四川省成都市新都区2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题(含答案)

这是一份四川省成都市新都区2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题(含答案)，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．如下图所示的几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d是（ ）
A．8B．0.5C．2D．20
4．地球上陆地与海洋面积的比是3∶7，宇宙中一块陨石进入地球，落在陆地的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，将含有的直角三角尺（）直角顶点A放到矩形的边上，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，点P是双曲线上的一个动点，过点P作轴于点A，当点P从左向右移动时，的面积（ ）
A．逐渐增大B．逐渐减小C．先增大后减小D．保持不变
7．目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校2021年给贫困学生每人400元补贴，2023年给贫困学生每人560元补贴，设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，直线，直线和被，，所截，如果，，，那么的长是 ．
10．已知同一时刻物体的高与影子的长成正比例，小明站在阳光明媚的室外操场上，他的影子长为．已知小明的身高为，此时测得操场旁一棵树的影长为，则这棵树的高为 ．
11．已知点在双曲线上，点在直线上，且，两点关于轴对称，设点的坐标为，则值是 ．
12．如图，在 RtABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点 D、E，则AE的长是 ．
13．如图，在菱形中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧相交于M，N两点，过M，N两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为 ．

三、解答题
14．计算：
(1)解方程；
(2)关于x的方程有两个不相等的实数根，．
①求m的取值范围；
②若，求m的值．
15．为了丰富学生在学校的课余生活，学校开展了合唱、手工、机器人编程、书法这四项活动（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对以上四项活动的喜好程度，学校随机抽取部分同学进行了“你最喜欢哪一项活动”的问卷调查，要求必选且只选一种．并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图：
(1)请补全条形统计图；
(2)估计全校3000名学生中最喜欢手工活动的人数约为______人；
(3)现从喜好机器人编程的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档加入活动策划会，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同时被选到的概率．
16．如图，路灯下竖立的一根木杆（用线段表示）的影子，小明（用线段表示）的影子是．
(1)请在图中画出路灯的位置（用点P表示）；
(2)若此路灯距地面高8米，小红的身高1.6米在距离灯的底部左侧6米N处，此时小红沿方向向左直走，求当小红的影长是5米时，她所走的路程．
17．如图，在四边形中，，连接，，点D是线段的中点，连接，连接，恰好过线段的中点E，并交于点G．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)求证：．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点与轴交于点，交轴交于点．
(1)求，的值；
(2)若点是反比例函数的图象上的一动点，连接，，当的面积等于时，求的坐标；
(3)在反比例函数图象上存在一点，若点为坐标轴上一动点，当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出的坐标．
四、填空题
19．已知 ，是一元二次方程的两个根，则 ．
20．如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A点，当函数值时，x的取值范围是 ．
21．小颖、小亮两人玩猜数字的游戏，规则如下：有三个数字0，1，2，先由小颖在心中任想其中一个数字，记作a．再由小亮也在心中任想其中一个数字，记作b．若使得一元二次方程没有实数根，则称两人“心有灵犀”，则小颖、小亮两人“心有灵犀”的概率是 ．
22．如图，已知一次函数图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若的面积等于8，则k的值是 ．
23．如图所示，在矩形中，，，E，F分别是上的动点，且，连接，当E为中点时，则 ；在整个运动过程中，的最小值为 ．
五、解答题
24．新都柚作为新都区的地方名优特产，一般10月中下旬成熟，具有抗炎、祛痰、保肝益胃之功能，是老幼皆宜的果中珍品．新都区花香果居片区2021年，新都柚年产8000吨，预计2023年能够实现年产15680吨的目标．
(1)求花香果居片区2021年至2023年新都柚年产量的年平均增长率；
(2)一个合作社以640000元的成本采购了新都柚80吨，目前可以以12000元/吨的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需要支付各种费用16000元，但同时每星期每吨的价格会上涨2000元．那么，储藏多少个星期后，出售这批新都柚可获利1220000元．
25．如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交x轴于点D，且．
(1)求k的值并直接写出点B的坐标；
(2)点P为反比例函数图象第三象限上一点，记点P到直线的距离为d，当d最小时，求出此时点P的坐标；
(3)点M是直线上一个动点，是否存在点M，使得相似，若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图1，已知，点D在BC上，且，，AC与DE相交于点F，连接CE．
(1)求∠DCE的度数（用含的代数式表示）；
(2)求证：；
(3)如图2，若，判断△ADF的形状，并说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程）逐项判断即可得．
【详解】解：A、方程，则此项是一元一次方程，不符合题意；
B、方程中的不是整式，则此项不是一元二次方程，不符合题意；
C、方程是一元二次方程，则此项符合题意；
D、方程中含有两个未知数，则此项不是一元二次方程，不符合题意；
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了三视图，根据所给图形进行观察即可得，掌握俯视图是解题的关键．
【详解】解：的俯视图是，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了比例线段，四条线段a、b、c、d， 若，这四条线段叫成比例的线段．正确理解成比例线段的定义是解决问题的关键．
利用成比例线段的定义得到，然后利用比例的性质求出d的值即可．
【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：C．
4．B
【分析】根据几何概率的求法：陆地面积占总面积的多少即为所求的概率求解即可.
【详解】解：根据题意，得：地球上陆地与海洋面积的比是3∶7，则陆地面积占地球面积的，所以宇宙中一块陨石进入地球，落在陆地的概率是.
故选：B.
【点睛】本题考查了几何概率的求法，属于基础题型，掌握求解的方法是关键.
5．D
【分析】本题考查矩形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等．
设与的交点为点，由角的和差可求得，根据矩形的性质得到，从而，根据三角形的内角和定理求得，再根据对顶角相等即可得．
【详解】设与的交点为点，
∵，，
∴，
∵在矩形中，，
∴
∵，
∴，
∴．
故选：D
6．D
【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，根据k的几何意义求解即可．
【详解】解：设点P的坐标为，
则的面积为：，
即的面积保持不变，
故选：D．
7．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设每年发放的资助金额的平均增长率为x，根据“某校2021年给贫困学生每人400元补贴，2023年给贫困学生每人560元补贴，”列出方程，即可求解．
【详解】解：设每年发放的资助金额的平均增长率为x，根据题意得：
．
故选：A．
8．A
【分析】根据一次函数和反比例函数的图象和性质进行判断即可．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当时，与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，反比例函数的图象在第一、三象限；
②当时，与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限；
综上分析可知，只有选项A符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象为性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，一次函数，当直线经过一、三象限，当直线经过二、四象限，当直线与y轴正半轴有交点，直线与y轴负半轴有交点．
9．/
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
解得，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据同一时刻物体的高与影子的长成正比例，列出比例式，即可求解．
【详解】解：设这棵树的高为，依题意得，
解得：，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了反比例数与一次函数的性质；先根据、两点关于轴对称用、表示出点的坐标，再点在双曲线上，点在直线上，得出与的值，代入代数式进行计算即可．
【详解】解：点，、两点关于轴对称，
，
点在双曲线上，点在直线上，
，，
，，
．
故答案为：．
12．/6.25
【分析】首先连接BE，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝BE，然后设AE＝x，由勾股定理可得方程：x2＝62＋（8−x）2，继而求得答案．
【详解】解：连接BE，
∵AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，
∴AE＝BE，
设AE＝x，则BE＝x，EC＝AC−AE＝8−x，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴x2＝62＋（8−x）2，
解得：x＝，
故答案为：．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理．掌握数形结合思想与方程思想是解题关键．
13．/80度
【分析】本题考查了作图—垂直平分线，菱形的性质，根据题意得，点E在的垂直平分线上，则，即可得，根据四边形为菱形得，，可得，即可得；掌握作图—垂直平分线，菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，点E在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：．
14．(1)
(2)①；②的值是
【分析】本题考查了解一元二次方程，根的判别式、根与系数的关系；
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）①由得到关于的不等式，解之得到的范围；
②根据根与系数的关系，结合，得到关于的一元一次方程，解之即可求解．
【详解】（1）解：
∴
∴或，
∴；
（2）①关于的方程有两个不相等的实数根，．
，
解得；
②根据根与系数的关系得：，
，
解得或，
，
故的值是．
15．(1)见解析
(2)1200
(3)甲和丁同时被选到的概率
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，根据树状图求概率．
（1）先计算出总人数，再计算出B组和C组人数，即可补全条形统计图；
（2）用全校人数乘以最喜欢手工活动的人数所占百分比，即可求解；
（3）根据题意画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：总人数：（人），
C组人数：（人），
B组人数：（人），
补全条形统计图如图所示：
（2）解：（人），
故答案为：1200；
（3）解：画出树状图如图所示：
由图可知，一共有12种情况，甲和丁同时被选到的有2种情况，
∴甲和丁同时被选到的概率．
16．(1)见解析
(2)14米
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用：
（1）连接，并延长交于点P，即可；
（2）过点P作于点H，设当小红的影长是5米时，到达点， 表示小红的身高，表示此时的影长，则米，米，，可得，从而得到米，即可求解．
【详解】（1）解：如图，点P即为所求；
（2）解：如图，过点P作于点H，设当小红的影长是5米时，到达点， 表示小红的身高，表示此时的影长，则米，米，，
∴，
∴，
∴，
∴米，
∴米，
即当小红的影长是5米时，她所走的路程14米．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用平行线的性质和全等三角形的判定与性质得到，利用中点的定义和平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，再利用直角三角形的斜边上的中线的性质和菱形的判定定理解答即可；
（2）利用相似三角形的判定定理证明和，由相似三角形的性质定理得到，，设，则，通过计算即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
，
在和中，
，
，
．
点是线段的中点，
，
，
四边形为平行四边形，
，点是线段的中点，
为直角三角形斜边上的中线，
，
四边形为菱形；
（2）证明：由（1）知：，
．
∵，
，
．
四边形为菱形，
，
，
．
，
，
．
设，则，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
18．(1)，
(2)点
(3)点或或
【分析】（1）将点，点坐标代入解析式可求解；
（2）由面积和差关系列出等式，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由平行四边形的对角线互相平分列出等式可求解．
【详解】（1）解：由题意可得：
，，
一次函数解析式为，点，
直线与反比例函数的图象交于点，
；
（2）如图，设点，过点作轴于，过点作轴于，
，，，
直线与轴交于点，
点，，
，
的面积等于，
，
，
舍去或，
点，；
（3）当点在轴上时，设点，，点，
以，，，为顶点的四边形为平行四边形，
和是对角线，且互相平分，
，
，
点，
，
，
点；
当点在轴上时，设点，点，
若，为对角线，
则，
，，
点；
若，为对角线，
则，
，，
点，，
综上所述：点或或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的性质，解一元二次方程，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
19．
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
直接利用根与系数的关系求解．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
．
故答案为：．
20．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系得出不等式的解集．
先联立解析式求出点的坐标，结合图象即可解答．
【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
，
解得，（不符合题意，舍去）
，
由图象可得，当函数值时，的取值范围是．
故答案为：．
21．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中使得一元二次方程没有实数根（即）的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中使得一元二次方程没有实数根（即）的结果有5种，
∴小颖、小亮两人“心有灵犀”的概率是．
故答案为：．
22．
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程的根与系数的关系，反比例函数与几何综合．熟练掌握一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程的根与系数的关系，反比例函数与几何综合是解题的关键．
如图，记一次函数图象与轴的交点为，则，设，，由题意知，，可得，，联立可得，，则，，由，求的值，进而可求的值．
【详解】解：如图，记一次函数图象与轴的交点为，
当时，，
解得，，
∴，
设，，
∴，
整理得，，
联立得，，整理得，，
∴，，
∴，
解得，，
∴，
解得，，
故答案为：．
23．
【分析】根据矩形的性质以及勾股定理可得的长，从而得到，再由，可得，然后根据勾股定理可求出，即可；在右侧构造，并截取，使，连接，可证明，可得∴，从而得到，当且仅当B、F、G三点共线时，取得最小值，最小值为，过点 G 作交延长线于点H，可证明，可得，从而得到，再由勾股定理可得，即可求解．
【详解】解：在矩形中，，，
∴，
∴，
∵E为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
在右侧构造，并截取，使，连接，如图，
在矩形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当且仅当B、F、G三点共线时，取得最小值，最小值为，
如图，过点 G 作交延长线于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：；
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理直角三角形的性质是解题的关键．
24．(1)花香果居片区2021年至2023年新都柚年产量的年平均增长率为
(2)储藏15个星期后，出售这批新都柚可获利1220000元
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解．
（1）设花香果居片区2021年至2023年新都柚年产量的年平均增长率为x，根据增长率模型列出方程求解即可；
（2）设储藏y个星期后，出售这批新都柚可获利1220000元，根据利润=总售价总成本，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设花香果居片区2021年至2023年新都柚年产量的年平均增长率为x，
，
解得：（经检验负数不符合题意舍去），
答：花香果居片区2021年至2023年新都柚年产量的年平均增长率为；
（2）解：设储藏y个星期后，出售这批新都柚可获利1220000元，
，
整理得：，
解得：，
答：储藏15个星期后，出售这批新都柚可获利1220000元．
25．(1)，
(2)
(3)存在，，或，．
【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平移的性质，正确地找出函数的解析式是解题的关键．
（1）把点代入得到，把代入得到，解方程组得到；
（2）设，过作轴于，过作轴于，根据相似三角形的性质得到，设直线的解析式为，求得；将直线向下平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点时，此时最小，设直线的解析式为，解方程得到；
（3）存在，由（1）（2）可知，，，，根据勾股定理得到，，，设，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）把点代入得，，
解得，
，
把代入得，
反比例函数的解析式为，
解，
解得或，
；
（2）点是双曲线第一象限分支上的一点，
设，
过作轴于，过作轴于，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
；
将直线向下平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点时，此时最小，
设直线的解析式为，
方程有两个相等的实数根，
整理得，
，
解得或9，
直线与轴交于负半轴，
舍去，
解方程，得，
，
；
（3）存在，由（1）（2）可知，，，，
，，，
设，
，，，
当时，，即，
解得（舍或；
当时，，，
解得（舍或；
，或，．
26．(1)
(2)见解析
(3)是等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（3）如图2，过D作，根据平行线的性质得到，根据相似三角形的性质得到，证得，得到，证得，由（1）知，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）解：，，
，，
在与中，
，
，
，
；
（2）证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：是等腰三角形，
理由：如图，过D作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是等腰三角形．
【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理并作出适当的辅助线是解题的关键．