河南省驻马店市汝南县2023届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

这是一份河南省驻马店市汝南县2023届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)，共17页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣2023的绝对值是（ ）
A．﹣B．﹣2023C．D．2023
2．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如图，若a∥b，∠1＝46°，则∠2的度数是（ ）
A．34°B．44°C．134°D．144°
4．（3分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2B．（a3）2＝a5C．÷＝D．2+3＝5
5．（3分）我国自主研发的“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每3000000年误差1秒．数3000000用科学记数法表示为（ ）
A．3×106B．3×107C．0.3×106D．30×105
6．（3分）分式有意义时x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x＞1C．x≥1D．x＜1
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
8．（3分）矩形、菱形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直B．对角线互相平分
C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等
9．（3分）现有A、B、C三种不同的矩形纸片若干张（边长如图），小智要用这三种纸片无重合无缝隙拼接成一个大正方形，先取A纸片9张，再取B纸片1张，还需取C纸片的张数是（ ）
A．2B．4C．6D．8
10．（3分）如图，已知矩形ABCD的邻边长分别为a、b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2…则第2023次操作后，得到四边形A2023B2023C2023D2023的面积是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写一个y随x的增大而减小的函数 ．
12．（3分）写出一个满足不等式组的整数解 ．
13．（3分）双减政策实施后，某学校为丰富学生的业余生活，发展学生的兴趣特长，增强学生的体质，开展了四个体育兴趣社团：跳绳社团，篮球社团，足球社团，健美操社团，小明和小亮对四个社团都很喜欢．他们随机选择参加其中一个社团，则两人恰好选择同一个社团的概率是 ．
14．（3分）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，利用网格求出弧AC的长为 ．
15．（3分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AB＝1，∠AOD＝120°，点E1在对角线BD上，P是AE的中点，PO+PB的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）化简：；
（2）计算：．
17．（9分）为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．
（1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数；
（2）请确定下表中a，b，c的值（只要求写出求a的计算过程）；
（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．
18．（9分）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．驿城区某校九年级学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.5米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝32°，在与点A相距4米的测点D处安置测倾器，测得点M仰角∠MEC＝45°（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高MN的长（结果精确到1米；参考数据：sin32°≈0.53，cs32°≈0.85，tan32°≈0.62）
19．（9分）学校举办了“喜迎二十大奋进新征程”演讲比赛，计划对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知3件甲种奖品和2件乙种奖品共需70元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需80元．
（1）求甲、乙两种奖品的单价分别为多少元？
（2）根据颁奖计划，学校需甲、乙两种奖品共60件，其中甲种奖品的数量不超过20件，求购买两种奖品的总费用的最小值．
20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出y1＞y2时，x的取值范围；
（3）在平面内存在一点P，且∠APB＝90°，请直接写出OP的最小值．
21．（9分）独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现，北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在△ABC中，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点P，PD是⊙O的切线，且PD⊥BC，垂足为点D．
（1）求证：∠A＝∠C；
（2）若PD＝2BD＝4，求⊙O的半径．
22．（10分）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（6，﹣3）．
（1）求b，c的值；
（2）当0≤x≤4时，求y1的最大值；
（3）当0≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，请直接写出m的值．
23．（10分）“三等分角”是数学史上一个著名问题，数学家们证明只使用尺规无法三等分一个任意角，但对于特定度数的已知角，如90°角、45°角、108°角等可以用尺规三等分，如果作图工具没有限制，将条件放宽，将任意角三等分是可以解决的．
（1）用尺规三等分特殊角．
例题解读：如图1，∠AOB＝90°，在边OB上取一点C，用尺规以OC为一边向∠AOB内部作等边△OCD，作射线OD，再用尺规作出∠DOB的平分线OE，则射线OD，OE将∠AOB三等分．
​问题1：如图2，∠MON＝45°，请用尺规把∠MON三等分．（不需写作法，但需保留作图痕迹）
（2）折纸三等分任意锐角．
步骤一：在正方形纸片上折出任意∠SBC，将正方形ABCD对折，折痕记为MN，再将矩形MBCN对折，折痕记为EF，得到图3；
步骤二：翻折正方形纸片使点B的对应点T在EF上，点M的对应点P在SB上，点E对折后的对应点记为Q，折痕记为GH，得到图4；
步骤三：折出射线BQ，BT，得到图5，则射线BQ，BT就是∠SBC的三等分线．
下面是证明射线BQ，BT是∠SBC三等分线的部分过程．
证明：如图5，过点T作TK⊥BC，垂足为K，则四边形EBKT为矩形．
根据折叠的性质，得EB＝QT，∠EBT＝∠QTB，BT＝TB．
∴△EBT≌△QTB（SAS）．
∴∠BQT＝∠TEB＝90°．
∴BQ⊥PT．
⋯
问题2：①将剩余部分的证明过程补充完整；
②若将图3中的点S与点D重合，重复（2）中的操作过程得到图6，请利用图6计算tan15°的值，请直接写出结果．
2023年河南省驻马店市汝南县中考数学二模答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）
解析：解：|﹣2023|＝2023，
故选：D．
2．
解析：解：俯视图就是从上面看到的图形，因此选项C的图形符合题意，
故选：C．
3．
解析：解：如图：
∵a∥b，
∴∠2＝∠3，
∵∠1+∠3＝180°，∠1＝46°，
∴∠3＝180°﹣46°＝134°，
∴∠2＝134°．
故选：C．
4．
解析：解：A、a6÷a3＝a3，故A不符合题意；
B、（a3）2＝a6，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、2与3不属于同类二次根式，不能合并，故D不符合题意，
故选：C．
5．
解析：解：数3000000用科学记数法表示为3×106．
故选：A．
6．
解析：解：根据题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故选：A．
7．
解析：解：∵Δ＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
8．
解析：解：∵菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且相等，
∴矩形、菱形都具有的性质是对角线互相平分，
故选：B．
9．
解析：解：根据题意得：9a2+b2+6ab＝（3a+b）2，
则还需取C纸片的张数是6张．
故选：C．
10．
解析：解：记四边形An∁nDnBn的面积为Sn，
连接 A1C1D1B1，
∵A1B1C1D1为各边的中点，
∴AD1＝D1D，AA1＝DC1，
∵矩形ABCD，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴△C1D1D≌△AA1D1，
∴A1D1＝D1C1，
同理，A1B1＝B1C1，A1D1＝A1B1，
∴四边形 A1B1C1D1为菱形，
∵四边形A2B2C2D2为矩形，四边形 A1B1C1D1为菱形，
∴，
S2＝，
……，
∴Sn＝，
∴A2023B2023C2023D2023的面积＝．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．
解析：解：y随x的增大而减小的函数可以是y＝﹣x．
故答案为：y＝﹣x（答案不唯一）．
12．
解析：解：由1﹣2x＜5得：x＞﹣2，
由≤﹣1得：x≤1，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤1，
所以不等式组的整数解为﹣1、0、1，
故答案为：﹣1、0、1．
13．
解析：解：把跳绳社团，篮球社团，足球社团，健美操社团分别记为：A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小亮选到同一个社团的结果有4种，
∴小明和小亮选到同一个社团的概率为＝，
故答案为：．
14．
解析：解：连接BC，作BC的垂直平分线，交AB的垂直平分线与点D（2，0），连接AD，CD，
由图可知，DC可由DA以D旋转中点顺时针旋转90°得到，即∠ADC＝90°．
又∵AD＝，
∴弧AC的长为．
故答案为：．
15．
解析：解：取AB的中点F，作直线PF，
∵点P是AE的中点，
∴PF∥BE，
作点B关于直线PF的对称点H，连接BH交直线PF于点G，连接OH，
∵PG垂直平分BH，
∴PB＝PH，∠PGB＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝1，
∴BF＝AF＝0.5，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝180°﹣∠AOD＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB＝AB＝1，∠BFG＝∠ABO＝60°，
∴∠BPG＝30°，
∴FG＝BF＝0.25，
∴HG＝BG＝＝＝，
∴BH＝2BG＝，
∴OH＝＝＝，
∵PO+PH≥OH，
∴PO+PB≥，
∴PO+PB的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．
解析：解：（1）
＝
＝
＝．
（2）
＝
＝3﹣+1﹣4
＝．
17．
解析：解：（1）由题意知，（1）班和（2）班人数相等，为：5+10+19+12+4＝50（人），
∴（2）班学生中测试成绩为10分的人数为：50×（1﹣28%﹣22%﹣24%﹣14%）＝6（人），
答：（2）班学生中测试成绩为10分的人数是6人；
（2）由题意知，a＝＝8；
b＝9；c＝8；
答：a，b，c的值分别为8，9，8；
（3）根据方差越小，数据分布越均匀可知（1）班成绩更均匀．
18．
解析：解：过E作EF⊥MN于F，连接EB，则点B、E、F在同一条直线上，设MF＝x米，
∵∠EFN＝∠FND＝∠EDN＝∠A＝90°，
∴四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，
∴FN＝ED＝AB＝1.5米，AD＝BE＝4米，
∵∠MEF＝45°，∠EFM＝90°，
∴MF＝EF＝x，
∴FB＝FE+EB＝x+4，
∴tan∠MBF＝≈＝0.62，
解得 x≈6.5米，
经检验x≈6.5米符合题意，
∴MN＝MF+FN＝6.5+1.5≈8（米）．
答：电池板离地面的高度MN的长约为8米．
19．
解析：解：（1）设甲种奖品的单价为x元乙种奖品的单价为y元，
根据题意得：，
解得，
∴甲种奖品的单价为10元，乙种奖品的单价为20元；
（2）设购买甲种奖品m件，购买两种奖品的总费用为w元，则购买乙种奖品（60﹣m）件，
∵甲种奖品的数量不超过20件，
∴m≤20，
根据题意得：w＝10m+20（60﹣m）＝﹣10m+1200，
∵﹣10＜0，
∴当m＝20时，w取最小值，最小值为﹣10×20+1200＝1000（元），
答：购买两种奖品的总费用的最小值是1000元．
20．
解析：解：A（1，2）在反比例函数y2＝的图象上，
∴k＝1×2＝2，
∴反比例函数的解析式为为y2＝，
∵B（﹣2，m）在反比例函数y2＝的图象上，
∴m＝＝﹣1，
∴B（﹣2，﹣1），
把A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y1＝ax+b得，
解得，
∴一次函数解析式为y1＝x+1；
（2）由函数图象可知：y1＞y2时，﹣2＜x＜0或x＞1；
（3）∵∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，
设AB的中点为Q，
当P，O，Q三点共线且O，P在AB的同侧时OP有最小值，
∵A（1，2），B（﹣2，﹣1），
∴AB＝＝3，
∴PQ＝AB＝，
∵AB的中点为Q，
∴Q（﹣，），
∴OQ＝，
∴OP＝PQ﹣OQ＝，
故OP的最小值为．
21．
解析：（1）证明：连接OP，如图2，
∵PD是⊙O的切线，
∴OP⊥PD，
∵PD⊥BC，
∴OP∥BC，
∴∠OPA＝∠C，
∵OA＝OP，
∴∠OPA＝∠A，
∴∠A＝∠C；
（2）解：连接PB，如图2，
在Rt△PBD中，∵PD＝2BD＝4，
∴PB＝＝2，
∵AB为直径，
∴∠APB＝90°，
∵∠BDP＝∠BPC，∠DBP＝∠PBC，
∴△BDP∽△BPC，
∴BP：BC＝BD：BP，即2：BC＝2：2，
解得BC＝10，
∵∠A＝∠C，
∴BA＝BC＝10，
∴⊙O的半径为5．
22．
解析：解：（1）把点（0，﹣3），（6，﹣3）代入得：
，
解得，
∴b＝6，c＝﹣3；
（2）由（1）可知y＝﹣x2+6x﹣3，
对称轴为直线x＝3，
∵a＝﹣1＜0，
∴开口向下，
当x＝3时，函数值有最大值，
∴当0≤x≤4时，y1的最大值y＝﹣9+18﹣3＝6，
（3）当0＜m＜3时，
x＝0时，y有最小值为﹣3，
x＝m时，y有最大值为﹣m2+6m﹣3，
根据题意得﹣m2+6m﹣3﹣3＝1，
解得m＝3﹣或3+（舍去），
当3≤m≤6时，y的最大值为6，最小值为﹣3，不合题意，
当m＞6时，
x＝3，y有最大值为6，
x＝m，y有最小值为﹣m2+6m﹣3，
根据题意得﹣m2+6m﹣3﹣3＝1，
解得m＝3±（不合，舍去），
综上m的取值为3﹣．
23．
解析：解：（1）如图2，
在边ON上取一点A，用尺规以OA为一边向∠MON的外部作等边△OAB，
用尺规作出∠AOB的角平分线OC，
再用尺规作出∠CON的角平分线OD，
则射线OD、OC将∠MON三等分；
（2）①剩余的证明过程如下：
∵ME＝PQ，EB＝QT，ME＝EB，
∴PQ＝QT，
∴BP＝BT，
∴∠PBQ＝∠TBQ，
∵TK＝BE，
∴TK＝TQ，
∴∠QBT＝∠TBC，
∴射线BQ，BT是∠SBC的三等分线；
②同①可知：射线BQ，BT是∠DBC的三等分线，
过T作TJ⊥BC，垂足为J，如图所示：
则∠TBJ＝∠DBC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DBC＝45°，
∴∠TBJ＝15°，
由折叠性质得：BH＝HT，
∴∠TBJ＝∠HTB＝15°，
∴∠THJ＝30°，
设BC＝4，则BE＝1，
∵将正方形ABCD对折，折痕为记为MN，再将矩形MBCN对折，折痕记为EF，TJ⊥BC，
∴四边形EBJT为矩形，
∴TJ＝BE＝1，
在Rt△THJ中，∠THJ＝30°，
∴HT＝2TJ＝2，HJ＝ct30°•TJ＝×1＝，
∴BJ＝BH+HJ＝HT+HJ＝2+，tan∠TBJ＝＝＝2﹣，
即tan15°＝2﹣．
统计量
平均数
众数
中位数
方差
（1）班
8
8
c
1.16
（2）班
a
b
8
1.56