f(m)max=f(12)=20×14+4×12=7，
故k≥7，即k的最小值为7．
【解析】本题考查函数模型的应用，涉及二次函数的性质，不等式恒成立问题，属于中档题．
(1)根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快，故选择模型③；代入表格中三个点即可构造方程组求得未知数，进而得到所求模型；
(2)根据(1)中结论可得4⋅2x+20≤k⋅4x，采用换元法，结合二次函数的性质可求得k的最小值．
建立平台第x年
1
2
3
4
会员人数y(千人)
28
36
52
82
区间
中点x0
中点函数值f(x0)
区间长度
(2,3)
52=2.5
f(52)<0
1
(52,3)
114=2.75
f(114)>0
12
(52,114)
218=2.625
f(218)>0
14
(52,218)
4116=2.5625
f(4116)<0
18
相关试卷
江西省萍乡市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附解析）： 这是一份江西省萍乡市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附解析），文件包含江西省萍乡市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题原卷版docx、江西省萍乡市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
2023-2024学年江西省萍乡市高二上学期期末考试数学试题(含解析）： 这是一份2023-2024学年江西省萍乡市高二上学期期末考试数学试题(含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省萍乡市高一下学期期末考试数学试题（含详细答案解析）： 这是一份2022-2023学年江西省萍乡市高一下学期期末考试数学试题（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
