2023-2024学年河南省部分名校高二上学期1月期末考试数学试题(含解析）

这是一份2023-2024学年河南省部分名校高二上学期1月期末考试数学试题(含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线y2=4x的准线方程为
( )
A. x=−2B. x=−1C. y=−1D. y=−2
2.已知{an}是公比为2的等比数列，若a1+a3=25，则a5=( )
A. 100B. 80C. 50D. 40
3.已知直线l1:ax+3y−5=0与l2:(3a−2)x+ay+4=0垂直，则a=( )
A. 0B. 0或−13C. −13D. 0或23
4.一个做直线运动的质点的位移s(m)与时间t(s)的关系式为s=100t−5t2，则该质点的瞬时速度为0m/s时，t=( )
A. 50sB. 20sC. 10sD. 5s
5.记数列{an}的前n项和为Sn，已知an+an+1=2，且S2025=2027，则a1=( )
A. 6B. 5C. 3D. 1
6.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，AB=2，∠DAB=2π3，M为棱PC的中点，且AM⋅AB=4，则AP⋅AB=( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
7.曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线y=f(x)，其在点(x0,f(x0))处的曲率K=|f′′(x0)|(1+(f′(x0))2)32，其中f′(x)是f(x)的导函数，f是f′(x)的导函数.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点到准线的距离为2，则该抛物线上的各点处的曲率最大值为( )
A. 2B. 1C. 34D. 12
8.椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆E:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与E交于点A，B，过点A作E的切线l，点B关于l的对称点为M，若|AB|=8a5，|BF1||MF1|=23，则S△MF1F2S△AF1F2=注：S表示面积．( )
A. 2B. 52C. 3D. 72
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3，则( )
A. a2=3B. an=2n−1C. {a2n}是等差数列D. {an}是递增数列
10.已知曲线C:x22−m+y26−m=1，则( )
A. 当m0,b>0)的左、右焦点，P为C上一点，且∠POF2=π3(O为坐标原点)，PF1⊥PF2，则C的离心率为 ．
16.已知数列{an}的通项公式为an=3⋅(−12)n−1，其前n项和为Sn，不等式p≤Sn2−2Sn≤q对任意的n∈N∗恒成立，则q−p的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知公比不为1的等比数列{an}满足a1=1，且a2，a3，a1是等差数列{bn}的前三项．
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{4bn}的前n项和Sn．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AB/​/CD，AB⊥AD，O为棱AD的中点，PO⊥平面ABCD，PA=AD=AB=2CD=2．
(Ⅰ)求证：AC⊥PB;
(Ⅱ)求直线PC与平面POB所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
已知圆C:(x−a)2+y2=(a−1)2(a>0)，过点P(1, 3)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，且∠APB=π3．
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)过点D(1,0)作两条互相垂直的直线，分别与圆C交于不同于点D的两点M，N，若|MD||ND|= 2，求直线MN的方程．
20.(本小题12分)
已知数列{an}的各项都是正数，前n项和为Sn，且2Snan=an2+1．
(Ⅰ)证明：{Sn2}是等差数列;
(Ⅱ)求数列{2n⋅Sn2}的前n项和Tn．
21.(本小题12分)
如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，∠CAB=π3，AC=2，且三棱锥C1−ABC的体积为14．
(Ⅰ)求三棱柱ABC−A1B1C1的高;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面ACC1A1，AA1=1，∠A1AC为锐角，求二面角C1−AB−C的余弦值．
22.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A(0,1)，右顶点为B，且直线AB的斜率为−12．
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)若直线l与C交于P，Q两点(异于点B)，且满足PB⋅QB=0，求△PQB面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查抛物线的准线方程，是基础题
【解答】
解：抛物线y2=4x的准线方程为x=−1，
故选B
2.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．
根据题意得到a1+a3=a1(1+q2)=5a1=25，解得a1=5，即可得到答案．
【解答】解：设{an}的公比为q，则q=2，a1+a3=a1(1+q2)=5a1=25，所以a1=5，所以a5=a1q4=5×16=80．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查两条直线垂直的判断，属于基础题．
由两直线垂直可得a3a−2+3a=0，解方程即可求出a的值．
【解答】解：由直线直线l1:ax+3y−5=0与l2:(3a−2)x+ay+4=0互相垂直，
可得a3a−2+3a=0，解得a=0或−13．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查导数的概念和计算，是基础题．
由导数的实际意义可知质点的瞬时速度v=s′，求出s′，再令s′=0，即可求出结果．
【解答】
解：由题意知s=100t−5t2，则s′=100−10t，
令s′=0，得t=10，
即当瞬时速度为0m/s时，t=10s．
5.【答案】C
【解析】【分析】本题考查分组(并项)法求和，是基础题，
因为an+an+1=2，所以S2025=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+⋯+(a2024+a2025)，可得答案
【解答】
解：因为an+an+1=2，所以S2025=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+⋯+(a2024+a2025)=a1+2×1012=2027，
所以a1=3．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
根据题意得到AM=12AP+12AB+12AD，再得到AM⋅AB，即可得到答案．
【解答】
解：AM=12AP+12AC=12AP+12(AB+AD)=12AP+12AB+12AD，
所以AM⋅AB=(12AP+12AB+12AD)⋅AB=12AP⋅AB+12AB⋅AB+12AD⋅AB=12[AP⋅AB+4+4×(−12)]=4，
AP⋅AB=6．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了抛物线标准方程，导数的计算，属于基础题．
根据题意得到抛物线方程为x2=4y，再根据题意即可得到答案．
【解答】
解：由题可知抛物线方程为x2=4y，即y=14x2，则y′=12x，则y′′(x)=12，
则该抛物线在各点处的曲率K=12(1+x24)32，当x=0时，K取最大值12．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义及标准方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，属于中档题．
由椭圆的光学性质可得M,A,F1三点共线，后由椭圆定义及条件可得|BF2|=2a5，|AF2|=6a5，|AF1|=4a5．MF1=2a+2a5=12a5.最后由S△MF1F2S△AF1F2=12|MF1||F1F2|sin∠MF1F212|AF1||F1F2|sin∠MF1F2=|MF1||AF1|可得答案．
【解答】
解：如图，由椭圆的光学性质可得M,A,F1三点共线．
设|BF2|=x，则|BF1|=2a−x，|MF1|=|AF1|+|MA|=|AF1|+|AF2|+|BF2|=2a+x．
故|BF1||MF1|=2a−x2a+x=23，解得x=2a5．
又|AB|=8a5，所以|AF2|=6a5，|AF1|=4a5．MF1=2a+2a5=12a5，
所以S△MF1F2S△AF1F2=12|MF1||F1F2|sin∠MF1F212|AF1||F1F2|sin∠MF1F2=|MF1||AF1|=3．
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的判定及数列的单调性，属于基础题．
根据等差数列的性质即可判断．
【解答】
解：a2=S2−S1=3，故A正确;
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n−1，当n=1时，a1=S1=4，不适合上式，故B错误;
{an}从第2项开始为等差数列，所以其偶数项构成等差数列，故C正确;
因为a1=4>a2=3，故D错误．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查圆锥曲线的方程与性质，属于中档题．
利用椭圆，双曲线知识结合选项逐一分析．
【解答】
解：当m0,6−m>0,方程x22−m+y26−m=1表示的曲线是椭圆，故A正确;
当m=3时，方程为y23−x2=1，其渐近线方程为y=± 3x，故B正确;
令12−m+16−m=1，整理得m2−6m+4=0(m≠2且m≠6)，此方程有解，故C正确;
当m=4时，曲线C为双曲线y22−x22=1，直线y=x为C的一条渐近线，此时无交点，故D错误．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查圆的方程，圆与圆的位置关系，属于中档题．
将两圆化成标准方程，直接判断A；两圆方程相减判断B；根据两圆相交判断C；利用 |O1O2|2−(r2−r1)2判断D．
【解答】
解：圆O1:(x−1)2+y2=1的圆心为O1(1,0)，半径r1=1，圆O2:(x+1)2+(y−2)2=4的圆心为O2(−1,2)，半径r2=2．
对于A，显然圆O2与x轴相切，故A正确;
对于B，易知两圆相交，将方程x2+y2−2x=0与x2+y2+2x−4y+1=0相减，得公共弦所在直线的方程为4x−4y+1=0，故B错误;
对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P，即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确;
对于D，因为|O1O2|=2 2，r2−r1=1，所以公切线段长为 |O1O2|2−(r2−r1)2= 7，故D正确．
12.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查了直线直线垂直的判定，点到直线距离，线面平行的判定，属于中档题．
根据题意建立空间直角坐标系Axyz，利用平面向量逐项判断即可．
【解答】
解：建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz．
对于A，易知A(0,0,0)，F(12,1,0)，E(0,12,1)，G(1,0,m)(m∈[0,1])，所以EG=(1,−12,m−1)，AF=(12,1,0)，所以AF⋅EG=0，所以EG⊥AF，故A正确;
对于B，易得AD1=(0,1,1)，则AD1在AF方向上的投影向量的模为|AD1⋅AF||AF|=2 5，则点D1到直线AF的距离
为 ( 2)2−(2 5)2= 305，故B错误;
对于C，易知平面ACD1的一个法向量为B1D=(−1,1,−1)，而EG⋅B1D=−12−m≠0，故C错误;
对于D，因为BC⊥平面ABB1A1，PB⊂平面ABB1A1，所以PB⊥BC，点P到直线BC的距离即点P到点B的距
离，所以P点的轨迹是以B为焦点，A1B1所在直线为准线的抛物线的一部分，故D正确．
13.【答案】y=ex−e
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，属于基础题．
利用导数求出切线的斜率，再由点斜式求得切线方程．
【解答】
解： y′=exlnx+exx，
所以在点(1,0)处的切线斜率为 k=e，
切线方程为y−0=e(x−1)，即y=ex−e．
14.【答案】± 2
【解析】【分析】本题考查了异面直线所成的角，属于基础题．
根据题意即可得到答案．
【解答】解：设l1，l2所成的角为θ.由题意知csθ=|1−3| 2+m2 1+9=2 2+m2 10= 1010，解得m=± 2．
15.【答案】 3+1
【解析】【分析】
本题主要考查了双曲线的简单性质特别是双曲线定义的运用，属于基础题．
根据题意可知∠F1PF2=90°，∠PF2F1=60°，|F1F2|=2c，求得|PF1|和|PF2|，进而利用双曲线定义建立等式，求得a和c的关系，则离心率可得．
【解答】
解：依题意可知∠F1PF2=90°，|F1F2|=2c，不妨设点P在右支，
又因为∠POF2=π3(O为坐标原点)，点O为F1F2的中点，
所以∠PF1F2=π6,∠PF2F1=π3，
∴|PF1|= 32|F1F2|= 3c，|PF2|=12|F1F2|=c，
由双曲线定义可知|PF1|−|PF2|=2a=( 3−1)c
∴e=ca= 3+1．
故答案为： 3+1．
16.【答案】1712
【解析】【分析】本题考查数列的综合性质，数列不等式，属于中档题．
由题得到Sn=2−2⋅(−12)n，再分奇偶讨论，得到q≥56，p≤−712，即可求解．
【解答】解：由题意可得Sn=2−2⋅(−12)n，
当n为奇数时，Sn=2+2⋅(12)n，随着n值的增大而减小，
所以Sn=2+2⋅(12)n∈(2,3]，
当n为偶数时，Sn=2−2⋅(12)n，随着n值的增大而增大，所以Sn=2−2⋅(12)n∈[32,2)，
所以Sn∈[32,2)∪(2,3]，又因为函数y=x2−2x在[32,3]上单调递增，所以当x∈[32,2)∪(2,3]时，y=x2−2x∈[−712,0)∪(0,56]，所以q≥56，p≤−712，所以q−p的最小值为1712．
17.【答案】解：(Ⅰ)设{an}的公比为q(q≠1)，
因为a2，a3，a1成等差数列，所以2a3=a2+a1，
即2q2=q+1，解得q=−12或1(舍去)，
所以an=(−12)n−1．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知{bn}的前三项为−12，14，1，
所以bn=−12+34(n−1)=34n−54，
所以4bn=3n−5，
所以Sn=(−2+3n−5)n2=32n2−72n.
【解析】【分析】本题考查了等差数列的性质、求和公式，和等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
(1)设数列{an}的公比为q(q≠1)，由a2，a3，a1成等差数列，可得2q2=q+1，解得q即可得出；
(2)利用等差数列的求和公式即可得出．
18.【答案】解：由题可知OP，AD，AB两两互相垂直，
所以以OA所在直线为x轴，过O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立如图的空间直角坐标系．
(Ⅰ)易知A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(−1,1,0)，P(0,0, 3)，
所以AC=(−2,1,0)，PB=(1,2,− 3)，所以AC⋅PB=0，
所以AC⊥PB．
(Ⅱ)因为PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以PO⊥AC．
由(Ⅰ)知AC⊥PB，又PB∩PO=P，PO，PB⊂平面POB，
所以AC⊥平面POB，即AC=(−2,1,0)是平面POB的一个法向量．
又因为PC=(−1,1,− 3)，
设直线PC与平面POB所成角为θ，
所以sinθ=csAC,PC=AC⋅PC|AC|·|PC|=2+1 4+1+0× 1+1+3=35，
所以直线PC与平面POB所成角的正弦值为35．
【解析】本题主要考查空间两直线互相垂直的判断，线面所成角的正弦值的求解，属于中档题．
(Ⅰ)建立空间直角坐标系，利用坐标表示由AC，PB，由AC⋅PB=0，可证AC⊥PB;
(Ⅱ)先得出AC⊥平面POB，利用空间向量法求直线PC与平面POB所成角的正弦值即可．
19.【答案】解：(I)由题意可知圆C的圆心为C(a,0)，半径r=|a−1|，
因为∠APB=π3，AP⊥AC，所以∠APC=π6，从而|PC|=2|AC|=2r，
即 (a−1)2+( 3)2=2|a−1|，两边平方整理得a2−2a=0，
又因为a>0，所以a=2．
(Ⅱ)由(I)知圆C:(x−2)2+y2=1，点D(1,0)在圆C上，
又因为MD⊥ND，所以线段MN为圆C的直径，即直线MN过圆心(2,0)，
显然直线MN的斜率不为0，设其方程为x−2=ty，
点D(1,0)到直线MN的距离为d=1−2 1+t2，
根据三角形的面积公式可得d=MDND|MN|= 22，
所以1−2 1+t2= 22，解得t=±1，
所以直线MN的方程为x−y−2=0或x+y−2=0．
【解析】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，属于中档题．
(Ⅰ)根据题意得到|PC|=2|AC|=2r，列出方程， (a−1)2+( 3)2=2|a−1|，解方程即可；
(Ⅱ)由题得到直线MN过圆心(2,0)，则设其方程为x−2=ty，结合三角形面积与点到直线的距离，得到1−2 1+t2= 22，解方程即可．
20.【答案】解：(I)在2Snan=an2+1中，令n=1，得S1=1，
当n≥2时，由2Snan=an2+1，得2Sn(Sn−Sn−1)=(Sn−Sn−1)2+1，
整理得Sn2−Sn−12=1(n≥2)，
所以数列Sn2是首项为1，公差为1的等差数列．
(Ⅱ)由(I)知Sn2=1+(n−1)×1=n．
所以Tn=1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n ①，
2Tn=1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+n⋅2n+1 ②，
①− ②，得−Tn=2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2，
所以Tn=(n−1)⋅2n+1+2．
【解析】本题考查等差数列的判断，错位相减法求和，属于基础题．
(Ⅰ)令n=1，得S1=1，n≥2时，易得2Sn(Sn−Sn−1)=(Sn−Sn−1)2+1，即可判断；
(Ⅱ)符合等差数列乘等比数列，用错位相减法求和即可．
21.【答案】解：(Ⅰ)设三棱柱ABC−A1B1C1的高为ℎ．
因为AB⊥BC，∠CAB=π3，AC=2，
所以AB=1，BC= 3，S△ABC= 32，
因为VC1−ABC=13ℎ× 32=14，
所以ℎ= 32，即三棱柱ABC−A1B1C1的高为 32．
(Ⅱ)过点A1作A1O⊥AC于点O，连接BO，
因为平面ABC⊥平面ACC1A1，平面ABC∩平面ACC1A1=AC，A1O⊂平面ACC1A1，
所以A1O⊥平面ABC，
由(Ⅰ)知A1O= 32，又因为AA1=1，∠A1AC为锐角，所以AO=12，
在△ABO中，AB=1，AO=12，∠OAB=π3，所以BO⊥AC，
以O为坐标原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,−12,0)，B( 32,0,0)，C1(0,2, 32)，
所以AB=( 32,12,0)，BC1=(− 32,2, 32)，
设平面ABC1的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AB=0m⋅BC1=0，得 32x+12y=0− 32x+2y+ 32z=0,
取m=(1,− 3,5)，
易知平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1)，
所以cs=m⋅n|m||n|=5 29=5 2929，
所以二面角C1−AB−C的余弦值为5 2929．
【解析】本题考查棱柱体积公式的运用，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
(Ⅰ)设三棱柱ABC−A1B1C1的高为ℎ，利用柱体的体积公式即可得解；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得平面ABC1 与平面AB C 的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．
22.【答案】解：(Ⅰ)依题意可得B(a,0)，b=1，
由1−00−a=−12，得a=2，
所以椭圆C的方程为x24+y2=1;
(Ⅱ)易知l不与x轴平行，设其方程为x=my+t(t≠2)，
由x2+4y2=4,x=my+t,得(m2+4)y2+2mty+t2−4=0，
由Δ=4m2t2−4(m2+4)(t2−4)=16m2−16t2+64>0，得t2